Prova2-SEL417-1-2007

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SEL-417 Fundamentos de Controle -2007
Departamento de Engenharia Ele´trica - EESC/USP
Segunda Prova - 18 dezembro 2007
Profa. Vilma A. Oliveira
A prova e´ individual e sem consulta com durac¸a˜o de 2 horas.
1. (Valor da questa˜o: 3.5) Considere o sistema de controle mostrado na Fig 1. A planta tem
a seguinte func¸a˜o de transfereˆncia:
G(s) =
1
s(s− 1) . (1)
(a) Para C(s) = K, mostrar que o sistema e´ sempre insta´vel para K > 0 via o lugar das
ra´ızes.
(b) Para
C(s) =
K(s + 2)
s + 20
(2)
esboc¸ar o lugar das ra´ızes e determinar a faixa de valores para K para o sistema ser
esta´vel.
(c) Determinar o valor de K para o sistema a malha fechada apresentar 2 po´los complexos
no eixo jw.
1
y(t)
G(s)C(s)1
r(t)
Figura 1: Diagrama de blocos da questa˜o 1.
2. (Valor da questa˜o: 3.5) Considere o sistema de suspensa˜o magne´tica linearizado no ponto
de equil´ıbrio (z0, i0) com controlador descrito pelo diagrama Simulink mostrado na Fig.
2 com k1 = 0.770; k2 = 39.6; L = 0.520 H; R = 19.9 Ω; m = 0.0226Kg; ka = 2.1;
c1 = −1.7361 ∗ 103 Vm−1; i0 = 0.57A; z0 = 0.0045m; tz = 0.068s; tp = 0.002s;
kc = 0.33. Considerando a entrada de perturbac¸a˜o P (s), a func¸a˜o de transfereˆncia de ma-
lha aberta e´ dada por Gma=series(planta,controlador) em que planta=tf(num,den) com
den=[1 R/L -k2/m -k2*R/(m*L)], num=-ka*k1*c1/(m*L) e controlador=tf(numc,denc)
com numc=[kc*tz kc]; denc=[tp 1]. O diagrama de Nyquist para o sistema de malha
aberta com controlador e´ mostrado na Fig. 3.
(a) Determinar as margens de ganho e fase.
(b) Analisar a estabilidade do sistema via crite´rio de Nyquist quando o ganho varia de
zero a infinito. Usar o lugar das raizes para confirmar a ana´lise.
1
(c) Indicar o tipo do controlador dado pela func¸a˜o de transfereˆncia tf(numc,denc) utili-
zado e, usando o me´todo de Tustin (regra trapezoidal) com Ts = 0.001 obter a versa˜o
equivalente discreta para o controlador. A relac¸a˜o entre s e z neste caso e´ dada por:
s =
2
Ts
z − 1
z + 1
. (3)
1
R+Ls
1
m s
2k1
k
k
2
1
Bobina
Esfera
i (sl )
+
-
z sl ( )
kaG sc ( )
u
P s( )
PWMControlador
c1
-
Figura 2: Diagrama em blocos do sistema da questa˜o 2.
Nyquist Diagram
Real Axis
Im
ag
in
ar
y 
Ax
is
−1.4 −1.2 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Eixo real 
Ei
xo
 im
ag
in
ár
io
w=106rad/seg
|KCG(jw)|=0.3841
w=0
|KCG|=1.1763
w=52.1
φ=−165.4 graus
plano
KCG(s)
Figura 3: Diagrama de Nyquist sistema da questa˜o 2.
3. (Valor da questa˜o: 3.0) Considere a func¸a˜o de transfereˆncia de malha aberta
G(s) =
K
s(s/5 + 1)(s/50 + 1)
. (4)
2
O diagrama de Bode de (4) para K = 1 e´ mostrado na Fig.4. Obter um controlador atraso
Catraso = α
Ts + 1
αTs + 1
, α > 1 (5)
para a planta descrita por G(s) para atender as seguintes especificac¸o˜es:
(a) Erro de regime permanente para uma entrada rampa unita´ria menor que 0.01;
(b) Margem de fase ≥ 45◦.
−80
−60
−40
−20
0 
20 
40 
M
ag
ni
tu
de
 (d
B)
10−1 100 101 102 103
−270
−225
−180
−135
−90
Fa
se
 (g
rau
s)
Diagrama de Bode
Frequencia (rad/sec)
Figura 4: Diagrama de Bode da questa˜o 3.
Informac¸o˜es te´cnicas
Regras ba´sicas para esboc¸ar o lugar das ra´ızes da equac¸a˜o caracter´ıstica de um sistema de
controle realimentado para K > 0:
1. Existe lugar das ra´ızes no eixo real a` direita de um nu´mero ı´mpar de zeros mais po´los
reais;
2. Existem n−m ass´ıntotas centradas em α com aˆngulo φ� com
α =
∑
pi −
∑
zi
n−m (6)
φ� =
180◦ + 360◦(�− 1)
n−m , � = 1, 2, · · · , n−m (7)
em que n e´ o nu´mero de polos e m e´ o nu´mero de zeros da func¸a˜o de transfereˆncia de
malha aberta.
3
3. O(s) ponto(s) onde o lugar da ra´ızes cruza o eixo imagina´rio pode(m) ser obtido(s) fazendo
s = jw0 na equac¸a˜o caracter´ıstica.
4