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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas • Determine a área aproximada da superfície de revolução obtida pela rotação, em torno do eixo dos “y”, da curva , no intervalo .y = 4x 1 2 , 4 1 4 Resolução: O domínio da função está definido para , substituindo alguns valores de x y = 4x 1 2 x ⩾ 0 (como 4, 9, 16) é possível determinar a região que se quer a área, como visto na sequência; A fórmula que fornece a área de uma superficie de revolução gerada pelo giro do gráfico de uma função em torno do eixo y é; S = 2𝜋 f y dy b a ∫ ( ) 1 + f' y[ ( )]2 Colocamos, então, a curva em y em função de x e fazemos a derivada da curva; y = 4x 4x = y = x = x = f y = 1 2 → 1 2 → x 1 2 y 4 → y 4 → 2 y → ( ) y 2 1 2 f' y = f' y = f' y = f' y =( ) 1 2 y 2 -1 1 2 → ( ) y 4 1 - 2 2 → ( ) y 4 - 1 2 → ( ) 1 4y 1 2 Sabendo a derivada e o limite de integração que vai de a , substituimos na fórmula e 1 4 4 resolvemos; S = 2𝜋 dy S = 2𝜋 dy = 2𝜋 dy 4 ∫ 1 4 y 2 1 2 1 + 1 4y 1 2 2 → 4 ∫ 1 4 y 2 1 2 1 + 1 4y 2 1 2 2 4 ∫ 1 4 y 2 1 2 1 + 1 16y = 2𝜋 dy = 2𝜋 dy = 2𝜋 dy 4 ∫ 1 4 y 2 1 2 16y + 1 16y 4 ∫ 1 4 y 2 1 2 16y + 1 16y 4 ∫ 1 4 y 2 1 2 4y 16y + 1 1 2 = 𝜋 dy = 𝜋 dy = 2 8 4 ∫ 1 4 y y 1 2 1 2 16y + 1 1 4 4 ∫ 1 4 16y + 1 Vamos resolver a integral em sua forma indefinida; dy; fazendo : u = 16y + 1 du = 16dy 16dy = du dy =∫ 16y + 1 → → → du 16 Substituindo temos dy = = u→ ∫ 16y + 1 ∫ udu 16 ∫ 1 2 du 16 Resolvendo u = = = = u = ⋅ 16y + 1→∫ 1 2 du 16 u + 1 +1 1 2 1 2 1 16 u 1 + 2 2 1+2 2 1 16 u 3 2 3 2 1 16 2 3 3 2 1 16 1 16 2 3 ( ) 3 2 = 16y + 1 1 24 ( ) 3 2 Voltando para a integral definida: 𝜋 dy = 𝜋 16y + 1 = 𝜋 16 ⋅ 4 + 1 - 16 ⋅ + 1 1 4 4 ∫ 1 4 16y + 1 1 4 1 24 ( ) 3 2 4 1 4 1 96 ( ) 3 2 1 4 3 2 𝜋 64 + 1 - 4 + 1 = 𝜋 65 - 5 ≅ 16, 78 u. a. 1 96 ( ) 3 2 ( ) 3 2 1 96 ( ) 3 2 ( ) 3 2 (Resposta )
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