Testes de Hipóteses para a Média

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INFERÊNCIA ESTATÍSTICAINFERÊNCIA ESTATÍSTICA
TESTES DE HIPÓTESESTESTES DE HIPÓTESES
PARA A MÉDIAPARA A MÉDIA
Autor: Dr. Bruno Henrique Ol iveira Mul ina
Reviso r : An to n io Go mes De M a tto s Neto
INICIAR
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introduçãoIntrodução
Entre as aplicações da Inferência Estatística, a avaliação da população com
base em dados amostrais pode ser realizada por meio de hipóteses. Essas
hipóteses são suposições com relação aos valores dos parâmetros
populacionais. Por exemplo, ao perguntar se a nota da turma é maior que 7,
estamos levantando uma suposição. As suposições podem ser feitas com
base em apenas uma amostra, validando se o parâmetro é igual, maior ou
menor que uma constante, ou duas ou mais amostras, permitindo identi�car
se o parâmetro avaliado é igual ou diferente nas diferentes amostras.
Nesta unidade, veremos as ferramentas para responder sobre as suposições
referentes à média populacional, para diferentes condições das amostras.
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Ao identi�car as principais aplicações da Inferência estatística, vemos que
estão relacionadas a descrever, ou inferir, sobre o comportamento da
população com base em dados amostrais. Essa descrição pode ser feita de
duas formas. Uma delas se dá pela determinação dos valores dos
parâmetros da população, como a média ou o desvio padrão por meio de
estimadores. Esses estimadores podem ser pontuais, usualmente referidos
como os parâmetros amostrais, e os estimadores intervalares, comumente
chamados de intervalos de con�ança.
Com relação aos estimadores, podemos dizer que eles não são
completamente precisos. Isso acontece, pois, no processo de amostragem, é
possível que alguns elementos com valores signi�cativos sejam omitidos.
Para avaliar o quão exato é o estimador, é de�nida uma distribuição de
probabilidade amostral. Em uma distribuição amostral, as amostras com
valores próximos aos exatos é maior que casos extremos. Isso de�ne o
teorema do limite central.
Introdução aosIntrodução aos
Testes de HipóteseTestes de Hipótese
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Por meio do teorema do limite central, podemos dizer que existe uma faixa
de valores que possuem uma certa probabilidade de estarem coerentes com
os valores populacionais. Essa probabilidade é chamada de con�ança. A
probabilidade dos valores não serem correntes, motivada pela existência de
valores raros que possam não ter sido amostrados é chamada de
signi�cância estatística.
A segunda aplicação da inferência estatística são os testes de hipóteses. Um
teste de hipótese é um conjunto de estatísticas aplicadas para de�nir, com
certa con�ança, se uma hipótese levantada é verdadeira. Imagine que
queremos avaliar se o valor médio da população é maior que uma constante.
Como o valor amostral não é exatamente o valor populacional, não podemos
responder à pergunta de forma exata. Para isso que existem os testes de
hipóteses.
De�inição das Hipóteses
Um teste de hipótese, como já foi apresentado anteriormente, é um conjunto
de ferramentas que tem por objetivo con�rmar uma suposição sobre a
população com base em uma informação amostral. Para compreender o que
é isso, veremos um exemplo comumente apresentado a nós.
Durante as eleições, é comum a expressão “tecnicamente empatados”. Essa
expressão diz que, com base na pesquisa amostral realizada, existe uma
chance, por conta do erro amostral, dos valores populacionais serem iguais.
Observando a Figura 3.1, podemos ver que existe uma faixa de valores em
que os intervalos de con�ança dos votos dos candidatos A e B coincidem.
Isso quer dizer que existe uma chance de que os valores exatos sejam iguais.
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Uma vez apresentamos os conceitos básicos, detalharemos as etapas para a
realização dos testes de hipóteses. Devemos ter em mente que existem
apenas duas possibilidades de resposta em um teste de hipótese: aceitar ou
rejeitar a hipótese.
Ao propor um teste de hipótese, devemos inicialmente levantar a suposição
que se deseja avaliar como verdadeira, chamada de hipótese nula ou H0, e
outra suposição com o intuito de rejeitar a hipótese nula, chamada de
hipótese alternativa ou H1. Ao propor as hipóteses, elas nunca podem se
sobrepor. Se a hipótese nula é de igualdade, a hipótese alternativa não
poderá ser de maior ou igual, já que a igualdade aparece nas duas hipóteses.
Por exemplo, se desejamos saber se a turma possui uma nota média igual a
6, será proposta a hipótese nula de que a média populacional é igual a 6,
tendo em contrapartida a hipótese alternativa de que a média será diferente
de 6. Matematicamente, podemos escrever as hipóteses como:
H0 : μ = 6
H1 :μ ≠ 6
 (1)
Sabendo que as hipóteses nula e a alternativa são complementares, são
exemplos possíveis de combinações de hipóteses:
{
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H0 : μ = 6
H1 :μ ≠ 6
 
H0 : μ ≥ 6
H1 :μ < 6
 
H0 : μ ≤ 6
H1 :μ > 6
Deve-se sempre buscar que as condições de igualdade estejam presentes na
hipótese nula. Caso isso não seja respeitado, poderemos ter di�culdades em
obter a solução conforme a técnica aplicada nos testes de hipóteses.
De�nidas as hipóteses, devemos decidir se os testes serão realizados com
base na avaliação da região crítica ou da função poder do teste, ou p-valor.
{ { {
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Testes de Hipótese Baseados na
Região Crítica
reflitaRe�ita
Ao realizar um teste de hipótese, o
objetivo é responder com relação à
hipótese nula. Então é comum, na
literatura, a resposta ser dada de
modo a aceitar ou rejeitar essa
hipótese, sem referências à hipótese
alternativa ser aceita ou não. Por esse
motivo, não é muito comum os
termos “certo” ou “errado” para a
hipótese.
Para ajudar na compreensão sobre
as análises, adotaremos as respostas
com relação às duas hipóteses. Então,
caso a hipótese, sendo ela nula ou
alternativa, seja aceita, estaremos
também nos referindo a ela como
correta.
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Os testes de hipótese baseados na análise da região crítica são realizados a
partir da análise dos intervalos de con�ança dos valores amostrais, avaliando
a posição de um valor normalizado dentro de uma região crítica, obtida por
uma distribuição de probabilidade amostral compatível.
A região crítica é uma faixa de valores que são admitidos como falsos para a
hipótese nula. Essa faixa de valores, como mostra a Figura 3.2, é função da
signi�cância, da distribuição amostral e da hipótese alternativa, e é chamada
de região crítica. Em uma pesquisa, se o candidato possui 40% da intenção
de votos, com margem de erro de 2 pontos percentuais, implica dizer que os
valores compreendidos entre 42% e 38% são estaticamente iguais a 40%.
Então a região crítica, que representa os valores diferentes de 40%, está
localizada nos intervalos de�nidos para valores menores que 38% e maiores
que 42%.
Nos testes de hipótese, é muito importante identi�car corretamente a
signi�cânciaa ser aplicada. Isso porque os valores “errados” à hipótese nula
podem estar compreendidos em uma única faixa de valores, sendo um teste
unicaudal ou unilateral, ou dividida em duas faixas, representando um teste
bicaudal ou bilateral.
De acordo com o teorema do limite central, as amostras que resultem em
valores mais “iguais” ao da população apresentam maior frequência, e por
Figura 3.2 - Relação entre região crítica e as hipóteses de igualdade dos votos
Fonte: Elaborada pelo autor.
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isso representam o pico apresentado em uma distribuição amostral. Em
contrapartida, os valores mais próximos à borda da distribuição são ditos
diferentes (maiores ou menores). A compreensão sobre o teorema permite
que a distribuição amostral seja dividida em três regiões diferentes: igual,
maior ou menor. A Figura 3.3 mostra essa análise aplicada às distribuições
normal e t de Student. Essa distinção ajudará na obtenção das regiões críticas
a serem aplicadas nos testes de hipóteses.
De�nidas essas regiões, basta identi�car, com base nas hipóteses levantadas
e no valor observado para a estatística do teste, se elas serão referentes à
hipótese nula ou à alternativa. Agora podemos compreender a motivação
com relação à região crítica mostrada na Figura 3.2, já que na Figura 3.3
podemos ver que os valores considerados iguais à média estão dispostos em
uma faixa que contém o valor amostral da média. Um teste de hipótese
baseada na região crítica pode ser realizado, conforme o seguinte roteiro:
a. De�nir as hipóteses nula e alternativa. 
b. De�nir a distribuição de probabilidade a ser usada. 
c.  Obter os valores limites da região crítica conforme as hipóteses e a
distribuição amostral. 
d. Normalizar o parâmetro desejado com base na estatística compatível. 
e. Posicionar o valor normalizado ao longo da distribuição. 
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f. Avaliar se o valor normalizado está disposto na região crítica (hipótese nula
rejeitada, ou hipótese alternativa aceita) ou fora dela (hipótese nula aceita e
hipótese alternativa rejeitada).
Testes de Hipótese Baseados na
Função Poder
Vimos o desenvolvimento dos testes de hipóteses usando a região crítica.
Outro método a ser aplicado para a avaliação das hipóteses é o uso da
função poder, também chamado de p-valor. Este método de�ne a
probabilidade de se obter um valor normalizado da amostra, e a compara
com a signi�cância desejada ao teste. Como a solução do teste de hipótese
está relacionada diretamente à signi�cância, o p-valor também é chamado de
probabilidade de signi�cância.
O p-valor é apresentado como P(x), onde x é a distribuição buscada. Se
desejamos saber o p-valor de um teste cujo valor normalizado é t = 1, 54, com
grau de liberdade v = 3, o p-valor é representado por P(t(1, 54; 3). Utilizando
um software ou consultando uma tabela de valores t de Student, seria obtida
a probabilidade P(t(1, 54; 3) = 1, 666, representando um p-valor de 0,1666.
Para o desenvolvimento deste teste, primeiro devemos ter em mente que a
hipótese de igualdade deverá fazer parte da hipótese nula. Feito isso, basta
que identi�quemos a probabilidade relacionada ao valor normalizado,
considerando que este valor seja o limite para a hipótese alternativa. Se o
valor é menor que a signi�cância, a hipótese nula é rejeitada; caso contrário,
a hipótese nula não será rejeitada. Por esse motivo, é muito comum que p-
valores muito pequenos sejam indícios de que a hipótese nula deverá ser
rejeitada. Por exemplo, se um teste de hipótese, aplicando uma distribuição
normal, tentar avaliar as suposições:
H0 : μ ≤ 0
H1 :μ > 0
 (2){
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As regiões referentes a cada hipótese são apresentadas na Figura 3.4, sendo
a região destacada referente à probabilidade da signi�cância.
Conforme visto na Figura 3.4, o teste é unicaudal, com a signi�cância α
disposta à direita. O Zcr í tico se refere ao valor de z que forneça a
probabilidade igual à signi�cância. Se a estatística aplicada resultasse em 
z1=2,20, o p-valor vale 0,014, e sua localização coincidiria com o ponto p1.
Como o p-valor é menor que a signi�cância, a hipótese nula seria rejeitada.
Agora, se a estatística resultasse em z2=1,20, o p-valor seria de 0,15 (ponto p2),
e a hipótese nula não seria rejeitada.
Um cuidado ao avaliar o p-valor é que ele não representa a chance de
estarmos certos ou errados. Ele somente representa a chance de que possa
ser verdadeira. Então, se o p-valor é pequeno, a chance de que H0 seja
verdadeira é pequena, e então ela é rejeitada. Se o p-valor for grande, não
existem indícios que tornem a hipótese nula falsa.
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Erros do Tipo I e II
Como dito, os testes de hipóteses devem responder se a hipótese nula será
aceita ou não. Como os resultados possuem uma margem de con�ança, eles
devem ser analisados antes que se tenha certeza sobre a conclusão tomada.
Ao concluir a análise com relação à hipótese H0, é possível que ocorram dois
tipos de erros: o tipo I e o tipo II. Quando nos são apresentados os tipos de
erros, devemos ter em mente que se refere à conclusão obtida se
conhecêssemos o valor exato da população. Quando dissemos que a
con�ança é a probabilidade de estarmos corretos com relação a uma
suposição, devemos ter em mente que também existe uma chance de que
essa conclusão esteja errada.
O erro de tipo I está relacionado a rejeitar a hipótese nula H0 quando ela é
verdadeira. Esse tipo de erro é conhecido como o falso positivo. A
probabilidade de cometer um erro desse tipo está relacionada à signi�cância
α do teste. Por exemplo, se aplicada uma signi�cância de 0,05, indica que
existe uma chance de 5% de que esteja errado, caso a hipótese nula seja
rejeitada.
O erro de tipo II se refere a aceitar a hipótese nula H0 mesmo ela sendo falsa.
Esse tipo de erro é conhecido como o falso negativo. A probabilidade que
ocorra um erro tipo II, de�nida pela letra β, é função do p-valor. Este erro
ocorre quando o teste de hipótese aceita a hipótese nula, porém o resultado
obtido com base nos dados da população informa que na verdade essa
hipótese é falsa. A Tabela 3.1 mostra as relações entre os tipos de erros.
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Tabela 3.1 - Combinações de decisões e erros associados 
Fonte: Elaborada pelo autor.
Não é possível reduzir as chances de cometer os erros ao mesmo tempo.
Essa informação é importante, pois deixa claro que, se reduzirmos a chance
de que um erro ocorra, estaremos aumentando a chance do outro ocorrer.
Como o erro mais grave é o do tipo I, ele deve então ser ajustado (mudança
da signi�cância) para que se tenham resultados considerados válidos.
praticarVamos Praticar
Uma vez realizados os testes de hipóteses, pode-se cometer algum erro com
relação à conclusão obtida pelas estatísticas do teste. Esses erros são
denominados de erro tipo I e tipo II. De acordo com as condições referentes à
existência desses erros, assinale a alternativa correta.
a) O erro do tipo I se refere a aceitar a hipótese nula quando o valor obtido
pela estatística está fora da região crítica.
Decisão baseada na
amostra
Decisão baseada na população
H verdadeira H falsa
H aceita Correto (1-α) Erro tipo II (β)
Hrejeitada Erro tipo I (α) Correto (1-β)
0 0
0
0
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b) O erro do tipo I está relacionado a recusar ambas as hipóteses, pois o
valor obtido na estatística não pode ser usado para avaliação de nenhuma
delas.
c) O erro tipo II se refere a rejeitar a hipótese alternativa quando o valor
obtido pela estatística se localiza dentro da região crítica.
d) O erro do tipo II é de�nido como o erro de falhar em rejeitar a hipótese
nula quando ela é falsa.
e) O erro do tipo I se refere a rejeitar a hipótese nula quando o valor obtido
na estatística se localiza na região crítica.
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Quando estamos interessados na avaliação da média por meio de um teste
de hipótese, devemos ter em mente que ela segue uma distribuição normal,
e que sua variância populacional pode ou não ser conhecida. Quando a
variância populacional é conhecida, a distribuição de probabilidade a ser
usada será a distribuição normal. Ela é uma distribuição simétrica, centrada
em z = 0, e que não depende dos graus de liberdade da amostra. A
distribuição normal poderá ser usada também em casos que a variância
populacional não seja conhecida, porém a amostra possui um tamanho
maior ou igual a 30 elementos. Nesses casos, admitimos que as variâncias
amostral e populacional são iguais, e os procedimentos a seguir serão
aplicados de forma idêntica.
Testes de HipótesesTestes de Hipóteses
da Média Amostralda Média Amostral
para umapara uma
População NormalPopulação Normal
com σ² Conhecidacom σ² Conhecida
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Teste de Hipótese Aplicando a
Região Crítica
Conforme a hipótese levantada, é de�nida a região crítica. Ela é obtida por
meio da análise dita anteriormente, de acordo com a Figura 3.3. De�nida a
hipótese e a distribuição, a normalização a ser aplicada será:
Zobs =
x− − μ0
σ
√n
 (3)
A expressão da normalização envolve a média amostral x− , um valor
populacional, ou uma constante μ0, a variância populacional σ2 e o número
de elementos da amostra n. Para obtenção dos valores limites ou críticos, e
delimitação da região crítica, podemos usar softwares ou tabelas. A Tabela
3.2 apresenta alguns valores para a distribuição para P(z) < 0, 3. Não será
necessário apresentar valores maiores, pois às signi�câncias mais comuns
vão valores menores que 10%. Se o teste possui uma signi�cância de 5%,
buscamos na primeira linha o valor 0,00, e na primeira coluna o valor 0,05, já
que 0, 00 + 0, 05 = 0, 05. O cruzamento das respectivas linhas e colunas nos
fornece o valor de z = 1, 645. 
Tabela 3.2 - Valores de Z para P < 0, 3 
Fonte: Elaborada pelo autor.
Devido às diferentes hipóteses levantadas e valores críticos, é muito
importante que, antes de realizar os cálculos, seja feita uma análise com
( )
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calma sobre todas as informações fornecidas, de modo que se evite, por
exemplo, a avaliação de uma hipótese diferente da suposição levantada.
Teste de Hipótese Aplicando P-valor
Para aplicar o teste de hipótese baseado no p-valor, primeiro devemos
expressar as hipóteses. Para a aplicação do p-valor, é importante que a
suposição que inclua a igualdade dos valores esteja disposta na hipótese
nula. Caso não esteja, deve-se manipular as hipóteses a �m de que isso seja
verdadeiro. Essa etapa será importante para de�nir se o p-valor será aplicado
unicaudal à direita (hipótese alternativa para valores maiores), unicaudal à
esquerda (hipótese alternativa para valores menores) ou bicaudal (hipótese
alternativa de diferente).
Agora devemos obter o valor normalizado de modo idêntico ao aplicado na
determinação da região crítica. Calculado o valor normalizado, devemos
consultar qual a probabilidade relacionada àquele valor. Para obter o p-valor,
podemos consultar a Tabela 3.1, e buscar, entre os valores internos, aquele
que mais se aproxima do valor normalizado. Obtidas as coordenadas desse
valor, basta somar o valor encontrado na primeira linha e na primeira coluna.
Por exemplo, se encontrarmos o valor z = 2, 34, encontraremos como mais
próximo o valor z = 2, 326, presente no cruzamento entre os valores a = 0,000
e b = 0,010, indicando que o p-valor vale 0,000+0,010=0,010.
Para de�nir com relação à rejeição ou aceitação da hipótese nula, basta
avaliar se o valor de p-valor é maior ou menor que a signi�cância. Se for
menor, a hipótese nula é rejeitada; caso contrário (p-valor maior que a
signi�cância), a hipótese nula não poderá ser rejeitada. 
praticar
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praticarVamos Praticar
Imagine que uma amostra com 10 sacos de arroz forneceu uma média de 4,8Kg e
desvio padrão amostral de 0,5Kg. Porém, o desvio padrão populacional é
conhecido, e vale 0,25Kg. Adotando uma signi�cância de 5%, deseja-se con�rmar
que o lote do qual esses sacos foram retirados possuem um peso de 5Kg. Assinale
a alternativa que  apresenta o valor normalizado para a amostra, o p-valor obtido
do teste. E qual conclusão foi obtida?
a) Zobs=-2,529, p-valor = 0,0057 e existem indícios de que não pesam 5Kg.
b) Zobs = 2,529, p-valor = 0,0057 e existem indícios de que pesam 5Kg.
c) Zobs = 1,529, p-valor = 0,057 e existem indícios de que pesam 5Kg.
d) Zobs = -2,529, p-valor = 0,0157 e existem indícios de que não pesam 5Kg.
e) Zobs = -1,529, p-valor = -0,0057 e existem indícios de que não pesam 5Kg.
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Veremos agora como realizar os testes quando a variância é desconhecida, e
o tamanho da amostra é menor que 30. O procedimento a ser aplicado no
caso de amostras pequenas e variância populacional desconhecida é
semelhante ao anterior, variando apenas em poucos detalhes. A diferença
está na distribuição a ser usada. Enquanto no caso anterior era usada a
distribuição normal, usaremos aqui a distribuição t de Student. Ela é uma
distribuição que se comporta de modo semelhante à distribuição normal,
com a diferença de ser dependente do tamanho da amostra, representado
pelo grau de liberdade da amostra.  Nesse caso, então, os valores limites da
Testes de HipótesesTestes de Hipóteses
da Média Amostralda Média Amostral
para umapara uma
População NormalPopulação Normal
com σ²com σ²
DesconhecidaDesconhecida
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região crítica serão de�nidos pelos valores t0 = t(α
′ , n − 1), onde α ′ pode valer 
α ou α/2, dependendo das hipóteses levantadas.
A Tabela 3.3 mostra os principais valores usados da distribuição para uma
probabilidade menor que 15%. Caso o valor não esteja presente, deve-se
selecionar o mais próximo. Como os valores de signi�cância são
normalmente menores que 10%, se o valor procurado não estiver presente, é
possível que ele represente uma probabilidade maior. Nesses casos, é
possível dar uma resposta, mesmo sem conhecer o valor numérico (já que a
signi�cância será menor).
Outra diferença está na estatística a ser aplicada para a normalização da
média:
t = 
x− − μ 0
s
√n
 (4)
As demais etapas do teste de hipótese são idênticas às aplicadas quando a
variância populacional é conhecida, apenas substituindo os valores obtidos a
partir da distribuição normal por aqueles obtidos da distribuiçãot de Student.
Então, para realizar o teste de hipótese aplicando a região crítica, de�nimos
as hipóteses, obtemos os valores limites na distribuição t de Student,
calculamos o valor normalizado, comparamos com os valores da região
crítica e obtemos a conclusão com relação às hipóteses.
No caso do teste de hipótese aplicando o p-valor, será aplicado o mesmo
procedimento, distinguindo apenas na distribuição aplicada para se obter o
p-valor. 
( )
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Tabela 3.3 - Valores de t para P<0,15 e grau de liberdade menores que 30 
Fonte: Elaborada pelo autor.
praticarVamos Praticar
Para saber se a média das notas obtidas na escola era de no mínimo 7,0, uma
escola, composta por 200 alunos, selecionou uma amostra com 20 deles. A média
das notas fornecida pela amostra foi de 6,8, com uma variância de 2, adotando
uma signi�cância α = 1%. Assinale a alternativa correta que contenha o valor
normalizado tobs para a amostra, o valor crítico ttab e o p-valor obtido do teste e a
conclusão obtida.
a) tobs = -0,516; ttab = 2,54, e p-valor = 0,001. Existem indícios para μ ≥ 7.
b) tobs = -0,516; ttab = -2,54\), e p-valor = 0,11. Existem indícios para μ > 7.
c) tobs = -0,516; ttab = -2,54\), e p-valor = 0,11. Existem indícios para μ ≥ 7.
d) tobs = 0,516; ttab = -2,54\), e p-valor = 0,001. Existem indícios para μ < 7.
e) tobs = -0,516; ttab = -2,54\), e p-valor = 0,11. Existem indícios para μ > 7.
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Anteriormente, aplicamos o teste de hipótese para avaliar uma suposição
com relação a informações de uma amostra com relação a um valor exato,
seja ele uma constante seja oriundo de uma população. Porém, existem
casos nos quais a suposição é feita comparando as médias oriundas de duas
ou mais amostras. Para esses casos, os dois valores a serem avaliados são
representados por uma faixa de con�ança. Caso a comparação seja entre
duas amostras, podemos aplicar um teste de hipótese que possibilite avaliar
se as médias são iguais, maiores ou menores, com base nas distribuições
normal ou t de Student.
Porém, se a comparação for realizada entre mais de duas amostras,
podemos aplicar os testes de hipóteses comparando as amostras aos pares,
como citado anteriormente. Porém, ao aplicar essa técnica, a con�ança do
Testes deTestes de
Comparação entreComparação entre
Médias AmostraisMédias Amostrais
para Populaçõespara Populações
NormaisNormais
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teste diminui. Então, por esse motivo, aplicaremos um teste de hipótese que
permita avaliar todas as amostras de forma simultânea, que permita fornecer
resultados sem a redução da con�ança. Para isso, aplicaremos a análise da
variância, ou ANOVA.
Teste de Comparação entre Duas
Amostras
Se desejamos saber se a mudança no tipo de alimentação fornecida ao gado
melhora a produtividade, é comum que sejam formados dois grupos, ou
amostras, em que um recebe a alimentação tradicional, sendo normalmente
chamado de grupo de controle, e outro grupo recebe a alimentação
diferente. Como os resultados são amostrais, será necessário um teste de
hipótese para con�rmar que houve ou não melhora na produção.
Para aplicar o teste de hipótese envolvendo a comparação entre a média de
duas amostras, o roteiro a ser seguido é semelhante ao aplicado para uma
amostra. Então, devemos determinar a hipótese desejada, com base na
suposição levantada. Para determinar os valores limites da região crítica,
será aplicada a distribuição de probabilidade t de Student. Para determinar a
estatística a ser aplicada, e o grau de liberdade utilizado, devemos saber
sobre a igualdade das variâncias populacionais das duas amostras.
Se a variância for conhecida, o grau de liberdade a ser usado na distribuição t
de Student é obtido como v = n1 + n2 − 2. Agora, se a variância populacional
não for conhecida, os graus de liberdade a serem aplicados na distribuição
serão:
v = 
( a+b )
a2
n1 − 1
+ b
2
− 1
 em que  a = 
s21
n 1
b = 
s22
n2
 (5)
( )
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A signi�cância continua sendo de�nida conforme o tipo de teste (uni ou
bicaudal).
Caso a variância populacional seja conhecida, o valor normalizado será
obtido por meio da estatística:
t obs = 
x1
_
− x−
2
sp
1
n1
+
1
n2
 
 em que sp = 
n1 − 1 s
2
1 + n2 − 1 s
2
2
n1 +n2 − 2
 (6)
Agora, caso a variância populacional não seja conhecida, a estatística será:
t =
x1
_
− x2
_
( n1
n1
+
s22
n2
 (7)
As demais etapas do teste de hipótese serão desenvolvidas de forma idêntica
aos testes para a média aplicando uma amostra. Um detalhe muito
importante: mantenha sempre a ordem das amostras aplicadas ao teste
(amostra 1 primeiro, depois a amostra 2). Isso é de suma importância, pois a
região crítica é função de quem vem primeiro. Então, entre as hipóteses 
μ1 > μ2 ou μ2 < μ1, escolhemos sempre a hipótese μ1 > μ2.
Faremos um exemplo. Com base em um grupo de controle composto de 10
vacas, recebendo a alimentação tradicional, foi obtida uma média de 50
litros, e desvio padrão de 5 litros. Para testar se um novo alimento melhora a
produção de leite, um grupo de 15 vacas recebeu a nova alimentação,
fornecendo uma média de 60 litros e desvio padrão de 8 litros. Para uma
signi�cância de 10%, é possível dizer que houve melhora na produção?
Então, para a solução desse problema, vemos que a suposição a ser testada
é a de que a média de produção com a nova alimentação (de�nida como
amostra 1) seja maior que a com a alimentação original (de�nida como
amostra 2), ou seja:
√ √
( ) ( )
√
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H0 : μ1 > μ2
H1 :μ1 ≤ μ2
A Figura 3.25 mostra a disposição da região crítica para a hipótese proposta.
Da amostra com a alimentação nova, obtivemos os dados n1 = 15, x− 1 = 60 e 
s1 = 8, e da amostra 2, n2 = 10, x− 2 = 50 e s2 = 5. Como não conhecemos a
variância populacional, precisamos calcular o grau de liberdade da amostra:
a =
s21
n1
=
82
15 = 4, 2
b =
s22
n2
=
52
10 = 2, 5
 v = 
(a + b)2
a2
n1 − 1
+
b2
n2 − 1
=
(4, 26 + 2, 5)2
4 , 262
15 − 1 +
2 , 52
10 − 1
= 22, 9 = 23
Então, com base na Figura 3.1, o valor limite da região crítica será 
t = t(0, 05; 23) = 1, 71.
Logo, o valor limite da região crítica será:
{
Figura 3.25 - Disposição das hipóteses para o exemplo
Fonte: Elaborada pelo autor.
( ) ( )
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=
x−
1
− x−
2
s21
n1
+
s22
n2
=
60 − 50
82
15 +
52
10
= 3, 844 
Na Figura 3.26, podemos comparar os valores crítico (em azul) e o observado
(em vermelho), e concluir que a hipótese nula é válida, já que tobs > 1, 71.
Caso o grau de liberdade resultante for maior ou igual a 30, podemos
aproximar a distribuição t de Student a uma distribuição normal com a
mesma signi�cância.
Se aplicarmos o teste de hipótese por meio do p-valor, devemos
primeiramente manipular as hipóteses para que as condições de igualdade
estejam na hipótese nula. Então, o problema do exemplo anterior será
reescrito como:
H0 : μ1 ≤ μ2
H1 :μ1 > μ2
 (8)
√ √
{
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Com essa mudança, o valor normalizado será o mesmo, com diferença
aparecendo apenas nas regiõescobertas pelas hipóteses, como na Figura
3.27.
Com isso, podemos buscar o p-valor, conforme a expressão: 
P(t(3, 844; 23)) = 0, 000. Lembre-se de que o valor 3,844 foi obtido pela
normalização da amostra. De acordo com a Figura 3.28, não existe indício de
que a hipótese nula seja verdadeira. Se observarmos essa análise, teremos
que a hipótese alternativa é aceita, ou seja, que a média da amostra 1 é
maior que a da amostra 2, do mesmo modo que foi concluído com base no
teste da região crítica.
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Teste ANOVA para a Média
Populacional
Considere que desejamos saber se as médias de três amostras são iguais.
Para responder a essa questão, pode-se aplicar o teste entre duas amostras,
avaliando a igualdade aos pares; porém esse procedimento resulta na
redução da con�ança. No exemplo dado, caso a con�ança original seja de
90%, o resultado terá uma signi�cância de 81%.
Para eliminar esse efeito, é aplicado o teste de análise de variância, ou
ANOVA. Esse teste consiste em avaliar a variabilidade total das amostras em
função da variância entre as amostras. Existem diferentes testes ANOVA,
distintos conforme a quantidade de fatores e variáveis respostas, e se o
comportamento desses fatores é constante ou aleatório. Veremos, então,
como aplicar o teste ANOVA de um fator.
Um fator é, por de�nição, uma variável que podemos controlar durante um
ensaio ou experimento. Pode ser comparada à variável independente das
funções matemáticas.   Já uma variável resposta é a saída do experimento, a
resposta que temos interesse em investigar.
Figura 3.28 - Localização do p-valor conforme a signi�cância para o exemplo 
Fonte: Elaborada pelo autor.
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O teste ANOVA permite avaliar a hipótese nula de que as médias
populacionais são iguais, contra a hipótese alternativa de que ao menos uma
delas é diferente, ou seja:
H0 : μ1 = μ2 = μ3 = … = μn
H1 :ao menos uma média diferente
Perceba que, pela de�nição, a hipótese alternativa diz que existe ao menos
uma média diferente, mas não diz qual é. Para identi�car qual é a média
diferente (ou as médias), será necessário aplicar os testes aos pares. Nesse
caso, não haverá redução na con�ança do teste, já que a hipótese nula já foi
avaliada.
Para a realização do teste, é aplicada a distribuição F de Fisher. A distribuição
f de Fisher é uma distribuição amostral baseada na razão entre duas
variâncias. Por ser baseada na análise da variância, a distribuição é
assimétrica, e possui apenas valores positivos, como mostra a Figura 3.9. Ela
apresenta, além da signi�cância, dois graus de liberdade, um referente ao
numerador e outro referente ao denominador. Por esse motivo, é comum
que existam tabelas da distribuição distintas pela signi�cância. As Tabelas
3.4 e 3.5 mostram os valores para as signi�câncias de 5% e 1% para a
distribuição F de Fisher, conforme a área destacada na Figura 3.29.
{
Figura 3.29 - Distribuição f de Fisher
Fonte: Elaborada pelo autor.
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Tabela 3.4 - Valores de f para α=0,01 
Fonte: Elaborada pelo autor.
Tabela 3.5 - Valores de f para α=0,05 
Fonte: Elaborada pelo autor.
Para desenvolver o teste ANOVA de um fator, avaliando a igualdade de média
para k amostras, podemos dizer que cada observação x (leitura) pode ser
descrita em função da média total x−
_
 entre todas as leituras existentes e a
média x− de cada amostra. A média total x−
_
 pode ser obtida normalmente
com a média de todos os elementos, ou a partir das médias amostrais:
x−
_
=
Σni × x−
i
Σni
 (9)
Para o teste ANOVA, precisamos calcular a soma quadrática total, de�nida
por:
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= Σ x − x−
_
2 (10)
Também devemos calcular a soma quadrática entre amostras:
SQentre = Σni × xi
_
 − x−
_
2 (11)
E �nalmente temos a soma quadrática dentro das amostras:
SQdentro = Σ x − xi
_
2ouSQdentro = Σ(n − 1) × s
2 (12)
Onde k é o número de amostras avaliadas e N o número de elementos total.
O SQtotal também poderá ser obtido pela soma do SQentre  e do SQdentro:
SQtotal = SQentre + SQdentro (13)
Para resolver o teste ANOVA de 1-fator, desenvolveremos a tabela ANOVA
mostrada na Tabela 3.6. Os termos QM se referem aos erros quadráticos,
também conhecidos como variância.
( )
( )
( )
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Tabela 3.6 - Tabela ANOVA de 1-fator 
Fonte: Elaborada pelo autor.
De posse dos dados fornecidos pela Tabela 3.6, a estatística aplicada será:
fobs =
QMentre
QMdentro
 (14)
Com os graus de liberdade do numerador k-1  e do denominador N-k.
Para responder sobre a suposição inicial (as médias iguais), basta avaliar se o
valor f obtido pela estatística é maior que o valor tabelado ftab = f(α; v1; v2),
onde v1 é o grau de liberdade do numerador, enquanto v2 é o grau de
liberdade do denominador. Caso isso ocorra, a hipótese nula é rejeitada, ou
seja, existe ao menos uma amostra com média diferente.
O teste ANOVA também pode ser avaliado conforme seu p-valor. A análise é
idêntica à realizada com a aplicação das distribuições normal e t de Student.
Porém, devido ao número de parâmetros aplicados na distribuição f de
Fisher, e as possíveis combinações, é mais comum a análise sobre o poder
do teste por meio de softwares, que são capazes de calcular a in�nidade de
p-valores possíveis.
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Para aplicar o p-valor, buscamos o valor de p = P(f(F; v1; v2)). Se o valor de p
for menor que a signi�cância α, devemos rejeitar a hipótese nula. Caso
contrário, não devemos rejeitar:
se p − valor < α → rejeitar H0
se p − valor > α → não rejeitar H0
 (15)
praticarVamos Praticar
Imagine que queremos saber se a produção de leite se mantém igual com a
mudança da alimentação do gado. Para isso, são selecionadas três amostras, uma
alimentada com a alimentação tradicional, e as outras duas com outros dois tipos
diferentes de comida. A tabela a seguir mostra os resultados de produção para
cada um dos animais envolvidos no teste.
{
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Tabela 3.7 - Produção de leite dos indivíduos avaliados 
Fonte: Elaborada pelo autor.
Aplicando uma signi�cância de 5%, avalie se a produção se manteve independente
da alimentação. Com base nas informações, assinale a alternativa correta que
mostra a hipótese mais aceita; além disso, o valor do fobs e o valor crítico ftab.
a) Existem indícios de que a média é igual; fobs = 0, 26 e ftab = 4, 46
b) Existem indícios de que a média é diferente; fobs = − 0, 26 e ftab = 4, 46.
c) Existem indícios de que a média é diferente; fobs = 0, 26 e ftab = − 4, 02.
d) Existem indícios de que a média é igual; fobs = 1, 26 e ftab = 2, 27
e) Existem indícios de que a média é diferente; fobs = 2, 84 e ftab = 6, 86.
Indivíduos
Alimentação
tradicional
Alimentação A
Alimentação
B
1 50 55 53
2 48 47 45
3 55 51 50
4 47   48
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indicações
Material
Complementar
F ILME
A Incrível Mente dos Bebês
Ano: 2015
Comentário: O vídeomostra, sob o ponto de vista da
aprendizagem cognitiva dos bebês e de crianças, como
a estatística é aplicada naturalmente para geração de
padrões que permitem ao cérebro processar apenas as
informações importantes, além de permitir análises
lógicas sobre problemas que não conhecemos.
TRAIL ER
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L IVRO
Como Mentir com Estatísticas
Editora: Intrínseca
Autor: Darrel Hu�, traduzido por Alda B.S. Campbell
ISBN: 858057952X
Comentário: Este livro mostra como é fácil promover
uma análise tendenciosa a um conjunto de dados a
partir da estatística. Observando as ferramentas mais
empregadas na estatística, o autor mostra como elas
podem ser usadas para manipular os resultados a
favor de uma conclusão de interesse.
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conclusão
Conclusão
Sabemos como é difícil avaliar as populações com clareza, seja por conta de
seu tamanho, seja pela complexidade em obter os dados de todos os
elementos. Então, as análises são comumente realizadas com base em
amostras. Quando se deseja validar uma suposição de comparação de
parâmetros, são necessários os testes de hipótese. Uma vez que levantamos
a hipótese a ser testada, devemos identi�car a estatística correta para avaliar
o parâmetro desejado com base em uma con�ança. Além dos testes
fundamentados na avaliação do intervalo de con�ança, as suposições podem
ser validadas a partir da probabilidade amostral, resultando no teste do p-
valor. Vimos também sobre o teste ANOVA, que avalia a média entre os
elementos das amostras com base na variância entre os elementos.
referências
Referências
Bibliográ�cas
BONAFINI, Fernanda Cesar (Org.) Probabilidade e Estatística. São Paulo:
Pearson Education do Brasil, 2015. (Col. Bibliogra�a Universitária Pearson).
Disponível em: Biblioteca Virtual Universitária.
03/09/2021 03:49 Ead.br
https://ibmr.blackboard.com/webapps/late-course_content_soap-BBLEARN/Controller?ACTION=OPEN_PLAYER&COURSE_ID=_743723_1&PARENT… 39/43
LARSON, Ron; FARBER, Betsy. Estatística Aplicada. 6. ed. São Paulo: Pearson,
2016. Disponível em: Biblioteca Virtual Universitária.
MORETTIM, Luiz Gonzaga. Estatística Básica: probabilidade e inferência. 1.
ed. São Paulo: Pearson, 2010. Disponível em: Biblioteca Virtual Universitária
WALPOLE, Ronald E. et al. Probabilidade e Estatística: para engenharia e
ciências. 8. ed. São Paulo: Pearson, 2009. Disponível em: Biblioteca Virtual
Universitária.
03/09/2021 03:49 Ead.br
https://ibmr.blackboard.com/webapps/late-course_content_soap-BBLEARN/Controller?ACTION=OPEN_PLAYER&COURSE_ID=_743723_1&PARENT… 40/43
03/09/2021 03:49 Ead.br
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03/09/2021 03:49 Ead.br
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