G4 2009-2-sol2

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P4 MAT1158 2ª parte 2009.2 
3.f(x)= ∫
2
0
2 )(
x
dttsen
 
Derivando : f´(x)= sen(x4).2x. 
a derivada é positiva se 0<x4 < π i, e negativa quando π <x4<2 π. 
Logo f é crescente no 1º intervalo, 0<x< π 1/4 e decresce no intervalo 
 π
 1/4<x< (2 π)1/4. Então f é inversível no 1º intervalo, pois f é crescente , e não 
é na união dos dois, pois f cresce e depois decresce. 
 
Equação da reta tangente: y-f(1) = f´(1) (x-1) . 
É dado que f(1)= 0,31 e f´(1) = 2*0.84= 1,68. 
Logo a equação fica: y-0,31=1,68(x-1). 
 
Questão 4. Estudo de f(x) Ln(1-x2) 
a)domínio: Ln só está definido para valores positivos, logo 1-x2>0, 
ou seja -1<x<1. 
b) f´(x) = 21
2
x
x
−
−
 logo a derivada so´se anula em x=0 e é positiva para x<0 e 
negativa para x>0 ( o denominador é positivo no domínio). 
Então f cresce antes de 0 e decresce depois. Logo é um ponto de máximo 
local, e não há mínimo local. 
c) calculando f´´ (x) = 22
2
)1(
)1(2
x
x
−
+−
, Como é sempre negativo, não há ponto de 
inflexão e a concavidade é para baixo. 
d) calculando os limites em 1 e -1: Em ambos os casos (1-x2) vai a zero, logo 
0 logaritmo vai a menos infinito, indicando que há assíntotas verticais nesses 
pontos. 
e) temos então uma função definida em (-1,1) que vai a menos infinito nos 
extremos, cresce antes de 0, passa em 0 com tangente horizontal e decresce até 
menos infinito . O gráfico fica fácil de desenhar: 
 
 
 
f) Para obter o gráfico de xf(x) basta observar que multiplicar por x encolhe 
f(x) (já que |x|<1) e troca o sinal na parte x<0. O novo gráfico é : 
 
 
 
Questão 5: rotação da região x<0, -1<y<x3 em torno da reta y=2. 
Fazendo a figura: 
 
 
A região e´a que está á esquerda do eixo y, acima da reta y=-1 e abaixo do 
gráfico y=x3. Vamos usar o método dos discos. 
O volume do disco elementar é π *r2*dx. Na verdade temos um oco no meio, 
logo devemos subtrair do volume do disco grande de raio 3, o volume do 
disco pequeno de raio 2-x3. temos 
 
Vol= ∫
−
−−
0
1
23 ))2(9( dxxpi = 27 π /7.