TEMA 2

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Funções de duas ou mais variáveis 
Conhecemos muitas fórmulas nas quais uma variável dada depende de duas ou mais 
outras variáveis. Exemplos 
- A área A de um triângulo depende do comprimento da base b e da altura h, pela 
fórmula A = (b . h) / 2. 
A é uma função das duas variáveis b e h. 
- O volume V de uma caixa retangular depende do comprimento l, da largura w e da 
altura h da fórmula V = lwh 
V é uma função das três variáveis l, w e h. 
-A média aritmética 

x de n números reais nxxxx ...,, 321 depende desses números pela 
fórmula nxxxxx n /)...( 321 

, 
na qual 

x é uma função das variáveis nxxxx ...,, 321 . 
Terminologia e notação: 
Para funções de duas ou mais variáveis a notação e a terminologia são análogas àquelas 
funções de uma variável. Por exemplo 
z = f (x, y) , significa que z é uma função de x e y no sentido de que um único valor da 
variável dependente z é determinado por valores específicos das variáveis 
independentes x e y. 
Analogamente: 
w = f (x, y, z), expressa w como uma função de x, y e z 
e 
u = f ( nxxxx ...,, 321 ) expressa u como uma função de nxxxx ...,, 321 
Uma analogia interessante é comparar uma função f de duas ou mais variáveis como um 
programa de computador que recebe duas ou mais entradas opera sobre essas entradas e 
produz uma saída. 
 
 
 
entrada x 
entrada y 
Programa 
de computador 
Saída z 
 
 
 As entradas de uma função de duas variáveis podem ser restritas a um conjunto 
D, ao qual denominamos domínio de f. O domínio pode ser determinado por restrições 
físicas sobre as variáveis. Se não há restrições entende-se que o domínio consiste de 
todos os pontos de saída (domínio natural) 
Definições 
- Uma função de duas variáveis, x e y, é uma regra que associa um único número real 
f (x, y) para cada ponto (x, y)de algum conjunto D no plano xy. 
- Uma função de três variáveis, x, y, z é uma regra que associa um único número real f 
(x, y, z) para cada ponto (x, y, z)de algum conjunto D no espaço tridimensional. 
 
 
ATIVIDADE I: 
Seja f(x, y) = 13 2 yx 
Determine: f (1, 4) , f(0, 9), f ( 2t , t) , f (ab, 9b) 
Verifique se há alguma restrição na função e determine o domínio. 
 
ATIVIDADE II: 
Seja : 
F (x, y, z) = 2221 zyx  
Determine )
2
1
,
2
1
,0( e o domínio de f 
Sabendo mais 
 
 
As correntes marítimas são importantes não somente para povos navegadores, 
pois afeta todo habitante do nosso mundo azul, exercendo influência sobre as variações 
de temperatura nos mares e na terra, contribuindo para elevar ou diminuir o calor e o 
frio no planeta. A corrente do Golfo por exemplo, torna o clima mais ameno nas ilhas 
britânicas do que em outros pontos localizados na mesma longitude. 
 
 Um dos fatores que contribui para a modificação da temperatura do oceano e a 
formação das correntes é a densidade da salinidade do mar. O cálculo desta variação de 
densidade é feito a partir de funções de duas ou mais variáveis, ajudando na 
compreensão do que está por trás das variações no clima. O aquecimento global está 
provocando o derretimento paulatino das calotas polares, aumento a quantidade de água 
no mar e consequentemente diminuindo a densidade da salinidade nos oceanos. Não há 
consenso entre os pesquisadores sobre as consequências a médio e longo prazos, mas há 
indícios que o aumento da temperatura global está relacionado com o aumento da 
intensidade dos furacões. 
 
 
 Estudos interdisciplinares apropriados poderão criar um modelo matemático, 
partir das funções, que propiciem um conhecimento mais preciso do clima da Terra, 
auxiliando na definição de políticas adequadas para evitar mudanças bruscas nas 
condições do planeta. 
 
 
Atividade IV 
1. Calcule o valor da função f(x, y) = x + yx3 nos pontos (2, 2) , (-1 , 4) , (6, ½ ). 
2. Esboce o domínio da função f(x, y) = 4x – 7y. 
3. Descreva o domínio da função f(x, y, z) = 9 − 𝑥 − 𝑦 − 𝑧 
4. Determine o valor da função f(x, y, z) = xyz-2, dados os pontos (3, 8, 2), (3, -2, -6). 
Soluções 
1. 
f(2, 2) = 18 
f(- 1 , 4) = -5 
f( 6, ½) = 114 
2. O domínio é todo o plano xy 
3. {(x, y, z): x2 + y2+z2≤ 9} 
4. f(3,8, 6) = 6 
f(3, -2, 0) = − 
 
Derivadas parciais 
Se z = f(x, y), então pode-se indagar como os valores de z variam se x for mantido fixo 
e y for permitido variar ou se y for mantido fixo e x for permitido variar. A lei dos gases 
ideais da física por exemplo afirma que sob certas condições a pressão exercida por um 
gás é uma função da temperatura e do volume. Um pesquisador pode ter interesse em 
verificar o comportamento do sistema de pressão se o volume for mantido fixo e a 
temperatura varia ou vice – versa.. Nesse contexto pode fazer uso das derivadas 
parciais. 
Vamos ver alguns exemplos: 
1. Exemplo 1 
Determine as derivadas parciais de f(x, y) = xyyx 422 23  
Tratando y como uma constante e derivando em relação a x temos: 
46),( 22  yxyxf x 
Tratando x como uma constante e derivando em relação a y temos: 
24),( 3  yxyxf y 
Exemplo 2 
Seja f(x,y) = 32 5yyx  
a) Determine a inclinação da superfície z = f(x, y) na direção x no ponto (1, - 2 ). 
b) Determine a inclinação da superfície z = f(x, y) na direção y no ponto (1, - 2 ). 
Solução a: 
Diferenciando f em relação a x com y fixo, obtém-se xyf x 2 
Assim, a inclinação na direção x é 4)2,1( xf , isto é, z está decrescendo a uma taxa de 
4 unidades à medida que x cresce uma unidade. 
Solução b: 
Diferenciando f em relação a y com x fixo, obtém-se 22 15yxf y  
Assim, a inclinação na direção x é 61)2,1( yf , isto é, z está crescendo a uma taxa de 61 
unidades à medida que y cresce uma unidade. 
Outras notações de derivadas parciais: 
As derivadas parciais xf e yf são denotadas também pelos símbolos: 
x
z
x
f




, e
y
z
y
f




, . 
 
 
Exemplo 3: 
Determine 
x
z


 e 
y
z


se )( 34 xysenxz  
Solução: ( ,, vuuv  ) 
x
z


= )(4)cos(4).().cos( 3333433334 xysenxxyyxxxysenyxyx  
y
z


= )cos(30).(3).cos( 3253234 xyyxxysenxyxyx  
Atividade I 
Seja f(x, y) = 223 yx . Determine: 
)2,1()
)2,1()
)1,()
),1()
)1,()
),1()
),()
),()
y
x
y
y
x
x
y
x
fh
fg
xff
yfe
xfd
yfc
yxfb
yxfa
 
Atividades 
1 Determine as derivadas parciais da função f(x, y) = x2y3 
2. Dada a função z = x3 – 3y2 + 5xy + x – 2y + 5, calcule 𝑒 
3. Sendo z = (x2+ y2) e-xy determine 𝑒 . 
4. Dada a função f(x, y, z) = 𝑒 determine suas derivadas parciais no ponto P 
(1,1,1). 
 
5. Se 𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑥² + 2𝑦³ + 𝑥³𝑦², encontre 𝐹𝑥 2,1 e 𝐹𝑦 2,1 . 
6 Se 𝐹𝑥, 𝑦 = 𝑥. 𝑠𝑒𝑛𝑥2𝑦 , encontre 𝐹𝑥𝑥, 𝑦𝑒𝐹𝑦𝑥, 𝑦 . 
7. A temperatura T (em °C) de uma localidade do Hemisfério Norte depende da 
longitude x, da latitude y e do tempo t, de modo que podemos escrever 
T=f(x,y,t).Vamos medir o tempo em horas a partir do início de janeiro. Qual o 
significado das derivadas parciais 𝜕𝑇𝜕𝑥 ,𝜕𝑇/ 𝜕𝑦 e 𝜕𝑇 /𝜕𝑡 ? 
8. Se 𝑓𝑥, 𝑦 = 16 − 4𝑥2 – 𝑦2 , determine 𝑓𝑥 (1,2). 
9. Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função 𝑓𝑥, 𝑦 = 𝑦5 − 3𝑥 
 
Soluções 
1. 2xy3 e 3x2y2 
2. 3x2 + 5y +1e -6y + 5x -2 
3. (2x – x2y – y3) e-xye (2y – x3 – xy2) e-xy 
4. 3e, 4e , 5e 
5. 16 e 22 
6. 𝐹𝑥𝑥, 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥2𝑦 + 2𝑥 2𝑦𝑐𝑜𝑠𝑥 2𝑦 e 𝐹𝑦𝑥, 𝑦 = 𝑥 3 cos 𝑥 2𝑦 
7. A taxa de variação da temperatura quando a longitude varia, com a latitude e o tempo fixados; a taxa de variação quando apenas a 
latitude varia; a taxa de variação quando apenas o tempo varia. 
8. -8 
9. -3 , 5𝑦4