LISTA3_ST_2020

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PUC- Rio 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA 
ENG 1469 - ANÁLISE DE SÉRIES TEMPORAIS 2020 
PROF.: CRISTIANO FERNANDES 
 
 
 Lista de Exercícios 2 
 
 
 
1. Para cada um dos modelos abaixo: 
 
i. Reescreva o modelo utilizando o operador de atraso L; 
ii. Explicite a forma do modelo ARMA(p,q), i.e., especifique p e q; 
iii. Ache as raízes dos polinômios (L) e Θ(L). 
iv. Verifique se o processo é estacionário de 2a ordem e inversível. 
 
a) yt = 0,5 yt-1 + t 
b) yt - 0,5 yt-1 = t -1,3 t-1+ 0,4t-2 
c) yt - 1,5 yt-1 + 0,6 yt-2 = t 
d) (yt - 0,2) – 1,2 (yt-1 - 0,2) + 0,2 (yt-2 - 0,2)= t - 0,5t-1 
 
 
2. Os seguintes processos abaixo são estacionários de 2ª ordem. Calcule, 
para cada um deles, ρ(1), ρ(2) e ρ(3). 
 
i. yt + 0,5 yt-1 - 0,1yt-2 = t 
ii. yt = - 0,6 yt-2 + t 
 
 
3. Calcule ρ(1) e ρ(2) para cada um dos seguintes processos MA. 
 
i. yt = t - b t-1 
ii. yt = (1 + 2,4 L + 0,8 L
2 ) t 
 
 
4. i. Descreva a diferença fundamental entre os correlogramas (FAC) de um 
 processo AR estacionário e de um processo MA de mesma ordem. 
 
ii. Derive a função de autocorrelação (FAC) do processo ARMA(1,1) 
estacionário (yt - m) – a (yt-1 - m) = t - bt-1. 
 
 
5. O processo AR(1) yt = a yt-1 + t foi inicializado arbitrariamente em t=0 
com condição inicial y0. Considere t um ruído branco. 
 
 
i. Derive a média incondicional do processo para t ≥ 0. 
ii. Derive a função autocovariância do processo para t ≥ 0. 
iii. Explique porque o processo não é estacionário para 0 ≤ t < ∞. 
iv. Explique porque o processo pode ser estacionário no limite 
 quando t ∞. 
v. Verifique que, se ao invés de assumirmos que y0 é fixo e arbitrário, 
 postularmos que y0 ~ N(0, σ
2/(1-a2)) então o processo será 
 estacionário de 2ª ordem para t ≥ 0. 
 
6. Considere os seguintes processos MA: 
 
a) yt = 0.8 t-1 + t 
b) yt = 0.6 t-1 + 0.3 t-2 + t 
 
i. Calcule, para cada processo, E(yt), Var(yt) e a FAC. 
ii. Verifique se os processos são invertíveis. 
iii. Calcule, para cada processo, E(yt|Yt-1), Var(yt|Yt-1). 
 
 
 7. Sejam yt e xt processos estacionários de 2ª ordem, e independentes 
 entre si. 
 
i. Assumindo que yt ~ AR(1) e xt ~ AR(2), determine o tipo do modelo 
ARMA(p,q) para o processo zt = yt + xt. 
 
ii. Assuma agora que yt ~ AR(1) e xt ~ AR(1), onde: 
a) x y   
b) variância do ruído em yt = variância do ruído em xt = 
2. 
 
 Determine o tipo do modelo ARMA(p,q) para o processo 
 zt = yt + xt sob estas condições. 
 
 8. Dados as séries em anexo, identifique o seu processo gerador, comparando 
o seu correlograma e correlograma parcial com a FAC e FACP de 
processos AR, MA, ARMA e processos não estacionários. 
 
 9. Obtenha a expressão do log da verossimilhança para um processo AR(2) 
 com condição inicial fixa, mostrando que os estimadores de MV coincidem 
 com os de MQO. 
 
 
 