Estado Geral de Tensões

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Estado geral de tensões
Resistência dos Materiais II
Estado triplo de tensões
Fazendo o equilíbrio de forças:
Estado triplo de tensões
Dividindo tudo por , teremos o sistema representado por:
 definem a normal unitária do ponto, são seus cossenos diretores.
Assim como no caso do estado plano de tensões, as tensões principais serão os autovalores da matriz .
O tensor de tensões é SIMÉTRICO.
ABORDAGEM TENSORIAL
Em um sistema de referência:
Onde:
: Vetor que representa a tensão total em um plano passando pelo ponto.
: tensor que representa o estado de tensões em um plano.
: normal ao plano no qual é definido a tensão total, com módulo unitário.
CONCEITO DE TENSÃO PRINCIPAL
São aquelas que ocorrem em planos onde a tensão cisalhante é nula. Ou seja:
As tensões principais são os autovalores e as direções principais são os autovetores.
Essa equação fornece como resultado 3 valores de cada um correspondente a uma tensão principal e uma direção principal. As tensões principais podem ser ordenadas (convenção) tal que:
Obs.: essa desigualdade não é em módulo!
CONCEITO DE TENSÃO PRINCIPAL
No sistema original:
Em um sistema de referência das direções principais:
CONCEITO DE TENSÃO PRINCIPAL
Em qualquer sistema:
CONCEITO DE TENSÃO PRINCIPAL
O quadrado do módulo da tensão total vale:
A tensão normal correspondente ao plano cuja normal é dada valerá:
Como são componentes do vetor unitário, atendem a igualdade:
CONCEITO DE TENSÃO PRINCIPAL
Portanto, a partir das 3 equações do slide anterior, podemos escrever para o sistema das direções principais:
E, resolvendo o sistema, teremos:
CÍRCULO DE MOHR
Analisando o 1º caso, teremos:
Agora, analisando as outras 2 equações, chegamos em:
e
CÍRCULO DE MOHR
Analisando graficamente, temos:
Onde:
CÍRCULO DE MOHR
Obs.: é importante destacar que podem ter valores negativos. No caso do círculo completo, teríamos:
EXERCÍCIO RESOLVIDO
EXERCÍCIO RESOLVIDO