AOLA 4 CALCULO INTEGRALL

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1. Pergunta 1 
/1 
O estudo dos métodos de integração é importante no uso das ferramentas do cálculo por 
nos possibilitar a encontrar uma função primitiva F(x) de uma certa função f(x). Além 
do método da substituição, outra técnica de integração importante é o da integração por 
partes, na qual tomamos uma função e a separamos em duas partes para acharmos sua 
integral indefinida. 
Considerando f(x) = u e g(x) = v, de forma que f’(x)dx = du e g’(x)dx = dv e de acordo 
com seus conhecimentos sobre as técnicas de integração, analise as afirmativas a seguir. 
I. A Regra de Substituição para a integração corresponde à Regra da Cadeia para a 
derivação. 
II. Integrar por partes significa fazer a integral de u.dv igual a uv menos a integral de 
v.du. 
III. A técnica da integração por partes corresponde à Regra do Quociente para a 
derivação. 
IV. Assim como na derivação, existem regras que sempre garantem a obtenção da 
integral indefinida de uma função. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
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1. 
II e IV. 
2. 
I, II e III. 
3. 
I e II. 
4. 
II e III. 
5. 
I, e IV. 
2. Pergunta 2 
/1 
O método da integração por partes possui fundamental importância no que diz respeito à 
integração de funções mais complexas em relação às habituais, que aparecem em 
tabelas de integração. Esse método consiste em separar a função em duas partes, de 
preferência de forma que uma das expressões seja mais fácil de se derivar, e a outra, 
mais fácil de se integrar. 
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre a técnica de integração por 
partes, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. 
I. A integral indefinida da função f(x) = (e^x)cos(x) é igual a (e^x)[sen(x)+cos(x)]/2 + 
C. 
Porque: 
II. Consideramos a regra da integração por partes e tomando inicialmente u = e^x e dv = 
cos(x)dx, de forma que du = (e^x)dx e v = sen(x), ao integrar a função dada por partes, 
obtém-se outra expressão com uma integral parecida, e novamente é realizada a técnica 
de integração por partes. Após isso, se isola a integral cujo cálculo é desejado para 
encontrar a primitiva F(x) da função f(x). 
Agora, assinale a alternativa correta: 
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1. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa 
correta da I. 
2. 
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa. 
3. 
As asserções I e II são proposições falsas. 
4. 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. 
5. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da 
I. 
3. Pergunta 3 
/1 
O estudo acerca das integrais é essencial para aqueles que estudam cálculo. Por meio 
delas, obtém-se uma medida analítica de algumas áreas, volumes e comprimentos. 
Portanto, reconhecê-las e utilizá-las é essencial. Existem inúmeros métodos de 
integração, cada um para um fim definido. O método de integração por partes é um 
deles, e é extremamente útil para a integração de uma categoria de funções. 
De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca de integração por partes, 
analise as afirmativas a seguir: 
I. A integração por partes é útil para se integrar certos tipos de produtos de funções. 
II. A integração por partes pode ser concebida por meio da regra do produto das 
derivadas, realizando manipulações algébricas e integrando ambos lados da igualdade. 
III. Esse método de integração consiste em transformar uma integral em termos de dv 
em outra em termos de du e um termo independente de integral. 
IV. A função cos(x) é integrável por esse método. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
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1. 
I, II e III. 
2. 
I, III e IV. 
3. 
I, II e IV. 
4. 
II e III. 
5. 
II e IV. 
4. Pergunta 4 
/1 
As funções racionais possuem diversas aplicações em diversos estudos de fenômenos 
modelados matematicamente, de forma que o conhecimento da regra de integração de 
funções racionais por frações parciais é essencial para o bom aproveitamento dos 
conceitos estudados. 
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre regras de integração de 
funções racionais por frações parciais, é correto afirmar que: 
I. f(x) = cos(x)/sen(x) é uma função integrável pelo fato de ser possível aplicar o 
método das frações parciais ou fazer alguma outra substituição para sua resolução. 
II. Funções racionais podem ser expressas como a soma de frações mais simples, 
chamadas frações parciais, as quais são mais fáceis de se integrar. 
III. Sendo f a função racional tal que f(x) = P(x)/Q(x), então f pode ser expressa como 
uma soma de frações parciais desde que o grau de Q seja menor que o grau de P. 
IV. g(x) = (x+5)/(x² + x - 2) pode ser reescrita como g(x) = 2/(x-1) – 1/(x+2). 
Está correto apenas o que se afirma em: 
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1. 
I, II e IV. 
2. 
II e III. 
3. 
II e IV. 
4. 
I e III. 
5. 
III e IV. 
5. Pergunta 5 
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Os conhecimentos acerca dos métodos de integração são essenciais para os estudantes 
de Cálculo Integral. Esses métodos possibilitam a reescrita de algumas integrais que, 
sem eles, não seriam resolvidas. Um dos métodos importantes de integração é o método 
conhecido como frações parciais. 
Tendo em vista o método supracitado, analise os procedimentos a seguir e ordene as 
etapas de acordo com a sequência na qual devem ser efetuados os passos para a 
utilização desse método de integração: 
( ) Fragmentar a integral inicial em outras integrais solúveis e efetuar os cálculos dessas 
integrais. 
( ) Reescrever o denominador da função racional em fatoração polinomial. 
( ) Substituir os valores nas integrais. 
( ) Fragmentar a fração racional em outras frações. 
( ) Encontrar os numeradores de cada uma dessas frações 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
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1. 
5, 1, 4, 2, 3. 
2. 
2, 4, 1, 5, 3. 
3. 
2, 1, 3, 4, 5. 
4. 
5, 2, 3, 4, 1. 
5. 
3, 4, 2, 1, 5 
6. Pergunta 6 
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As técnicas de integração servem para possibilitar a resolução do cálculo de uma 
integral indefinida, onde muitas vezes não há um passo direto para encontrarmos a 
primitiva F(x) de uma certa função f(x). Dessa forma, dependendo do arranjo algébrico 
dos termos de f(x), decidimos por diferentes técnicas de integração, como o método da 
substituição, o da integração por partes, o das frações parciais, e etc. 
De acordo com as definições e propriedades do cálculo da integral indefinida e definida 
pelo método de integração por partes e com seus conhecimentos sobre funções 
trigonométricas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeiras e F 
para a(s) falsa(s). 
I. ( ) A integral da função f(x) = (x+1)³(x-1) só pode ser calculada pela regra da 
integração por partes, por se tratar do produto de duas funções. 
II. ( ) A técnica de integração por partes é dada pela seguinte fórmula: 
III. ( ) A primitiva de g(x) = ln(x) é G(x) = xln(x) - x + C. 
IV. ( ) A integral definida no intervalo [-pi,pi] de h(x) = xsen(x) é aproximadamente 
igual a 6,28. 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
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1. 
F, V, V, V. 
2. 
V, V, F, F. 
3. 
V, F, F, V. 
4. 
F, V, V, V. 
5. 
F, F, V, F. 
7. Pergunta 7 
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Os métodos de integração buscam auxiliar na resolução das integrais, em geral 
reescrevendo as integrais complexas em integrais mais simples e facilmente 
solucionáveis. 
Com base nessas informações e nos seus conhecimentos acerca dos métodos de 
integração, associe os itens a seguir com os significados descritos: 
1) Integração por partes. 
2) Integração por substituição trigonométrica. 
3) Integração por frações parciais. 
4) Integração por substituição u du. 
( ) Método de substituição mais simples, que pode serutilizado em inúmeros casos de 
integrais. 
( ) Útil para integração de certos tipos de produtos de funções. 
( ) Útil para a eliminação de tipos específicos de radicais nos integrandos. 
( ) Utilizado para integração de funções racionais. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
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1. 
4, 1, 2, 3. 
2. 
1, 2, 4, 3. 
3. 
1, 2, 3, 4. 
4. 
3, 4, 2, 1. 
5. 
2, 1, 3, 4. 
8. Pergunta 8 
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Os métodos de integração auxiliam na resolução de integrais não triviais, ou seja, 
auxiliam na resolução daqueles que não podem ser facilmente determinada pelo 
conhecimento de algumas derivadas e antiderivadas. Um dos métodos importantes de 
integração é o método conhecido como integral por partes. 
Tendo em vista o método supracitado, analise os procedimentos a seguir e ordene as 
etapas de acordo com a sequência na qual devem ser efetuados os passos para a 
utilização desse método de integração: 
( ) Orientar-se pelo LIATE. 
( ) Determinação de du e v. 
( ) Identificar os tipos de funções. 
( ) Substituição do u e dv. 
( ) Substituição na fórmula de integração por partes e resolução da integral. 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
2, 4, 1, 3, 5. 
2. 
5, 2, 3, 4, 1. 
3. 
2, 4, 1, 5, 3. 
4. 
2, 1, 3, 4, 5. 
5. 
3, 4, 2, 1, 5. 
9. Pergunta 9 
/1 
A matemática pauta sua construção de conhecimento com base em seus axiomas, que 
são premissas assumidas como verdadeiras, isto é, proposições inquestionáveis. A partir 
dessas proposições, outros conhecimentos são gerados, tais como teoremas, 
propriedades, corolários e afins. Esses conhecimentos vão gerando outros, e assim 
sucessivamente. 
Considerando essas informações, pode-se afirmar que a propriedade da derivada do 
produto de duas funções é relevante para a integração por partes porque: 
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1. 
as derivadas do produto são equivalentes as integrais dos produtos. 
2. 
funciona como uma premissa verdadeira que serve como base para a dedução do 
método de integração por partes. 
3. 
ambas são axiomas da matemática. 
4. 
a propriedade derivativa é utilizada para a resolução de problemas que envolvem 
integral por partes. 
5. 
deve-se derivar as funções antes de integrá-las 
10. Pergunta 10 
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O método de integração por substituições trigonométricas é um dos mais trabalhosos e 
complexos métodos. Busca-se, com ele, a realização de uma substituição a partir de 
funções trigonométricas específicas para a eliminação de uma estrutura determinada do 
integrando. 
Com base no seu conhecimento acerca desse método de integração, analise as 
afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) O método trabalha com a eliminação de radicais específicos do integrando. 
II. ( ) x= asen( ) é uma das substituições possíveis. 
III. ( ) O conhecimento acerca das relações trigonométricas é dispensável para resolução 
desse método. 
IV. ( ) Há ligação entre o círculo trigonométrico e esse método de integração. 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
V, F, F, F. 
2. 
V, V, F, V. 
3. 
F, F, V, V. 
4. 
V, V, V, F. 
5. 
V, V, F, F.