Considere o polinômio ????(????) = 12????3 − 4????2 − 3???? + 1 e a seguinte informação: o polinômio não possui raiz racional inteira. (1.a) Determine uma ra...

Para encontrar uma raiz racional não inteira do polinômio, podemos usar o Teorema de Ruffini ou a Regra de Descartes para testar as possíveis raízes racionais. No entanto, como o polinômio não possui raiz racional inteira, não há necessidade de testar as raízes inteiras. Podemos tentar uma raiz racional não inteira usando a fórmula de Bhaskara para polinômios de terceiro grau. Seja a equação do polinômio dada por: 12x³ - 4x² - 3x + 1 = 0 A fórmula de Bhaskara para polinômios de terceiro grau é dada por: x = [ -b ± sqrt(b² - 4ac - 3b(d/a)) ] / 2a Onde a, b e c são os coeficientes do polinômio e d é o discriminante, dado por: d = 18abc - 4b³a + b² Substituindo os valores do polinômio, temos: a = 12, b = -4, c = -3 d = 18(12)(-3)(-4) - 4(-4)³(12) + (-4)² d = 2592 Substituindo na fórmula de Bhaskara, temos: x = [ 2 ± sqrt(4 - 4(12)(-3)(-4) - 3(-4)(2592/12)) ] / 24 x = [ 2 ± sqrt(4 + 2592) ] / 24 x = [ 2 ± sqrt(2596) ] / 24 x = [ 1 ± sqrt(649) ] / 12 Portanto, uma raiz racional não inteira do polinômio é x = (1 + sqrt(649)) / 12. Para encontrar as outras raízes reais do polinômio, podemos usar a fórmula de Cardano-Tartaglia ou a fórmula de Ferrari. No entanto, essas fórmulas são mais complexas e não são tão simples de serem aplicadas. Para fatorar o polinômio em ℝ, podemos usar a raiz racional encontrada e a divisão sintética para obter o polinômio reduzido. Temos: (12x³ - 4x² - 3x + 1) / (x - (1 + sqrt(649)) / 12) = 12x² - 2x - 1 - (5 - sqrt(649)) / 12 Portanto, o polinômio pode ser fatorado em ℝ como: 12x³ - 4x² - 3x + 1 = (x - (1 + sqrt(649)) / 12)(12x² - 2x - 1 - (5 - sqrt(649)) / 12) Para analisar o sinal do polinômio, podemos usar o esboço do gráfico ou a tabela de sinais. Como o polinômio é de terceiro grau e possui uma raiz racional não inteira, sabemos que ele tem uma raiz real positiva e duas raízes reais negativas ou uma raiz real negativa e duas raízes reais positivas. Além disso, o coeficiente principal é positivo, o que significa que o gráfico do polinômio abre para cima. Podemos usar a tabela de sinais para determinar o sinal do polinômio em cada intervalo entre as raízes: x < (1 + sqrt(649)) / 12: +++ (1 + sqrt(649)) / 12 < x < (5 + sqrt(649)) / 12: --- x > (5 + sqrt(649)) / 12: +++ Portanto, o polinômio é positivo para x < (1 + sqrt(649)) / 12 e x > (5 + sqrt(649)) / 12 e negativo para (1 + sqrt(649)) / 12 < x < (5 + sqrt(649)) / 12.