UA 11 semana 13 Matemática 2017-1 Lógica Proposicional parte 2_515defd2bf18a7e85a74c9cd428324d2

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MATEMÁTICA 
Unidade de Aprendizagem 11 
 
 
 
Lógica Proposicional (Parte 2) 
 
 
 
 
 
 
 
Avançar nos estudos de Lógica incrementando conhecimentos 
da lógica proposicional, por meio do estudo de várias 
equivalências lógicas e também do estudo de mais dois 
conectivos lógicos: condicional e bicondicional. 
Desenvolver competências relativas à lógica de várias proposições 
e de suas negações. Especificamente, nesta unidade, aprender a 
identificar afirmações equivalentes, além de lidar corretamente 
com situações em que a condicionalidade está presente. 
Assim como na UA 10, aplicar corretamente, em seu cotidiano 
comum e de gestor de empresas, as ferramentas da lógica. 
Realizar isso também nas equivalências lógicas, nas leis de 
Morgan e com os conectivos condicionais. 
 
 
2 
 
 
Lógica Proposicional (Parte 2) 
 
Apresentação 
 
Na UA 10 você aprendeu o que é uma proposição, e entendeu que, segundo 
as diretrizes da Lógica Clássica, ela pode ter apenas uma de duas classificações: 
verdadeira ou falsa. Você também trabalhou com palavras muito importantes da 
linguagem que são, dentro da Lógica Matemática, conectivos que ligam 
proposições, gerando as proposições compostas. Você aprendeu também a 
trabalhar com as tabelas verdade, que são bons instrumentos para se analisar 
todos os casos de uma afirmação, em termos de veracidade ou não daquilo que 
se está afirmando. 
Nesta UA 11 avançaremos nesse estudo, em especial, em quatro momentos 
mais amplos: primeiramente, apresentaremos a você uma pequena classificação 
das proposições, em termos de resultados em suas tabelas verdade. Mais 
especificamente, são nomes famosos na lógica das proposições, nas situações em 
que a tabela fica toda com F, toda com V ou então com valores F e V distribuídos 
ao longo dos casos. 
O segundo momento lidará com proposições compostas (envolvendo 
conectivos e, ou e ou...ou...) e suas respectivas negações. Nesse item 
verificaremos o que são proposições equivalentes. Por exemplo, se Agripino 
(gerente de uma metalúrgica de médio porte) afirma que “a empresa diminuiu os 
custos e aumentou as receitas”, mas Lucrécio (outro gerente da mesma empresa) 
fala que isso não é verdade, temos que pensar no seguinte: se Lucrécio estiver 
certo, então o que terá sido falso na afirmação de Agripino? A parte dos custos? A 
 
 
3 
parte das receitas? As duas coisas? Você verá que as tabelas verdade nos ajudarão 
a resolver esse dilema, que corresponde a um trabalho com as equivalências 
lógicas. 
O terceiro momento envolve conceitos associados a mais dois conectivos 
lógicos, completando o nosso estudo com eles. Já conhecemos o não, o ou, o e 
e o ou...ou.... Estudaremos o se... então... e também o se, e somente se. O 
conectivo se...então..., por exemplo, é bastante usado em nosso dia a dia, de 
forma intuitiva, mas sua importância nos levará a um estudo mais detalhado de 
seu uso. 
O quarto e último momento desta UA tratará de expandir as ideias 
discutidas até então para proposições compostas que possam ter mais de duas 
proposições simples; veremos como construir suas tabelas-verdade, com 
explicações bem ao modo “passo a passo”. 
Bem, estas são linhas gerais da Unidade de Aprendizagem que ora se inicia. 
Então... vamos começar! 
Para começar... 
 
Vamos fazer um “resumão” do que estudamos sobre Lógica na UA 10 para 
entrarmos aquecidos nesta UA 11: 
• Proposição simples é uma sentença declarativa, que pode ter apenas 
uma de duas classificações: verdadeira ou falsa. 
• A negação de uma proposição falsa é verdadeira; a negação de uma 
proposição verdadeira, é falsa. 
• Proposições compostas são conjuntos de proposições simples, ligadas por 
conectivos lógicos. Os conectivos são: “não”, “ou”, “e”, “ou...ou...” (estes 
estudados na UA 10) e estudaremos, nesta UA 11, o “se... então...” e o 
“se, e somente se”. 
 
 
4 
• Símbolos dos conectivos e associações com teoria dos conjuntos; reveja-os 
no Quadro 1: 
 
Quadro 1: Conectivos, símbolos da Lógica e dos Conjuntos 
Conectivo Simbologia da 
Lógica 
Simbologia dos Conjuntos 
NÃO ~A ¬A A̅ A’ A̅ 
E A ∧ B A ∩ B 
OU (inclusivo) A ∨ B A ∪ B 
OU (exclusivo), também 
usado como OU... OU... 
A ∨ B A △ B 
ou (A – B) ∪ (B – A) 
ou ainda (A ∪ B) – ( A ∩ B) 
 
• Reveja as tabelas-verdade já estudadas: 
 
Quadros 2 e 3: tabelas-verdade do não, do e, do ou inclusivo 
e do ou exclusivo. 
 
 
 
 
 
 
 
Agora, trabalharemos com a negação aplicada às proposições compostas 
que estudamos por meio do que chamaremos de equivalências lógicas. Mais 
adiante estenderemos todo esse estudo para proposições compostas com três ou 
mais proposições simples; antes disso, veremos também dois novos conectivos. 
 Muito bem, vamos então a mais um conjunto de Fundamentos! 
 
A B A ∧ B A ∨ B A ∨ B 
V V V V F 
V F F V V 
F V F V V 
F F F F F 
A ~A 
V F 
F V 
 
 
5 
Fundamentos 
 
Em nosso estudo, algumas palavras são importantes para indicar tabelas-
verdade famosas na Lógica. Aprecie esses casos (seções de 1.1 a 1.3) e verifique 
suas tabelas-verdade. 
 
1. Classificações famosas de proposições compostas 
1.1 Tautologia 
 
No dicionário da língua portuguesa de Francisco Silveira Bueno, tautologia 
é um “vício de linguagem que consiste em dizer a mesma coisa, por formas 
diferentes, repetidas vezes”. Em termos de lógica matemática, ocorre uma 
tautologia se a tabela verdade referente a uma fórmula lógica é constituída 
somente por conclusões verdadeiras, ou seja, “a última coluna” da tabela 
verdade é toda composta somente por V. 
Comecemos com um exemplo simples: “Juliana comeu repolho no almoço 
ou Juliana não comeu Repolho no almoço”. Você pensou: “que óbvio!”. Essa sua 
reação tem razão de existir, e isso mostra que você entendeu o que é uma 
Tautologia. Veja a tabela dessa proposição no Quadro 4, chamando de J a 
proposição simples “Juliana comeu repolho no almoço”: 
 
Quadro 4: tabela-verdade de J ∨ (~J) 
 
 
 
 
Veja mais um exemplo de tautologia: (A ∨ (~B)) ∨ (~A). 
 
J ~J J ∨ (~J) 
V F V 
F V V 
 
 
6 
Quadro 5: tabela-verdade de (A ∨ ~B) ∨ ~A 
 
 
 
 
 
 
Observe que, independentemente dos valores V ou F das proposições 
simples A e B, o valor da fórmula lógica dada é sempre verdadeiro. E será que é 
possível uma tabela ficar com todos os casos iguais a F? 
 
1.2 Contradição (Contra-tautologia) 
 
Ao contrário da Tautologia, a Contradição ocorre quando a conclusão na 
tabela verdade é constituída somente por F. Um exemplo: Cleide foi ao cinema 
ontem e Cleide não foi ao cinema ontem. Você pensou: “que absurdo!”. 
Novamente, essa sua reação tem razão de existir, e isso mostra que você entendeu 
o que é uma Contradição. Veja a tabela verdade dessa proposição no Quadro 6, 
chamando de C a proposição simples “Cleide foi ao cinema ontem”: 
 
Quadro 6: tabelas-verdade de C = Cleide foi ao cinema ontem 
 
 
 
 
Veja mais um exemplo de Contradição: se fizermos a negação da tautologia 
mostrada no item anterior, ou seja, a negação de (A ∨ ~B) ∨ ~A, teremos uma 
tabela com todos os valores F ao seu final, como mostra o Quadro 7: 
A B ~B (A ∨ (~B)) ~A (A ∨ ~B) ∨ (~A) 
V V F V F V 
V F V V F V 
F V F F V V 
F F V V V V 
C ~C C ∧ ~C 
V F F 
F V F 
 
 
7 
 
Quadro 7: tabela-verdade de (A ∨ (~B)) ∨ (~A) e de sua negação 
 
E se não é Tautologia e nem Contradição... é Contingência. 
 
1.3 Contingência 
 
Para fechar estas classificações, perceba que falta um caso: se a conclusão 
numa tabela verdade não é toda F e não é toda V, então ela terá a presença dos 
dois valores, V e F. A maioria das tabelas que inventamos aleatoriamente tem 
valores F e V na última coluna. Exemplo: (A ∨ (~B)) ∧ (~A) (veja Quadro 8): 
Quadro 8: tabela-verdade de (A ∨ ~B) ∧ ~A 
 
 
 
 
 
 
Muito bem, agora que aquecemos nosso pensamento lógico com essa 
classificação de proposições, vamos a exemplos mais “fortes” de proposiçõescompostas. Estudaremos proposições originalmente “diferentes”, mas que 
possuem a mesma tabela-verdade. E por isso são chamadas de equivalentes. 
 
A B ~B (A ∨ (~B)) ~A (A ∨ (~B)) ∨ (~A) ~((A ∨ (~B)) ∨ (~A)) 
V V F V F V F 
V F V V F V F 
F V F F V V F 
F F V V V V F 
A B ~B (A ∨ (~B)) ~A (A ∨ (~B)) ∧ (~A) 
V V F V F F 
V F V V F F 
F V F F V F 
F F V V V V 
 
 
8 
2. Proposições Equivalentes 
 
Duas proposições, formadas a partir das mesmas proposições simples, são 
chamadas equivalentes se elas possuem os mesmos valores lógicos finais na 
tabela verdade. Isso significa que, apesar destas proposições serem escritas de 
formas diferentes, elas transmitem a mesma informação. 
Para exemplificar, vamos retomar a ideia da negação da negação de uma 
proposição P que equivale à própria proposição P. Acompanhe a tabela verdade: 
 
Quadro 9: tabela verdade de ~(~P) 
 
 
 
 
 
Veja outro exemplo no Quadro 10: as proposições ~(A ∨ B) e (~A) ∧ (~B) 
são equivalentes. 
 
Quadro 10: valores lógicos de ~(A ∨ B) e (~A) ∧ (~B) 
 
 
 
 
 
 
P ~P ~(~P) 
V F V 
F V F 
A B A∨B ~(A ∨ B) ~A ~B ~A ∧ ~B 
V V V F F F F 
V F V F F V F 
F V V F V F F 
F F F V V V V 
 
 
9 
 
 
Há, no mínimo, duas situações em que é necessário o conhecimento da 
equivalência entre duas proposições: se existe ordem de precedência entre 
operações envolvidas (calma, já iremos explicar) e nas situações em que se deseja 
fazer a negação de uma proposição composta (também iremos detalhar). 
 
 
Hmmm... sabe que essa dica nos deu a possibilidade de construir outra 
dica? Veja a importância de uma leitura correta do símbolo da negação: 
 
CONCEITO 
Você viu que usamos a palavra “equivalentes” para tabelas que possuem a 
mesma conclusão, ao invés da palavra “iguais”? Explicado de modo 
razoavelmente informal, ficará fácil de entender: veja que a escrita ~(A ˅ B) 
não é idêntica à escrita (~A) ∧ (~B), porém, como elas têm a mesma tabela 
verdade, então possuem valores lógicos iguais, ou seja, são proposições 
equivalentes. 
 
DICA 
Para verificar se duas proposições formadas pelas mesmas proposições 
simples são equivalentes basta construir suas tabelas-verdade e verificar se 
possuem mesma conclusão (valores lógicos). 
DICA 
Perceba que a proposição (~Q ∧ P) não é equivalente a ~(Q ∧ P): na primeira 
escrita ocorre a negação apenas da proposição Q, enquanto na segunda 
escrita ocorreu a negação da conjunção Q ∧ P, percebeu? 
 
 
10 
Essa dica está relacionada com aquilo que chamamos de “precedência” das 
operações lógicas. No caso da escrita (~Q ∧ P) devemos primeiramente fazer a 
negação de Q, para depois construirmos a tabela do conectivo ∧. Porém, quando 
escrevemos ~(Q ∧ P), devemos fazer primeiramente a tabela do conectivo ∧ 
para depois executar a negação. 
Bem, é possível fazer um aprofundamento no tema “precedência dos 
conectivos lógicos”, mas isso fugiria um pouco dos objetivos deste texto. Caso 
deseje, você pode se aprofundar nesse tema consultando a literatura que consta 
nas referências, ou mesmo digitando expressões como “ordem de precedência de 
operações lógicas” ou “precedência de conectivos lógicos” em sites de busca; você 
verá que inúmeras opções serão oferecidas, mas boa parte delas focadas em 
estudos em linguagens da Informática. 
Para não haver dúvidas nas aplicações dos conectivos, usaremos os 
parênteses, quando necessário, embora algumas situações com a negação 
mereçam uma reflexão mais intensa (veja que no exemplo de ~Q ∧ P você deve 
usar a negação antes de pensar no conectivo “e”; em outras palavras, 
primeiramente se faz a negação de Q, e depois se aplica o conectivo ∧). 
Voltando ao tema desta seção, ou seja, as equivalências, mostraremos a 
você algumas equivalências importantes: 
 
(a) Propriedade Comutativa 
Perceba que os conectivos e e ou gozam da propriedade comutativa, ou 
seja, tanto A ∧ B como A ∨ B tem suas formas equivalentes se trocarmos a posição 
de A com B. Assim: 
• A ∧ B é equivalente a B ∧ A. 
• A ∨ B é equivalente a B ∨ A. 
 
 
 
11 
 
(b) Propriedade Associativa 
Até agora trabalhamos bastante com proposições compostas de duas 
proposições simples. A partir de agora começaremos a falar de proposições com 
mais de duas, ok? E para começar, veja que não é difícil perceber a validade das 
afirmações a seguir: 
• (A ∧ B) ∧ C é equivalente a A ∧ (B ∧ C) 
• (A ∨ B) ∨ C é equivalente a A ∨ (B ∨ C) 
Mais adiante, neste texto, abordaremos as tabelas-verdade para o caso de 
mais de três proposições simples. 
 
(c) Propriedade Distributiva 
 
De modo similar ao já estudado e revisto nessa “Dica”, veja como é fácil 
associar essa ideia aos conectivos a seguir (preste muita atenção, pois há 
conectivos e e ou nas duas expressões): 
• A ∧ (B ∨ C) é equivalente a (A ∧ B) ∨ (A ∧ C). 
• A ∨ (B ∧ C) é equivalente a (A ∨ B) ∧ (A ∨ C). 
No texto 1 de nosso Antena Parabólica apresentaremos a você as tabelas 
verdade destas duas equivalências. Não apresentamos agora, nesta seção, porque 
mais adiante falaremos com mais calma sobre a forma de construir uma tabela-
verdade com mais de duas proposições simples, ok? 
 
Dica 
Note que você conhece a propriedade distributiva da multiplicação há muito 
tempo, para expressões numéricas e algébricas, as quais foram revisadas nas 
UAs 5 e 6: 
𝐚 ⋅ ሺ𝐱 + 𝐲ሻ = 𝐚𝐱 + 𝐚𝐲 
 
 
12 
(d) As Leis de Morgan 
Ahá! Você está com a sensação de que já viu esse nome antes? Muito bem, 
você está com a sensação correta! Na UA 3 você viu as possíveis igualdades entre 
certas operações entre conjuntos, que envolviam o complementar de um 
conjunto. Veja quais foram: 
(1ª) 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴 ∩ 𝐵 
(2ª) 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴 ∪ 𝐵 
Usando a linguagem corrente para explicitar essas leis podemos dizer que: 
(1ª) O complementar da UNIÃO entre dois conjuntos A e B é igual à 
INTERSECÇÃO entre os complementares desses dois conjuntos. 
(2ª) O complementar da INTERSECÇÃO entre dois conjuntos A e B é igual 
à UNIÃO entre os complementares desses dois conjuntos. 
Mas por que será que estamos falando dessas leis de Conjuntos? Para 
responder a essa pergunta, lembre-se do fato de que a negação das proposições 
está fortemente associada ao complementar de um conjunto. Na verdade, 
teremos as mesmas LEIS DE MORGAN agora, para as proposições compostas; elas 
nos fazem entender como fica a negação de uma proposição que tem os 
conectivos e e ou. Veja como ficará: 
 
(1ª) ~(A ∧ B) é equivalente a (~A) ∨ (~B) 
(2ª) ~(A ∨ B) é equivalente a (~A) ∧ (~B) 
 
Veja como ficam essas duas leis, expressas de modo mais informal: 
 
(1ª) a negação do “e” é equivalente ao “ou” das negações de A e de B. 
(2ª) a negação do “ou” é equivalente ao “e” das negações de A e de B. 
 
Vamos verificar isso por meio do seguinte exemplo: 
 
 
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“Cláudia gosta do Museu do Ipiranga e caminha diariamente em seu 
parque”. Sejam as proposições: 
A = Cláudia gosta do Museu do Ipiranga. 
B = Cláudia caminha diariamente no Parque da Independência (nome do 
parque da Grande São Paulo que circunda o Museu do Ipiranga). 
 
A proposição anterior tem o formato A ∧ B. Sua negação é ~(A ∧ B), certo? 
Pela lei de Morgan vamos aplicar, na linguagem da lógica e na Língua Portuguesa, 
as duas maneiras de fazer a negação dessas preferências de Cláudia. 
Linguagem da Lógica: ~(A ∧ B) é equivalente a (~A) ∨ (~B). 
Língua Portuguesa (atenção aos conectivos!) “Não é verdade que Cláudia 
gosta do Museu do Ipiranga e caminha diariamente em seu parque” é equivalente 
a “Cláudia não gosta do Museu do Ipiranga ou não caminha diariamente em seu 
parque”. 
Agora por meio de tabela-verdade mostraremos que essa proposição, ou 
seja, ~(A ∧ B), é equivalente a (~A) ∨ (~B). Veja o Quadro 11 (ele possui todas 
as passagens da construção, primeiramente para ~(A ∧ B), posteriormente para 
(~A) ∨ (~B): 
Quadro 11: tabela-verdade para a 1ª lei de MorganPronto! Agora está provado que ~(A ∧ B) é equivalente a (~A) ∨ (~B). Mas 
confessamos a você, querido(a) estudante, que acreditamos que muitos colegas 
A B (A ∧ B) ~(A ∧ B) ~A ~B (~A) ∨ (~B) 
V V V F F F F 
V F F V F V V 
F V F V V F V 
F F F V V V V 
 
 
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seus imaginavam (talvez você também) que a negação de (A ∧ B) seria equivalente 
a (~A) ∧ (~B). 
Ou seja, muitos podem acreditar que a negação de “Cláudia gosta do Museu 
do Ipiranga e caminha diariamente em seu parque” seria “Cláudia não gosta do 
Museu do Ipiranga e não caminha diariamente em seu parque”. Seria! Mas não 
é, pois Cláudia pode não gostar do museu e (mas) gostar do parque! 
 Está com vontade de por a mão na massa? Muito bom! Faça agora mesmo 
o seguinte: construa as tabelas verdade para a 2ª lei de Morgan, ou seja, 
“~(A ∨ B) é equivalente a (~A) ∧ (~B)”; basta seguir o modelo que está no 
quadro 11, você verá que não é difícil. Por ora, fecharemos esta seção com um 
“Papo Técnico” bem tranquilo, ok? 
 
 
 
 
PAPO TÉCNICO 
Há também algumas equivalências básicas (ou propriedades), que lhe serão 
fáceis de perceber: 
Idempotente: 
• A ∨ A é equivalente a A 
• A ∧ A é equivalente a A 
Proposições complementares: 
• A ∨ ~A é sempre verdadeira (tautologia) 
• A ∧ ~A é sempre falsa (contradição) 
Propriedade Elemento Neutro: 
• A ∨ (proposição falsa) resulta sempre o próprio valor de A. 
• A ∧ (proposição verdadeira) resulta sempre o próprio valor de A. 
 
 
 
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3. O condicional e o bicondicional 
 
3.1 CONDICIONAL: “se...então...” 
 
O conectivo que estudaremos nesta seção tem uma natureza um pouco 
diferente do e e do ou que estudamos: por questões de linguagem, devemos 
“repartir” duas palavras desse conectivo, e colocar uma proposição entre elas, e 
outra proposição depois da palavra “então”. Veja o exemplo: 
“Se choveu agora a pouco, então a rua está molhada”. 
A simbologia dessa proposição começa pela nomenclatura das proposições 
simples, certo? Elas ficam assim: 
A = Choveu agora a pouco. 
B = A rua está molhada. 
E a forma como esse conectivo lógico “se...então...” é simbolizado fica 
assim: 
A → B (que se lê: se A, então B) 
 
Veja como é a sua tabela verdade: 
 
Quadro 12: tabela-verdade para A → B 
 
 
 
 
 
 
Embora esses resultados sejam uma definição em Lógica Matemática (e que 
você deverá adotá-los em seus exercícios), podemos realizar uma análise desses 
A B A → B 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
 
 
16 
resultados perante o exemplo citado. Adotando os fatos de que A (choveu agora a 
pouco) é uma proposição VERDADEIRA e que B (a rua está molhada) também é 
VERDADEIRA, temos que: 
• A 1ª linha (V V  V) faz sentido, pois choveu e a rua está molhada, é uma 
conexão VERDADEIRA. 
• A 2ª linha (V F  F) também faz sentido, já que se é verdadeiro que choveu, 
e a rua não está molhada, temos uma situação FALSA. 
• A 3ª linha (F V → V) talvez seja a única que pode gerar dúvida em nossas 
intuições. No exemplo, podemos entender que não choveu, mas a rua está 
molhada. Isso quer dizer o seguinte: se chove, então a rua fica molhada, 
mas se a rua está molhada, isso não significa, necessariamente, que 
choveu. Uma pessoa (ou um carro de bombeiro) pode ter usado uma 
enorme mangueira e ter feito jorrar bastante água nessa rua. Ou seja, 
chover é uma condição que proporciona o fato da rua estar molhada, mas 
não é uma única condição. Na expressão A → B, B pode ser verdadeira 
mesmo se A não ocorreu, e por isso temos F V → V. 
• A 4ª linha (F F  V) faz sentido, pois se não choveu e a rua não está 
molhada, temos uma conexão VERDADEIRA. 
Resumindo essa tabela: A → B só é falsa para o caso V F. Os outros três 
casos resultam em V. 
Pode ser que a tabela-verdade da condicional tenha sido um pouco diferente 
da sua intuição. Mas isso não é exclusividade sua, ok? Provavelmente ocorre para 
a maioria das pessoas. 
Vários livros procuram exemplificar o uso de expressões da forma “se... 
então”, na busca da harmonia entre intuição e teoria. Esse exemplo da chuva e da 
rua não é novo, e é uma metáfora que busca trazer essa harmonia. Isso decorre 
do fato de que pode haver significados diferentes para a expressão “se... então”, 
dependendo do contexto linguístico na qual esse conectivo está inserido. 
 
 
 
17 
 
Sheinerman (2003) fornece a analogia a seguir para buscar a harmonia 
citada (adiantamos um quesito importante nessa analogia: ser mentiroso = 
falso, e cumprir promessa = verdadeiro): 
“(...) Imagine que eu seja um político concorrendo a um cargo eletivo e anuncie 
em público: ‘Se for eleito, diminuirei os impostos’. Sob que condições posso ser 
considerado mentiroso? 
• Suponha que eu seja eleito e reduza os impostos. Certamente eu não serei 
chamado de mentiroso – mantive minha promessa (V V → V). 
• Suponha que eu seja eleito e não reduza os impostos. O cidadão terá todo 
direito de chamar-me mentiroso – não cumpri minha promessa (V F → F). 
• Suponha, agora, que eu não seja eleito, mas, mediante um lobby, consiga 
fazer com que os impostos sejam reduzidos. O povo certamente não me 
chamará de mentiroso – não quebrei minha promessa (F V → V). 
• Finalmente, suponha que eu não seja eleito e os impostos não sejam 
reduzidos. Novamente o povo não poderá acusar-me de mentir – apenas 
prometi reduzir os impostos se fosse eleito” (F F → V). 
 
 
 
Outra frase bastante interessante desse livro: 
DICA 
Não há uma única maneira de enunciar o conectivo A → B (se A então B). 
Usaremos o exemplo anterior para mostrar expressões equivalentes. 
• Se for eleito, diminuirei os impostos. 
• Se for eleito, então diminuirei os impostos. 
• Diminuirei os impostos, se for eleito. 
• Quando for eleito, diminuirei os impostos. 
 
 
18 
“Se A, então B, significa: sempre que a condição A for verdadeira, a 
condição B também será. (...) Se 𝑥 e 𝑦 são pares, então 𝑥 + 𝑦 é par. Tudo quanto 
essa sentença assegura é que, quando 𝑥 e 𝑦 são ambos pares, 𝑥 + 𝑦 também é 
par. A sentença não exclui a possibilidade de 𝑥 + 𝑦 ser par apesar de 𝑥 ou 𝑦 não 
serem”. Veja que 𝑥 + 𝑦 pode ser par com 𝑥 e 𝑦 ambos ímpares. 
E, para fechar esta seção, veja mais uma equivalência, agora com o 
conectivo CONDICIONAL: 
A expressão PQ é equivalente à expressão ~𝑷 ∨ Q. 
Na escrita PQ, podemos vislumbrar algo como “Se estiver frio, então 
tomarei um café”, que é equivalente a ~𝑷 ∨ Q: “Não está frio ou tomarei um 
café”. Pasme, mas são duas proposições equivalentes! 
Não pense duas vezes: vá agora ao Momento da Verdade e realize os 
exercícios 7, 8 e 9. E você verá que utilizaremos essa equivalência numa proposição 
maior, na parte final deste texto. 
Há mais uma característica a ser mencionada sobre o condicional: esse é o 
único conectivo, de toda a lista de conectivos que estamos estudando, em que a 
propriedade comutativa não vale. No Quadro 13, perceba que A → B não tem a 
mesma tabela verdade que B → A: 
 
Quadro 13: tabelas-verdade de A → B e B → A 
 
 
 
 
 
 
Ou seja, podemos perceber que as proposições A → B e B → A não são 
equivalentes. Veja que há casos em que uma delas é verdadeira enquanto a outra 
A B A → B B → A 
V V V V 
V F F V 
F V V F 
F F V V 
 
 
19 
não é. 
Definimos um termo comumente usado para as proposições 
A → B e B → A: dizemos que elas são recíprocas. Se A → B é verdadeira (falsa), 
sua recíproca B → A pode ser verdadeira (falsa) ou não. 
Contudo, A → B e (~B) → (~A) são equivalentes! Construa as tabelas 
verdade e verifique essa afirmação! Como exemplo, observe a proposição: “Se 
João é paulista então ele é brasileiro.” Esta proposição não é equivalente a “Se 
João é brasileiro então ele é paulista”. Percebeu? Interessante, não? 
Mas veja: “Se João é paulista então ele é brasileiro” é equivalente a “Se 
João não é brasileiro então ele não é paulista”. É interessante perceber que se a 
primeira forma é verdadeira,a segunda proposição também é. Percebeu? Ótimo! 
Então, vamos ao nosso último conectivo. 
 
3.2 BICONDICIONAL: se, e somente se 
 
Para você entender a ideia deste conectivo, propomos o seguinte exercício, 
aproveitando um exercício mencionado anteriormente. Dadas as seguintes 
proposições: 
M = 𝑥 e 𝑦 são números pares. 
N = 𝑥 + 𝑦 é um número par. 
Perceba que M → N é verdadeiro, mas não vale a recíproca, ou seja, N → M 
é uma proposição falsa. Mas nem sempre é dessa forma que ocorre, conforme 
veremos no exemplo a seguir: 
R = 𝑥 ou 𝑦 é um número par. 
S = 𝑥 ∙ 𝑦 é um número par. 
Perceba que, sendo o ou (inserido na proposição R) um conectivo inclusivo, 
tanto R → S quanto S → R são verdadeiras. Quando isso ocorre, significa que a 
bicondicionalidade foi satisfeita, e há um símbolo para isso: R ↔ S, cuja tabela 
é apresentada no Quadro 14 a seguir, e podemos lê-la assim: “R se e somente se 
 
 
20 
S”. No exemplo anterior temos “𝑥 ou 𝑦 é um número par se e somente se 𝑥. 𝑦 é 
um número par”. 
 
Quadro 14: tabela-verdade para R ↔ S 
 
 
 
 
 
 
Perceba que a veracidade do bicondicional R ↔ S significa que ambas as 
proposições simples devem ter o mesmo valor lógico (ambos V ou ambos F). 
E ainda: aqui vale a comutativa, ou seja, R ↔ S é equivalente a S ↔ R. 
Mas, se R ↔ S é equivalente a (R → S) ∧ (S → R), então podemos verificar 
essa equivalência por meio de uma... tabela verdade! 
 
Quadro 15: tabela-verdade para A ↔ B 
 
 
 
 
 
 
 
E que tal, depois de ler a “Dica” a seguir, fazermos o exercício 12 do 
Momento da Verdade? Vamos lá! 
R S R ↔ S 
V V V 
V F F 
F V F 
F F V 
R S R → S S → R (R → S) ∧ (S → R) 
V V V V V 
V F F V F 
F V V F F 
F F V V V 
 
 
21 
 
Muito bem, agora que já estudamos todos os conectivos lógicos, 
finalizaremos os “Fundamentos” deste capítulo com algumas proposições um 
pouco “maiores” do que aquelas com as quais trabalhamos até aqui. É verdade 
que isso implica um aprofundamento maior no uso de tabelas-verdade, e isso pode 
não ser necessário para boa parte dos gestores. Porém, dentre todas as 
possibilidades para um gestor de empresas, estão algumas muito relacionadas com 
a área da informática; é justamente esse fato que nos incentivou a mencionar mais 
um pouco sobre esse tema (além do fato de que as UAs 10 e 11 podem te ajudar 
na disciplina de Informática em seu curso de Gestão Empresarial, Administração 
de Empresas ou outro de uma área afim). 
 
4. Proposições compostas com mais de duas proposições simples 
 
E como ficará uma tabela verdade com uma proposição composta, com três 
proposições simples? Vamos fazer um exemplo completo, partindo de uma 
proposição escrita em nossa querida e amada Língua Portuguesa: 
“Se a empresa investiu em Marketing e diminuiu os custos totais, então ela 
aumentou seu lucro”. 
Primeiramente iremos simbolizar as três expressões simples que compõem 
essa frase declarativa composta. Teremos: 
A = A empresa investiu em Marketing. 
DICA 
Também não há uma única maneira de enunciar o conectivo A ↔ B. usaremos 
o exemplo anterior para mostrar expressões equivalentes. 
• A se e somente se B. 
• A se e só se B. 
• Se A então B e se B então A. 
 
 
22 
B = A empresa diminuiu os custos totais. 
C = A empresa aumentou seu lucro. 
Agora vamos reescrever a proposição composta, mas de maneira simbólica: 
(A ∧ B) → C 
Conforme combinamos neste texto, estamos usando os parênteses para 
evitar ambiguidades, mas se você pensou na escrita A ∧ B → C, tudo bem! Ela 
também está correta, pois o conectivo e precede o uso do condicional 
“se...então...”. 
Para construir a tabela-verdade dessa proposição, precisamos perceber que 
há um número maior de linhas do que as tabelas dos exemplos mencionados até 
aqui. Como A tem 2 possibilidades (V ou F), B também 2 possibilidades e C também 
tem 2, o total de permutações possíveis entre três resultados é 2.2.2 = 2³ = 8 
linhas. 
 
Sempre colocaremos as proposições simples nas primeiras colunas da 
tabela, ou seja, uma coluna para A, outra para B e outra para C. Não há uma regra 
propriamente dita na ordem de apresentação dos 8 casos em linha, porém a vasta 
literatura sobre este tema geralmente coloca as 8 linhas numa determinada ordem, 
que você verá no Quadro 16 (na verdade, essa vasta literatura opta por uma de 
DICA 
Sabemos que cada proposição simples tem apenas dois valores lógicos (V ou 
F). Para n proposições simples combinadas numa proposição composta, há 2n 
composições possíveis de resultados, ou seja, há 2n linhas da tabela-verdade 
correspondente. Isso é mostrado através do Princípio Fundamental da 
Contagem (P.F.C.). Assim, o número de linhas da tabela verdade de uma 
proposição composta de duas proposições simples é 22 = 4 linhas; para 3 
proposições são 23 = 8 linhas; para 4 simples teremos 24 = 16 linhas, e assim 
por diante. 
 
 
23 
duas possibilidades: ou começa com VVV e termina com FFF, ou vice versa – 
faremos o que é mais usual, que é começar com VVV). 
É muito fácil montar essa tabela. Faremos assim: na 1ª coluna (da 
proposição A) escrevemos VVVVFFFF, na 2ª coluna (proposição B) escrevemos 
VVFFVVFF e na 3ª escrevemos alternadamente, ou seja, VFVFVFVF. 
Depois disso fazemos da mesma forma que trabalhamos anteriormente com 
duas proposições simples: montamos uma coluna para cada composição que existe 
na proposição composta; ou seja, depois de A, B e C, fazemos uma coluna para A 
∧ B, para em seguida fechar com a coluna de (A ∧ B) → C. Não é necessária a 
repetição da coluna C, como fizemos no Quadro 16; apenas fizemos isso para 
facilitar o entendimento, e evitar que você se confunda com a ordem, ok? 
 
Quadro 16: tabela-verdade para (A ∧ B) → C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício: realize (simbolicamente) a negação da proposição que consta 
no exemplo anterior (use os símbolos A, B e C e os conectivos), e construa a tabela 
verdade para verificar se a negação que você fez, de modo simbólico, corresponde 
ao contrário da tabela do Quadro 16. 
A B C A ∧ B C (A ∧ B) → C 
V V V V V V 
V V F V F F 
V F V F V V 
V F F F F V 
F V V F V V 
F V F F F V 
F F V F V V 
F F F F F V 
 
 
24 
Resolução: para negar a expressão (A ∧ B) → C, vamos transformá-la em 
uma equivalente, que estudamos neste texto (para você se lembrar: M → J é 
equivalente a ~M ∨ J). Temos então: 
~ ((A ∧ B) → C) 
Usando a equivalência citada, dentro dos parênteses maiores, temos: 
~ (~(A ∧ B) ∨ C) 
Agora distribuiremos a negação nos parênteses, por meio de uma das leis 
de Morgan (para você lembrar: ~ (M ∨ J) equivale a (~M) ∧ (~J); lembrou?). 
Usaremos um truque para você não se perder: reescreveremos o que está dentro 
dos parênteses maiores em vermelho. 
~ (~(A ∧ B) ∨ C) 
Aplicando a negação do “ou”, temos o “e” das negações: 
 
~ (~(A ∧ B)) ∧ (~ C) 
Lembre-se que a negação da negação equivale à afirmação. Assim, 
finalizamos: (A ∧ B)∧ (~ C). 
Pronto! A negação de (A ∧ B) → C ficou (A ∧ B)∧ (~ C). Para escrever esse 
resultado, devemos prestar atenção à pontuação utilizada, pois ela permitirá que 
não haja dúvidas ou ambiguidades, em especial em relação às expressões que 
estão entre parênteses. Portanto, a expressão (A ∧ B)∧ (~ C) fica escrita assim: 
“A empresa investiu em Marketing e diminuiu os custos totais, e (ainda) não 
aumentou seu lucro.” 
Perceba que ela é a negação da proposição original (“Se a empresa investiu 
em Marketing e diminuiu os custos totais, então ela aumentou seu lucro”). Vamos 
confirmar isso com a tabela verdade de (A ∧ B)∧ (~ C): veja que seu resultado 
final é exatamente o contrário do que ocorreu com (A ∧ B) → C. (compare a 
última coluna do Quadro 17 com a última coluna do Quadro 16). 
 
 
 
25 
 
Quadro 17: tabela-verdade para a expressão (A ∧ B)∧ (~ C) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Que tal treinar um pouco o que você acabou de estudar nesta seção? Vá ao 
Momentoda Verdade e faça os exercícios. E encerramos o texto desta UA com um 
resumo de todos os conectivos que estudamos. 
Quadro 18: tabela-verdade com resumo dos conectivos. 
A B ~A ~B A ∧ B A ∨ B A ∨ B A → B A ↔ B 
V V F F V V F V V 
V F F V F V V F F 
F V V F F V V V F 
F F V V F F F V V 
 
 
 
 
 
A B C A ∧ B ~C (A ∧ B)∧ (~ C) 
V V V V F F 
V V F V V V 
V F V F F F 
V F F F V F 
F V V F F F 
F V F F V F 
F F V F F F 
F F F F V F 
 
 
26 
 
Antena Parabólica 
 
 
Texto 1: Demonstrando a propriedade distributiva do “e” e do “ou”. 
 
Conforme prometemos, seguem as demonstrações da propriedade 
distributiva para os conectivos “e” e “ou” em duas sentenças: 
(a) A ∧ (B ∨ C) é equivalente a (A ∧ B) ∨ (A ∧ C). 
 
Quadros 19 e 20: tabelas-verdade de A ∧ (B ∨ C) e de (A ∧ B) ∨ (A ∧ C). 
 
 
(b) A ∨ (B ∧ C) é equivalente a (A ∨ B) ∧ (A ∨ C). 
 
 
 
Quadros 21 e 22: tabelas-verdade de A ∨ (B ∧ C) e de (A ∨ B) ∧ (A ∨ C). 
 
 
 
 
A B C B ∨ C A ∧ (B ∨ C) 
V V V V V 
V V F V V 
V F V V V 
V F F F F 
F V V V F 
F V F V F 
F F V V F 
F F F F F 
A B C A ∧ B A ∧ C (A∧B)∨(A∧C) 
V V V V V V 
V V F V F V 
V F V F V V 
V F F F F F 
F V V F F F 
F V F F F F 
F F V F F F 
F F F F F F 
A B C B ∧ C A ∨ (B ∧ C) 
V V V V V 
V V F F V 
V F V F V 
V F F F V 
F V V V V 
F V F F F 
F F V F F 
F F F F F 
A B C A ∨ B A ∨ C (A∨B)∧(A∨C) 
V V V V V V 
V V F V V V 
V F V V V V 
V F F V V V 
F V V V V V 
F V F V F F 
F F V F V F 
F F F F F F 
 
 
27 
Texto 2: você já ouviu falar de “falácia”? 
 
Poderíamos usar uma aula toda somente para falar das falácias e da sua 
utilização pela mídia e às vezes por pessoas ou grupos dominantes, para enganar 
ou confundir muita gente. Falácia tem a ver com conclusões erradas (ou 
enganosas), que podem, inclusive, partir de premissas verdadeiras; propagandas 
políticas ou discursos preparados para vender um produto possuem, muitas vezes, 
exemplos de falácias. 
Sugerimos a você que entre num site qualquer de busca e coloque a palavra 
falácia: você ficará surpreso com a quantidade de informações que se pode colher 
a esse respeito, e verá que um debate sobre esse tema tem a ver com Lógica. É 
muito fácil de observar falácias no uso inadequado da condicional “se… então…”. 
Boas leituras! 
 
Texto 3: você já ouviu falar em “Álgebra de Boole”? 
 
Falamos bastante sobre aplicações no campo da Informática nos textos do 
“Antena Parabólica” de nossa UA10. Não podíamos deixar de mencionar algo 
também aqui, na UA 11. 
Todo esse nosso estudo de conectivos, tabelas verdade, argumentos etc. 
também está incluso numa teoria conhecida com o nome “Álgebra de Boole” ou 
“Álgebra Booleana”; esse nome se deve ao matemático inglês George Boole, no 
século XIX, e tal teoria é um conjunto de estruturas matemáticas que se 
assemelham, em termos de conceitos e linguagens, ao Cálculo Proposicional e 
a Teoria dos Conjuntos. Caso deseje, digite a expressão “Álgebra de Boole” em 
algum site de buscas e perceberá quanto material à sua disposição existe sobre 
esse tema. 
 
 
 
 
28 
Texto 4: Para quem quer se aprofundar mais no assunto Lógica 
Proposicional... O que são Argumentos Lógicos? 
 
Argumentos lógicos (ou Silogismo) é um tema amplo, mas lhe 
mostraremos apenas os tópicos desse assunto que se referem à validade de um 
argumento, no sentido de que algumas premissas podem (ou não) nos levar a 
uma conclusão válida. 
Bastará, para isso, seguir as definições de premissas e de argumentos, 
observar seus valores lógicos (Verdadeiro ou Falso) e utilizar conhecimentos 
estudados nas UA10 e UA11. 
Veja o raciocínio completo de três exemplos de sequências de proposições 
apresentadas, e que se chamam “silogismos” ou “argumentos”. Não se assuste 
com esse nome, ok? Vamos ver exemplos, e depois definiremos “argumento” com 
mais calma. 
 
Exemplo 1: 
Premissa 1: Se a empresa investe em Marketing, as vendas aumentam. 
Premissa 2: A empresa investe em Marketing. 
Conclusão: Logo, as vendas aumentaram. 
 
Exemplo 2: 
Premissa 1: Se o carro de Dirce quebra, então Dirce chega atrasada. 
Premissa 2: Dirce chegou atrasada. 
Conclusão: Logo, o carro de Dirce quebrou. 
 
Esses três conjuntos de proposições se chamam argumentos (ou 
silogismos). Perceba que cada uma dessas sequências de proposições sempre é 
composta de algumas declarações iniciais, chamadas de premissas, e terminam 
em uma conclusão. 
 
 
29 
Chamamos de argumento (ou silogismo) uma sequência finita de 
proposições 𝑃1, 𝑃2, 𝑃3, …, 𝑃𝑛, 𝐶 em que as proposições 𝑃 chamam-se premissas 
e a última proposição 𝐶 é a conclusão. 
Poderíamos nos aprofundar e nos estender em diversos casos e 
classificações sobre esse assunto, porém isso avançaria mais do que o necessário 
para este texto. Caso você deseje, pode usar a literatura que consta em 
“referências” ou mesmo usar os links em sites de busca para obter um 
detalhamento maior do assunto “argumentos”. 
Aqui estamos focando os argumentos válidos. O que é um argumento 
válido? Há, no mínimo, duas maneiras de se definir um argumento válido: 
 
✓ Um argumento 𝑃1, 𝑃2, 𝑃3, …, 𝑃𝑛, 𝐶 é válido se e somente se, sendo as 
premissas verdadeiras a conclusão 𝐶 também é verdadeira. 
✓ Ou ainda, se e somente se, a fórmula 𝑃1 ∧ 𝑃2 ∧ 𝑃3 ∧ … ∧ 𝑃𝑛 → 𝐶 é uma 
tautologia. 
 
Lembre-se que tautologia é uma fórmula lógica que tem seu final, na tabela 
verdade, todos os valores iguais a V. Bem, essa definição pode ter outras formas 
de se ler: 
 
✓ “𝑃1, 𝑃2, 𝑃3, …, 𝑃𝑛 acarretam 𝐶” 
✓ “𝐶 decorre (ou se deduz) de 𝑃1, 𝑃2, 𝑃3, …, 𝑃𝑛” 
 
Caso não ocorram as condições anteriores, dizemos que o argumento é 
falho, ou ainda, que o argumento é uma falácia (falamos um pouco disso no 
texto 2 deste “Antena Parabólica”, não é mesmo?). 
Mas... como deduzir se um argumento é válido ou se é uma falácia? Bem, 
como dissemos, é possível se aprofundar nesse assunto, e há vários modos 
(teóricos) de verificar a validade (ou não) de um argumento. Usaremos aqui 
 
 
30 
apenas um, o qual será o mais básico e conhecido seu: o método da tabela-
verdade. Apenas faremos, em sua construção, alguns ajustes para facilitar o 
entendimento. 
Vamos exemplificar isso por meio dos exemplos citados no começo deste 
texto 4. Vamos simbolizar as proposições primeiramente: 
Exemplo 1: 
Premissa 1: Se a empresa investe em Marketing, as vendas aumentam. 
Premissa 2: A empresa investe em Marketing. 
Conclusão: Logo, as vendas aumentaram. 
Vamos denominar as proposições simples da seguinte maneira: 
A = A empresa investe em Marketing. 
B = As vendas aumentam. 
Assim, ficamos com: 
Premissa 1: Se A, então B. 
Premissa 2: A 
Conclusão: B 
Dessa forma, o argumento fica assim, de modo simbólico: 
 
A → B, A, B 
 
Veja que, nessa escrita, a última fórmula (neste caso é B) sempre é a 
conclusão. Vamos ver se esse argumento é válido; a forma com a qual 
montaremos a tabela verdade seguirá a sequência (A → B) ∧ (A) → B. Vamos 
passo a passo, e vá conferindo essa construção no Quadro 23: 
1. Coloque os valores para as proposições simples envolvidas no argumento 
(cabeçalho, que é a primeira linha da tabela do Quadro 23). 
2. Construa colunas para as premissas. 
3. Faça a conjunção (faça o “e”) das premissas (é a 5ª coluna desse quadro). 
4. Escreva a conclusão numa coluna à frente da anterior. 
 
 
31 
5. Aplique a tabela da condicional “→”, que estudamos nesta UA11, mas 
revisamos rapidamente neste parágrafo: VV resulta V, VF resulta F, FV resulta 
V e FF resulta V; (resumindo: só VF resulta F, os outros resultados são V!). 
 
Quadro 23: tabelas-verdade de (A → B) ∧ (A) → B 
 
 
 
 
 
Seguindo a sequência: (1º) colunas A e para B; (2º) colunas para A → B e 
para A (sim, repetimos! Pois é uma premissa!); (3º) conjunção das premissas (∧); 
(4º) coluna daquilo que é a conclusão (aqui repetimos a coluna B) e (5º) aplicamosa tabela-verdade da condicional olhando para a antepenúltima e penúltima coluna, 
para gerar a última, que deve ser uma tautologia (para que o argumento seja 
válido). Entendeu? 
Veja que este exemplo tratou de um argumento válido (a última coluna 
é toda V, ou seja, tautologia). Vamos observar agora o 2º exemplo: 
 
Exemplo 2: 
Premissa 1: Se o carro de Dirce quebra, então Dirce chega atrasada. 
Premissa 2: Dirce chegou atrasada. 
Conclusão: Logo, o carro de Dirce quebrou. 
 
As proposições simples ficam assim: 
A = O carro de Dirce quebra. 
B = Dirce chegou atrasada. 
Temos: 
Premissa 1: Se A, então B 
Premissa 2: B 
A B A → B 
Prem. 1 
A 
Prem. 2 
(A → B) ∧ (A) B 
Concl. 
(A → B) ∧ (A) → B 
V V V V V V V 
V F F V F F V 
F V V F F V V 
F F V F F F V 
 
 
32 
Conclusão: A 
Dessa forma, o argumento fica assim, de modo simbólico: 
 
A → B, B, A 
 
Escrito de outra forma, temos: (A → B) ∧ (B) → A. Tente fazer sozinho(a) 
antes de ver o Quadro 24, que tal? 
 
Agora confira: 
 
Quadro 24: tabelas-verdade de (A → B) ∧ (B) → A 
 
 
Esse argumento não é válido, pois não gerou uma tautologia. Note que é 
possível perceber a falha dessa argumentação, dentro do contexto da conversa: 
Dirce pode ter se atrasado por outro motivo, não é mesmo? 
Muito bem! Aqui encerramos essa parte de avaliação de argumentos 
(lembrando que ela pode, e muito, ser aprofundada) que, apesar de ter aspectos 
mais básicos e iniciais desse assunto, é um assunto relevante para seu 
aprendizado, já que, como gestor(a), você lida ou lidará muito com “discursos” em 
seu cotidiano. 
 
 
 
 
A B A → B 
Prem.1 
B 
Prem.2 
(A → B) ∧ (B) A 
Concl. 
(A → B) ∧ (B) → A 
V V V V V V V 
V F F F F V V 
F V V V V F F 
F F V F F F V 
 
 
33 
Glossário 
Se... então...: conectivo condicional. 
Se e somente se: conectivo bicondicional. 
 
E agora José? 
 
 
Encerramos, por ora, nosso estudo de Lógica Proposicional. 
Nas próximas UAs iniciaremos novo assunto, passando a trabalhar com 
outras estruturas em Matemática: está chegando o bloco das Matrizes, dos 
Determinantes e dos Sistemas Lineares! 
Na UA 12 você recordará o conceito de Matriz, suas definições e suas várias 
aplicações (só de pensar em Matriz, já não dá para lembrar-se de uma belíssima 
planilha do Excel?). 
Continue firme em seus objetivos! Bons estudos e até a próxima! 
 
Referências 
 
 
GERSTING, Judith L. Fundamentos Matemáticos para a Ciência da 
Computação – Um tratamento moderno de Matemática Discreta. 5 ed. Rio 
de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 2004. 
DE MAIO, Waldemar. O Raciocínio Lógico-Matemático, sua estrutura 
neurofisiológica. São Paulo: Arte e Ciência, 2004. 
___________________. Estruturas Algébricas e Matemática Discreta. Rio 
de Janeiro: LTC, 2009. 
SCHEINERMAN, Edward R. Matemática Discreta – Uma Introdução. São 
Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003.