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Questão resolvida Determine a área aproximada da superfície de revolução obtida pela rotação, em torno do eixo dos y, da curva y=4 x1_2 , no intervalo [1_4, 4] - Cálculo II - UNESC

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Determine a área aproximada da superfície de revolução obtida pela rotação, em 
torno do eixo dos “y”, da curva , no intervalo .y = 4x
1
2 , 4
1
4
 
Resolução:
O domínio da função está definido para , substituindo alguns valores de x y = 4x
1
2 x ⩾ 0
(como 4, 9, 16) é possível determinar a região que se quer a área, como visto na sequência;
A fórmula que fornece a área de uma superficie de revolução gerada pelo giro do gráfico de 
uma função em torno do eixo y é;
S = 2𝜋 f y dy
b
a
∫ ( ) 1 + f' y[ ( )]2
Colocamos, então, a curva em y em função de x e fazemos a derivada da curva;
 
y = 4x 4x = y = x = x = f y =
1
2 →
1
2 → x
1
2
y
4
→
y
4
→
2
y
→ ( )
y
2
1
2
 
 
 
f' y = f' y = f' y = f' y =( )
1
2
y
2
-1
1
2
→ ( )
y
4
1 - 2
2
→ ( )
y
4
-
1
2
→ ( )
1
4y
1
2
Sabendo a derivada e o limite de integração que vai de a , substituimos na fórmula e 
1
4
4
resolvemos;
S = 2𝜋 dy S = 2𝜋 dy = 2𝜋 dy
4
∫
1
4
y
2
1
2
1 +
1
4y
1
2
2
→
4
∫
1
4
y
2
1
2
1 +
1
4y
2
1
2
2
4
∫
1
4
y
2
1
2
1 +
1
16y
 
= 2𝜋 dy = 2𝜋 dy = 2𝜋 dy
4
∫
1
4
y
2
1
2 16y + 1
16y
4
∫
1
4
y
2
1
2 16y + 1
16y
4
∫
1
4
y
2
1
2
4y
16y + 1
1
2
 
= 𝜋 dy = 𝜋 dy =
2
8
4
∫
1
4
y
y
1
2
1
2
16y + 1
1
4
4
∫
1
4
16y + 1
 
Vamos resolver a integral em sua forma indefinida;
 
 dy; fazendo : u = 16y + 1 du = 16dy 16dy = du dy =∫ 16y + 1 → → → du
16
 
Substituindo temos dy = = u→ ∫ 16y + 1 ∫ udu
16
∫
1
2
du
16
 
Resolvendo u = = = = u = ⋅ 16y + 1→∫
1
2
du
16
u
+ 1
+1
1
2
1
2
1
16
u
1 + 2
2
1+2
2
1
16
u
3
2
3
2
1
16
2
3
3
2
1
16
1
16
2
3
( )
3
2
= 16y + 1
1
24
( )
3
2
Voltando para a integral definida:
 
 
𝜋 dy = 𝜋 16y + 1 = 𝜋 16 ⋅ 4 + 1 - 16 ⋅ + 1
1
4
4
∫
1
4
16y + 1
1
4
1
24
( )
3
2
4
1
4
1
96
( )
3
2
1
4
3
2
 
𝜋 64 + 1 - 4 + 1 = 𝜋 65 - 5 ≅ 16, 78 u. a. 
1
96
( )
3
2 ( )
3
2
1
96
( )
3
2 ( )
3
2
 
 
(Resposta )