Prova2-SEL417-2-2009

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SEL-417 Fundamentos de Controle -2009
Departamento de Engenharia Ele´trica - EESC/USP
Segunda Prova - 17 dezembro 2009
Profa. Vilma A. Oliveira
A prova e´ individual e sem consulta com durac¸a˜o de 2 horas.
1. (Valor da questa˜o: 3.5) Considere o sistema descrito pelo diagrama Simulink mostrado na
Fig. 1. O diagrama de Nyquist para o sistema a malha aberta para K=1 e´ mostrado na
Fig. 2.
(a) Determinar as margens de ganho e fase.
(b) Analisar a estabilidade do sistema via crite´rio de Nyquist quando o ganho K varia
de zero a infinito indicando o nu´mero de polos da func¸a˜o de transfereˆncia da malha
fechada no semiplano direito do plano s quando for o caso. Usar o lugar das ra´ızes
para confirmar a ana´lise.
y(t)
1K
s-1
1
s+2
s +2s+22
r(t)
1
Figura 1: Diagrama em blocos do sistema da Questa˜o 1.
 Diagrama de Nyquist
Eixo Real
Ei
xo
 Im
ag
in
ar
io
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0
−0.2
−0.15
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
ω=0 rad/s−1/K
ω=1.41 rad/s
Figura 2: Diagrama de Nyquist sistema da Questa˜o 1.
1
2. (Valor da questa˜o: 1.5) Linearizando as equac¸o˜es do sistema de suepensa˜o em torno de
uma posic¸a˜o de equil´ıbrio obte´m-se a seguinte func¸a˜o de transfereˆncia entre a entrada do
amplificador de poteˆncia e a saida do sensor
G(s) =
568050.4927
(s− 41.82)(s+ 41.82)(s+ 38.27)
(1)
(a) Verificar que o sistema a malha aberta e´ insta´vel.
(b) Usando o lugar das raizes verificar que o sistema na˜o pode ser estabilizado por um
controlador proporcional. Verificar que um controlador avanc¸o de fase pode estabili-
zar o sistema.
3. (Valor da questa˜o: 2.5) Considere o sistema de controle de um peˆndulo sem amortecimento
mostrado na Figura 3 para K > 0.
(a) Qual condic¸a˜o C(s) deve satisfazer para o sistema a malha fechada seguir uma entrada
rampa com erro de regime constante.
(b) Para um C(s) satisfazendo (3a) que tipo de perturbac¸a˜o w(t) o sistema pode rejeitar?
(c) Para um controlador proporcional integral (PI) C(s) = kp+ki/s, kp, ki > 0 a condic¸a˜o
derivada em 3a e´ satisfeita. Entretanto, verificar via o lugar das ra´ızes que um PI
na˜o estabiliza o sistema a malha fechada.
(d) Verificar que um controlador proporcional integral derivativo (PID) C(s) = kp +
ki/s+ kds satisfaz a condic¸a˜o derivada em (3a) e pode estabilizar o sistema.
y(t)
1
G(s)
s2
1
C(s)
nc(s)
dc(s)
K
w(t) 2
r(t)
1
Figura 3: Sistema de controle para a Questa˜o 3.
4. (Valor da questa˜o: 2.5) Considere o esquema´tico de um volt´ımetro DC mostrado na Fig.
4. O ponteiro e´ amortecido de forma a fornecer um ma´ximo de sobresinal de 16%. A
equac¸a˜o de movimento do multimetro e´ da forma
Iθ¨ + bθ˙ + kθ = T = Kmv (2)
em que b e´ o coeficiente de amortecimento e T e´ o torque de entrada e v e´ a entrada de
tensa˜o. Usar I = 40× 10−6Kgm2, k = 4× 10−6Kgm2/s2, Km = 4× 10
−6N m/v.
(a) Obter a func¸a˜o de transfereˆncia entre θ e v.
(b) Obter a frequ¨eˆncia natural na˜o amortecida do sistema?
2
(c) Obter a frequ¨eˆncia natural amortecida do sistema. Para obter a constante de amor-
tecimento ζ, usar
Mp = e
−piζ√
(1−ζ2) .
(d) A partir do diagrama de bode mostrado na Figura 5 verificar qual frequ¨eˆncia produz
a maior magnitude de sa´ıda.
(e) Para uma entrada senoidal de 1 V e frequ¨eˆncia 2 rad/seg, obter a amplitude que o
volt´ımetro indicara´ apo´s o transiente. Pede-se o atraso de fase da sa´ıda em relac¸a˜o a`
entrada. As respontas podem ser obtidas via diagrama de bode.
Figura 4: Esquema´tico de um mult´ımetro.
−60
−40
−20
0
20
M
ag
ni
tu
de
 (d
B)
10−2 10−1 100 101
−180
−135
−90
−45
0
Fa
se
 (d
eg
)
Diagrama Bode
Frequencia (rad/sec)
Figura 5: Diagrama de Bode da Questa˜o 4.
Dados/Informac¸o˜es te´cnicas
Regras ba´sicas para esboc¸ar o lugar das ra´ızes da equac¸a˜o caracter´ıstica de um sistema de
controle realimentado para K > 0:
1. Existe lugar das ra´ızes no eixo real a` direita de um nu´mero ı´mpar de zeros mais po´los
reais;
3
2. Existem n−m ass´ıntotas centradas em α com aˆngulo φℓ com
α =
∑
pi −
∑
zi
n−m
(3)
φℓ =
180◦ + 360◦(ℓ− 1)
n−m
, ℓ = 1, 2, · · · , n−m (4)
em que n e´ o nu´mero de polos e m e´ o nu´mero de zeros da func¸a˜o de transfereˆncia de
malha aberta.
3. O(s) ponto(s) onde o lugar da ra´ızes cruza o eixo imagina´rio pode(m) ser obtido(s) fazendo
s = jw0 na equac¸a˜o caracter´ıstica.
Arranjo de Routh Considere o polinoˆmio em s
a0s
n + a1s
n−1 + · · ·+ an−1s
1 + an. (5)
O arranjo de Routh para n=4 e´ da forma:
s4 : a0 a2 a4
s3 : a1 a3 a5
s1 : b1 b2 b1 =
a1a2−a0a3
a1
, b2 =
a1a4−a0a5
a1
s : c1 c2 c1 =
b1a3−a1b2
b1
, c2 =
b1a5−a1b3
b1
s0 : d1 d1 =
c1b2−b1c2
c1
(6)
4