1 Razão, Proporção e Média

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FUTURO 
ENEM 
 PROF. WILDER 
https://www.instagram.com/prof.marcoswilder/ 
 
 
RAZÕES, PROPORÇÕES E MÉDIAS. 
RAZÕES 
Conceitualmente a razão do número a para o número b, 
sendo b ≠ 0, é igual ao quociente de a por b que 
podemos representar das seguintes formas: 
• 
• 
As razões acima podem ser lidas como: 
• razão de a para b 
• a está para b 
• a para b 
Em qualquer razão, ao termo a chamamos de 
antecedente e ao termo b chamamos de consequente. 
Razão centesimal 
Como visto acima, a razão de 3 para 4 é 0,75, pois 3 : 4 
= 0,75 na forma decimal, ou seja, 3 equivale a 75% de 
4. 75% nada mais é que uma razão de antecedente igual 
75 e consequente igual a 100. É por isto é chamada de 
razão centesimal. 
Exemplos: 
O salário de Paulo é de R$ 2.000,00 e João tem um 
salário de R$ 1.000,00. Qual a razão de um salário para 
outro? 
Temos: Salário de Paulo: Salário de João. 
Então: 
 
A razão acima pode ser lida como a razão de 2000 para 
1000, ou 2000 está para 1000. Esta razão é igual a 2, o 
que equivale a dizer que o salário de Paulo é o dobro do 
salário de João, ou seja, através da razão estamos 
fazendo uma comparação de grandezas, que neste 
caso são os salários de Paulo e João. 
Portanto a razão de um salário para outro é igual a 2. 
Eu tenho uma estatura de 1,80m e meu filho tem 
apenas 80cm de altura. Qual é a razão de nossas 
alturas? 
Como uma das medidas está em metros e a outra em 
centímetros, devemos colocá-las na mesma unidade. 
Sabemos que 1,80m é equivalente a 180cm. Temos 
então a razão de 180cm para 80cm: 
 
2,25 é a razão de nossas alturas. 
Escala 
É uma razão entre a medida de um desenho e a medida 
real do que se está representando. 
O antecedente desta razão é igual a um. 
Exemplo: 
Num mapa, uma distancia de 15 cm está representando 
uma distancia real de 15 km. Qual a escala deste mapa? 
15cm/15km=15cm/1500000cm=1/100000 ou 1:100000 
PROPORÇÕES 
A igualdade entre razões denomina-se proporção. 
Os números a, b, c e d, todos diferentes de zero, formam 
nesta ordem, uma proporção se, e somente se, a razão 
a : b for igual à razão c : d. 
Indicamos esta proporção por: 
 
Chamamos aos termos a e d de extremos e aos termos 
b e c chamamos de meios. 
Veja que a razão de 10 para 5 é igual a 2 (10 : 5 = 2). 
A razão de 14 para 7 também é igual a 2 (14 : 7 = 2). 
Podemos então afirmar que estas razões são iguais e 
que a igualdade abaixo representa uma proporção: 
 
Lê-se a proporção acima da seguinte forma: 
"10 está para 5, assim como 14 está para 7". 
 
MÉDIAS 
Média aritmética simples 
É o resultado da divisão da soma de n valores por n. Por 
exemplo, a média entre 5, 10 e 6 será: 
 
Média aritmética ponderada 
Neste tipo de média aritmética, cada número que fará 
parte da média terá um peso. Este peso será 
multiplicado pelo número, que serão somados e dividos 
depois pela soma dos pesos. Veja o exemplo: 
 
 
 
 
 
Média Geométrica 
Entre n valores, é a raiz de índice n do produto desses 
valores. Veja no exemplo, a média geométrica entre 1, 
2 e 4: 
 
Média harmônica 
A média harmônica equivale ao inverso da média 
aritmética dos inversos de n valores. Parece 
complicado, mas é bastante simples, veja o exemplo: 
Média harmônica entre 2, 6 e 8. Primeiramente é 
necessário calcular a média aritmética dos inversos dos 
valores dados: 
 
Depois, faz-se o inverso do resultado, tendo finalmente 
a média harmônica de 2, 6 e 8: 
 
Em todas as médias o resultado estará entre o maior e 
o menor número dado. 
Para os mesmos valores, a média aritmética terá o maior 
valor, seguida da média geométrica e depois a média 
harmônica. 
DIVISÃO PROPORCIONAL E REGRA DE 
SOCIEDADE. 
Divisão diretamente proporcional 
Às vezes nos deparamos com problemas que solicitam 
a divisão de um número em partes diretamente 
proporcionais a outro grupo de números. 
A divisão de um número em partes diretamente 
proporcionais a outros números dados, consiste em se 
determinar as parcelas que são diretamente 
proporcionais a cada um dos números dados e que 
somadas, totalizam o número original. 
A divisão do número N em partes p1, p2, p3, ..., pn 
diretamente proporcionais aos números reais, diferentes 
de zero a1, a2, a3, ..., an respectivamente, baseia-se em 
encontrar a constante K, real não nula, tal que: 
 
Depois de calculado o valor da constante K, basta 
substituí-lo nas igualdades onde foi usado e realizar as 
contas para descobrir o valor de cada uma das partes. 
Exemplos 
Divida o número 630 em partes diretamente 
proporcionais a 6, 7, 8 e 9. 
Conforme o explicado sabemos que: 
p1 = K . 6 
p2 = K . 7 
p3 = K . 8 
p4 = K . 9 
p1 + p2 + p3 + p4 = 630 
Para encontrarmos o valor da constante K devemos 
substituir o valor de p1, p2, p3 e p4 na última igualdade: 
Logo: 
p1 = 21 . 6 = 126 
p2 = 21 . 7 = 147 
p3 = 21 . 8 = 168 
p4 = 21 . 9 = 189 
As partes procuradas são respectivamente 126, 147, 
168 e 189. 
Divida o número 140 em parcelas diretamente 
proporcionais a 2, 4 e 8. 
Do enunciado tiramos que: 
p1 = K . 2 
p2 = K . 4 
p3 = K . 8 
p1 + p2 + p3 = 140 
Para encontrarmos o valor da constante K devemos 
substituir o valor de p1, p2 e p3 na última expressão: 
Portanto: 
p1 = 10 . 2 = 20 
p2 = 10 . 4 = 40 
p3 = 10 . 8 = 80 
As parcelas procuradas são respectivamente 20, 40 
e 80. 
 
 
 
 
 
Divisão inversamente proporcional 
Além dos problemas que solicitam a divisão de um 
número em partes diretamente proporcionais, 
encontramos aqueles em a divisão deve ser realizada 
em partes inversamente proporcionais. 
A divisão de um número em partes inversamente 
proporcionais a outros números dados, consiste em se 
determinar as parcelas que são diretamente 
proporcionais ao inverso de cada um dos números 
dados e que somadas, totalizam o número original. 
A divisão do número N em partes p1, p2, p3, ..., pn 
inversamente proporcionais aos números reais, 
diferentes de zero a1, a2, a3, ..., an respectivamente, 
baseia-se em encontrar a constante K, real não nula, tal 
que: 
Depois de encontrado o valor da constante K, basta 
substituí-lo nas igualdades onde foi utilizada e realizar 
as contas para identificar o valor de cada uma das 
partes. 
Exemplos 
Divida o número 248 em partes inversamente 
proporcionais a 3, 5, 7 e 9. 
Conforme o explicado sabemos que: 
p1 = K . 1/3 
p2 = K . 1/5 
p3 = K . 1/7 
p4 = K . 1/9 
p1 + p2 + p3 + p4 = 248 
Para encontrarmos o valor da constante K devemos 
substituir o valor de p1, p2, p3 e p4 na última igualdade: 
 
Logo: 
p1 = 315 . 1/3 = 105 
p2 = 315 . 1/5 = 63 
p3 = 315 . 1/7 = 45 
p4 = 315 . 1/9 = 35 
As partes procuradas são respectivamente 105, 63, 
45 e 35. 
Divida o número 36 em parcelas inversamente 
proporcionais a 6, 4 e 3. 
Do enunciado tiramos que: 
p1 = K . 1/6 
p2 = K . 1/4 
p3 = K . 1/3 
p1 + p2 + p3 = 36 
Para encontrarmos o valor da constante K devemos 
substituir o valor de p1, p2 e p3 na última expressão: 
 
Portanto: 
p1 = 48 . 1/6 = 8 
p2 = 48 . 1/4 = 12 
p3 = 48 . 1/3 = 16 
As parcelas procuradas são respectivamente 8, 12 e 
16. 
Divisões Diretamente e Inversamente 
Proporcionais – Compostas 
Temos os problemas que solicitam a divisão de um 
número em partes diretamente proporcionais a outro 
grupo de números, assim como aqueles que pedem a 
divisão em partes inversamente proporcionais. Temos 
também os casos onde em uma mesma situação um 
número de ser dividido em partes diretamente 
proporcionais a um grupo de números e em partes 
inversamente proporcionais a um outro grupo de 
números. 
A divisão do número N em partes p1, p2, p3, ..., pn 
diretamente proporcionais aos números reais, diferentes 
de zero a1, a2, a3, ..., an respectivamente e 
inversamente proporcionais aos números reais, 
diferentes de zero b1, b2, b3, ..., bn respectivamente, 
baseia-se em encontrar a constante K, real não nula, tal 
que: 
Ou de forma mais simplificada: 
Depois de encontrado o valor da constanteK, basta 
substituí-lo nas igualdades onde foi utilizada e realizar 
as contas para identificar o valor de cada uma das 
partes. 
Exemplos 
Divida o número 1228 em partes diretamente 
proporcionais a 1, 2, 3 e 4 e inversamente proporcionais 
a 5, 6, 7 e 8, respectivamente. 
Conforme o explicado sabemos que: 
p1 = K . 1/5 
p2 = K . 2/6 
p3 = K . 3/7 
p4 = K . 4/8 
p1 + p2 + p3 + p4 = 1228 
Para encontrarmos o valor da constante K devemos 
substituir o valor de p1, p2, p3 e p4 na última igualdade: 
Logo: 
p1 = 840 . 1/5 = 168 
p2 = 840 . 2/6 = 280 
 
 
 
 
p3 = 840 . 3/7 = 360 
p4 = 840 . 4/8 = 420 
As partes procuradas são respectivamente 168, 280, 
360 e 420. 
Divida o número 981 em partes diretamente 
proporcionais a 2, 6 e 3 e inversamente proporcionais a 
5, 9 e 4, respectivamente. 
Do enunciado tiramos que: 
p1 = K . 2/5 
p2 = K . 6/9 
p3 = K . 3/4 
p1 + p2 + p3 = 981 
Para encontrarmos o valor da constante K devemos 
substituir o valor de p1, p2 e p3 na última expressão: 
Portanto: 
p1 = 540 . 2/5 = 216 
p2 = 540 . 6/9 = 360 
p3 = 540 . 3/4 = 405 
As parcelas procuradas são respectivamente 216, 
360 e 405. 
Exercícios: 
1) (ENEM) A figura a seguir mostra as medidas reais 
de uma aeronave que será fabricada para utilização 
por companhias de transporte aéreo. Um 
engenheiro precisa fazer o desenho desse avião em 
escala de 1:150. 
 
Para o engenheiro fazer esse desenho em uma folha de 
papel, deixando uma margem de 1 cm em relação às 
bordas da folha, quais as dimensões mínimas, em 
centímetros, que essa folha deverá ter? 
A) 2,9 cm × 3,4 cm. 
B) 3,9 cm × 4,4 cm. 
C) 21 cm × 26 cm. 
D) 192 cm × 242 cm. 
E) 20 cm x 25 cm 
2) (ENEM) Um concurso é composto por cinco etapas. 
Cada etapa vale 100 pontos. A pontuação final de 
cada candidato é a média de suas notas nas cinco 
etapas. A classificação obedece à ordem 
decrescente das pontuações finais. O critério de 
desempate baseia-se na maior pontuação na quinta 
etapa. 
 
A ordem de classificação final desse concurso é 
A) A, B, C, E, D. 
B) B, A, C, E, D. 
C) C, B, E, A, D. 
D) C, B, E, D, A. 
E) E, C, D, B, A. 
3) (ENEM) Em um certo teatro, as poltronas são 
divididas em setores. A figura apresenta a vista do 
setor 3 desse teatro, no qual as cadeiras escuras 
estão reservadas e as claras não foram vendidas. 
 
A razão que representa a quantidade de cadeiras 
reservadas do setor 3 em relação ao total de cadeiras 
desse mesmo setor é: 
 
A) 17/70 
 
B) 17/53 
 
C) 53/70 
 
D) 53/17 
 
 
 
 
E) 70/17 
 
4) (ENEM) Cinco empresas de gêneros alimentícios 
encontram-se à venda. Um empresário, almejando 
ampliar os seus investimentos, deseja comprar uma 
dessas empresas. Para escolher qual delas irá 
comprar, analisa o lucro (em milhões reais) de cada 
uma delas, em função de seus tempos (em anos) de 
existência, decidindo comprar a empresa que 
apresente o maior lucro médio anual. 
 
O quadro apresenta o lucro (em milhões de reais) 
acumulado ao longo do tempo (em anos) de 
existência de cada empresa. 
 
 
O empresário decidiu comprar a empresa: 
 
A) F 
B) G 
C) H 
D) M 
E) P 
 
5) (ENEM) Um pesquisador, ao explorar uma floresta, 
fotografou uma caneta de 16,8 cm de comprimento 
ao lado de uma pegada. O comprimento da caneta 
(c ), a largura (L) e o comprimento (C ) da pegada, 
na fotografia, estão indicados no esquema. 
 
A largura e o comprimento reais da pegada, 
em centímetros, são, respectivamente, iguais a: 
A) 4,9 e 7,6. 
B) 8,6 e 9,8. 
C) 14,2 e 15,4. 
D) 26,4 e 40,8. 
E) 27,5 e 42,5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito: 
1) Letra C 
A escala dada é 1:150 e transformando as 
medidas temos: 
28,5 m = 2850 cm 
36 m = 3600 cm 
𝑦
2850
=
1
150
∴ 𝑦 = 19 
𝑥
3600
=
1
150
∴ 𝑥 = 24 
 
 
Dimensões da folha 19 + 2 = 21 cm e 24 + 2 = 
26 cm 
2) Letra B 
Calculando as médias dos candidatos, temos: 
𝐴
4
= 90 ∴ 𝐴 = 360 ⇒
360 + 60
5
=
420
5
= 84 
𝐵
4
= 85 ∴ 𝐵 = 340 ⇒
340 + 85
5
=
425
5
= 85 
𝐶
4
= 80 ∴ 𝐶 = 320 ⇒
320 + 95
5
=
415
5
= 83 
𝐷
4
= 60 ∴ 𝐷 = 240 ⇒
240 + 90
5
=
330
5
= 66 
𝐸
4
= 60 ∴ 𝐸 = 240 ⇒
240 + 100
5
=
340
5
= 68 
𝐵, 𝐴, 𝐶, 𝐷, 𝐸 
 
3) Letra A 
Essa questão é extremamente fácil, basta 
contar o total de lugares do setor 3 que totalizam 
70 cadeiras e assim considerar as reservadas 
(escuras). como pedido na questão a razão 
entre as reservadas (numerador) e o total 
(denominador), é 17/70. 
 
4) Letra B 
O locro médio anual LM de cada empresa é: 
𝐹: 
24
3,0
= 8 
𝐺: 
24
2,0
= 12 
𝐻: 
25
2,5
= 10 
𝑀: 
15
1,5
= 10 
𝑃: 
9
1,5
= 6 
Logo, o empresário decidiu comprar a empresa 
G 
5) Letra D 
𝐸𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎 =
𝐷𝑒𝑠𝑒𝑛ℎ𝑜
𝑅𝑒 𝑎 𝑙
 
1,4
16,8
=
3,4
𝐶
⇒ 1,4𝐶 = 57,12 ∴ 𝐶 = 40,8 
1,4
16,8
=
2,2
𝐿
⇒ 1,4𝐿 = 36,96 ∴ 𝐿 = 26,4