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CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL EM REGIME ESTACIONÁRIO – PARTE 2 DISCIPLINA: TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA 1 PROF. DR. SANTIAGO DEL RIO OLIVEIRA 3.5 CONDUÇÃO COM GERAÇÃO DE ENERGIA TÉRMICA • Em particular, energia térmica está sendo gerada devido à conversão de outra forma de energia. • Um processo comum de geração de energia térmica é a conversão de energia elétrica em energia térmica em um meio que conduz corrente elétrica (aquecimento ôhmico, resistivo ou de Joule). • Taxa na qual a energia é gerada em função da passagem de uma corrente I através de um meio com resistência elétrica eR é: eg RIE 2 =& • Se a geração de potência ocorre de maneira uniforme ao longo de um volume V , a taxa volumétrica de geração de energia é: V RI V E q eg 2 == & & • Outros exemplos de geração de energia térmica: 1.Desaceleração e absorção de nêutrons num elemento combustível. 2.Reações químicas exotérmicas (fonte de energia térmica). 3.Reações químicas endotérmicas (sumidouro de energia térmica). 4.Absorção de radiação no interior de um meio (revestimentos, blindagens térmicas, vasos de pressão, etc.). 3.5.1 A PAREDE PLANA • Seja uma parede plana de espessura L2 , com k e q& constantes e com superfícies mantidas a 1,sT e 2,sT . • Equação de difusão em coordenadas cartesianas: 876 & 4847648476 000 === ∂ ∂ =+ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ t T cq z Tk zy Tk yx Tk x pρ • Para condução unidimensional em x, regime estacionário com geração interna de calor uniforme obtém-se: k q dx Td & −=2 2 • A equação diferencial ordinária anterior pode ser integrada duas vezes para se obter a solução geral: ⇒−= ∫∫ dxk qdx dx Td & 2 2 1Cxk q dx dT +−= & ∫ ∫∫ ⇒+−= dxCxdxk qdx dx dT 1 & ( ) 2122 CxCxk q xT ++−= & • As constantes de integração 1C e 2C podem ser obtidas pela aplicação de condições de contorno de primeira espécie em Lx −= e Lx = , ou seja: ( ) 1,sTLxT =−= e ( ) 2,sTLxT == • Substituindo as condições anteriores na solução geral obtém-se: L TT C ss 2 1,2, 1 − = e 22 2,1,2 2 ss TT k LqC + += & • Substituindo as expressões de 1C e 2C na solução geral, obtém-se a solução particular para a distribuição de temperaturas na parede: ( ) 22 1 2 2,1,1,2, 2 2 ssss TT L xTT L x k Lq xT + + − + −= & • A taxa de transferência de calor pode ser obtida através da Lei de Fourier: ( ) − +−−= +−−=−= L TT x k qkACx k qkA dx dTkAxq ssxxx 2 1,2, 1 && ( ) ( ) xss ATTL k xqxq −−= 1,2,2 & • O fluxo de calor ( )xq" é obtido dividindo ( )xq por xA , ou seja: ( ) ( )1,2," 2 ss TTL k xqxq −−= & • Nota-se que a taxa de transferência de calor não é mais independente de x. 3.5.1.1 CONDIÇÕES SUPERFICIAIS ALTERNATIVAS • FLUXO TÉRMICO NA SUPERFÍCIE UNIFORME: Lx −= : ( ) − +−−−=−= −= L TT L k qk dx dTkq ss Lx s 2 1,2," 1, & ( )1,2," 1, 2 sss TTL kLqq −−−= & Lx = : ( ) − +−−=−= = L TT L k qk dx dTkq ss Lx s 2 1,2," 2, & ( )1,2," 2, 2 sss TTL kLqq −−= & • COEFICIENTE DE TRANSPORTE E TEMPERATURA AMBIENTE ESPECIFICADAS: Lx −= : ( ) Lx s dx dTkTTh −= ∞ −=− 1,1,1 ( ) ( )1,2,1,1,1 2 sss TTL kLqTTh −−−=− ∞ & Lx = : ( ) Lx s dx dTkTTh = ∞ −=− 2,2,2 ( ) ( )1,2,2,2,2 2 sss TTL kLqTTh −−=− ∞ & 3.5.1.2 A PAREDE PLANA COM SUPERFÍCIE ADIABÁTICA Solução geral: 1Cxk q dx dT +−= & ( ) 2122 CxCxk q xT ++−= & • As constantes de integração 1C e 2C podem ser obtidas pela aplicação de condições de contorno de segunda e primeira espécies, respectivamente em 0=x e Lx = , ou seja: 0 0 = =xdx dT e ( ) sTLxT == • Substituindo as condições anteriores na solução geral obtém-se: 01 =C e sTk LqC += 2 2 2 & • Substituindo as expressões de 1C e 2C na solução geral, obtém-se a solução particular para a distribuição de temperaturas na parede: ( ) sT L x k Lq xT + −= 2 2 1 2 & • A taxa de transferência de calor pode ser obtida através da Lei de Fourier: ( ) +−−= +−−=−= 01 xk qkACx k qkA dx dTkAxq xxx && ( ) xxAqxq &= • O fluxo de calor ( )xq" é obtido dividindo ( )xq por xA , ou seja: ( ) xqxq &=" • COEFICIENTE DE TRANSPORTE E TEMPERATURA AMBIENTE ESPECIFICADAS EM Lx = : Lx = : ( ) ( )⇒−== ∞ TThLxq s " ( ) ∞ −= TThLq s& • No caso especial em que sss TTT == 2,1, a distribuição de temperatura é simétrica com relação ao plano central: ( ) ⇒++−+ −= 22 1 2 2,1,1,2, 2 2 ssss TT L xTT L x k Lq xT & ( ) sT L x k Lq xT + −= 2 2 1 2 & ( ) sTk LqTxTT +==== 2 0 0max & • No plano de simetria o gradiente de temperatura é nulo, ou seja, ( ) 00 ==xdxdT . • Assim, não há transferência de calor cruzando esse plano e ele pode ser representado por uma superfície adiabática. 0 0 = =xdx dT • Os resultados anteriores se aplicam para paredes planas que têm uma de suas superfícies ( )0=x perfeitamente isolada, enquanto a outra superfície ( )Lx = é mantida a uma temperatura fixa sT . 3.5.2 CASCA CILÍNDRICA • Seja um cilindro oco de comprimento L , com k e q& constantes e com superfícies mantidas a 1,sT e 2,sT respectivamente em 1r e 2r . • Equação de difusão em coordenadas cilíndricas: 876 & 484764484476 000 2 11 === ∂ ∂ =+ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ t T cq z Tk z Tk rr Tkr rr pρφφ • Para condução unidimensional em r, regime estacionário com geração interna de calor uniforme obtém-se: k rq dr dT r dr d & −= • A equação diferencial ordinária anterior pode ser integrada duas vezes para se obter a solução geral: ⇒−= ∫ ∫ drk rqdr dr dT r dr d & r C k rq dr dT 1 2 +−= & ⇒+−= ∫∫∫ dr r Cdr k rqdr dr dT 1 2 & ( ) 21 2 ln 4 CrC k rq rT ++−= & • As constantes de integração 1C e 2C podem ser obtidas pela aplicação de condições de contorno de primeira espécie em 1rr = e 2rr = , ou seja: ( ) 1,1 sTrrT == e ( ) 2,2 sTrrT == • Substituindo as condições de contorno na solução geral obtém-se: ( ) ( ) −+ −= 1,2,2 2 2 1 2 2 12 1 14ln 1 ss TT r r k rq rr C & ( ) ( ) −+ −−+= 1,2,2 2 2 1 2 2 12 2 2 2 2,2 14ln ln 4 sss TT r r k rq rr r k rqTC && • Substituindo as expressões de 1C e 2C na solução geral, obtém-se a solução particular para a distribuição de temperaturas na parede: ( ) ( ) ( )( )12 2 1,2,2 2 2 1 2 2 2 2 22 2 2, ln ln1 4 1 4 rr rrTT r r k rq r r k rqTrT sss −+ −− −+= && • A taxa de transferência de calor é obtida pela lei de Fourier: ( ) ( ) +−−=−= r C k rq rLk dr dTkArq r 12 2 &pi ( ) ( ) ( ) ( ) −+ −+−−= 1,2,2 2 2 1 2 2 12 1 4ln 1 2 2 ss TT r r k rq rrrk rq rLkrq &&pi ( ) ( ) ( ) −+ −−= 1,2,2 2 2 1 2 2 12 2 1 4ln 2 ss TT r r k rq rr LkLrqrq && pipi • O fluxo de calor ( )rq" é obtido dividindo ( )rq por rLAr pi2= : ( ) ( ) ( )12 1,2,2 2 2 1 2 2 " ln 1 4 2 rrr TT r r k rqk rq rq ss −+ − −= & & • Nota-se que a taxa de transferência de calor não é mais independente de r . 3.5.2.1 CONDIÇÕES SUPERFICIAIS ALTERNATIVAS • FLUXO TÉRMICO NA SUPERFÍCIE UNIFORME: 1rr = : ( ) ( ) −+ −+−−=−= = 1,2,2 2 2 1 2 2 121 1" 1, 14ln 1 2 1 ss rr s TT r r krq rrrk rqk dr dTkq && ( ) ( )121 1,2,2 2 2 1 2 2 1" 1, ln 1 4 2 rrr TT r r k rqk rqq ss s −+ − −= & & 2rr = : ( ) ( ) −+ −+−−=−= = 1,2,2 2 2 1 2 2 122 2" 2, 14ln 1 2 2 ss rr s TT r r k rq rrrk rqk dr dTkq && ( ) ( )122 1,2,2 2 2 1 2 2 2" 2, ln 1 4 2 rrr TT r r k rqk rqq ss s −+ − −= & & • COEFICIENTE DE TRANSPORTE E TEMPERATURA AMBIENTE ESPECIFICADAS: 1rr = : ( ) 1 1,1,1 rr s dr dTkTTh = ∞ −=− ( ) ( ) ( )121 1,2,2 2 2 1 2 2 1 1,1,1 ln 1 4 2 rrr TT r r k rqk rqTTh ss s −+ − −=− ∞ & & 2rr = : ( ) 2 2,2,2 rr s dr dTkTTh = ∞ −=− ( ) ( ) ( )122 1,2,2 2 2 1 2 2 2 2,2,2 ln 1 4 2 rrr TT r r k rqk rqTTh ss s −+ − −=− ∞ & & 3.5.2.2 O CILINDRO SÓLIDO Solução geral: r C k rq dr dT 1 2 +−= & ( ) 21 2 ln 4 CrC k rq rT ++−= & • As constantes de integração 1C e 2C podem ser obtidas pela aplicação de condições de contorno de segunda e primeira espécies, respectivamente em 0=r e ,orr = ou seja: 0 0 = =rdr dT e ( ) so TrrT == • Substituindo as condições anteriores na solução geral obtém-se: 01 =C e so Tk rqC += 4 2 2 & • Substituindo as expressões de 1C e 2C na solução geral, obtém-se a solução particular para a distribuição de temperaturas no cilindro: ( ) s o o T r r k rq rT + −= 2 2 1 4 & • A taxa de transferência de calor pode ser obtida pela Lei de Fourier: ( ) ( ) ( ) +−−= +−−=−= rk rq rLk r C k rq rLk dr dTkArq r 0 2 2 2 2 1 && pipi ( ) 2Lrqrq pi&= • O fluxo de calor ( )rqr" é obtido dividindo ( )rq por rLAr pi2= , ou seja: ( ) 2 " rq rq &= • COEFICIENTE DE TRANSPORTE E TEMPERATURA AMBIENTE ESPECIFICADAS EM orr = : orr = : ( ) ( )⇒−== ∞TThrrq so" ( )∞−= TThrq so2 & 3.5.3 CASCA ESFÉRICA • Seja uma esfera oca, com k e q& constantes e com superfícies mantidas a 1,sT e 2,sT respectivamente em 1r e 2r . • Equação de difusão em coordenadas esféricas: 876 & 444 8444 76444 8444 76 00 2 0 22 2 2 sensen 1 sen 11 === ∂ ∂ =+ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ t T cqTk r Tk rr Tkr rr pρθθθθφφθ • Para condução unidimensional em r, regime estacionário com geração interna de calor uniforme obtém-se: k rq dr dT r dr d 22 & −= • A equação diferencial ordinária anterior pode ser integrada duas vezes para se obter a solução geral: ⇒−= ∫∫ drk rqdr dr dT r dr d 22 & 2 13 −+−= rC k rq dr dT & ⇒+−= ∫∫∫ − drrCdr k rqdr dr dT 2 13 & ( ) 21 2 6 C r C k rq rT +−−= & • As constantes de integração 1C e 2C podem ser obtidas pela aplicação de condições de contorno de primeira espécie em 1rr = e ,2rr = ou seja: ( ) 1,1 sTrrT == e ( ) 2,2 sTrrT == • Substituindo as condições de contorno na solução geral obtém-se: ( ) ( ) ( ) −+ − − = 1,2,2 2 2 1 2 2 21 1 1611 1 ss TT r r k rq rr C & ( ) ( )[ ] ( ) −+ − − ++= 1,2,2 2 2 1 2 2 212 2 2 2,2 1611 1 6 sss TT r r k rq rrrk rqTC && • Substituindo as expressões de 1C e 2C na solução geral, obtém-se a solução particular para a distribuição de temperaturas na esfera: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )21 2 1,2,2 2 2 1 2 2 2 2 22 2 2, 11 111 6 1 6 rr rrTT r r k rq r r k rqTrT sss − − −+ −− −+= && • A taxa de transferência de calor é obtida pela lei de Fourier: ( ) ( ) +−−=−= −21 2 3 4 rC k rq rk dr dTkArq r & pi ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) −+ − − +−−= 1,2,2 2 2 1 2 2 21 2 2 1 611 1 3 4 ss TT r r k rq rrrk rq rkrq &&pi ( ) ( ) ( ) ( )[ ]21 1,2,2 2 2 1 2 2 3 11 1 6 4 3 4 rr TT r r k rqk rq rq ss − −+ − −= & & pi pi • O fluxo de calor ( )rq" é obtido dividindo ( )rq por 24 rAr pi= : ( ) ( ) ( ) ( )[ ]212 1,2,2 2 2 1 2 2 " 11 1 6 3 rrr TT r r k rqk rq rq ss − −+ − −= & & • Nota-se que a taxa de transferência de calor não é mais independente de r . 3.5.3.1 CONDIÇÕES SUPERFICIAIS ALTERNATIVAS • FLUXO TÉRMICO NA SUPERFÍCIE UNIFORME: 1rr = : ( ) ( )[ ] ( ) −+ − − +−−=−= = 1,2,2 2 2 1 2 2 21 2 1 1" 1, 1611 1 3 1 ss rr s TT r r k rq rrrk rqk dr dTkq && ( ) ( ) ( )[ ]2121 1,2,2 2 2 1 2 2 1" 1, 11 1 6 3 rrr TT r r k rqk rqq ss s − −+ − −= & & 2rr = : ( ) ( )[ ] ( ) −+ − − +−−=−= = 1,2,2 2 2 1 2 2 21 2 2 2" 2, 1611 1 3 2 ss rr s TT r r k rq rrrk rqk dr dTkq && ( ) ( ) ( )[ ]2122 1,2,2 2 2 1 2 2 2" 2, 11 1 6 3 rrr TT r r k rqk rqq ss s − −+ − −= & & • COEFICIENTE DE TRANSPORTE E TEMPERATURA AMBIENTE ESPECIFICADAS: 1rr = : ( ) 1 1,1,1 rr s dr dTkTTh = ∞ −=− ( ) ( ) ( ) ( )[ ]2121 1,2,2 2 2 1 2 2 1 1,1,1 11 1 6 3 rrr TT r r k rqk rqTTh ss s − −+ − −=− ∞ & & 2rr = : ( ) 2 2,2,2 rr s dr dTkTTh = ∞ −=− ( ) ( ) ( ) ( )[ ]2122 1,2,2 2 2 1 2 2 2 2,2,2 11 1 6 3 rrr TT r r k rqk rqTTh ss s − −+ − −=− ∞ & & 3.5.3.2 A ESFERA SÓLIDA Solução geral: 2 13 −+−= rC k rq dr dT & ( ) 21 2 6 C r C k rq rT +−−= & • As constantes de integração 1C e 2C podem ser obtidas pela aplicação de condições de contorno de segunda e primeira espécies, respectivamente em 0=r e ,orr = ou seja: 0 0 = =rdr dT e ( ) so TrrT == • Substituindo as condições anteriores na solução geral obtém-se: 01 =C e so Tk rqC += 6 2 2 & • Substituindo as expressões de 1C e 2C na solução geral, obtém-se a solução particular para a distribuição de temperaturas na esfera: ( ) s o o T r r k rq rT + −= 2 22 1 6 & • A taxa de transferência de calor pode ser obtida pela lei de Fourier: ( ) ( ) ( ) +−−= +−−=−= 2 2 2 12 0 3 4 3 4 rk rq rk r C k rq rk dr dTkArq r && pipi ( ) 3 4 3rq rq pi&= • O fluxo de calor ( )rq" é obtido dividindo ( )rq por 24 rAr pi= , ou seja: ( ) 3 " rq rq &= • COEFICIENTE DE TRANSPORTE E TEMPERATURAS ESPECIFICADAS EM orr = : orr = : ( ) ( )⇒−== ∞TThrrq so" ( )∞−= TThrq so3 & 3.5.4 APLICAÇÕES DO CONCEITO DE RESISTÊNCIA • Como a taxa de transferência de calor não uma constante independente da coordenada espacial, seria incorreto utilizar os conceitos de resistências condutivas.
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