Teoria II Teoria das Estruturas II Metodo da Deformacao

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APRESENTAÇÃO 
 
Outra madeira de calcular uma estrutura hiperestática é pelo Método da Deformação 
(método do deslocamento). No método das forças, as incógnitas do problema hiperestático 
eram esforços simples (reação de apoio e/ou rotulas colocadas) que determinados, permitiam 
o conhecimento imediato dos diagramas de esforços solicitantes para a estrutura em estudo 
- Sussekind. 
 
Pelo Método da Deformação a resolução da estrutura hiperestático será abordado de 
maneira inversa, isto é, determinando-se inicialmente as deformações sofridas pelos nós das 
diversas barras da estrutura para, a partir desses valores, obter os diagramas de esforços 
solicitantes da estrutura. Por esta razão, será denominado Método das Deformações. 
 
 
Livros: 
✓ Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha – Capítulo 10; 
✓ Curso de análise estrutural – José Carlos Sussekind – Volume 3 – Capítulo 1; 
✓ Análise Estrutural – Jack C. Mc Cormac – Capítulo 18. 
✓ Análise de Estruturas – Humberto Lima Soriano – Capítulo 3 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
 
1. MÉTODO DAS DEFORMAÇÕES (método do deslocamento ou método da 
rigidez) 
O método das deformações (dos deslocamentos), por ser amplamente utilizado em 
programações automáticas, é o mais importante de análise de estruturas. 
Neste método as incógnitas são os ângulos de rotação e os deslocamentos lineares 
sofridos pelos nós das diversas barras. 
 
2. NÚMERO DE INCÓGNITAS – deslocabilidade interna e externa 
O número de deslocabilidade é a soma das possibilidades de deslocamentos em cada 
nó. 
 
2.1. Deslocabilidade interna (di) placa 
O número de deslocabilidades internas de uma estrutura é igual ao número de nós 
internos rígidos que ela possui. Não se coloca placa no fim da estrutura (lá o momento fletor 
é 0). 
Ex.: Calculando o número de deslocabilidaddes internas no pórtico abaixo (Figura 1). 
 
Figura 1 – Pórtico com 2 placas (duas deslocabilidade internas). 
Calculando o número de deslocabilidaddes internas no pórtico: 
Nó A ➔ não precisa de placa, pois o engaste não sofre deformação; 
Nó B ➔precisa de placa, para saber a rotação em B; 
Nó C ➔não precisa de placa, pois há uma rótula em C (não há deslocabilidade interna 
a considerar); 
Nó D ➔precisa de placa, para saber a rotação em D; 
 
 
3 
 
Nó E ➔não precisa de placa(nó extremo), esse trecho de E até F é isostático; 
Logo, 
di = 2 
Conclui que o número de incógnitas do pórtico é igual a 2, números de nós internos 
(não rotulados) da estrutura. Dizemos que o número de deslocabilidades internas de uma 
estrutura é igual ao número de rotações de nós que precisamos conhecer para poder resolve-
la. 
Obs.: 
a) Nas estruturas espaciais existem componentes de rotação em torno de 3 eixos 
ortogonais, logo, o número de deslocabilidades internas é igual ao triplo de nós 
rígidos que a estrutura possui; 
b) No caso de grelhas, existem componentes de rotação em torno dos 2 eixos que 
contém a grelha, logo, o número de deslocabilidades internas é igual ao dobro do 
número de nós internos rígidos; 
 
2.2. Deslocabilidade Externa (de) (apoio de 1º gênero) 
O número de deslocabilidades externas de uma estrutura é igual ao número de apoios 
adicionais de 1º gênero que a ela devem ser acrescentadas para que todos os seus nós 
fiquem sem deslocamentos lineares. 
 
Ex.: Calculando o número de deslocabilidades externa e interna no pórtico abaixo 
(Figura 2). 
 
Figura 2 – Pórtico com 3 placas e 3 apoios adicionais. 
 
 
4 
 
 
Calculando o número de deslocabilidades internas e externa no pórtico: 
Nó A ➔ não precisa de placa, pois o engaste não sofre deformação; 
Nó B ➔não precisa de placa, pois apoio de 1º e 2º gênero não há deslocabilidade 
interna. Há uma deslocamento horizontal em B; 
Nó C ➔ não precisa de placa, pois apoio de 1º e 2º gênero não há deslocabilidade 
interna. Não precisa de apoio adicional, não há deslocamento linear em C; 
Nó D ➔ precisa de placa, para saber a rotação em D. Precisa de apoio adicional, há 
deslocamento linear (na horizontal) em D; 
Nó E ➔ precisa de placa, para saber a rotação em E. Não precisa de apoio adicional, 
pois há um apoio adicional em D; 
Nó F ➔ não precisa de placa, pois há uma rótula em F (não há deslocabilidade interna 
a considerar para saber a rotação em F). Não precisa de apoio adicional, pois há um apoio 
adicional em D; 
Nó G ➔ precisa de placa, para saber a rotação em G. Precisa de apoio adicional, há 
deslocamento linear (inclinado) em G; 
 
Logo, 
di = 3 
de = 3 
Conclui que o número de incógnitas do pórtico é igual a 6, números de nós internos 
(não rotulados) da estrutura = 3 e números de nós externos (deslocamento linear) da 
estrutura = 3. 
2.3. Número total de Deslocabilidades (d) 
Como as incógnitas do problema são as rotações rígidos da estrutura (di) e os 
deslocamentos lineares independentes de seus nós (de), dizemos que o número total 
de deslocabilidade (d) de uma estrutura é a soma de (di + de). 
 
Obs.: Estrutura indeslocáveis ➔ de = 0 
 Estrutura deslocáveis ➔ de ≠ 0 
O número de incógnitas do sistema será d. 
 
 
 
5 
 
Obter o número total de deslocabilidades para as estruturas planas abaixo: 
a) 
 
Resposta: d = 4 
 
b) 
 
Resposta: d = 2 
 
 
c) 
 
Resposta: d = 1 
 
d) 
 
 
6 
 
 
Resposta: d = 3 
 
e) 
 
Resposta: d = 3 
 
 
 
7 
 
3. GRANDEZAS FUNDAMENTAIS 
Para a determinação dos diagramas de momento fletores atuantes numa barra 
de uma estrutura hiperestática, precisamos conhecer, além do diagrama de momento 
fletores que teria esta barra se fosse, biengastada ou engastada e rotulada para 
carregamento externo atuante e facilmente tabelável para os carregamentos usuais 
da prática (Tabela 1), Sussekind. 
 
Tabela 1 – Momento de engastamento perfeito (viga com inercia constante) 
 
 
 
 
8 
 
 
3.1. Rigidez de uma barra 
Denominamos rigidez de um nó ao valor do momento que, aplicado neste nó, 
suposto livre para girar, provoca uma rotação unitária do mesmo. 
 
a) Barra biengastada: 
 
Seja a barra biengastada AB, cuja rigidez no nó A. Trata-se de determinar o 
Momento MA que deve ser aplicado em A para produzir a rotação  = 1. 
 
Supondo a barra com inercia constante J e módulo de elasticidade E, a obtenção 
do diagrama de momentos fletores pode ser feita pelo processo de Mohr. Temos: 
𝑀𝐴 = 
 4 𝐸 𝐽
𝑙
 𝑒 𝑀𝐵 = 
 2 𝐸 𝐽
𝑙
 
Onde: 
E = módulo de elasticidade; 
J = momento de inércia; 
L = comprimento da barra. 
 
Resumindo: 
• para uma barra biengastada, de inercia constante, temos rigidez em um 
nó: K = 4EJ/l . ou 
• trabalhando com rigidez relativa para uma barra biengastada, de inercia 
constante e modulo de elasticidade (E) constante, podemos usar a 
fórmula reduzida de rigidez em um nó: K =  60/l . Onde  é J/Jc 
(momento de inercia da barra / menor momento de inercia de toda a 
estrutura). 
 
 
9 
 
 
b) Barra engastada e rotulada: 
 
A rigidez em A da barra AB será igual ao momento fletor que aparecerá nesta 
seção para a resolução da viga AB para um recalque angular de apoio em A igual a  
= +1. 
 
 
Supondo a barra com inercia constante J e módulo de elasticidade E, a obtenção 
do diagrama de momentos fletores pode ser feita pelo processo de Mohr. Temos: 
𝑀𝐴 = 
 3 𝐸 𝐽
𝑙
 
Onde: 
E = módulo de elasticidade; 
J = momento de inércia; 
L = comprimento da barra. 
 
Resumindo: 
• para uma barra engastada e rotulada, de inercia constante, temos rigidez 
em um nó: K = 3EJ/l. ou 
• trabalhando com rigidez relativa para uma barra engastada e rotulada, 
de inercia constante e modulo de elasticidade (E) constante, podemos 
usar a fórmula reduzida de rigidez em um nó: K =  45/l . Onde  é J/Jc 
(momento de inercia da barra / menor momento de inercia de toda a 
estrutura). 
 
 
 
 
10 
 
c) Convenção de sinais que será adotado no método das deformações:E que consiste em chamar de positivos aos momentos e rotação nos extremos 
das barras quando os momentos tiverem o sentido anti-horário. 
 
Notar bem que não existe nenhuma relação entre esta convenção de sinais e 
a convenção às vezes adotada na estática de chamar positivos aos momentos fletores 
que tracionam suas fibras inferiores e negativos em caso contrário. 
 
 
Esse método será explicado detalhadamente pelos exercícios a seguirem. 
 
4. EXERCÍCIOS 
Nestes exercícios (exemplos) a nomenclatura de Momento de Inércia será a letra J. 
 
Exemplo 1: Obter os diagramas solicitantes e as reações de apoio da viga abaixo, 
conforme mostra a Figura 3. 
Dados: 
J = 0,01 m4 (para o trecho AD) 
J = 0,006 m4 (para o trecho DE) 
E = 2,1 x 107 kN/m2 
 
Figura 3 – Viga hiperestática. 
 
1º Passo: Sistema Principal (S.P.): 
 
 
11 
 
No sistema principal, temos que calcular o número total de deslocabilidades (di + 
de) para a estrutura hiperestática. Colocar os nomes nas barras, nomes nos apoios e 
numerar as placas e os apoios adicionais. 
Temos que excluir o balanço e redesenhar a viga hiperestática sem o balanço e com 
as cargas de 50 kN e (50 x 3 = 150) KNm de momento fletor (Figura 4). 
 
Figura 4 – Sistema principal para calcular a viga hiperestática pelo método da deformação. 
 
Colocar placa e apoio adicional: 
de = 0 (apoio adicional) 
di = 1 (placa) 
d = de + di = 1 
Logo o sistema será: 
10 + 11 Δ1 = 0 
 
2º Passo: Estado 0 (só carga): 
 
Barra 1: apoio e engaste 
 
 
Calculando o momento fletor em D. Usando a tabela de Momento de engastamento 
perfeito (tabela 1). 
Terceira coluna: 
 
 
12 
 
 
Carga momento de 150 kNm 
𝑀𝐷 = −
𝑀
2
(
3𝑎2
𝑙2
− 1) = 
𝑀
2
= 
150
2
= 75 𝑘𝑁𝑚 
 
Carga pontual de 100 kN 
𝑀𝐷 = −
𝑃𝑎𝑏
2𝑙2
(𝑙 + 𝑎) = −
100𝑥3𝑥5
2𝑥82
(8 + 3) = −128,91 𝑘𝑁𝑚 
 
Carga pontual de 50 kN ➔ 
𝑀𝐷 = −
𝑃𝑎𝑏
2𝑙2
(𝑙 + 𝑎) = −
50𝑥0𝑥8
2𝑥82
(8 + 0) = 0 𝑘𝑁𝑚 
 
𝑀𝐷 = −53,91 𝑘𝑁𝑚 
 
Barra 2: engaste e apoio 
 
 
Calculando o momento fletor em D. Usando a tabela de Momento de engastamento 
perfeito (tabela 1). 
Segunda coluna: 
 
Carga distribuída de 20 kN/m 
𝑀𝐷 = +
𝑞𝑙2
8
=
20 𝑥 62
8
= 90 𝑘𝑁𝑚 
Somando os momentos fletores da placa 1 ➔  10 = -53,91 + 90 = 36,09 kNm 
 
 
 
13 
 
 
 
 
3º Passo: Estado 1 (rotação da placa 1 => Δ1): 
Rotacionando a placa 1, trabalho com as barras 1 e 2. 
 
 
 
Barra 1: apoio e engaste 
 
 
𝐾𝐷 = 
3𝐸𝐽
𝑙
=
3𝑥2,1𝑥107 𝑥 0,01
8
= 78750 𝑘𝑁𝑚 
 
Barra 2: engaste e apoio 
 
 
𝐾𝐷 = 
3𝐸𝐽
𝑙
=
3𝑥2,1𝑥107 𝑥 0,006
6
= 63000 𝑘𝑁𝑚 
 
Somando os momentos fletores da placa 1 ➔  11 = 78750 + 63000 = 141750 kNm 
 
 
 
14 
 
 
 
 
4º Passo: Sistema 
10 + 11 Δ1 = 0 
36,09 + 141750 Δ1 = 0 
Δ1 = -2,546x10-4 
 
5º Passo: Superposição 
M = M0 + M1 Δ1 
𝑀𝐷
1 = −53,91 + 78750 𝑥(−2,546𝑥10−4) = −73,96 𝑘𝑁𝑚 
𝑀𝐷
2 = 90 + 63000 𝑥(−2,546𝑥10−4) = 73,96 𝑘𝑁𝑚 
𝑀𝐵
1 = −50 𝑥 3 = −150𝑘𝑁𝑚 
 
 
 
Figura 5 – Viga com os valores de momentos fletores. 
 
 
Calculando as reações de apoios da viga, tem-se: 
 
Figura 6 – Viga com as reações de apoios. 
 
 
 
15 
 
 
Figura 7 – Viga com diagrama de esforços cortante (kN). 
 
 
Figura 8 – Viga com diagrama de momentos fletores (kNm). 
 
 
 
 
 
16 
 
Exemplo 2: Obter o diagrama de momento fletor e as reações de apoio do pórtico 
abaixo, conforme mostra a Figura 9. 
Dados: 
E J = 0,0001 KNm2. 
 
Figura 9 – Pórtico hiperestático. 
 
1º Passo: Sistema Principal (S.P.): 
No sistema principal, temos que calcular o número total de deslocabilidades (di + 
de) para a estrutura hiperestática. Colocar os nomes nas barras, nomes nos apoios e 
numerar as placas e os apoios adicionais. 
 
 
 
 
17 
 
 
Figura 10 – Sistema principal com as placas, nomes nas barras e apoios. 
 
Nó A ➔ não precisa de placa, pois apoio de 1º e 2º gênero não há deslocabilidade 
interna. Não há deslocamento linear em A; 
Nó B ➔não precisa de placa, pois apoio de 1º e 2º gênero não há deslocabilidade 
interna. Há deslocamento horizontal em B; 
Nó D ➔ precisa de placa, para saber a rotação em D. Não precisa de apoio adicional, 
pois não há deslocamento linear (o apoio C evita o deslocamento horizontal na barra 3 e 4); 
Nó E ➔ precisa de placa, para saber a rotação em E. Não precisa de apoio adicional, 
pois não há deslocamento linear na barra 4 (o apoio C evita o deslocamento horizontal na 
barra 3 e 4); 
Nó C ➔ não precisa de placa, pois apoio de 1º e 2º gênero não há deslocabilidade 
interna. Não há deslocamento linear em C. 
 
Colocar placa e apoio adicional: 
de = 0 (apoio adicional) 
di = 2 (placas) 
d = de + di = 2 
 
Logo o sistema será: 
10 + 11 Δ1 + 12 Δ2 = 0 
 
 
18 
 
20 + 21 Δ1 + 22 Δ2 = 0 
 
2º Passo: Estado 0 (só carga): 
 
Barra 1 = 0 
 
Barra 2: apoio e engaste 
 
 
Calculando o momento fletor em E, da barra 2. 
Usando a tabela de Momento de engastamento perfeito (tabela 1). 
Terceira coluna: 
 
Carga momento de 21 kNm 
𝑀𝐸 = −
𝑀
2
(
3𝑎2
𝑙2
− 1) = − 
21
2
(
3𝑥22
72
− 1) 
 
Carga pontual de 3 kN 
𝑀𝐸 = +
𝑃𝑎𝑏
2𝑙2
(𝑙 + 𝑎) = +
3𝑥2𝑥5
2𝑥72
(7 + 5) 
 
𝑀𝐸 = 11,60 𝑘𝑁𝑚 
 
Virando a barra 
para 
visualizar melhor 
 
 
19 
 
Barra 3: engaste e engaste 
 
 
Calculando os momentos fletores em D e E. 
Usando a tabela de Momento de engastamento perfeito (tabela 1). 
Primeira coluna: 
 
Carga distribuída de 2 kN/m 
𝑀𝐷 = +
𝑞𝑐
12𝑙2
(12𝑎𝑏2 + 𝑐2(𝑙 − 3𝑏)) = +
2𝑥3
12𝑥52
(12𝑥1,5𝑥3,52 + 32(5 − 3𝑥3,5)) = 3,42 𝑘𝑁𝑚 
 
𝑀𝐸 = −
𝑞𝑐
12𝑙2
(12𝑎2𝑏 + 𝑐2(𝑙 − 3𝑎)) = +
2𝑥3
12𝑥52
(12𝑥1,52𝑥3,5 + 32(5 − 3𝑥1,5)) = −1,98 𝑘𝑁𝑚 
 
Barra 4: engaste e apoio 
 
 
Calculando o momento fletor em E. 
Usando a tabela de Momento de engastamento perfeito (tabela 1). 
Segunda coluna: 
 
Carga distribuída de 31 kN/m 
 
 
20 
 
𝑀𝐸 = +
𝑞𝑏𝑐
8𝑙2
(4𝑎(𝑏 + 𝑙) − 𝑐2) = +
31𝑥3𝑥4
8𝑥52
(4𝑥2(3 + 5) − 42) = 89,28 𝑘𝑁𝑚 
 
 
Somando os momentos fletores das placas 1 e 2: 
➔  10 = 3,42 + 0 = 3,42 kNm 
➔  20 = -1,98 + 11,60 + 89,28 = 98,90 kNm 
 
 
3º Passo: Estado 1 (rotação da placa 1 => Δ1): 
Calculando a rigidez da placa 1. 
Rotacionando a placa 1, trabalha-se com as barras 1 e 3. 
 
 
 
21 
 
 
Barra 1: apoio e engaste 
 
Trabalhando com a rigidez relativa: 
𝐾𝐷 = 
45
𝑙
=
45
7
= 6,43 𝑘𝑁𝑚 
 
Barra 3: engaste e engaste 
 
𝐾𝐷 = 
60
𝑙
=
60
5
= 12 𝑘𝑁𝑚 
𝐾𝐸 = 
30
𝑙
=
30
5
= 6 𝑘𝑁𝑚 
 
Somando os momentos fletores das placas 1 e 2: 
➔  11 = 6,43 + 12 = 18,43 kNm 
➔  21 = 6 kNm 
 
 
 
 
22 
 
 
4º Passo: Estado 2 (rotação da placa 2 => Δ2): 
Calculando a rigidez da placa 2. 
Rotacionando a placa 2, trabalha-se com as barras 2, 3 e 4. 
 
 
Barra 2: apoio e engaste 
 
Trabalhando com a rigidez relativa: 
 
𝐾𝐸 = 
45
𝑙
=
45
7
= 6,43 𝑘𝑁𝑚 
 
Barra 3: engaste e engaste 
 
Trabalhando com a rigidez relativa: 
 
 
 
23 
 
𝐾𝐸 = 
60
𝑙
=
60
5
= 12 𝑘𝑁𝑚 
𝐾𝐷 = 
30
𝑙
=
30
5
= 6 𝑘𝑁𝑚 
 
Barra 4: engaste e apoio 
 
Trabalhando com a rigidez relativa: 
 
𝐾𝐸 = 
45
𝑙
=
45
5
= 9 𝑘𝑁𝑚 
 
Somando os momentos fletores das placas 1 e 2: 
➔  12 = 6 kNm 
➔  22 = 12 + 6,43 + 9 = 27,43 kNm 
 
 
5º Passo: Sistema 
10 + 11 Δ1 + 12 Δ2 = 0 
20 + 21 Δ1 + 22 Δ2 = 0 
4,42 +18,43 Δ1 + 6 Δ2 = 0 
 
 
24 
 
98,90 + 6 Δ1 + 27,43 Δ2 = 0 
Δ1 = 1,06401 
Δ2 = -3,83828 
 
 
6º Passo: Superposição 
M = M0 + M1 Δ1 + M2 Δ2 
𝑀𝐷
1 = 0 + 6,43 𝑥(1,06401) + 0 𝑥 (−3,83828) = 6,84 𝑘𝑁𝑚 
𝑀𝐷
3 = 3,42 + 12 𝑥(1,06401) + 6 𝑥 (−3,83828) = −6,84 𝑘𝑁𝑚 
𝑀𝐸
2 = 11,60 + 0 𝑥(1,06401) + 6,43 𝑥 (−3,83828) = −13,07 𝑘𝑁𝑚 
𝑀𝐸
3 = −1,98 + 6 𝑥(1,06401) + 12 𝑥 (−3,83828) = −41,66 𝑘𝑁𝑚 
𝑀𝐸
4 = 89,28 + 0 𝑥(1,06401) + 9 𝑥(−3,83828) = 54,73 𝑘𝑁𝑚 
 
 
Figura 11 – Pórtico com diagrama de momentos fletores (kNm)e as reações de apoio. 
 
 
 
25 
 
Exemplo 3: Obter os diagramas dos esforços seccionais e as reações de apoio do 
pórtico abaixo, conforme mostra a Figura 12. 
Dados: 
E = 2,0 x 107 kN/m2 
J = 0,03 m4. 
 
Figura 12 – Pórtico hiperestático. 
 
1º Passo: Sistema Principal (S.P.): 
No sistema principal, temos que calcular o número total de deslocabilidades (di + 
de) para a estrutura hiperestática. Colocar os nomes nas barras, nomes nos apoios e 
numerar as placas e os apoios adicionais. 
 
 
 
 
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Figura 13 – Sistema principal com as placas, nomes nas barras e apoios. 
 
Nó A ➔ não precisa de placa, pois o engaste não sofre deformação; 
Nó B ➔ precisa de placa, para saber a rotação em B e não há deslocamento linear em 
B (pois a barra AB está sem deslocamento devido ao engaste em A); 
Nó C ➔ não precisa de placa, pois apoio de 1º e 2º gênero não há deslocabilidade 
interna. Não há deslocamento linear em C. 
 
Colocar placa e apoio adicional: 
de = 0 (apoio adicional) 
di = 1 (placa) 
d = de + di = 1 
 
Logo o sistema será: 
10 + 11 Δ1 = 0 
 
2º Passo: Estado 0 (só carga): 
 
Barra 1: engaste e engaste 
 
 
27 
 
 
 
Calculando os momentos fletores em A e B. 
Usando a tabela de Momento de engastamento perfeito (tabela 1). 
Primeira coluna: 
 
Carga distribuída de 50 kN/m 
𝑀𝐴 = +
𝑞𝑙2
12
= +
50 𝑥 42
12
= 66,67 𝑘𝑁𝑚 
𝑀𝐵 = −
𝑞𝑙2
12
= −
50 𝑥 42
12
= − 66,67 𝑘𝑁𝑚 
 
Barra 2: engaste e apoio 
 
 
Calculando o momento fletor em B. 
Usando a tabela de Momento de engastamento perfeito (tabela 1). 
Segunda coluna: 
 
 
28 
 
 
Carga distribuída de 50 kN/m 
𝑀𝐵 = + 
𝑞𝑙2
8
= +
50 𝑥 32
8
= 56,25 𝑘𝑁𝑚 
 
Carga pontual de 110 kN 
𝑀𝐵 = − 
3
16
𝑃𝑙 = −
3
16
110 𝑥 4 = −82,5 𝑘𝑁𝑚 
 
Somando os dois valores de momento em B ➔ 56,25 – 82,5 = -26,25 kNm 
 
Somando os momentos fletores da placas 1 : 
➔  10 = -66,67 + -26,25 = -92,92 kNm 
 
 
3º Passo: Estado 1 (rotação da placa 1 => Δ1): 
Calculando a rigidez da placa 1. 
Rotacionando a placa 1, trabalha-se com as barras 1 e 2. 
 
 
29 
 
 
 
Barra 1: engaste e engaste 
 
 
𝐾𝐵 = 
4𝐸𝐽
𝑙
=
4𝑥2,0𝑥107 𝑥 0,03
4
= 600000 𝑘𝑁𝑚 
𝐾𝐴 = 
2𝐸𝐽
𝑙
=
2𝑥2,0𝑥107 𝑥 0,03
4
= 300000 𝑘𝑁𝑚 
 
Barra 2: engaste e apoio 
 
 
 
30 
 
𝐾𝐵 = 
3𝐸𝐽
𝑙
=
4𝑥2,0𝑥107 𝑥 0,03
5
= 360000 𝑘𝑁𝑚 
 
 
Somando os momentos fletores das placas 1: 
➔  11 = 600000 + 360000 = 960000 kNm 
 
 
5º Passo: Sistema 
10 + 11 Δ1 + 12 Δ2 = 0 
-92,92 +960000 Δ1 = 0 
Δ1 = 9,68 x 10-5 
 
 
6º Passo: Superposição 
M = M0 + M1 Δ1 
𝑀𝐴
1 = 66,67 + 300000 𝑥(9,68 x 10−5) = 95,71 𝑘𝑁𝑚 
𝑀𝐵
1 = −66,67 + 600000 𝑥(9,68 x 10−5) = −8,59 𝑘𝑁𝑚 
𝑀𝐵
2 = −26,25 + 360000 𝑥(9,68 x 10−5) = 8,59 𝑘𝑁𝑚 
 
 
 
31 
 
 
Figura 14 – Pórtico com diagrama de momentos fletores (kNm)e as reações de apoio. 
 
 
Figura 15 – Pórtico com diagrama de esforço normal e as reações de apoio. 
 
 
 
32 
 
 
Figura 16 – Pórtico com diagrama de esforço cortante e as reações de apoio. 
 
 
 
 
 
 
 
33 
 
 
Exercícios Proposto: 
 
1) Calcular pelo Método das Deformações a estrutura hiperestática, desenhar os 
diagramas de esforços internos. 
Dados: EI = 0,0001 kNm2. ➔ (E = 1x108 kN/m2 x J = 1 mm4) 
 
Resposta: Usar o Ftool 
 
2) Calcular pelo Método das Deformações a estrutura hiperestática, desenhar os 
diagramas de esforços internos. 
Dados: EI = 0,0001 kNm2. ➔ (E = 1x108 kN/m2 x J = 1 mm4) 
 
Resposta: Usar o Ftool 
 
3) Calcular pelo Método das Deformações a estrutura hiperestática, desenhar os 
diagramas de esforços internos. 
Dados: EI = 0,0001 kNm2. ➔ (E = 1x108 kN/m2 x J = 1 mm4) 
 
 
34 
 
 
 
Resposta: Usar o Ftool 
 
4) Calcular pelo Método das Deformações a estrutura hiperestática, desenhar os 
diagramas de esforços internos. 
Dados: EI = 0,0001 kNm2. ➔ (E = 1x108 kN/m2 x J = 1 mm4) 
 
Resposta: Usar o Ftool 
 
5) Calcular pelo Método das Deformações a estrutura hiperestática, desenhar os 
diagramas de esforços internos. 
Dados: EI = 0,0001 kNm2. ➔ (E = 1x108 kN/m2 x J = 1 mm4) 
 
 
35 
 
 
Resposta: Usar o Ftool 
 
 
6) Calcular pelo Método das Deformações a estrutura hiperestática, desenhar os 
diagramas de esforços internos. 
Dados: EI = 0,0001 kNm2 . ➔ (E = 1x108 kN/m2 x J = 1 mm4) 
 
Resposta: Usar o Ftool 
 
 
	1. MÉTODO DAS DEFORMAÇÕES (método do deslocamento ou método da rigidez)
	2. NÚMERO DE INCÓGNITAS – deslocabilidade interna e externa
	2.1. Deslocabilidade interna (di) placa
	2.2. Deslocabilidade Externa (de) (apoio de 1º gênero)
	2.3. Número total de Deslocabilidades (d)
	3. GRANDEZAS FUNDAMENTAIS
	3.1. Rigidez de uma barra
	4. EXERCÍCIOS