Lista de Exercícios Análise de Sensibilidade

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS 
FACULDADE DE TECNOLOGIA 
BACHARELADO EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO 
 
Discentes: Jean Sandro Reis de Moraes – 21950535 
 
Disciplina: Pesquisa Operacional – FTL118 
Lista de Exercícios – Análise de Sensibilidade 
01) Uma empresa produz dois produtos A e B. As receitas unitárias são $2 e $3, 
respectivamente. A disponibilidade das duas matérias primas, M1 e M2, usadas na 
fabricação dos dois produtos é 8 e 18 unidades. Uma unidade de A usa duas unidades de 
M1 e duas unidade de M2, e uma unidade de B usa três unidade de M1 e seis unidade de 
M2; 
a. Determine os preços duais de M1 e M2 bem como suas faixas de viabilidade 
x1 = Quantidade de produtos A; x2 = Quantidade de produtos B 
 
𝑀𝑎𝑥𝑧 = 2𝑥1 + 3𝑥2 
𝑆𝑢𝑗𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑎: 
2𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 8 
2𝑥1 + 6𝑥2 ≤ 18 
𝑥1, 𝑥2 ≥ 0 
 
O ponto ótimo da FO é o C (4,0) com o valor de z igual a $ 8. 
 
Para ocorrer a intersecção entre as restrições é necessário o aumento de duas unidades 
na disponibilidade de M1, logo será incluído a restrição do aumento dessa quantidade 
denotada R10M1: 2x1 + 3x2 ≤ 10. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O ponto ótimo considerando a restrição R10M1 no lugar da Restrição 1 é o ponto 
E (1, 267). 
 
Cálculo do preço dual de M1 e a sua faixa de viabilidade: 
𝑀𝑎𝑥𝑧 = 2𝑥1 + 3𝑥2 
Ponto C (4,0): 
z = 2*4 + 3*0 = $ 8 
 
Ponto E (1, 2.67): 
z = 2*1 + 3*2,67 = $ 10 
Taxa de variação =
10 − 8
2
= $ 1 
Restrição M1: 2𝑥1 + 3𝑥2 
Capacidade mínima [não há intersecção para definir a C. min., logo será A (0,0)]: 
2*0 + 3*0 = 0 
 
Capacidade máxima [D (0,3)]: 
2* 0 + 3*3 = 9 
 
Logo o preço dual é de $ 1 com a sua faixa de viabilidade de 0 ≤ M1 ≤ 9. 
 
Para ocorrer a intersecção entre as restrições é necessário a redução de três unidades na 
disponibilidade de M2, logo será incluído a restrição da redução dessa quantidade 
denotada R15M2: 2x1 + 6x2 ≤ 15. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo do preço dual de M2 e a sua faixa de viabilidade: 
𝑀𝑎𝑥𝑧 = 2𝑥1 + 3𝑥2 
Ponto C (4,0): 
z = 2*4 + 3*0 = $ 8 
 
Ponto I (0.5, 7/3): 
z = 2*0,5 + 3*(7/3) = $ 8 
Taxa de variação =
8 − 8
3
= $ 0 
 
Restrição M2: 2𝑥1 + 6𝑥2 
Capacidade mínima [D (0, 8/3)]: 
2*0 + 6*(8/3) = 16 
Capacidade máxima [sem intersecção para definir a C. máx., então será +ꝏ] 
 
Logo o preço dual de M2 é $ 0 com a sua faixa de viabilidade de 16 ≤ M2 ≤ ꝏ. 
 
 
 
b. Suponha que quatro unidades adicionais de M1 podem ser adquiridas ao custo de 30 
centavos por unidade. Você recomendaria essa compra adicional? 
É recomendável pois pagará apenas $ 0,30 e receberá $ 1 a cada unidade adicional, mas 
aumentar 4 unidades, a quantidade iria para 12 unidades e só é permitido aumentar no 
máximo 1 unidade segundo a sua faixa de viabilidade. 
 
c. Qual é o valor máximo que a empresa deve pagar por unidade de M1? 
A empresa pode pagar valores inferiores a $ 1 por unidade adicional de M1 para obter 
lucro, e se pagar o valor igual a $ 1 a mesma ficará no neutro (sem lucro, sem prejuízo). 
 
d. Determine a receita ótima se a disponibilidade de M1 for aumentada em 5 unidades 
Se a disponibilidade aumentar em 5, teremos: 
𝑀𝑎𝑥𝑧 = 2𝑥1 + 3𝑥2 
𝑆𝑢𝑗𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑎: 
2𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 13 
2𝑥1 + 6𝑥2 ≤ 18 
𝑥1, 𝑥2 ≥ 0 
 
 
A solução ótima passa a ser x1 = 4 e x2 = 5/3, com o valor de z (receita ótima) em $ 13, 
ou seja, como o preço dual de M1 é $ 1 por unidade adicional, logo esse valor é somado 
à receita de $ 8 de acordo com a quantidade implementada, onde: 
 
5un *$ 1+ $ 8 = $ 13 
 
 
e. Determine a condição de otimalidade para CA/CB que manterá a solução ótima 
inalterada. 
2𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 8 
2𝑥1 + 6𝑥2 ≤ 18 
𝐶𝐴𝑥1 + 𝐶𝐵𝑥2 
𝐶𝐴
𝐶𝐵
 
Para M1: 
2
3
 
 
Para M2: 
2
6
=
1
3
 
 
A condição de otimalidade para CA/CB é igual a: 
1
3
 ≤ CA/CB ≤ 
2
3
 ou 0,33 ≤ CA/CB ≤ 0,67 
A razão que esteja dentro desse intervalo faz com que o ponto C continue sendo o ponto 
ótimo da função objetivo, isto é, a solução ótima ficará inalterada. 
 
f. Determine as faixas de otimalidade para CA e CB considerando que o outro coeficiente 
é mantido constante em seu valor atual. 
 
1
3
 ≤ CA/CB ≤ 
2
3
 
1
3
 ≤ CA/3 ≤ 
2
3
 
1 ≤ CA ≤ 2 
1
3
 ≤ CA/CB ≤ 
2
3
 
1
3
 ≤ 2/CB ≤ 
2
3
 
3 ≤ CB ≤ 6 
 
g. Se as receitas unitárias de CA e CB forem alteradas de maneira simultânea para $5 e $4, 
respectivamente, determine a nova solução ótima. 
Como já foi determinado a condição de otimalidade, logo será feito a razão dos novos 
valores para como se comportam a essa condição, temos: 
 
5
4
= 1,25 
 
Logo, a razão não se enquadra na condição de otimalidade, porém nesse caso a solução 
ótima ainda continua sendo o ponto C (4,0). 
 
h. Se as alterações em (g) forem feitas uma por vez, o que podemos dizer da solução ótima? 
1ª possibilidade: 
valor de CA = $5 e CB = $3, temos: 
5
3
= 1,67 
1,67 não se enquadra na condição de otimalidade, logo não pode ser alterada. 
 
2ª possibilidade: 
valor de CA = $2 e CB = $4, temos: 
2
4
= 0,5 
0,50 se enquadra na condição de otimalidade, logo a solução ótima é o Ponto C (4,0), 
onde com a substituição da FO 2x1 + 4x2, fica: 
2 ∗ 4 + 4 ∗ 0 = $ 8