Lista 3 - Controle de Sistemas Dinâmicos (UnB)

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Universidade de Braśılia
Departamento de Engenharia Elétrica
Controle de Sistemas Dinâmicos – 1º Semestre – 2020
Prof. Henrique C. Ferreira
3ª lista de exerćıcios
1. Considere um sistema com realimentação unitária conforme mostrado na figura 1, cuja
função de transferência de malha aberta é
G(s) =
10
s+ 1
.
Obtenha a resposta em regime estacionário desse sistema quando ele for submetido aos
seguintes sinais de entrada:
Figura 1: Sistema com realimentação unitária
(a) r(t) = sin(t+ 30)
(b) r(t) = 2 cos(2t− 45)
(c) r(t) = 2 sin(t+ 30)− 2 cos(2t− 45)
2. Esboce os diagramas de Bode das funções de transferência a seguir:
(a) G(s) =
1 + s
1 + 2s
(b) G(s) =
1− s
1 + 2s
3. Desenhe o diagrama de Nyquist para o sistema de controle com realimentação unitária,
conforme figura 1, cuja função de transferência de malha aberta é
G(s) =
K(1− s)
s+ 1
.
Utilizando o critério de estabilidade de Nyquist, determine a estabilidade do sistema
em malha fechada.
4. Considere um sistema com função de transferência de malha aberta
G(s) =
K1
s2(T1s+ 1)
.
Esse sistema pode ser estabilizado pela adição de um controlador GC(s) = K2(T2s+1),
conforme mostrado na figura 2. Esboce os diagramas de Nyquist para as funções de
transferência G(s) e GC(s)G(s).
1
Figura 2: Sistema de controle
5. Considere o sistema de malha fechada, conforme mostrado na figura 3, com a seguinte
função de transferência de malha aberta
G(s)H(s) =
Ke−2s
s
.
Determine o máximo valor de K para o qual o sistema é estável.
Figura 3: Sistema de controle
6. Considere o sistema com realimentação unitária, conforme figura 1, cuja função de
transferência G(s) é dada por
G(s) =
1
s(s− 1)
.
Desenhe o diagrama de Nyquist de G(s). Utilizando o critério de estabilidade de
Nyquist, determine a estabilidade do sistema.
7. Considere o sistema de controle mostrado na figura 1. G(s) não possui polos no se-
miplano direito do plano s. Se o diagrama de Nyquist for o indicado na figura 4(a),
esse sistema será estável? Se o diagrama de Nyquist for o indicado na figura 4(b), esse
sistema será estável?
8. O diagrama de Nyquist mostrado na figura 5 corresponde à função de transferência
G(s) de um sistema de controle conforme o mostrado na figura 1. Se G(s) tiver um
polo no semiplano direito do plano s, o sistema será estável? Se G(s) não tiver nenhum
polo no semiplano direito do plano s, mas tiver um zero nesse semiplano, o sistema
será estável?
9. Considere um sistema de controle como o mostrado na figura 1 com a seguinte função
de transferência de malha aberta:
G(s) =
2
s(s+ 1)(s+ 2)
.
Desenhe o diagrama de Nyquist de G(s). Se o sistema tivesse realimentação positiva,
como seria o diagrama de Nyquist?
2
(a) (b)
Figura 4: Diagramas de Nyquist
Figura 5: Diagrama de Nyquist
10. Considere o sistema de controle mostrado na figura 1 cuja função de transferência de
malha aberta é
G(s) =
as+ 1
s2
.
Determine o valor de a de forma que a margem de fase seja 45°.
11. Considere o sistema de controle mostrado na figura 1. Desenhe o diagrama de Bode
da função de transferência de malha aberta G(s) dada por
G(s) =
25
s(s+ 1)(s+ 10)
.
Determine a margem de fase e a margem de ganho.
12. Considere o sistema da figura 2, com
G(s) =
10
s(s+ 1)
e GC(s) = K
s+ 0,1
s+ 0,5
.
Desenhe o diagrama de Bode da função de transferência de malha aberta e determine
o valor do ganho K para que a margem de fase seja de 50°. Qual é a margem de ganho
desse sistema com esse valor de K?
3
13. Considere o sistema de controle mostrado na figura 1 cuja função de transferência de
malha aberta é
G(s) =
K
s(s2 + s + 0,5)
.
Determine o valor deK tal que o valor do pico de ressonância na resposta em frequência
do sistema em malha fechada seja de 2 dB ou Mr = 2 dB.
14. A figura 6 mostra o diagrama de Bode da função de transferência de malha aberta
G(s) de um sistema de controle como o mostrado na figura 1. Sabe-se que a função de
transferência de malha aberta é de fase não mı́nima. Pelo diagrama, pode-se ver que
há um par de polos complexos conjugados em ω = 2 rad/s. Determine o coeficiente de
amortecimento do termo quadrático que envolve os dois polos complexos conjugados.
Determine também a função de transferência G(s).
Figura 6: Diagrama de bode da função de transferência de malha aberta de um sistema
de controle com realimentação unitária
15. A figura 2 mostra o diagrama de blocos do controle de atitude de um véıculo espacial,
onde
G(s) =
1
s2
e GC(s) = KP (1 + TDs).
Determine o ganho constante proporcional KP e o tempo derivativo TD de forma que
a banda passante do sistema seja de 0,4 a 0,5 rad/s (note que a banda passante de
malha fechada é próxima à frequência de cruzamento com o ganho 0 dB). O sistema
deve ter uma margem de fase adequada. Trace as curvas de resposta em frequência de
malha aberta e de malha fechada em diagramas de Bode.
16. A partir do sistema de malha fechada mostrado na figura 2, onde
G(s) =
1
s(0,1s+ 1)(s+ 1)
,
projete um compensador por avanço de fase GC(s) tal que a margem de fase seja de 45°,
a margem de ganho não seja inferior a 8 dB e o erro estático constante de velocidade
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Kv seja de 4,0 s
−1. Trace as curvas de resposta ao degrau unitário e à rampa unitária
do sistema compensado.
17. Considere o sistema mostrado na figura 2, onde
G(s) =
2s+ 0,1
s(s2 + 0,1s+ 4)
.
Deseja-se projetar um compensador com erro estático de velocidade constante de 4,0
s−1, margem de fase de 50° e margem de ganho de 8 dB ou mais. Trace as curvas de
resposta ao degrau unitário e à rampa unitária do sistema compensado.
18. Considere o sistema mostrado na figura 2, com
G(s) =
1
s(s+ 1)(s+ 5)
.
Projete um compensador por atraso e por avanço de fase com erro estático de velocidade
constante Kv de 20 s
−1, margem de fase de 60° e margem de ganho de pelo menos 8
dB. Trace as curvas de resposta ao degrau unitário e à rampa unitária do sistema
compensado.
19. Considere o sistema de controle mostrado na figura 2, com
G(s) =
10
(s+ 1)(s+ 5)
e GC(s) = KC
(
1 +
1
TIs
+ TDs
)
.
Usando a regra de Ziegler-Nichols, determine os valores de KC , TI e TD.
20. Considere o sistema mostrado na figura 2, com
G(s) =
1
s2 + 1
e GC(s) = KC
(s+ a)(s+ b)
s
.
Deseja-se projetar um controlador PID GC(s), de modo que os polos dominantes de
malha fechada estejam localizados em s = −1± j
√
3. Para o controlador PID, escolha
a = 1 e, com isso, determine os valores de KC e b. Esboce o gráfico do lugar das ráızes
para o sistema projetado.
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