FT 3 - Equações diferenciais (ED) de transferência de massa

Prévia do material em texto

Universidade Federal de Mato Grosso – UFMT
Faculdade de Engenharia – FAENG
Campus Universitário de Várzea Grande - CUVG
Fenômenos de
Transporte 3
Novembro de 2021
Prof. Dr. Gabriel Henrique Justi
prof.ghjusti@gmal.com .
gabrielhjusti ,
Unidade 4
Tópicos:
Introdução.
1. Equações diferenciais (ED) de transferência de massa.
2. Formas especiais da ED de transferência de massa.
3. Condições de contorno comumente empregadas.
4. Etapas para modelar processos (difusão molecular).
Prof. Dr. Gabriel Henrique Justi 
FT 3
2
❑ Nos FTs anteriores...
▪ As equações diferenciais foram deduzidas a partir do conceito de volume de controle (VC) diferencial.
▪ Assim, usaremos a mesma abordagem para a TM.
❑ A partir de um balanço de massa em um volume de controle
diferencial, vamos estabelecer a equação da continuidade para
uma dada espécie química.
❑ As equações da continuidade permitem analisar pontualmente o
fenômeno de transferência de massa por intermédio do
conhecimento da distribuição de:
▪ Concentração de um determinado soluto,
▪ No tempo e
▪ No espaço, sujeito ou não a transformações.
INTRODUÇÃO
FT 3
3
❑ Considere o escoamento:
▪ Uma mistura contendo o componente A.
▪ Volume de controle: ∆𝑥∆𝑦∆𝑧.
❑ Conservação da massa:
taxa líquida de massa
que escoa através do
volume de controle
+
taxa líquida de acúmulo
de massa dentro do
volume de controle
= 0
Fluxo
Elemento de volume
ඵ
s.c.
𝜌 𝐯 ∙ 𝐧 𝑑𝐴 +
𝜕
𝜕𝑡
ම
v.c.
𝜌𝑑𝑉 = 0 2.1
Prof. Dr. Gabriel Henrique Justi 
1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS (ED) DE TRANSFERÊNCIA DE MASSA
FT 3
4
❑ Conservação da massa:
▪ Inclui-se um termo de geração ou o desaparecimento de A.
• Taxa de reação.
taxa líquida de massa
que escoa através do
volume de controle
+
taxa líquida de acúmulo
de massa dentro do
volume de controle
−
taxa de geração de
𝐴 por reação química
dentro do volume de
controle
= 0
Fluxo 𝑦
𝑧
𝑥
Entra (→)
Sai (←)
Prof. Dr. Gabriel Henrique Justi 
1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS (ED) DE TRANSFERÊNCIA DE MASSA
FT 3
5
❑ Conservação da massa:
▪ Taxa líquida:
𝜌𝐴𝐯𝐴𝐴|saida − 𝜌𝐴𝐯𝐴𝐴|entrada 2.2𝑎
▪ Taxa líquida de acúmulo:
𝜕𝜌𝐴
𝜕𝑡
𝑉 2.2𝑏
▪ Taxa de geração:
𝑟𝐴𝑉 2.2𝑐
𝑛𝐴,𝑥|𝑥
𝑛𝐴,𝑧|𝑧
𝑛𝐴,𝑥|𝑥+∆𝑥
𝑛𝐴,𝑦|𝑦
𝑛𝐴,𝑦|𝑦+∆𝑦
𝑛𝐴,𝑧|𝑧+∆𝑧
Prof. Dr. Gabriel Henrique Justi 
1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS (ED) DE TRANSFERÊNCIA DE MASSA
Prof. Dr. Gabriel Henrique Justi 
FT 3
6
❑ Balanço material:
▪ Nas direções 𝑥, 𝑦 e 𝑧;
▪ Termo de acúmulo e de geração...
...
▪ Simplificando alguns termos;
▪ Limite: ∆𝑥, ∆𝑦 e ∆𝑧 tendendo a zero;
• Definição de derivada parcial:
𝑓 𝑥 + ∆𝑥 ≅ 𝑓 𝑥 +
𝜕𝑓 𝑥
𝜕𝑥
𝑑𝑥
1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS (ED) DE TRANSFERÊNCIA DE MASSA
Prof. Dr. Gabriel Henrique Justi 
FT 3
7
𝜕𝜌𝐴
𝜕𝑡
+ 𝛁 ∙ 𝐧𝐴 − 𝑟𝐴 = 0 2.3
1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS (ED) DE TRANSFERÊNCIA DE MASSA
Prof. Dr. Gabriel Henrique Justi 
FT 3
8
❑ Análogo ao componente A, a espécie B fica:
𝜕𝜌𝐵
𝜕𝑡
+ 𝛁 ∙ 𝐧𝐵 − 𝑟𝐵 = 0 2.4
❑ Somando as equações das espécies A e B, temos:
𝜕 𝜌𝐴 + 𝜌𝐵
𝜕𝑡
+ 𝛁 ∙ 𝐧𝐴 + 𝐧𝐵 − 𝑟𝐴 + 𝑟𝐵 = 0 2.5
▪ Fazendo:
𝑟𝐴 = −𝑟𝐵 = 0
𝜌 = 𝜌𝐴 + 𝜌𝐵
𝐧 = 𝐧𝐴 + 𝐧𝐵 = 𝜌𝐴𝐯 + 𝜌𝐵𝐯 = 𝜌𝐯
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+ 𝛁 ∙ 𝜌𝐯 = 0 2.6
Equação da continuidade para um 
fluido homogêneo
(FT 1).
1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS (ED) DE TRANSFERÊNCIA DE MASSA
Prof. Dr. Gabriel Henrique Justi 
FT 3
9
❑ Equação da continuidade em termos molar da espécie A:
▪ Dividindo pela massa molar (𝑀𝐴).
𝜕
𝜌𝐴
𝑀𝐴
𝜕𝑡
+ 𝛁 ∙
𝐧𝐴
𝑀𝐴
−
𝑟𝐴
𝑀𝐴
= 0 →
𝜕𝑐𝐴
𝜕𝑡
+ 𝛁 ∙ 𝐍𝐴 − 𝑅𝐴 = 0 2.7
❑ Análogo ao componente A, a espécie B fica:
𝜕𝑐𝐵
𝜕𝑡
+ 𝛁 ∙ 𝐍𝐵 − 𝑅𝐵 = 0 2.8
❑ Somando as equações das espécies A e B, temos:
𝜕 𝑐𝐴 + 𝑐𝐵
𝜕𝑡
+ 𝛁 ∙ 𝐍𝐴 + 𝐍𝐵 − 𝑅𝐴 + 𝑅𝐵 = 0 2.9
ou
𝜕𝑐
𝜕𝑡
+ 𝛁 ∙ 𝑐𝐕 − 𝑅𝐴 + 𝑅𝐵 = 0 2.10
ቊ
𝑐 = 𝑐𝐴 + 𝑐𝐵
𝐍 = 𝐍𝐴 + 𝐍𝐵 = 𝒄𝐴𝐕 + 𝒄𝐵𝐕 = 𝒄𝐕
Equação 2.10:
▪ Se 𝑅𝐴 = −𝑅𝐵:
• 1 mol A (cons.) → 1 mol de B (prod.)
▪ Se (𝑅𝐴 + 𝑅𝐵) ≠ 0:
• Número de mols não se conserva.
1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS (ED) DE TRANSFERÊNCIA DE MASSA
Prof. Dr. Gabriel Henrique Justi 
FT 3
10
Conservação da massa versus número de mols...???
Exemplo: oxidação do dióxido de enxofre.
𝟐SO2 + O2 → 𝟐SO3
❑ Ponto de vista de massa:
+ →
A B C
𝑀 64 g/gmol 32 g/gmol 80 g/gmol
𝑚 128 g 32 g 160 g
160 g 160 g
❑ Ponto de vista de mol:
+ →
A B C
𝑀 64 g/gmol 32 g/gmol 80 g/gmol
𝑛 2 mols 1 mol 2 mols
3 mols 2 mols
A massa é conservada
na reação!
O número de mols não se conserva
na reação!
1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS (ED) DE TRANSFERÊNCIA DE MASSA
Prof. Dr. Gabriel Henrique Justi 
FT 3
11
❑ Equação da continuidade:
▪ Representa as características geométricas:
• Coordenadas retangulares (𝑥, 𝑦, 𝑧);
• Coordenadas cilíndricas (𝑟, 𝜃, 𝑧); e
• Coordenadas esféricas (𝑟, 𝜃, 𝜑).
❑ A “lei” que representa o fenômeno físico:
𝐪 = −𝑘𝛁𝐓
𝐍𝐴 = −𝑐𝐷𝐴𝐵𝛁𝑦𝐴 + 𝑦𝐴 𝐍𝐴 + 𝐍𝐵
𝑥, 𝑦, 𝑧
𝑟, 𝜃, 𝑧
𝑟, 𝜃, 𝜑
2. FORMAS ESPECIAIS DA ED DE TRANSFERÊNCIA DE MASSA
Prof. Dr. Gabriel Henrique Justi 
FT 3
12
❑ Aplicando a:
▪ A lei do fenômeno...
𝐍𝐴 = −𝑐𝐷𝐴𝐵𝛁𝑦𝐴 + 𝑦𝐴 𝐍𝐴 + 𝐍𝐵
𝐍𝐴 = −𝑐𝐷𝐴𝐵𝛁𝑦𝐴 + 𝑐𝐴𝐕
▪ Na equação da continuidade:
𝜕𝑐𝐴
𝜕𝑡
+ 𝛁 ∙ 𝐍𝐴 − 𝑅𝐴 = 0
❑ Substituindo...
𝜕𝑐𝐴
𝜕𝑡
+ 𝛁 ∙ −𝑐𝐷𝐴𝐵𝛁𝑦𝐴 + 𝑐𝐴𝐕 − 𝑅𝐴 = 0
𝜕𝜌𝐴
𝜕𝑡
− 𝛁 ∙ 𝜌𝐷𝐴𝐵𝛁𝑤𝐴 + 𝛁 ∙ 𝜌𝐴𝐕 − 𝑟𝐴 = 0
(massa)
❑ Substituindo...
𝜕𝑐𝐴
𝜕𝑡
+ 𝛁 ∙ −𝑐𝐷𝐴𝐵𝛁𝑦𝐴 + 𝑐𝐴𝐕 − 𝑅𝐴 = 0
𝜕𝑐𝐴
𝜕𝑡
− 𝛁 ∙ 𝑐𝐷𝐴𝐵𝛁𝑦𝐴 + 𝛁 ∙ 𝑐𝐴𝐕 − 𝑅𝐴 = 0
(molar)
2. FORMAS ESPECIAIS DA ED DE TRANSFERÊNCIA DE MASSA
Prof. Dr. Gabriel Henrique Justi 
FT 3
13
𝜕𝑐𝐴
𝜕𝑡
+ 𝛁 ∙ 𝑐𝐴𝐕 − 𝛁 ∙ 𝑐𝐷𝐴𝐵𝛁𝑦𝐴 − 𝑅𝐴 = 0 (2.11)
𝜕𝜌𝐴
𝜕𝑡
+ 𝛁 ∙ 𝜌𝐴𝐯 − 𝛁 ∙ 𝜌𝐷𝐴𝐵𝛁𝑤𝐴 − 𝑟𝐴 = 0 (2.12)
❑ As equações acima:
▪ Os perfis de concentração dentro de um sistema.
▪ Completamente gerais, porém relativamente complexas.
▪ Mas dependendo do sistema, elas podem ser simplificadas fazendo algumas suposições restritivas.
Acúmulo Convecção Difusão Geração
2. FORMAS ESPECIAIS DA ED DE TRANSFERÊNCIA DE MASSA
Prof. Dr. Gabriel Henrique Justi 
FT 3
14
❑ A partir da equação 2.11 abaixo...
𝜕𝑐𝐴
𝜕𝑡
+ 𝛁 ∙ 𝑐𝐴𝐕 − 𝛁 ∙ 𝑐𝐷𝐴𝐵𝛁𝑦𝐴 − 𝑅𝐴 = 0
❑ Suposições:
i. Se a concentração 𝑐, e o coeficiente de difusão, 𝐷𝐴𝐵 , for constante, reduz-se a:
ii. Se não há termo de geração, e se a concentração e o coeficiente de difusão forem
constantes, reduz-se a:
𝜕𝑐𝐴
𝜕𝑡
+ 𝐕 ∙ 𝛁𝑐𝐴 − 𝐷𝐴𝐵𝛁
2𝑐𝐴 − 𝑅𝐴 = 0 (2.13𝑎)
𝜕𝑐𝐴
𝜕𝑡
+ 𝐕 ∙ 𝛁𝑐𝐴 − 𝐷𝐴𝐵𝛁
2𝑐𝐴 = 0 (2.13𝑏)
2. FORMAS ESPECIAIS DA ED DE TRANSFERÊNCIA DE MASSA
Prof. Dr. Gabriel Henrique Justi 
FT 3
15
❑ A partir da equação 2.11 abaixo...
𝜕𝑐𝐴
𝜕𝑡
+ 𝛁 ∙ 𝑐𝐴𝐕 − 𝛁 ∙ 𝑐𝐷𝐴𝐵𝛁𝑦𝐴 − 𝑅𝐴 = 0
❑ Suposições:
iii. Não escoamento do fluido, v = 0, nenhuma geração, 𝑅𝐴 = 0, e a densidade e a
difusividade constante, reduz-se a:
iv. Se o processo estiver em estado estacionário e a densidade e a difusividade
constantes, reduz-se a:
• Sem reação química, 𝑅𝐴 = 0:
• Se v = 0:
𝜕𝑐𝐴
𝜕𝑡
− 𝐷𝐴𝐵𝛁
2𝑐𝐴 = 0 (2.13𝑐)
𝐕 ∙ 𝛁𝑐𝐴 − 𝐷𝐴𝐵𝛁
2𝑐𝐴 − 𝑅𝐴 = 0 (2.13𝑑)
𝐕 ∙ 𝛁𝑐𝐴 − 𝐷𝐴𝐵𝛁
2𝑐𝐴 = 0 (2.13𝑒)
𝛁2𝑐𝐴 = 0 (2.13𝑓)
2. FORMAS ESPECIAIS DA ED DE TRANSFERÊNCIA DE MASSA
Prof. Dr. Gabriel Henrique Justi 
FT 3
16
❑ A equação da continuidade para componente A:
𝜕𝑐𝐴
𝜕𝑡
+ 𝛁 ∙ 𝐍𝐴 − 𝑅𝐴 = 0 2.7
▪ Coordenadas retangulares (𝑥, 𝑦 e 𝑧):
𝜕𝑐𝐴
𝜕𝑡
+
𝜕𝑁𝐴,𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝑁𝐴,𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝑁𝐴,𝑧
𝜕𝑧
− 𝑅𝐴 = 0 (2.14𝑎)
▪ Coordenadas cilíndricas (𝑟, 𝜃 e 𝑧):
𝜕𝑐𝐴
𝜕𝑡
+
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
𝑟𝑁𝐴,𝑟 +
1
𝑟sen(𝜃)
𝜕𝑁𝐴,𝜃
𝜕𝜃
+
𝜕𝑁𝐴,𝑧
𝜕𝑧
− 𝑅𝐴 = 0 (2.14𝑏)
▪ Coordenadas esféricas (𝑟, 𝜃 e 𝜙):
𝜕𝑐𝐴
𝜕𝑡
+
1
𝑟2
𝜕
𝜕𝑟
𝑟2𝑁𝐴,𝑟 +
1
𝑟sen(𝜃)
𝜕
𝜕𝜃
sen(𝜃)𝑁𝐴,𝜃 +
1
𝑟sen(𝜃)
𝜕𝑁𝐴,𝜙
𝜕𝜙
− 𝑅𝐴 = 0 (2.14𝑐)
2. FORMAS ESPECIAIS DA ED DE TRANSFERÊNCIA DE MASSA
Prof. Dr. Gabriel Henrique Justi 
FT 3
17
❑ Os processos de TM são descritos:
▪ Equações diferenciais, correspondentessomente se as:
• Condições iniciais e de contorno forem especificadas.
. C.I.: Condições iniciais.
. C.C.: Condições de contorno.
❑ As C.I e C.C. são especificadas para:
▪ Definir os limites de integração, ou
▪ Determinar as constantes de integração.
2. FORMAS ESPECIAIS DA ED DE TRANSFERÊNCIA DE MASSA
Prof. Dr. Gabriel Henrique Justi 
FT 3
18
❑ As C.I.:
▪ Implica o conhecimento da propriedade concentração ou fração (mássica ou molar) do soluto no início
do processo de transferência de massa.
𝑡 = 0, → 𝑐𝐴 = 𝑐𝐴,0, 𝜌𝐴 = 𝜌𝐴,0, 𝑥𝐴 = 𝑥𝐴,0, 𝑤𝐴 = 𝑤𝐴,0,
em um determinado espaço.
❑ As C.C.:
▪ Referem-se ao valor ou informação da concentração ou fração (mássica ou molar) do soluto em
posições específicas no volume de controle ou nas fronteiras desse volume.
❑ Quatro tipos de C.C. são usualmente encontrados em TM:
1) A concentração da espécie A (que se transfere) na superfície do volume de controle é especificada.
2) Uma superfície onde ocorre uma reação especificada.
3) O fluxo da espécie que está sendo transferida é nulo na fronteira ou na linha central de simetria.
4) O fluxo convectivo de massa na superfície é especificado.
3. CONDIÇÕES DE CONTORNO COMUMENTE EMPREGADAS
Prof. Dr. Gabriel Henrique Justi 
FT 3
19
❑ A concentração na superfície pode ser especificada em termos de diferentes unidades:
▪ Concentração molar, 𝑐𝐴,𝑆 .
▪ Concentração mássica, 𝜌𝐴,𝑆 .
▪ Fração molar do líquido e do gás, 𝑥𝐴,𝑆 e 𝑦𝐴,𝑆.
▪ Fração mássica, 𝑤𝐴,𝑆 .
𝑥
𝑦
fronteira s
inicial
fronteira s
final
𝜌𝐴 = 𝜌𝐴,𝑆
𝑐𝐴 = 𝐶𝐴,𝑆
𝑤𝐴 = 𝑤𝐴,𝑆
𝑥𝐴 = 𝑥𝐴,𝑆
𝑦𝐴 = 𝑦𝐴,𝑆
Fluxo Fluxo
VC
3. CONDIÇÕES DE CONTORNO COMUMENTE EMPREGADAS
3.1. A concentração da espécie A (que se transfere) na superfície do volume de controle é especificada
Prof. Dr. Gabriel Henrique Justi 
FT 3
20
❑ Quando a superfície de controle é definida para um componente puro em uma única fase e uma mistura na
segunda fase:
▪ Nessa interface, a concentração do componente A:
• Está em condições termodinâmicas.
Líquido A
Vapor A +
Gás de arraste Bz
𝑧 = 0
Gás A
A dissolvido +
Solvente de 
arraste B
z
𝑧 = 0
Sólido A
A dissolvido +
Solvente de 
arraste B
z
𝑧 = 0
Gás A
A dissolvido +
Material sólido B
z
𝑧 = 0
3. CONDIÇÕES DE CONTORNO COMUMENTE EMPREGADAS
3.1. A concentração da espécie A (que se transfere) na superfície do volume de controle é especificada
Prof. Dr. Gabriel Henrique Justi 
FT 3
21
❑ Para um gás e um líquido em contato:
▪ Há diversas maneiras de especificar a concentração na interface:
• Lei de Dalton.
• Lei de Raoult.
• Lei de Henry.
❑ Lei de Dalton (gases):
𝑝𝐴,𝑆 = 𝑦𝐴,𝑆𝑃 (2.15)
onde:
𝑃 = ෍
𝑖=1
𝑛
𝑝𝑖 2.16
Em termos de concentração (lei dos gases ideais):
𝑐𝐴,𝑆 =
𝑝𝐴,𝑆
𝑅𝑇
(2.17)
Líquido volátil
100% de A
z
Escoamento do ar (B)
Sumidouro
Fonte
líquido volátil
ar
3. CONDIÇÕES DE CONTORNO COMUMENTE EMPREGADAS
3.1. A concentração da espécie A (que se transfere) na superfície do volume de controle é especificada
Prof. Dr. Gabriel Henrique Justi 
FT 3
22
❑ Lei de Raoult (líquidos):
𝑝𝐴,𝑆 = 𝑥𝐴𝑃𝐴
vap
2.18
▪ Como calcular/estimar a pressão de vapor:
• Dados experimentais;
• Livros de termodinâmica;
• Correlações (polinômios):
. CHERIC (𝑃𝐴
vap
[kPa], 𝑇[K]):
ln 𝑃𝐴
vap
= 𝐴 ln 𝑇 +
𝐵
𝑇
+ 𝐶 + 𝐷𝑇2
Líquido volátil
100% de A
z
Escoamento do ar (B)
Sumidouro
Fonte
líquido volátil
ar
Espécies A B C D
Água -7,342973 -7,276391x103 6,702455x101 4,161914x10-6
Benzeno -8,433613 -6,281040x103 7,110718x101 6,198413x10-6
Etanol -5,089412 -6,606453x103 5,317030x101 5,954048x10-7
3. CONDIÇÕES DE CONTORNO COMUMENTE EMPREGADAS
3.1. A concentração da espécie A (que se transfere) na superfície do volume de controle é especificada
Prof. Dr. Gabriel Henrique Justi 
FT 3
23
❑ Lei de Henry:
▪ A lei de Henry aplica-se somente quando:
• A concentração do soluto e a sua pressão parcial são baixas.
• Isto é, quando o gás e sua solução são essencialmente ideais, e
• Quando o soluto não interage fortemente de nenhuma maneira com o solvente.
𝑝𝐴 = ℋ𝑥𝐴 2.19
Tabela 2.1. Valores da constante de Henry para vários gases em soluções aquosas (ℋ, em bar).
Fonte: Welty eT al. (2017).
3. CONDIÇÕES DE CONTORNO COMUMENTE EMPREGADAS
3.1. A concentração da espécie A (que se transfere) na superfície do volume de controle é especificada
Prof. Dr. Gabriel Henrique Justi 
FT 3
24
❑ Nas condições de equilíbrio termodinâmico:
▪ Na fronteira ou interface, s, e admitindo fases ideais:
• Igualando-se a lei de Dalton e lei de Henry, tem-se:
𝑦𝐴,𝑆 = m𝑥𝐴,𝑆 ou 𝑝𝐴,𝑆 = m
∗𝑐𝐴,𝑆 (2.20)
onde: m = Τℋ 𝑃 e m∗ = Τℋ 𝑐.
𝑥
condensação
𝒙𝑨,𝑺
𝒚𝑨,𝑺
Fronteira “s”
Fluxo: fase vapor Fluxo: fase líquida
3. CONDIÇÕES DE CONTORNO COMUMENTE EMPREGADAS
3.1. A concentração da espécie A (que se transfere) na superfície do volume de controle é especificada
Prof. Dr. Gabriel Henrique Justi 
FT 3
25
❑ Ocorrem em três situações comuns:
▪ Todas envolvendo reações heterogêneas em superfícies:
1) O fluxo de uma espécie pode ser relacionado ao fluxo de outra espécie pela estequiometria.
2) A reação química ocorre na superfície de uma partícula.
3) A reação pode ocorrer tão rapidamente.
1) O fluxo de uma espécie pode ser relacionado ao fluxo de outra espécie pela estequiometria.
▪ Considere a seguinte reação:
𝐴 + 2𝐵 → 4𝐶
▪ Assim os fluxos podem ser representados por:
𝐍𝐵 = +𝟐𝐍𝐴 ou 𝐍𝐶 = −𝟒𝐍𝐴
▪ Pela lei de Fick:
𝐍𝐴 = −𝑐𝐷𝐴−𝑚𝑖𝑠𝑡𝛁𝑦𝐴 + 𝑦𝐴 𝐍𝐴 + 𝐍𝐵 + 𝐍𝐶
𝐍𝐴 = −𝑐𝐷𝐴−𝑚𝑖𝑠𝑡𝛁𝑦𝐴 + 𝑦𝐴 𝐍𝐴 + 𝟐𝐍𝐴 − 𝟒𝐍𝐴
𝐍𝐴 = −𝑐𝐷𝐴−𝑚𝑖𝑠𝑡𝛁𝑦𝐴 − 𝑦𝐴 𝐍𝐴
3. CONDIÇÕES DE CONTORNO COMUMENTE EMPREGADAS
3.2. Uma superfície onde ocorre uma reação especificada
Prof. Dr. Gabriel Henrique Justi 
FT 3
26
2) A reação química ocorre na superfície de uma partícula:
A partícula é considerada como uma fronteira à região onde há o transporte do soluto.
Reação de 1ª ordem (molar):
𝑅𝐴 = ቚ𝑁𝐴,𝑧
𝑧=𝛿
= −𝑘𝑆𝐶𝐴 = −𝑘𝑆𝑦𝐴𝐶
𝑘𝑆 → taxa de reação na superfície (m/s).
3) A reação pode ocorrer tão rapidamente de modo que 𝑐𝐴,𝑠 = 0:
▪ Se a espécie há for o reagente limitante na reação.
Líquido ou sólido
𝑧
𝑁𝐴,𝑧 ou 𝑛𝐴,𝑧
𝑧 = 0, 𝑦𝐴 = 𝑦𝐴0
𝑧 = 𝛿
3. CONDIÇÕES DE CONTORNO COMUMENTE EMPREGADAS
3.2. Uma superfície onde ocorre uma reação especificada
Prof. Dr. Gabriel Henrique Justi 
FT 3
27
❑ Essa condição pode ocorrer no caso de uma fronteira impermeável ou no
centro de simetria do volume de controle, onde o fluxo líquido é igual a zero.
❑ Considerando um fluxo unidimensional ao longo de z, temos:
ቚ𝑁𝐴
𝑧=0
= −𝐷𝐴𝐵
𝜕𝑐𝐴
𝜕𝑧
= 0
ou
𝜕𝑐𝐴
𝜕𝑧
= 0
3. CONDIÇÕES DE CONTORNO COMUMENTE EMPREGADAS
3.3. O fluxo da espécie que está sendo transferida é nulo na fronteira ou na linha central de simetria
Prof. Dr. Gabriel Henrique Justi 
FT 3
28
❑ Quando um fluido escoa pela fronteira, o fluxo pode ser definido por convecção.
▪ Por exemplo, em uma superfície localizada em 𝑧 = 0, o fluxo convectivo de massa através da camada
limite é dado por:
ቚ𝑁𝐴
𝑧=0
= 𝑘𝑐 𝑐𝐴,𝑆 − 𝑐𝐴,∞
onde:
𝑐𝐴,∞ → a concentração de A no seio do fluido em escoamento.
𝑐𝐴,𝑆 → a concentração de A na superfície em 𝑧 = 0.
𝑘𝑐 → coeficiente convectivo de transferência de massa.
3. CONDIÇÕES DE CONTORNO COMUMENTE EMPREGADAS
3.4. O fluxo convectivo de massa na superfície é especificado
Prof. Dr. Gabriel Henrique Justi 
FT 3
29
Quadro 2.1. Caminhos para o desenvolvimento de um modelo 
matemático para processos envolvendo difusão molecular.
Fonte: Welty elt al. (2008).
4. ETAPAS PARA MODELAR PROCESSOS ENVOLVENDO DIFUSÃO MOLECULAR
Prof. Dr. Gabriel Henrique Justi 
FT 3
30
EF 4.1 Dispositivos microeletrônicos são fabricados com várias camadas de filme fino sobre uma pastilha de
silício. Cada filme tem propriedades químicas e elétricas únicas. Por exemplo, um filme fino de silício (Si) cristalino
sólido, quando dopado com elementos apropriados – por exemplo, boro ou silício– apresenta propriedades de
semicondutor. Filmes finos de silício são comumente formados por deposição química por vapor, ou CVD, de silício
(SiH4) na superfície da pastilha. A reação química é:
SiH4 g → Si s + H2(g)
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO (EF)
Essa reação na superfície geralmente acontece a pressões muito
baixas (100 Pa) e a altas temperaturas (900 K). Em muitos
reatores CVD, a fase gasosa sobre o filme de Si não está misturada.
Além disso, a altas temperaturas, a reação na superfície é muito
rápida. Consequentemente, a difusão molecular do vapor de SiH4
para a superfície geralmente controla a taxa de formação do filme
de Si. Considere o reator CVD bastante simplificado, conforme
ilustrado a seguir. Uma mistura gasosa de silano e hidrogênio
escoa para dentro do reator. Um difusor provê um espaço com gás
quiescente sobre o filme crescente de Si. Desenvolva um modelo
diferencial para o fluxo molar do silano, supondo hipóteses
simplificadoras e por fim, apresente as condições de contorno
para a solução da equação diferencial.
Prof. Dr. Gabriel Henrique Justi 
FT 3
31
REFERÊNCIAS E LINKS
➢ CREMASCO, M. C. Fundamentos de transferência de massa. 3ª edição. São Paulo: Blucher, 2016.
➢ WELTY, J. R.; RORRER, G. L.; FOSTER, D. G. Fundamentos de transferência de momento, de calor e de massa. 6ª edição. São Paulo: LTC, 2017.
[1]
[1] Disponível em: <https://tinalison.wixsite.com/savenature/single-post/2015/10/19/11-REFERENCE-LIST>. Acesso em: 06 de ago. de 2020.