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LISTA DE EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES – ATIVIDADE PRÉ – AVALIAÇÃO – PROFESSOR FERRUGEM – MATRIZES, DETERMINANTES, SISTEMAS LINEARES – 2OS ANOS 01. Matrizes 01. (FURG) Seja a matriz A = (aij), do tipo 3 x 3 tal que, . Podemos afirmar que a) a matriz A é triangular inferior. b) o traço da matriz A é igual a 7. c) o determinante da matriz A é igual a 32. d) a matriz A é simétrica. e) a matriz A é singular. 02. (UFSM) Assinale V(verdadeira) ou F(falsa) para cada uma das afirmações relacionadas com matrizes transpostas. ( ) Se a matriz A = (aij)2x2 é tal que aij = aij , então A t = A. ( ) Qualquer que seja a matriz A, (At)t = A. ( ) Sejam A = (aij)mxn e B = (bij)nxp , então (A.B) t = At.Bt. A seqüência correta é: a) VVV. b) VFV. c) FVF. d) FFV. e) VVF. 03. (UFRGS) Sabendo – se que o determinante da matriz inversa de 1 11 c A é igual a 0,5, o valor de c é: a) – 1. b) 0. c) 0,5. d) 1. e) 2. 04. (PUCRS) Dadas às matrizes 30 12 10 32 , 12 01 CeBA a matriz X = 3A + Bt – 2C é: a) 20 29 . b) 21 109 . c) 26 21 . d) 109 21 . e) 101 29 . 05. (PUCRS) - Se 3 1 1 1 0 3 ,011,102 QePYX , então (X – Y)(P + Q) é igual a: a) [7]. b) [8]. c) [2 1 4]. d) 4 1 2 . e) [2 1 4]. 06. (UFRGS) Se a matriz 63 54 21 z x y for simétrica, então x + y + z é: a) 7. b) 9. c) 10. d) 11. e) 12. 07. (UNISINOS) Sejam A e B as matrizes 520 1 4 2 BeA são feitas as seguintes afirmações: I. A x B = B x A. II. A x B é uma matriz identidade de 3ª ordem. III. A x B é uma matriz quadrada de 3ª ordem. Das afirmações: a) somente I é correta. b) apenas I e III são corretas. c) somente II é correta. d) somente III é correta. e) I, II e III são corretas. 08. (PUCRS) Dadas as matrizes 4 3 22 41 y x BeA se A.B = B.A, então 2x – y é igual a: a) – 10. b) – 6. c) 0 d) 6 e) 10. 09. (UFRGS) – Se 11 11 A então A2 é a matriz: a) 11 11 . b) 00 00 . c) 11 11 . d) 11 11 . e) 22 22 . 10. (IPA) A soma dos elementos da inversa da matriz 31 21 M é: a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5. 11. (UFSC – 06) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETAS(S). 01. Sejam as matrizes M e P respectivamente, de ordens 5 x 7 e 7 x 5. Se R = M.P, então a matriz R2 tem 625 elementos. 02. Se A e B são matrizes tais que A.B é a matriz nula, então A é a matriz nula ou B é a matriz nula. 04. Se K = (kij) é uma matriz quadrada de ordem 2 dada por kij = 2 2i + j para i < j e kij = i 2 + 1 para i ≥ j, então K é uma matriz inversível. 08. Chamamos “traço L” e anotamos tr(L) a soma dos elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada L; então tr(L) = tr(Lt). 12. (UFSM) Dadas as matrizes os valores de x e y, para que o produto são, respectivamente, a) 2 e – 1. b) 1 e 2. c) – 1 e – 2. d) – 1 e 2. e) – 2 e 1. 13. (UFRGS) Se e A x B = Bt, então x + y + z é a) 0. b) 1. c) 2. d) 3. e) 4. 14. (PEIES) Considere as matrizes quadradas de ordem 2: A = (aij) em que aij = ½(i + j) e B = (bij) = i + j. A matriz X = 4A 2 – 6B é igual a: a) b) c) d) e) 15. (FURG) Em uma instituição de Ensino Superior, um aluno do curso de Engenharia Metalúrgica anotou suas médias bimestrais nas disciplinas: Cálculo I (CI), Álgebra Linear (AL), Física I (FI) e Introdução à computação (IC) e obteve a seguinte tabela: Nessa Instituição, as notas dos dois primeiros bimestres tem peso 1 e dos dois últimos tem peso 2. Dessa forma, para determinar a média anual do aluno em cada matéria. Basta fazer a média ponderada de suas notas bimestrais. Representando a tabela de notas acima pela matriz Qual é a matriz X de modo que M = N x X corresponde à matriz das médias anuais desse aluno? GABARITO 01. C 02. E 03. A 04. B 05. A 06. C 07. D 08. B 09. B 10. A 11. (12) 12. D 13. B 14. A 15. A 02. Determinantes 01. (UPF) Sejam as matrizes 21 43 43 21 BeA , e seja X uma matriz tal que X.A = B. Então det(X) vale: a) – 2. b) – 1. c) 0. d) 1. e) 2. 02. (PUCRS) O valor do determinante 3log 6 cos 6 cos2log 2 3 é igual a: a) cos 3 . b) cos2 6 . c) 0. d) sen2 6 . e) 2log3 2. 03. (UFBA) O conjunto verdade da equação 1 111 11 01 x x é: a) {1}. b) {- 1}. c) {1, - 1}. d) lR e) { } 04. (UCS) A raiz positiva da equação 0 1 12 42 x x a aa é: a) 4. b) 3. c) 2. d) zero. e) 1. 05. (UPF) Sobre matrizes é correto afirmar: a) o determinante de uma matriz A é igual ao determinante de sua inversa A -1. b) o determinante de uma matriz A é igual ao oposto do determinante de sua transposta. c) uma matriz é inversível quando seu determinante é nulo. d) trocando – se duas filas paralelas de lugar, o determinante troca de sinal. e) se existir o produto entre as matrizes A e B, então existirá sempre o determinante da matriz A. 06. (UNIJUÍ) Seja 111 111 111 111 011 001 BeA então o determinante de A x B é: a) zero b) – 1. c) 1. d) – 36. e) 36. 07. (UFRGS) O determinante da matriz 321 32 321 bbb aaa é nulo a) para quaisquer valores de a e b. b) apenas se a = 0. c) apenas se b = 0. d) somente se a = b. e) somente quando 1 + 2a + (b + 3) = 0. 08. (PUCRS) Sendo 43 21 25 24 , 10 12 CeBA então det[(A + B)t.(B + C)t] é igual a: a) – 256. b) 256. c) 96. d) – 66. e) 66. 09. (UFRGS) A matriz 200 020 00x A é tal que x A 2 )det( 4 . O valor de x é: a) 1/32. b) ½. c) 1/5. d) 5. e) 32 10. (PUCRS) Sabendo que M é uma matriz quadrada de ordem 2 e que det(M) = 5, então det(5M) é igual a: a) 5. b) 10. c) 25. d) 50. e) 125. 11. (UFSM) Considere uma matriz A4x4. Se det(A) = - 6 e det(2A) = x – 97, então o valor de x é: a) – 2. b) – 1. c) 0. d) 1. e) 2. 12. (UCS) Sejam as matrizes 1086 321 543 9log8log7log 6log5log4log 3log2log1log BeA . O valor de det (A x B) é: a) 2. b) -1. c) 0. d) 1. e) 2. 13. (PUCRS – 05) O determinante da matriz tgxsenx xx gxsenxsenx 0 1coscos cot é a) 0. b) 1. c) senx + cosx. d) sen2x. e) (senx + cosx)2. 14. (UFRGS) Seja B a matriz obtida da matriz quadrada A multiplicando – se duas filas de A por x ≠ 0 e dividindo – se uma fila de A por y ≠ 0. Então o det(B) vale: a) x Ay 2 )det(. . b) y Ax )det(.2 . c) y Ax )det(.2 . d) 2 )det(. x Ay . e) x2.y. 15. (FURG) Seja a matriz A = (aij)2 x 2 definida por . O determinante da matriz A é a) – 6. b) 6. c) 0. d) 4. e) 8. 16. (UFSM) O conjunto solução da equação é: a) {- 2, 3}. b) {1/2, 3}. c) {2, 3}. d) {- 3}. e) {3}. 17. (UFRGS) O dobro da solução da equação é: a) 0. b) – 2. c) 2. d) 4.e) – 4. 18. (UFRGS) O determinante vale: a) 62. b) 31. c) 186. d) 100. e) 372. 19. (UFRGS) O valor do determinante: é para todo o x real: a) x2(x2 + 1). b) x2(x2 – 1). c) x4 + 1. d) x4 – 1. e) zero. 20. (UFSM) Considere as matrizes Se det A = k (k ≠ 0), então det B + det C + det D é igual a: a) 0. b) 9k. c) 11k. d) 12k. e) 27k. GABARITO 01. B 02. D 03. A 04. E 05. D 06. A 07. A 08. D 09. B 10. E 11. D 12. C 13. B 14. C 15. B 16. E 17. B 18. C 19. B 20. E 03. Sistemas Lineares 01. (ULBRA – 06) O valor de a, na equação 21 05 1 32 11 2 a a é o valor da variável a no sistema 12 2 yx xya . Então o valor de x – y é: a) 1. b) 5. c) 7. d) 9. e) 10. 02. (PUCRS) O sistema 12 3 yx nmyx admite infinitas soluções se, e somente se, o valor de m – n é: a) 9. b) 6. c) 3. d) 1. e) 0. 03. (UFRGS – 03) Se a terna ordenada (a, b, c) satisfaz o sistema de equações 0 1 1 zx zy yx , então a + b + c vale a) 2. b) 1. c) zero. d) – 1. e) – 2. 04. (UFRGS – 11) Rasgou – se uma das fichas onde foram registrados o consumo e a despesa correspondente de três mesas de uma lanchonete, como indicado abaixo. Nessa lanchonete, os sucos têm um preço único, e os sanduíches também. O valor da despesa da mesa 3 é a) R$ 5,50. b) R$ 6,00. c) R$ 6,40. d) R$ 7,00. e) R$ 7,20. 05. (FURG) O sistema é indeterminado quando a) a = 4 e b ≠ 14. b) a = 4 e b = 14. c) a = 14 e b = 4. d) a ≠ 4 e b = 14. e) a ≠ 14 e b = 4. 06. (UFSC) Assinale a (s) proposição (ões) CORRETA (S). 01. O par ordenado (x, y) = (5, 2) é a única solução do sistema . 02. A matriz A = (aij)1 x 3, tal que aij = i – 3j é A = [- 2 – 5 – 8]. 04. A soma dos elementos da inversa da matriz é igual a 2. 08. Uma matriz quadrada A se diz anti – simétrica se At = - A, sendo At a transposta da matriz A. Nessas condições pode – se afirmar que a matriz é anti – simétrica. 16. Se as matrizes P, Q e R são escolhidas entre as listadas a seguir, para que PQ – R seja uma matriz nula, o valor de x deve ser igual a 2. . 32. Se A e B são matrizes quadradas de ordem 2 tais que A = 5B. Nessas condições pode – se afirmar que det(A) = 5det(B), sendo que det(A) e det(B) designam, respectivamente, os determinantes das matrizes A e B. 07. (UFRGS) O sistema 0 0 05 azy ayx azyax tem coeficientes reais e admite mais de uma solução. O conjunto de todos os valores que o coeficiente a pode assumir é: a) {- 2}. b) {0}. c) {2} d) {- 2, 2}. e) {- 2, 0, 2}. 08. (ITA – SP) Analisando o sistema 122 0 723 zyx zyx zyx concluímos que este é: a) possível e determinado com xyz = 7. b) possível e determinado com xyz = - 8. c) possível e determinado com xyz = 6. d) possível e indeterminado. e) impossível. 09. (UFRGS) As soluções do sistema de equações 0268 032 034 zyx zx zyx estão representadas pela terna: a) (x, 14x/9, 2x/3). b) (x, 14x, -2x/3). c) (x, -14x/9, 2x/3). d) (x, 14x, 2x/3). e) (x, 14x/9, -2x/3). 10. (FURG – 06) Um paciente recebeu a prescrição de ingerir diariamente 40mg da substância x e 240mg da substância y através dos compostos A e B; em cada 100mg, o composto A contém 10mg de x e 80mg de y, enquanto o composto B contém 20mg de x e 60mg de y. Qual a combinação adequada dos compostos A e B que deve ser ingerida por dia pelo paciente? a) 220mg de A e 100mg de B. b) 200mg de A e 90mg de B. c) 240mg de A e 80mg de B. d) 220mg de A e 120mg de B. e) 180mg de A e 120mg de B. 11. (UFRGS – 04) O sistema linear 0)1( 0 0)2( zkx zkyx zyxk é possível e determinado, exceto para um número finito de valores de k. A soma de todos esses de k é: a) -1. b) 2 1 . c) 0. d) 2 1 . e) 1. 12. (UCS – 07) Determinado produto alimentício consiste na mistura de três ingredientes. O quilograma do ingrediente I custa R$ 30,00, o quilograma do ingrediente II, R$ 20,00 e o quilograma do ingrediente III, R$ 16,00. Cada embalagem desse produto deve conter 750g , e o custo total dos ingredientes deve ser R$ 16,30. Além disso, a quantidade do ingrediente I deverá ser igual à metade da soma da quantidade dos outros dois. As quantidades x, y e z dos ingredientes I, II e III, em gramas, em cada embalagem, deverá ser, respectivamente, de a) 250, 250, 250. b) 250, 200, 300. c) 200, 300, 250. d) 250, 350, 150. e) 200, 250, 250. 13. (FFFCMPA – 07) O sistema linear em x, y e z 72 32 165 bzyx azyx zyx é impossível, se as constantes reais a e b forem a) a = - 6 e b ≠ 5. b) a ≠ - 6 e b = - 5. c) a ≠ 6 e b = 5. d) a ≠ 6 e b = 5 e) a = 6 e b = 5. 14. (PEIES) O valor da expressão A = (2x – y). , onde x, y e z são soluções do sistema é: a) . b) . c) 0. d) 2/3. e) – 2/3. 15. (UFSM) Dado sistema os valores de x, y, z e t, nessa ordem, que satisfazem o sistema, a) formam uma PG crescente. b) formam uma PG decrescente. c) forma uma PA decrescente. d) formam uma PA crescente. e) são todos iguais. 16. (PEIES) Arroz (kg) Feijão (kg) Açúcar (kg) Valor pago José 1 1 5 R$ 10,00 João 2 1 3 R$ 10,00 Maria 0 3 4 R$ 13,00 A tabela relaciona as compras efetuadas e os respectivos valores pagos por cada uma das pessoas indicadas. Supondo não haver alteração no preço de cada produto, ao comprar 1kg de arroz, 1kg de feijão e 1kg de açúcar, o valor a ser pago, em reais, é a) 8,20. b) 8,00. c) 7,00. d) 6,50. e) 6,00. 17. (UFSM) Considere o seguinte sistema de equações: . Então pode – se afirmar que a) Existem exatamente dois valores de α para os quais o sistema não tem solução. b) existe um único valor real de α para o qual o sistema admite infinitas soluções. c) o sistema não tem solução para todo α real. d) o sistema não tem solução para α = ½. e) o sistema admite solução para todo o α ≠ ½. 18. (UFSM) Sejam a e b números reais tais que o sistema admita solução. Então o valor de a e o valor de b devem ser, respectivamente, a) – 2 e 8. b) 8 e 5. c) 5 e 8. d) 5 e – 2. e) – 2 e 5. GABARITO 01. E 02. C 03. B 04. A 05. B 06. (18) 07. E 08. C 09. A 10. C 11. A 12. B 13. D 14. A 15. D 16. E 17. B 18. E
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