MEC_FLUIDOS03

Prévia do material em texto

15/06/2021 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG610/impressao/3 1/28
Unidade 03
Aula 01
Balanço de energia macroscópico
Balanço de Energia
Nas aulas anteriores, introduzimos o teorema do transporte de Reynolds. Com o transporte de propriedades
para um volume de controle, fomos capazes de expressar a equação da continuidade e da quantidade de
movimento. Vimos que, com algumas considerações importantes, os problemas que normalmente parecem
complicados são razoavelmente simples de serem resolvidos.
A equação da continuidade nos faz concluir que, se a hipótese é de um regime permanente, a massa de
�uido que escoa por um tubo é constante. 
Assim, um balanço de massa, ou vazão mássica, entre as seções de entrada e saída do escoamento pode ser
feito. Vimos também que, em um �uxo cuja seção é reduzida progressivamente, teremos forças residuais nas
paredes do contorno e que é possível calcular essa força utilizando a conservação da quantidade de
movimento linear.
Como será que nosso raciocínio pode seguir quando pensamos em energia? 
Como sabemos da primeira lei da termodinâmica, não importam os processos ou mudanças que se efetuem,
a soma da energia total em um sistema permanece constante. Vamos lembrar da célebre frase da lei de
Lavoisier: 
“Na natureza nada se cria e nada se perde, tudo se transforma”.  
(LAVOISIER) 
15/06/2021 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG610/impressao/3 2/28
Para um melhor entendimento, pense em um experimento químico. Ao colocarmos uma substância e esta
reage com o meio, a massa total do produto tem que ser a soma das massas do que reagiu. Durante o balanço
total de massa do sistema, não existiu ganhos nem perdas, simplesmente uma transformação, ou, se preferir,
o produto de uma reação.
Com base na lei de Lavoisier podemos construir uma equação que vai nos permitir realizar o balanço de
energia nos sistemas que temos interesse, da mesma forma como �zemos para as massas (equação da
continuidade) e para a resultante de forças (equação do momento linear).
A equação do balanço de energia será utilizada para resolver diversos problemas habituais como,
determinar a energia de um escoamento, calcular as perdas, transformações de energia e futuramente até a
potência de máquinas hidráulicas.
Figura1. Antoine-Laurent de Lavoisier (1743-1794). 
Fonte:
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/EADG610/nova_novo/https://pt.wikipe
SAIBA MAIS
Lembre-se das leis da termodinâmica e de Lavoisier acessando o link a seguir.
Leis da Termodinâmica
http://www.if.ufrgs.br/~dschulz/web/leis_termodinamica.htm
15/06/2021 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG610/impressao/3 3/28
Energias Associadas a um Fluido
O balanço de energia deve ser feito para todo tipo de energia associado a um escoamento. Entretanto,
alguns tipos de energia são mais estudados na mecânica dos �uidos. Vamos lembrar quais são essas energias
e como descrevê-las:
Energia Potencial: É aquela que pode ser armazenada em um sistema e transformada em energia cinétic
a em outros momentos. No caso dos �uidos, temos como a principal energia potencial a energia potencia
l gravitacional. Seu equacionamento é dado em função da massa, da gravidade e da altura na qual o corpo
se encontra:
Energia cinética: É correspondente à energia de movimento do �uido. Ela está intrinsecamente ligada à
velocidade. A energia cinética, no caso dos �uidos, relaciona-se à massa �uida e sua velocidade:
Energia de pressão: É dada pela equação do trabalho potencial das forças que atuam sob o escoamento.
Se pensarmos em um �uxo con�nado em uma tubulação, na seção de entrada, teremos uma força aplicad
a sob a área da seção. Caso a pressão seja uniforme, teremos a equação:
Como a energia de pressão é dada pelo trabalho do �uido no escoamento devido a um deslocamento (ds)
vezes a força, teremos:
Para quem não entendeu, acompanhe a seguinte explicação. 
Um trabalho in�nitesimal é dado por uma força vezes um deslocamento in�nitesimal, entretanto a força é
dada como a multiplicação da pressão com a área e �nalmente a área com o deslocamento dão a ideia de
volume.
Finalmente a energia de pressão é dada por:
Energia interna ( ): É a energia total que corresponde à soma de todas as modalidades energéticas no i
nterior de um sistema. A variação da energia interna pode ser dada em diversos tipos de energia, como a
= mghEpot
=Ecinetica
mv2
2
p =  ou F = pA
F
A
dW = Fds = pAds = pdV
= pdVEpressao ∫
V
U
15/06/2021 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG610/impressao/3 4/28
parcela da energia interna cinética de rotação ou a energia de ligação intermolecular, no entanto, para n
ós compete apenas saber que ela possui uma parcela correspondente ao escoamento.
Com a maioria das energias especi�cadas, esquecendo as energias térmicas e observando apenas os efeitos
mecânicos, podemos de�nir a energia mecânica total do escoamento pela equação:
Ou
Equação de Bernoulli
Para entender a equação de Bernoulli, vamos primeiro entender um conceito importante: escoamento
invíscido. 
Devemos lembrar que a viscosidade, explicada anteriormente, é uma propriedade inerente aos �uidos, no
entanto, em alguns �uidos essa viscosidade é muito pequena, como no caso da água e do ar. 
Então, para simpli�car, é razoável pensar que a tensão de cisalhamento nas paredes devido ao escoamento é
nula, ou seja, vamos desprezar os efeitos viscosos. 
Conforme realizado anteriormente para descobrir a equação da energia, vamos aplicar a equação da energia
mecânica no teorema do transporte de Reynolds. Se lembrarmos da primeira lei da termodinâmica,
saberemos que a derivada material da energia mecânica é dada por:
= + +EmecanicaEpotencialEcinetica Uinterna
= mgh + +Emecanica
mv2
2
Uinterna
= − = eρdV + eρ . dA
DEmec
Dt
δQcalor
δt
δW
δt
∂
∂t
∫
vc
∫
sc
v ⃗  n⃗ 
SAIBA MAIS
Para entender mais sobre energia interna, leia o texto disponível no link a seguir.
Energia Interna
http://www.sofisica.com.br/conteudos/Termologia/Termodinamica/energiainterna.php
15/06/2021 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG610/impressao/3 5/28
Partimos da equação geral para um volume de controle. Nesta equação, podemos ver que os termos da taxa
de transferência de calor ( ) com o tempo é uma taxa de trabalho realizado pelo volume de controle.
Também está descrita a energia mecânica por unidade de massa ( ), formada pela energia cinética especí�ca,
energia potencial especí�ca, entre outras. 
Novamente, vamos fazer nossa análise de um escoamento permanente e incompressível. Com isso, a nossa
equação vai �car com a cara:
Se reordenarmos a equação, vamos ter:
Ou seja, se analisarmos essa integral para uma seção de entrada e saída, um caso comum de duas seções com
área de entrada A1 e área de saída A2, nossa integral vai ser resolvida apenas para as áreas:
Lembrando das propriedades de produto interno:
Ou
Sobrando apenas a equação de Bernoulli:
Qcalor
e
− p . dA = (gh + )ρ . dA∫
V
v ⃗  n⃗  ∫
sc
v2
2
v ⃗  n⃗ 
0 = (gh + + p)ρ . dA∫
sc
v2
2
v ⃗  n⃗ 
0 = ( + g + )ρ . + ( + g + )ρ .p1 h1
v21
2
v ⃗ 1 n⃗ 1A1 p2 h2
v22
2
v ⃗ 2 n⃗ 2A2
0 = ( + g + ) + ( + g + )p1 h1
v21
2
ρ (− )V1A1
  
−ṁ
p2 h2
v22
2
ρ (− )V2A2
  
ṁ
( + g + ) = ( + g + )p1 h1
v21
2
ρ ( )V1A1
  
ṁ
p2 h2
v22
2
ρ (− )V2A2
  
ṁ
ATENÇÃO
O trabalho pode ser dividido em diversos componentes, como o trabalho de eixo, o trabalho de
cisalhamento e o trabalho gerado pela pressão. Agora, vamos apenas nos concentrar no trabalho de
feito pela pressão. O calor que entra no sistema também será desconsiderado por hora junto com a
energia interna, queremos avaliar só o balanço deenergia mecânica para um estudo da hidráulica.
15/06/2021 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG610/impressao/3 6/28
Lembrando que essa forma da equação de Bernoulli é a mais simples. Futuramente, vamos ver que algumas
simpli�cações feitas aqui podem ser modeladas, como perdas e trabalho de eixo.
Essa equação garante o balanço entre a energia mecânica total dos �uidos, ela trata de uma relação de
velocidade, pressão e posição. 
Essa equação �cou famosa pois, se ajustarmos as unidades, veremos que trabalhamos tudo em metro,
deixando a equação na forma: 
Unidade 03
Aula 02
Combinação dos balanços de energia
(Parte 1)
Sei que muitos pensam o porquê de não apresentarmos a equação de forma direta apenas para o uso. 
( + g + ) = ( + g + )p1
ρ
h1
v21
2
p2
ρ
h2
v22
2
( + + ) = ( + + )p1
ρg
h1
v21
g2
p2
ρg
h2
v22
g2
SAIBA MAIS
Exercícios estão disponíveis no link a seguir. Acesse!
Coe�ciente de Reynolds, Equação de Bernoulli e da Continuidade - Exercícios resolvidos de Mecânica
dos �uídos
http://www.tudoengcivil.com.br/2014/04/exercicios-resolvidos-de-mecanica-dos.html
15/06/2021 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG610/impressao/3 7/28
A verdade é que a equação de Bernoulli é expressa em ao menos três formas mais conhecidas no estudo da
hidráulica, cada uma considerando termos que lhes convém estudar.
O grande objetivo de saber trabalhar com a equação do transporte é que, caso algum dia os alunos
necessitem, eles possam obter suas próprias equações de base, escolhendo cautelosamente as condições
que irão adotar. 
A equação de Bernoulli apresentada aula passada remete a um escoamento sem perdas que é acionado
apenas por diferença de pressão e/ou outro fenômeno que não faz parte do escoamento. Quando a energia
interna foi desprezada, certamente ignoramos alguns dados que podem ser relevantes a algum problema
futuro.
Aqui, consideraremos a equação da energia para um �uido o mais real possível, ou seja, vamos considerar
a viscosidade desse �uido e admitir que o atrito interno no escoamento tem uma parcela de interferência
na energia total disponível para os nossos problemas. 
A maioria do tempo nós pensamos em �uidos como água ou ar, mas se fossemos analisar um escoamento
hidráulico em uma seção no qual o �uido de trabalho fosse glicerina, as perdas por atrito seriam
responsáveis por grande parte do balanço de energia total.
Note bem que algumas hipóteses serão válidas ainda, como o escoamento em regime permanente,
incompressível, seção uniforme e sem trocas de calor. Essas hipóteses continuam aproximando os cálculos
dos casos reais que encontramos. 
Balanço de Energia Mecânica para um Fluido
Real
Como foi falado, um �uido real é aquele que possui características como a viscosidade, entre tantas outras.
Essa viscosidade é responsável por diversos fenômenos na análise de mecânica dos �uidos. 
VÍDEO
Caso ainda esteja com di�culdades, reveja o vídeo e relembre:
15/06/2021 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG610/impressao/3 8/28
Quando o objeto de estudo são escoamentos con�nados em tubos, a rugosidade do próprio tubo somado
com a viscosidade do �uido resultam em uma força resultante na parede do �uido, que, por sua vez, in�ui
no balanço de energia como foi dito.
No entanto, o aluno deve lembrar que estudamos o conceito de perda de carga e atrito, bem como, de forma
básica, a perda de energia causada pelo atrito entre o �uido viscoso e a parede rugosa é nomeada por perda
de carga.
Vamos nos lembrar também que a perda de carga podia ser dividida em duas parcelas. Uma dessas parcelas é
a que estávamos falando, que é chamada de perda de carga distribuída. 
Continuamos aquela aula de�nindo duas equações básicas para o cálculo de perda de carga, em que uma das
equações vale para as perdas distribuídas e outra corresponde às perdas localizadas.
Um detalhe importante para o calcular as perdas distribuídas era o fator de atrito. Podíamos calcular o fator
de atrito de duas formas, pelo diagrama de Moody ou por equações implícitas.
ATENÇÃO
A perda de carga distribuída é aquela que leva em conta as perdas de energia em uma seção reta de
tubulação, pela viscosidade do �uido e comprimento da tubulação.
A outra perda de carga é chamada perda localizada. Esta é a perda de energia pela mudança abrupta
em um escoamento dado uma conexão de tubulação cujo sentido seja diferente ao �uxo normal.
SAIBA MAIS
Para relembrar sobre a perda de carga, acesse o link a seguir.
Perda de carga
https://pt.wikipedia.org/wiki/Perda_de_carga
15/06/2021 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG610/impressao/3 9/28
O cálculo da perda de carga distribuída é dado pela equação:
E da perda de carga localizada é obtida como:
Conforme foi abordado na aula de fator de atrito e perda de carga. 
Mas como essa energia será adicionada às nossas equações de Bernoulli, se já �zemos o balanço de energia?
Na verdade, quando zeramos algumas parcelas no balanço de energia, de certa forma, exterminamos a perda
de carga.
A perda de carga vem da energia interna e outras parcelas de energias não contabilizadas. Quando
realizarmos a equação do balanço sem zerar os termos de energia interna, por exemplo, teremos a
equação de Bernoulli mais os termos de perda.
Voltando à nossa aula passada, teremos os seguintes termos oriundos do teorema do transporte: 
Continuando o processo, nosso balanço �nal vai ser tal que a energia interna dividida pela vazão mássica vai
representar nossas perdas. Finalmente, teremos a equação de Bernoulli para dois pontos com perdas:
Note que as perdas valem para todo o percurso do escoamento analisado, ou seja, só serão contabilizadas as
perdas entre os dois pontos analisados.
= f. .hd
L
D
v2
2g
= ∑K.hl
v2
2g
0 = (gh + + p + u)ρ . dA∫
sc
v2
2
v ⃗  n⃗ 
( + g + ) = ( + g + ) + +p1
ρ
z1
v21
2
p2
ρ
z2
v22
2
hd hl
SAIBA MAIS
Caso não lembre o que signi�cava o fator de atrito e sua dependência com a rugosidade relativa do
material em que o �uxo escoa, você pode retornar aos estudos da aula anterior, bem como pode
acessar os links a seguir.
Fator de atrito
Mecânica dos �uidos/Conservação da energia
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fator_de_atrito
https://pt.wikibooks.org/wiki/Mec%C3%A2nica_dos_fluidos/Conserva%C3%A7%C3%A3o_da_energia
15/06/2021 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG610/impressao/3 10/28
Futuramente, a essa equação, mais dois termos serão adicionados, os termos correspondentes as
máquinas de �uxo do sistema. Não vão ser anulados os trabalhos e os calores do sistema, portanto,
teremos a situação mais realista de um escoamento predial possível.
Como essa é uma das equações mais famosas da hidráulica, vale fazer um exercício básico para melhorar a
�xação do aprendizado.
Exercício de �xação
Uma tubulação de cobre estirado (rugosidade ( )=0,0015 mm) que escoa água, a 20 ºC, até uma torneira de
um prédio, possui diâmetro interno constante de 19 mm. A vazão que entra na tubulação é a mesma que sai,
de 0,757 litros/segundo. Os coe�cientes de perda de carga para cada curva, válvula globo e torneira são
respectivamente , e . O diâmetro de saída da torneira é de 12,7 mm. As
propriedades da água: e .
Qual será a pressão no ponto (1) se:
1. A viscosidade do �uido for desprezada.
2. A única perda de carga é a perda distribuída.
3. Todas as perdas de carga são contabilizadas.
Primeiramente, vamos avaliar os dados obtidos; temos a vazão que entra e sai do escoamento, os diâmetros
dos tubos e seus comprimentos, o diâmetro de saída do bocal da torneira, as válvulas e as conexões e as
propriedades do �uido.
1º Passo: Calcular a velocidade média do escoamento, partindo da vazão e da área e a velocidade do bocal de
saída:2º Passo: Número de Reynolds:
e
= 1, 5Kl = 10Kl = 2Kl
ρ = 998, 2kg/m3 μ = 1, 00 × N .s/10−3 m2
Figura 1. Tubulação com torneira. 
Fonte: Munson (2004)
= = = = 2, 67m/sV1
Qvazão
A
Qvazão
π /4D2
0, 757 × 10−3
π /4(19 × )10−3 2
= = = = 5, 98m/sV2
Qvazão
A
Qvazão
π /4D2
0, 757 × 10−3
π /4(0, 0127)2
Re = = = 50640
ρVD
μ
(998, 2) (2, 67) (0, 019)
1, 00 × 10−3
15/06/2021 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG610/impressao/3 11/28
Podemos ver que o escoamento em questão é considerado um escoamento turbulento.
3º Passo: Análise dos Pontos (1) e (2):
Primeiramente, vamos escrever a equação de Bernoulli com as perdas apenas em função da pressão (1):  
Como sabemos da primeira parte do curso . Então:
Em função de , teremos:
Analisando os pontos temos , , , , dentre os outros parâmetros
analisados.
A viscosidade do �uido for desprezada:
Se a viscosidade do �uido for desprezada, não teremos as perdas de carga, portanto . Seria o caso
de Bernoulli sem perdas, vamos calcular a equação e ver quanto seria a pressão no ponto (1): 
A única perda de carga é a perda distribuída:
O cálculo não vai mudar muito, no entanto agora , pois agora . Portanto a equação vai
�car:
Onde, , para determinar o fator de atrito vamos usar o diagrama de Moody, entrando com o
Reynolds e a rugosidade relativa:
( + g + ) = ( + g + ) +p1
ρ
z1
v21
2
p2
ρ
z2
v22
2
+hd hl
  
htotal
γ = ρg
( + + ) = ( + + ) +p1
γ
z1
v21
g2
p2
γ
z2
v22
g2
htotal
p1
= γ( + + ) − γ( + ) + γp1
p2
γ
z2
v22
g2
z1
v21
g2
htotal
= + γ − γ + ρ( − ) + γp1 p2 z2 z1
1
2
v22 v
2
1 htotal
= 0z1 = 6, 1mz2 = 0p2 γ = 9782, 4N/m
= 0htotal
= γ + ρ( − )p1 z2
1
2
V 22 V
2
1
= 6, 1 × 9789 + [ − ] = 74003 [Pa]p1
998, 2
2
(5, 98)2 (2, 67)2
≠ 0htotal ≠ 0hd
= γ + ρ( − ) + γp1 z2
1
2
V 22 V
2
1 hd
= f. .hd
L
D
v21
2g f
15/06/2021 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG610/impressao/3 12/28
Com todas informações, entramos no diagrama de Moody pela rugosidade relativa, aproximando na curva
de 0,0001, e com um Reynolds aproximado de 50000, assim, obtendo o resultado aproximado do fator de
atrito de .
Agora, só falta calcular o parâmetro correspondente ao comprimento total da tubulação retilínea: 
Podemos, �nalmente, calcular nossa equação de Bernoulli com as perdas distribuídas:  
Podemos ver que a queda de pressão pelo atrito corresponde a Pa, quase o mesmo valor
correspondente à energia cinética e à energia potencial. 
Todas as perdas de carga são contabilizadas.
Finalmente, só nos resta calcular a perda de carga localizada em cada conexão (curvas) na válvula globo e na
torneira:
Re = 50640
e
= = 8 ×
e
D
0, 0015 [mm]
19 [mm]
10−5
Figura 2 - Diagrama de Moody (editado).
Fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/Diagrama_de_Moody
f = 0, 021
l = 4, 57 + 3, 05 + 1, 52 + 3, 05 + 3, 05 + 3, 05 = 18, 29 [m]
= γ + ρ( − ) + ρf. .p1 z2
1
2
V 22 V
2
1
L
D
v21
2
= 74003 [Pa] + 998, 2 (0, 021) × = 145930 [Pa]p1
18, 29(2, 67)2
0, 019 (2)
71927
= γ + ρ( − ) + ρf. . +∑ρK.p1 z2
1
2
V 22 V
2
1
L
D
v21
2
v2
2
= 145930 [Pa] +∑ρK ⋅p1
v2
2
15/06/2021 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG610/impressao/3 13/28
Nesse modo, calculamos todas as perdas de carga, ou seja, temos a resposta mais real de todas. Vemos que a
mudança é grande de um caso que não considera o atrito do �uido, uma diferença de aproximadamente 135
kPa, mais que uma atmosfera. 
Com um cálculo simples somos capazes de saber quanto de pressão uma bomba precisa aplicar a um
escoamento, o que é muito interessante. 
Unidade 03
Aula 03
Combinação dos balanços de energia
(Parte 2)
Perda de Energia por Atrito
Para entender um pouco do que está acontecendo num �uido com respeito ao atrito e como deve ser
analisado o balanço de equações, precisamos visualizar o que é o atrito e um exemplo inicial entre dois
corpos diferentes do �uido. 
Atrito é uma força que faz parte da conservação da energia. Essa força vai depender da rugosidade que
possui o material que vai estar em contato ou fazendo parte de um sistema. 
= 145930 [Pa] + [10 + 4 (1, 5) + 2]p1
998, 2(2, 67)2
2
= 145930 [Pa] + 64045 [Pa] + 209975 [Pa]p1
VÍDEO
Para entender um pouco mais do atrito, veja o seguinte vídeo. 
15/06/2021 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG610/impressao/3 14/28
Agora vamos supor que temos um carro que precisa parar na hora sobre uma capa de gelo. No momento em
que o carro freia, ele desliza num espaço de tempo e está experimentando o fenômeno da conservação da
energia.
No instante em que o carro começa a se deslizar após frear, podemos perceber que ele tem uma energia
cinética ‘k’ inicial, mas tem um momento em que ele �ca sem energia cinética. 
Então, como é que ele perde energia cinética se existe a conservação da energia? 
Bem, a perda de energia acontece porque existe uma força de atrito ‘F’ entre o carro e o gelo. Mesmo sendo
a capa de gelo uma capa muito lisa, ela não está completamente livre de atrito. 
Para colocar a força de atrito em termos de energia, devemos pensar que a força de atrito vai realizar um
trabalho negativo no carro. Podemos a�rmar que o atrito é negativo porque vai no sentido oposto à direção
do carro. Nesse sentido, podemos fazer uso da equação de trabalho da seguinte forma: 
Onde, para esse caso:
 Magnitude da força de atrito
 Distancia que demora o carro em se deter.
 Ângulo formado entre a força e a direção do movimento.
Assim, sabendo que o ângulo formado de é de 180º podemos a�rmar o seguinte:
Mas onde se encontra a energia cinética? 
Figura 3. Exemplo da energia térmica e atrito
W = ⋅ d ⋅ cosθ (Equação 1)Fk
→Fk
d →
θ →
θ
W = − ⋅ d (Equação 2)Fk
VÍDEO
Para lembrar do comportamento da energia térmica, veja o seguinte vídeo disponível no link. 
15/06/2021 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG610/impressao/3 15/28
Quando as duas superfícies entram em contato contínuo, calor está sendo gerado. Com isso, estamos
começando a perceber que estamos tendo uma energia térmica em ambas as superfícies, a superfície do
carro e a do gelo. Isso quer dizer que estamos transformando uma energia cinética em energia térmica. 
Agora, vamos juntar tudo isso em uma equação de balanço de energia. Nós sabemos que o enunciado da
conservação da energia que diz que a energia inicial de qualquer sistema somado com qualquer trabalho
externo que afete ao sistema tem que ser igual à energia �nal do sistema, matematicamente será
representado assim: 
Isso quer dizer que podemos fazer uso das variáveis que temos em nosso sistema. Matematicamente, �ca da
seguinte forma:
Portanto, temos:
Mas onde está representada a energia térmica?
Note que o carro, e somente o carro, é parte de nosso sistema de energia. Isso quer dizer que só a energia
cinética do carro é levada em conta. Agora, no momento em que consideramos a parte gelada como parte do
sistema, estamos modi�cando as variáveis que afetam o novo sistema. Nesse sentido, o novo sistema é
composto pelo gelo e pelo carro. Isso indica que a força externa que tínhamos passa a ser interna. 
Tudo isso se traduz na geração de energia interna que será térmica, não há trabalho externo, e tudo isso tem
que ser igual à energia �nal. Ou seja, vamos terminar sem energia cinética, mas com energia térmica tanto no
gelo como no carro. A energia térmica extra gerada, tanto no carro como no gelo, tem que ser igual ao
trabalho gerado pelo atrito. Essa magnitude do trabalho realizado é que será a energia �nal.
Matematicamente, será: 
A energia �nal será positiva porque estamos ganhando uma quantidade de energia térmica. Será, então, uma
equação igual a equação 5, assim:
As duas são equações iguais foram desenvolvidas a partir de dois sistemas diferentes.Isso quer dizer que, ao
tempo, podemos fazer uso só de uma, ou trabalhamos com o sistema composto só pelo carro, ou usamos o
sistema conformado pelo gelo e o carro.
+ =  (Equação 3)Ei Wext Ef
⋅ m − ⋅ d = 0 (Equação 4)
1
2
v2 Fk
⋅ m = ⋅ d (Equação 5)
1
2
v2 Fk
⋅ m + 0 =  (Equação 6)
1
2
v2 ET
⋅ m = ⋅ d (Equação 7)
1
2
v2 Fk
15/06/2021 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG610/impressao/3 16/28
O atrito que existe entre duas massas também acontece dentro do sistema, ou seja, dependendo da variação
da viscosidade e da turbulência do �uido, podemos experimentar uma perda de energia por atrito. Para
entender um pouco melhor, vejamos a seguinte explicação, que mostra como a perda por atrito, Ev, aparece
no balanço macroscópico da energia mecânica. A equação inicial do balanço macroscópico da energia
mecânica pode ser apresentada da seguinte forma:
Onde:
1. Velocidade de incremento das energias cinética e potencial no sistema.
2. Divide-se em três partes: 
2a - aquela velocidade com que as energias cinética e potencial entram no sistema do primeiro plano,
representada assim:
2c - aquela velocidade com que as energias cinética e potencial saem no sistema do primeiro plano,
representada assim:
2a - A velocidade total que o entorno realiza o trabalho sobre o �uido dos planos 1 e 2 por meio da pressão,
representada assim:
Ou podemos representar da seguinte forma:
( ⟨ ⟩ + ⟨ ⟩)1
2
ρ1 v31 ρ1Φ1 v1 S1
( ⟨ ⟩ + ⟨ ⟩)1
2
ρ2 v32 ρ2Φ2 v2 S2
( ⟨ ⟩ − ⟨ ⟩ )ρ1 v1 S1 ρ2 v2 S2
−Δ( + + )ω =1
2
⟨ ⟩v3
⟨v⟩
Φ̂
P
ρ
( ⟨ ⟩ + ⟨ ⟩) − ( ⟨ ⟩ + ⟨ ⟩) + ( ⟨ ⟩ − ⟨ ⟩ )1
2
ρ1 v31 ρ1Φ1 v1 S1
1
2
ρ2 v32 ρ2Φ2 v2 S2 ρ1 v1 S1 ρ2 v2 S2
VÍDEO
Para entender um pouco mais do falado, assista ao vídeo disponível no link a seguir.
15/06/2021 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG610/impressao/3 17/28
3. Velocidade de como as superfícies móveis realizam o trabalho sobre o �uido.
4. Velocidade que aumenta ou diminui a energia mecânica devido ao alargamento ou a compressão do �uido.
5. Velocidade que diminui a energia mecânica devido à dissipação viscosa. Ou conhecida como a energia que
representa a perda de energia por atrito viscoso. Temos: 
Essa perda de energia por atrito para �uidos newtonianos incompressíveis pode ser escrita da seguinte
forma:
Onde,
 Viscosidade dinâmica ou absoluta.
 Quantidade que representa uma soma dos quadrados dos gradientes de velocidade.
Quando analisamos desde o ponto de vista dimensional e tomamos a quantidade como a soma dos
quadrados dos gradientes de velocidade, temos:
Onde,
 São a velocidade e um comprimento característico respetivamente.
 Quantidades adimensionais.
Para essa equação, em termos de fator de perdas de atrito , que é uma função do número de Reynolds e
das relações geométricas relevantes, temos que:
Onde,
 Quantidade de um escoamento no estado estacionário
 A velocidade do escoamento mássico que passa por qualquer seção transversal do
sistema do escoamento.
= − (τ : ∇v)dVEv ∫
V (t)
= ∫ μ dvEv Φv
μ →
→Φv
= (ρ ) (μ/ ρ)∫ dEv v30l20 l0v0 Φv̆ v̆
 e  →v0 l0
=  e d = dV →Φv̆ ( / )l0 v0
2Φv v̆ l
−3
0
ev
= ⟨vEv̂
1
2
⟩2ev
= /w →Ev̂ Ev
w = ρ⟨v⟩S →
15/06/2021 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG610/impressao/3 18/28
 Fator de perdidas por atrito, onde é o fator de atrito que depende da rugosidade; o
comprimento da tubulação e o raio hidráulico da equação.
É dessa expressão geral que podemos calcular a perda de carga ou energia por atrito numa tubulação por
exemplo.
Unidade 03
Aula 04
Combinação dos balanços de energia
(Parte 3)
= f →ev LRh f L
Rh
VÍDEO
Para lembrar do transporte de Reynolds, assista ao vídeo disponível no link a seguir. 
SAIBA MAIS
Para um maior entendimento do comportamento de perda de carga por atrito, você pode ler o capítulo
7 do livro de Robert Byron Bird, Warren E. Stewart e Edwin N. Lightfoot (2017), Fenômenos de
Transporte.
15/06/2021 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG610/impressao/3 19/28
Aplicação para o Escoamento Interno
Vamos lembrar da equação de perda de energia por atrito:
Podemos veri�car como acontecem os comportamentos das equações de balanço, por exemplo, para um
escoamento turbulento. Nesse instante, a expressão que depende do coe�ciente de atrito pode ser
apresentada em termos de raio hidráulico médio, assim: 
A maioria dos escoamentos passam por diferentes tipos de geometrias, por exemplo:
= ⟨vEv̂
1
2
⟩2ev
= ⟨v fEv̂
1
2
⟩2
L
Rh
Figura 4a. Variações repentinas de diâmetro.
Figura 4b. Variações repentinas de válvulas.
VÍDEO
Para iniciar a compreensão de uma das aplicações de perda de energia por atrito, assista ao vídeo
disponível no link a seguir.
15/06/2021 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG610/impressao/3 20/28
Os valores aproximados de perda de energia por atrito ‘ev’ são apresentados na seguinte tabela:
Perda de energia por atrito
Mudança repentina na área da seção transversal  
Entrada para a tubulação arredondada 
Contração Brusca 
Ampliação Brusca 
Furo (Borda a�ado) 
Acessórios e válvulas
 
 
 
Joelho de 90 (arredondados) 
Joelho de 90 (quadrado) 
Joelho de 45
Válvula esférica (aberta) 
Válvula de comporta (aberta)
 
 
 
 
Tabela 7. Tomados de H Kramers, Physische Transportverschijnselen, Technische Hogeschool Delft, Holanda (1958, pp. 53-54.
Onde, (Área da seção transversal menor) / (Área da seção transversal maior), se , podemos
usar a seguinte equação: , onde é a velocidade a jusante da ampliação.
Esses valores apresentados são parte do comportamento de perda de energia por atrito. Essa perda de carga
pode ser localizada ou distribuída. 
A perda de carga localizada se refere às perdas que existem por peças individuais. Essas peças individuais
são vistas em quase todas as instalações hidráulicas das obras civis. E são tais como aquelas que podem ser
utilizadas em instalações elétricas de água fria, por exemplo. 
Ou também podemos encontrar peças individuais nas instalações de combate a incêndio, que são especí�cas
para gerar uma pressão su�ciente e forte na saída �nal. 
ev
0.005
0.45(1 − β)
( − 1)1β
2
2.71(1 − β)(1 − )β2 1
β2
0
0
0
0.4 − 0.9
1.3 − 1.9
0.3 − 0.4
6 − 10
0.2
β → β = 0
= ⟨vEv̂
1
2 ⟩
2 ⟨v⟩
VÍDEO
Assista ao seguinte vídeo.
15/06/2021 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG610/impressao/3 21/28
Ou ainda podemos calcular as perdas geradas nas diferentes variações de geometria nos canais que existem
no percorrer da água em estruturas de uma estação de tratamento de água, ou dos equipamentos
necessários para veri�car a energia em todo o tratamento.
En�m, são muitos os tipos de peças existentes que vão ter uma variação de geometria no seu interior e que
vão ajudar a modi�car nosso sistema de uma ou outra forma. Para cada tipo de peça, existe um coe�ciente de
perda de energia que pode ser utilizado na equação já apresentada.
Outra forma é ter uma perda de carga distribuída. A perda de carga distribuída depende completamente do
comprimento da tubulação, assim como do tipo de material. 
VÍDEO
Entenda mais sobre as peças acessando o link a seguir.
VÍDEO
Para ver algumas das peças necessárias, podemos apreciar o seguinte vídeo.
SAIBA MAIS
Saiba mais de perda de carga localizada:
Perdas localizadas
VÍDEO
Para citar alguns exemplos de perda de carga localizada podem assistir o seguinte vídeo:
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/EADG610/nova_novo/documents/texto02_2.pdf
15/06/2021 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG610/impressao/3 22/28
Entre alguns problemas que merecem um tipo de estudo minuciosoda perda de carga distribuída, estão os
condutos de enormes comprimentos, tais como as tubulações de transporte de petróleo.
Outras obras hidráulicas que precisam de estudos nas perdas de carga são:
Transposição de rios:
Grandes comprimentos de tubulações em offshore
Quando temos um escoamento de �uidos em uma seção circular, podemos perceber que vai haver uma
perda de carga distribuída. Através de uma análise dimensional do escoamento, temos uma fórmula
universal:
Figura 5. Movimentação de produtos. Transporte Dutoviário. 
Fonte: UMC Distribuição e transportes.
Figura 6. Transposição do Rio São Francisco. 
Fonte: http://apublica.org/2014/08/miragens-da-transposicao/
Figura 7. Plataforma de petróleo offshore. 
Fonte:
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/EADG610/nova_novo/http://static.hsw.
petroleo-mar-1.jpg
15/06/2021 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG610/impressao/3 23/28
Onde:
L é o comprimento do encanamento em metros;
V é a velocidade média do �uido em m/s;
D é o diâmetro da canalização em metros;
f é o fator de atrito;
 é a perda de carga em metros.
Unidade 03
Aula 05
Abordagem Macroscópica
Perdas de Carga
ΔH = f
L
D
V 2
2g
ΔH
VÍDEO
Para entender melhor o uso dessa equação, assista ao vídeo disponível no link a seguir.
15/06/2021 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG610/impressao/3 24/28
Lembremos que as perdas de carga sempre vão existir em um canal seja aberto ou fechado. Por exemplo,
numa tubulação pela qual percorre um �uido devem ser determinadas as perdas de carga. Essas perdas de
carga são a soma de perdas de carga distribuídas e localizadas.
Pardas de carga distribuídas são um exemplo claro de como acontecem as perdas de carga que são
produzidas pelas tensões viscosas da interação entre o �uido e as paredes da tubulação. 
Se lembramos da equação da Bernoulli, que apresenta uma energia constante, podemos veri�car o seguinte
comportamento entre dois pontos: 
Essa perda de energia está sujeita unicamente à interação do �uido com a parede. Isso quer dizer que não
temos perda de carga localizada porque não existe uma peça especial ou diferente à tubulação.
Nesse sentido, a perda de carga, assumindo que não temos variação do diâmetro da tubulação, um
escoamento uniforme e não temos uma variação da viscosidade, temos a seguinte equação:
Essas variáveis que correspondem à energia cinética podem ser tiradas da equação porque temos
escoamento uniforme. Ou seja, como temos uma energia potencial em 1 e 2, podem ser retiradas da
equação.
Finalmente, temos a nossa perda de energia de carga ou por atrito entre os pontos 1 e 2, assim:
Simpli�cando:
+ + = + + + Δz1
P1
γ
V 21
2g
z2
P2
γ
V 22
2g
H1−2
+ = + + Δz1
P1
γ
z2
P2
γ
H1−2
Δ = + − −H1−2 z2
P2
γ
z1
P1
γ
Δ = ( − ) +H1−2 z2 z1
−P2 P1
γ
15/06/2021 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG610/impressao/3 25/28
As características dos esforços cisalhantes são bem diferentes em função do escoamento laminar ou
turbulento. No casso do escoamento laminar, as diferentes capas do escoamento são ordenadas sem
mistura, onde a viscosidade é um fator dominante no intercâmbio da quantidade de movimento. 
Agora, no escoamento turbulento, a �utuação tridimensional faz com que o fenômeno da turbulência de
origem em um grande intercâmbio de quantidade de movimento entre as diferentes capas do �uido.
Lembremos que o número de Reynolds é dado por: 
Essa expressão para tubulações de seção circular �ca: 
E tem a ver com a expressão que foi encontrada para regime laminar por Hagen-Poiseuille (1840), na qual a
dependência linear entre a perda de carga e vazão é dada por:
No caso do regime turbulento, experimentalmente foi achada uma expressão por D’Arcy-Weisbach. Essa
expressão tem sua expressão relacionada com um parâmetro adimensional chamado fator de atrito. Assim
como a seguinte expressão existem várias, sendo a mais utilizada a do D’Arcy.
Essa equação também é válida para escoamentos laminares, sendo o fator de atrito o seguinte:
Logo, tem mais equações que precisam ser conhecidas também:
Prandtl e Von Karman (1935).
Colebrook e White (1939).
Diagrama de Moody.
Re = =
Forças inerciais
Forças viscosas
V .L
ν
Re =
4Q
πDν
=   Qhp laminar
128μL
ρgπD4
= f =hp
L
D
v2
2g
8f
gπ2
L
D5
Q2
=flaminar
64
Re
SAIBA MAIS
Acessem o seguinte link para que saber um pouco mais sobre essas expressões.
Cálculo de Pérdidas de Carga en Tubérias
http://www.miliarium.com/Paginas/Prontu/MedioAmbiente/Aguas/PerdidaCarga.htm
15/06/2021 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG610/impressao/3 26/28
Agora bem: visto isso e as leis de conservação, podemos fazer uso das expressões para poder explicar o
seguinte exercício.
Exercício
Vamos supor que temos o seguinte desenho entre dois reservatórios. Temos uma bomba que precisa de uma
potência necessária para bombear a água do reservatório 1 para o reservatório 2 (BIRD et al., 2002). Os
dados são os seguintes:
Água a 68 ºF ( ρ=62.4 lb /ft ; µ=1.0 cp)
A agua deve ser fornecida ao reservatório 2 com uma taxa de 12 ft /min.
Seção circular com 4 polegadas de diâmetro interior para toda a tubulação.
Que potência é necessária para poder levar a água do reservatório 1 ao 2?
Primeiro precisamos lembrar da equação da continuidade para poder encontrar a velocidade. Ou seja, a
relação entre a vazão e a área, assim:
Onde:
 = Vazão.
 = Massa especí�ca.
 = Velocidade que o �uido tem em um ponto determinado.
 = Área da secção transversal.
Como a vazão tem que estar apresentada em ft /min, temos:
m 3
3
Figura 8. Exemplo de reservatório
Q = ρ × v × A
Q
ρ
v
A
3
15/06/2021 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG610/impressao/3 27/28
Agora, como a área tem que estar nas mesmas unidades, temos:
Assim, a velocidade será:
O seguinte passo é determinar o número de Reynolds: 
Lembrando que para um escoamento a contribuição de dos diferentes segmentos da tubulação é:
Para poder veri�car a contribuição das três curvas e do seu alargamento repentino, a forma aproximada para
escoamentos turbulentos num sistema composto para vários tipos de tubulação e peças individuais que
geram resistências individuais é:
Onde:
 Operação soma sobre todas as seções retas.
 Operação soma sobre todos os acessórios, válvulas, medidores, etc.
De onde podemos fazer uso da expressão de perda de carga para cada peça individual, no nosso caso as três
curvas de 90º.
Q = 12 . = 0.2
ft3
min
1 min
60 segundos
ft3
s
A = π = π = 0.087266 fR2 (2. )0.083333 ft
1′′
2
t2
⟨v⟩ = = = 2.30 ft/s
Q
πR2
0.2
π(1/6)2
Re = = = 7.11x
Dvρ
μ
(4. ) (2.30ft/s) (62.4)0.083333 ft1′′
(1.0)(6.72x )10−4
104
Êv
= = (5 + 300 + 100 + 120 + 20) = (0.156) (545) = 85∑
i
( f)1
2
v2
L
Rh i
2 fv2
D
∑
i
Li
2 (0.0049)(2.30)2
( )13
1 →
2 →
( ) = (0.45 + 3( ) + 1) = 8 f /∑
i
1
2
v2ev
1
2
(2.30)2
1
2
t2 s2
0 + (32.2) (105 − 20) + 0 = − 85– 8Ŵm
15/06/2021 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG610/impressao/3 28/28
E isolando , temos:
 é o trabalho (por unidade de massa do �uido) realizado na bomba. Por tanto, a bomba realiza um
trabalho de ou de sobre o �uido que passa pelo sistema. Assim, a velocidade do
escoamento mássico é:
Por tanto temos a potência assim:
Ŵm
= 2740 + 85 + 8 ≈ 2830 f /Ŵm t
2 s2
Ŵm
2830f /t2 s2 283088
lbf
lbm
w = ( ) (62.4) = 12.5 l /s12
60
bm
= w = (12.5) (88) = 1100 = 2 hp = 1.5 kWWm Ŵm
lbf
s
VÍDEO
Para mais exercícios, acesse o link a seguir.