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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas • Dada a EDO homogênea , com e ; calcule 9y" - 6y' + y = 0 y 0 = - 3( ) y' 0 = 3( ) .y 3( ) Resolução: vamos encontrar a solução homogênea y ; essa solução tem equação genérica do tipo;H y = y x = C ⋅ 𝜚 + C ⋅ 𝜚H h( ) 1 𝜆´x 2 𝜆"x ou y = y x = C ⋅ 𝜚 + C ⋅ x𝜚 caso as raízes 𝜆' e 𝜆" sejam iguais H h( ) 1 𝜆´x 2 𝜆"x ( ) A EDO tem equação caracteristica 9𝜆 - 6𝜆+ 1 = 0 equação do 2ª grau2 ( ) com : 𝜆 = y", y' = 𝜆 e 1 é um termo independente, veja que isso é uma equação do2 2° grau, resolvendo : 𝜆' = = - -6 + 2 ⋅ 9 ( ) -6 - 4 ⋅ 9 ⋅ 1( )2 ( ) 1 3 𝜆" = = - -6 - 2 ⋅ 9 ( ) -6 - 4 ⋅ 9 ⋅ 1( )2 ( ) 1 3 Substituindo 𝜆´ e 𝜆" e considerando 𝜆' = 𝜆"; y = C ⋅ e + C ⋅ xe y = C ⋅ e + C ⋅ xeHomogênea 1 x 1 3 2 x 1 3 → Homogênea 1 x 3 2 x 3 Primeiro, substituimos y 0 = - 3 na solução encontrada;( ) y 0 = C ⋅ e + C ⋅ 0 ⋅ e = - 3 C ⋅ e + C ⋅ 0 ⋅ e = - 3 C ⋅ 1 + 0 = - 3 C = - 3( ) 1 0 3 2 0 3 → 1 0 2 0 → 1 → 1 Agora, vamos substituir C na solução econtrada e derivar;1 y = - 3 ⋅ e + C ⋅ xe y = - 3e ⋅ + C e + C e ⋅ ⋅ xH x 3 2 x 3 → H x 3 1 3 2 x 3 2 x 3 1 3 y' = - e + C e + ⋅ x y = - e + C e +→ H 3 3 x 3 2 x 3 C e 3 2 x 3 → H x 3 2 x 3 xC e 3 2 x 3 Substituindo y' 0 = 3, fica;( ) y' 0 = - e + C e + = 3 y' 0 = - e + C e + 0 = 3 -1 + C ⋅ 1 + 0 = 3( ) 0 3 2 0 3 0 ⋅C e 3 2 0 3 → ( ) 0 2 0 → 2 C = 3 + 1 C = 4→ 2 → 2 Com isso, a solução homogênea fica : y = - 3 ⋅ e + 4 ⋅ xe y = - 3e + 4xeHomogênea x 3 x 3 → H x 3 x 3 Finalmente, encontramos y 3 ;( ) y 3 = - 3e + 4 ⋅ 3 ⋅ e y 3 = - 3e + 12e( ) 3 3 3 3 → ( ) 1 1 y 3 = 9e( ) (Resposta )
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