Aula 4 - Análise de Sensibilidade

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Análise de Sensibilidade
MODELO
VARIÁVEIS DE DECISÃO
FUNÇÃO OBJETIVO
RESTRIÇÕES
SOLUÇÃO ÓTIMA
1. Uma empresa que trabalha no setor petroquímico tem como objetivo minimizar o custo de produção de gasolina e óleo. Ela deve atender as demandas desses produtos nos níveis estipulados de, respectivamente 5 unidades de barris e 3 unidades de barris. A Cia decidiu atender a demanda por meio de duas atividades principais: 
A primeira é explorar e refinar petróleo nacional e neste caso cada unidade de barril processado custa 8 UM e gera 1 unidade de barril de gasolina e 1 unidade de barril de óleo. 
A segunda e importar e refinar petróleo estrangeiro e neste caso 1 unidade de barril importado custa 12 UM e gera 2 unidades de barris de gasolina e 1 unidade de barril de óleo. 
Resolva o problema pelo método gráfico e responda o que acontece com o valor da FO se
a) A produção de gasolina for feita para atender a demanda decrescente de 5 para 4,3,2 e 1 unidade do produto?
b) Se aumentar a satisfação da demanda de 5 para 6,7,8, 9, 10 e 11 unidades?
c) Se aumentar a produção de modo a satisfazer as demandas crescentes de óleo de 3 para 4, 5, 6 e 7 unidades? 
d) E se for decrescente de 3 para 2 e 1?
MODELO
VARIÁVEIS DE DECISÃO
X1 = Quantidade de barris de petróleo nacional explorado e refinado.
X2 = Quantidade de barris de petróleo estrangeiro explorado e refinado.
FUNÇÃO OBJETIVO
Custo Mínimo = 8X1 + 12X2
RESTRIÇÕES
Não negatividade: X1, X2 ≥ 0
Demanda de gasolina: X1 + 2X2 ≥ 5
Demanda de óleo: X1 + X2 ≥ 3
SOLUÇÃO ÓTIMA
X1 = 1
X2 = 2
Custo Mínimo = 8 + 24 = 32 UM
a. O que acontece com o valor da FO se a produção de gasolina for feita para atender a demanda decrescente de 5 para 4, 3, 2 e 1 unidade do produto?
DEMANDA = 5; FO = 32.
DEMANDA = 4; FO = 28.
DEMANDA = 3; FO = 24.
*PREÇO SOMBRA = 4 
*LIMITE MÍNIMO DA DEMANDA DE GASOLINA = 3
b. O que acontece com o valor da FO se aumentar a satisfação da demanda de gasolina de 5 para 6, 7, 8, 9, 10 e 11 unidades?
DEMANDA = 5; FO = 32.
DEMANDA = 6; FO = 36.
Entre 3 e 6 barris de demanda de gasolina, uma variação neste intervalo provoca variação na FO proporcional a 4 UM.
c. d
d. 
e. 
	
1. Uma empresa que trabalha no setor petroquímico tem como objetivo minimizar o custo de produção de gasolina e óleo. Ela deve atender as demandas desses produtos nos níveis estipulados de, respectivamente 5 unidades de barris e 3 unidades de barris. A Cia decidiu atender a demanda por meio de duas atividades principais: A primeira é explorar e refinar petróleo nacional e neste caso cada unidade de barril processado custa 8 UM e gera 1 unidade de barril de gasolina e 1 unidade de barril de óleo. A segunda e importar e refinar petróleo estrangeiro e neste caso 1 unidade de barril importado custa 12 UM e gera 2 unidades de barris de gasolina e 1 unidade de barril de óleo. Resolva o problema pelo método gráfico e responda o que acontece com o valor da FO se
a) A produção de gasolina for feita para atender a demanda decrescente de 5 para 4,3,2 e 1 unidade do produto?
b) Se aumentar a satisfação da demanda de 5 para 6,7,8, 9, 10 e 11 unidades?
c) Se aumentar a produção de modo a satisfazer as demandas crescentes de óleo de 3 para 4, 5, 6 e 7 unidades? 
d) E se for decrescente de 3 para 2 e 1?
MODELO
Variáveis decisão
X1= quantidade de barris de petróleo nacional explorado e refinado
X2= quantidade de barris de petróleo estrangeiro importado e refinado
FO
Min C = 8x1 + 12x2
Restrições
Dem Gasolina 1x1+ 2x2 >=5 barris
Dem Óleo 1x1 + 1x2>=3 barris
Não negatividade X1,x2>=0
Solução ótima:
X1 =1 (será utilizado um barril de petróleo nacional)
X2 =2 (serão utilizados dois barris de petróleo importado)
Custo mínimo = 8*1+12*2= 32. 
Nova solução, com demanda de gasolina = 4.
Novo X1=2 Var X1 (novo – antigo) Var X1= 2-1=1 (aumento de 1barril)
Novo X2=1 Var X2 =1-2=-1 (redução de 1 barril)
Novo custo mínimo = 8*2+12*1= 28
Var C= 28-32= -4 *(redução de 4UN)
Preço sombra da demanda de gasolina = 4 um.
Atenção!!!!! Demanda de gasolina aumentou duas unidades (de 5 para 7), mas a FO aumentou 10 (de 32 para 42)
Intervalado de estabilidade para demanda de gasolina: Dem Gasolina 1x1+ 2x2 >=5 barris
P1 (0,3) ... 1*0+2*3=6
P2 (3,0) 1*3+2*0=3
Mín perm reduzir atual perm aumenta Máx
 3 2 5		1 6
Entre 3 e 6 barris de demanda de gasolina, uma variação neste intervalo provoca variação na FO proporcional a 4. 
Nova solução, com demanda de óleo = 4.
Novo X1=3 Var X1 (novo – antigo) Var X1= 3-1=2 (aumento de 2 barril)
Novo X2=1 Var X2 =1-2=-1 (redução de 1 barril)
Novo custo mínimo = 8*3+12*1= 36
Var C= 36-32= +4 *(aumento de 4UN)
Preço sombra da demanda de óleo = 4 um. (um aumento unitário na demanda de óleo produz um aumento de 4um na F0
Intervalo de estabilidade: Dem Óleo 1x1 + 1x2>=3 barris
P1(5,0) --- 1.5+1.)=5
P2(0; 2,5)--- 1.0+1.2,5=2,5
Mín perm reduzir atual perm aumenta Máx
2,5 0,5 3		2 5
Entre 2,5 e 5 barris de demanda de óleo, uma variação neste intervalo provoca variação na FO proporcional a 4. 
2. Considere o caso da produção de dois produtos P1 e P2 com a utilização de 2 matérias primas: A e B. O modelo de PL que otimiza o faturamento semanal da empresa é:
Max Z = 5 x1 + 2 X2
MP A: 4x1 + x2 <= 10
MP B: x1 + 2x2 <= 9
x1, x2 >=0
a) Resolva usando o método gráfico.
b) Calcule o intervalo de estabilidade para a margem do P1 e do P2.
c) Qual a variação na FO caso seja adquirida mais uma unidade da MPA? Qual o intervalo de estabilidade para a disponibilidade da MPA?
d) Qual a variação na FO caso seja adquirida mais uma unidade da MPA? Qual o intervalo de estabilidade para a disponibilidade da MPA?
a) Solução ótima:
X1= 1,57
X2= 3,71
Z= 5.1,57+2.3,71 =15,27
c) Nova solução, considerando aumento de 1 unidade na MPA.
x1=1,85
x2=3,57
Novo Z= 16,39 
Preço sombra da MPA= 16,39-15,27= 1,12.
Intervalo de estabilidade da MPA : 4x1 + x2 <= 10
P1 (9,0) 4*9 +1*0=36
P2 (0, 4.5) 4.0+1.4.5=4,5
Mín perm reduzir atual perm aumenta Máx
4,5 5,5 10		26 36
Aumentos ou reduções da MPA no intervalo [4,5;36] provoca aumentos ou reduções proporcionais a 1,12 um na FO. 
3. Considere agora o caso da produção de dois produtos P1 e P2 com a utilização de 2 matérias primas: A e B. O modelo de PL que otimiza o faturamento semanal da empresa é:
Max Z = 15 x1 + 2 X2
MP A: 4x1 + x2 <= 10
MP B: x1 + 2x2 <= 9
x1, x2 >=0
a) Resolva usando o método gráfico.
b) Calcule o intervalo de estabilidade para a margem do P1 e do P2.
c) Qual a variação na FO caso seja adquirida mais seis unidades da MPA? Qual o intervalo de estabilidade para a disponibilidade da MPA?
d) Qual a variação na FO caso seja adquirida mais cinco unidades da MPA? Qual o intervalo de estabilidade para a disponibilidade da MPA?
4. Considere o caso da produção de dois produtos P1 e P2 com a utilização de 3 matérias primas: A, B e C. O modelo de PL que otimiza o faturamento semanal da empresa é:
Max Z = 2000 x1 + 6000 x2
MP A: x1 + 3x2 <= 15
MP B: 2x1 + 4x2 <= 20
MP C: 16x1 + 8x2 <= 30
x1, x2 >=0
a) Resolva usando o método simplex.
b) Qual a menor margem de contribuição que viabiliza a produção do P1?
c) Qual a variação na FO caso seja adquirida mais uma unidade da MPC? Qual o intervalo de estabilidade para a disponibilidade da MPC?
5. Considere o caso da produção de três produtos P1 e P2 e P3 com a utilização de 3 matérias primas: A, B e C. O modelo de PL que otimiza o faturamento semanal da empresa é:
Max Z = x1 + 2 x2 + 3 x3
MP A: x1 + x2 + x3 <= 10
MP B: 2x1 + x2 + 4x3 <= 12
MP C: x1 + 3x2 - x3 <= 9
x1, x2, x3 >=0
a) Resolva usando o método simplex.
b) Calcule o intervalo de estabilidade para o coeficiente de x2.
c) Calcule o intervalo de estabilidade para o coeficiente de x3.
6. Considere o caso da produção de dois produtos P1 e P2 com a utilização de 3 matérias primas: A, B e C. O modelo de PL que otimizao faturamento semanal da empresa é:
Max Z = 40 x1 + 30 x2
MP A: 2/5 x1 + ½ x2 <= 20
MP B: ½ x2 <= 5
MP C: 3/5 x1 + 3/10 x2 <= 21
x1, x2 >=0
Resolva pelo método gráfico e responda:
a) Qual é o efeito de aumentar a disponibilidade da MP C em 3 unidades? 
b) Qual é o efeito de aumentar a disponibilidade da MP B em 1 unidade? 
c) Calcule o intervalo de estabilidade para C1 e C2. O que isso significa?
7. Considere o caso da produção de dois produtos P1 e P2 com a utilização de 2 ou 3 matérias primas: A, B ou C. Resolva pelo método gráfico e calcule para todos os modelos abaixo:
a) O preço sombra para todos os recursos. O que isso significa?
b) Os intervalos de estabilidade para a disponibilidade de cada recurso.
c) Os intervalos de estabilidade para os coeficientes da FO. O que isso significa?
FAESA CENTRO UNIVERSITÁRIO
 PESQUISA OPERACIONAL II
a) Max Z = x1 + 2 X2
MP A: 2x1 + 3x2 <= 6
MP B: x1 + 5x2 <= 5
MP C: 	 x2 <= 5
 x1, x2 >=0
b) Max Z = 4x1 + x2 
MP A: 2x1 + 3x2 ≤ 12 
MP B: 2x1 + 1x2 ≤ 8 
 x1,x2 ≥ 0
c) Min Z = 2x1 + 3x2 
MP A: x1 + x2 ≥ 5
MP B: 5x1 + x2 ≥ 10 
 x1, x2 ≥ 0
d) Max R = 0,3x1 + 0,5x2 
MP A: 2x1 + x2 ≤ 2
MP B: x1 + 3x2 ≤ 3 
 x1, x2 ≥ 0 
e) Min C = 10x1 + 12x2 
MP A: x1 + x2 ≤ 20 
MP B: x1 + x2 ≥ 10 
MP C: 5x1 + 6x2 ≥ 54 
 x1, x2 ≥ 0
8. Certa empresa fabrica 2 produtos P1 e P2. O lucro por unidade de P1 é de 100 u.m. e o lucro unitário de P2 é de 150 u.m. A empresa necessita de 2 horas para fabricar uma unidade de P1 e 3 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo mensal disponível para essas atividades é de 120 horas. As demandas esperadas para os dois produtos levaram a empresa a decidir que os montantes produzidos de P1 e P2 não devem ultrapassar 40 unidades de P1 e 30 unidades de P2 por mês. Construa o modelo do sistema de produção mensal com o objetivo de maximizar o lucro da empresa. Calcule o lucro máximo e faça a análise de sensibilidade gráfica para o tempo de produção. Estabeleça o intervalo de estabilidade. 
9. Duas fábricas produzem 3 diferentes tipos de papel. A companhia que controla as fábricas tem um contrato para produzir 16 toneladas de papel fino, 6 toneladas de papel médio e 28 toneladas de papel grosso. Existe uma demanda para cada tipo de espessura. O custo de produção na primeira fábrica é de 1.000 u.m. e o da segunda fábrica é de 2.000 u.m., por dia. A primeira fábrica produz 8 toneladas de papel fino, 1 tonelada de papel médio e 2 toneladas de papel grosso por dia, enquanto a segunda fábrica produz 2 toneladas de papel fino, 1 tonelada de papel médio e 7 toneladas de papel grosso. Quantos dias cada fábrica deverá operar para suprir os pedidos mais economicamente? Faça analise de sensibilidade para os coeficientes da FO. 
10. Uma companhia de transporte tem dois tipos de caminhões: O tipo “A” tem 2m3 de espaço refrigerado e 3m3 de espaço não refrigerado; O tipo “B” tem 2m3 de espaço refrigerado e 1m3 de espaço não refrigerado. O cliente quer transportar um produto que necessitará 16 m3 de área refrigerada e 12 m3 de área não refrigerada. A companhia calcula em 1.100 litros o combustível para uma viagem com o caminhão “A” e 750 litros para o caminhão “B”. Quantos caminhões de cada tipo deverão ser usados no transporte do produto, com o menor consumo de combustível. Faça a análise de sensibilidade para os coeficientes da FO. 
Dado o modelo de programação linear: Max. L = 2.100x1 + 1.200x2 + 600x3 s. a.: 6x1 + 4x2 + 6x3 ≤ 4.800 (horas de máquina para produção de bens) 12x1 + 16x2 + 2x3 ≤ 7.200 (horas de mão-de-obra para produção) x1 ≤ 800 (demanda de P1) x2 ≤ 600 (demanda de P2) x3 ≤ 600 (demanda de P3) onde: xj são as decisões de produção dos bens Pj. O objetivo é maximizar o lucro pela venda desses produtos. O quadro final pelo método simplex é o seguinte: 
	base
	X1
	x2
	X3
	s1
	S2
	s3
	s4
	s5
	B
	x3
	0
	-0,8
	1
	0,20
	-0,10
	0
	0
	0
	240
	x1
	1
	1,467
	0
	-0,033
	0,10
	0
	0
	0
	560
	s3
	0
	-1,467
	0
	0,033
	-0,10
	1
	0
	0
	240
	s4
	0
	1
	0
	0
	0
	0
	1
	0
	600
	s5
	0
	0,8
	0
	-0,20
	0,10
	0
	0
	1
	360
	L
	0
	-1.400
	0
	-50
	-150
	0
	0
	0
	1.320.000
Pede-se: 
1.1. Qual o intervalo de estabilidade para o coeficiente de x1? O que isto significa?
 1.2. Qual o intervalo de estabilidade para o coeficiente de x3? O que isto significa?
 1.3. Qual deveria ser o lucro no produto (2) para que valesse a pena fabricá-lo?
 1.4. Qual o limite para aquisição do recurso R1, sem alterar a solução. 
1.5. Um novo produto que use 3 horas máquina, 5 horas de mão-de-obra e com demanda garantida de 200 unidades para um lucro máximo de 800 u.m., teria interesse no programa?
Uma fábrica pode produzir três produtos: 1, 2 e 3. Definimos xj (j=1, 2, 3) como a quantidade mensal produzida do j-ésimo produto. Os preços de mercado dos três produtos são P1 = 10,00, P2 = 6,00 e P3 = 4,00. Para produzir uma unidade do produto 1 são necessárias 1 hora de serviços técnicos, 10 horas de mão-de-obra e 2 horas de administração. Para produzir uma unidade do produto 2 são necessárias 1 hora de serviços técnicos, 4 horas de mão-de-obra e 2 horas de administração. Para produzir uma unidade do produto 3 são necessárias 1 hora de serviços técnicos, 5 horas de mão-de-obra e 6 horas de administração. Existe uma disponibilidade de 100 horas de serviços técnicos, 600 horas de mão-de-obra e 300 horas de administração. O objetivo da fábrica é maximizar os lucros.
Formalmente o problema é representado como: Max L = 10x1 + 6x2 + 4x3 S.a .: x1 + x2 + x3 ≤ 100 (serviços técnicos) 10x1 + 4x2 + 5x3 ≤ 600 (mão-de-obra) 2x1 + 2x2 + 6x3 ≤ 300 (administração) x1, x2, x3 ≥ 0 onde: x1, x2 e x3 são as quantidades dos produtos 1, 2 e 3 produzidos.
1. 
2. 
3. 
4- 
5- 
6- 
7- 
8 – 
9- 
10- 
Células Variáveis
FinalReduzidoObjetivoPermitidoPermitido
CélulaNomeValorCustoCoeficienteAumentarReduzir
$C$4A110842
$D$4A2201244
 Restrições
FinalSombraRestriçãoPermitidoPermitido
CélulaNomeValorPreçoLateral R.H.AumentarReduzir
$E$5Gasolina54512
$E$6Óleo34320,5
Células Variáveis
FinalReduzidoObjetivoPermitidoPermitido
CélulaNomeValorCustoCoeficienteAumentarReduzir
$C$3P11,5714285710534
$D$3P23,7142857140280,75
Restrições
FinalSombraRestriçãoPermitidoPermitido
CélulaNomeValorPreçoLateral R.H.AumentarReduzir
$E$4MPA101,14285714310265,5
$E$5MPB90,4285714299116,5
Células Variáveis
FinalReduzidoObjetivoPermitidoPermitido
CélulaNomeValorCustoCoeficienteAumentarReduzir
$C$3P12,50151E+307
$D$3P20-1,7521,751E+30
Restrições
FinalSombraRestriçãoPermitidoPermitido
CélulaNomeValorPreçoLateral R.H.AumentarReduzir
$E$4MPA103,75102610
$E$5MPB2,5091E+306,5
Células Variáveis
FinalReduzidoObjetivoPermitidoPermitido
CélulaNomeValorCustoCoeficienteAumentarReduzir
$C$3P10-100002000100001E+30
$D$3P23,75060001E+305000
Restrições
FinalSombraRestriçãoPermitidoPermitido
CélulaNomeValorPreçoLateral R.H.AumentarReduzir
$E$4MPA11,250151E+303,75
$E$5MPB150201E+305
$E$6MPC30750301030
Células Variáveis
FinalReduzidoObjetivoPermitidoPermitido
CélulaNomeValorCustoCoeficienteAumentarReduzir
$C$3P15,40130,076923077
$D$3P21,2020,1666666671,5
$E$3P30-0,200,21E+30
Restrições
FinalSombraRestriçãoPermitidoPermitido
CélulaNomeValorPreçoLateral R.H.AumentarReduzir
$F$4MPA6,60101E+303,4
$F$5MPB120,21269
$F$6MPC90,69173
Células Variáveis
FinalReduzidoObjetivoPermitidoPermitido
CélulaNomeValorCustoCoeficienteAumentarReduzir
$C$3P1300402040
$D$3P2100301E+3010
Restrições
FinalSombraRestriçãoPermitidoPermitido
CélulaNomeValorPreçoLateral R.H.AumentarReduzir
$E$4MPA170201E+303
$E$5MPB520555
$E$6MPC2166,66666667214,518
Células Variáveis
FinalReduzidoObjetivoPermitidoPermitido
CélulaNomeValorCustoCoeficienteAumentarReduzir
$C$3P12,142857143010,3333333330,6
$D$3P20,5714285710230,5
Restrições
FinalSombraRestriçãoPermitidoPermitido
CélulaNomeValorPreçoLateralR.H.AumentarReduzir
$E$4MPA60,428571429643
$E$5MPB50,142857143552
$E$6MPC1,142857143051E+303,857142857
Células Variáveis
FinalReduzidoObjetivoPermitidoPermitido
CélulaNomeValorCustoCoeficienteAumentarReduzir
$C$3P14041E+302
$D$3P20-1111E+30
Restrições
FinalSombraRestriçãoPermitidoPermitido
CélulaNomeValorPreçoLateral R.H.AumentarReduzir
$E$4MPA80121E+304
$E$5MPB82848
Células Variáveis
FinalReduzidoObjetivoPermitidoPermitido
CélulaNomeValorCustoCoeficienteAumentarReduzir
$C$3P150212
$D$3P20131E+301
Restrições
FinalSombraRestriçãoPermitidoPermitido
CélulaNomeValorPreçoLateral R.H.AumentarReduzir
$E$4MPA5251E+303
$E$5MPB25010151E+30
Células Variáveis
FinalReduzidoObjetivoPermitidoPermitido
CélulaNomeValorCustoCoeficienteAumentarReduzir
$C$3P10,600,30,70,133333333
$D$3P20,800,50,40,35
Restrições
FinalSombraRestriçãoPermitidoPermitido
CélulaNomeValorPreçoLateral R.H.AumentarReduzir
$E$4MPA20,08241
$E$5MPB30,14332
Células Variáveis
FinalReduzidoObjetivoPermitidoPermitido
CélulaNomeValorCustoCoeficienteAumentarReduzir
$C$3P1601020
$D$3P2401202
Restrições
FinalSombraRestriçãoPermitidoPermitido
CélulaNomeValorPreçoLateral R.H.AumentarReduzir
$E$4MPA100201E+3010
$E$5MPB100100,81
$E$6MPC5425464
Células Variáveis
FinalReduzidoObjetivoPermitidoPermitido
CélulaNomeValorCustoCoeficienteAumentarReduzir
$C$21P130010050100
$D$21P23001501E+3050
Restrições
FinalSombraRestriçãoPermitidoPermitido
CélulaNomeValorPreçoLateral R.H.AumentarReduzir
$E$22TEMPO120501202060
$E$23DEM P1300401E+3010
$E$24DEM P23050303010
Células Variáveis
FinalReduzidoObjetivoPermitidoPermitido
CélulaNomeValorCustoCoeficienteAumentarReduzir
$C$21F12,8010001000428,5714286
$D$21F23,20200015001000
Restrições
FinalSombraRestriçãoPermitidoPermitido
CélulaNomeValorPreçoLateral R.H.AumentarReduzir
$E$22FINO28,801612,81E+30
$E$23MÉDIO6600681,230769231
$E$24GROSSO282002810,6666666716
Células Variáveis
FinalReduzidoObjetivoPermitidoPermitido
CélulaNomeValorCustoCoeficienteAumentarReduzir
$C$21TIPO A2011001150350
$D$21TIPO B60750350383,3333333
Restrições
FinalSombraRestriçãoPermitidoPermitido
CélulaNomeValorPreçoLateral R.H.AumentarReduzir
$E$22REFRIG16287,51688
$E$23NÃO1217512124