Introdução à Geometria sem área e angulos opostos

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MATERIAL DE MATEMÁTICA – GEOMETRIA 
PROFESSOR: Cleiton Fornari 
 
INTRODUÇÃO À GEOMETRIA 
PONTO, RETA E PLANO 
➔ Você já tem uma ideia intuitiva sobre ponto, reta e plano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
1) Desenhe o que se pede: 
a) Duas retas paralelas: 
b) Duas retas concorrentes: 
c) Duas retas perpendiculares: 
d) Retas transversais: 
 
 
4) A retas r, s, t e u contêm os lados de um paralelogramo ABCD, como indicado na 
figura. Qual é a posição das: a) Retas r e s: 
b) Retas s e t: 
c) Retas r e t: 
d) Retas t e u: 
ÂNGULOS 
Definição: ângulo é a reunião de duas semirretas de mesma origem. 
 
O ângulo pode ser indicado por Ô ou AÔB, o ponto que representa o vértice do ângulo 
indicado tem o ^. Já a medida do ângulo, indicamos por med(AÔB) ou med(Ô). 
 
Também podemos indicar os Graus com minutos e segundos: 
1° = 60’ ( 1 grau é igual a 60 minutos) 
1’ = 60” ( 1 minuto é igual a 60 segundos) 
Os graus são indicados com a °, os minutos com ‘ e os segundo com “ 
 
Exemplo: Quantos graus representam 2100 minutos? 
1° ------------ 60’ 
x° ----------- 2100’ 
Regrinha “Multiplicação Cruzada” 
1 . 2100 = x . 60 
X = 
2100
60
 → x = 35° → Ou seja, 2100 minutos representam 35° (graus). 
 
 
 
 
Obs: O sinal indica que o ângulo é reto. Med(Ô) = 90° 
 
 
 
Bissetrizes: São retas que dividem um ângulo em dois 
ângulos congruentes 
 
Exemplos: 
1) Sabendo que os ângulos abaixo são congruentes, qual o valor de cada ângulo? 
a) 
 
b) 
 
 
2) Calcule o valor de x: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS - Conceitos Ângulos: 
1) Determine a medida do: 
a) complemento do ângulo de 47º. 
b) Suplemento do ângulo de 119º. 
c) Complemento do ângulo de 22º. 
d) Suplemento do ângulo de 67º. 
 
2) Com auxílio do transferidor, construa os ângulos cuja medida está indicada abaixo. 
a) 45° 
b) 135° 
c) 85° 
d) Um ângulo reto 
e) Um ângulo raso 
 
6) Encontre o valor de x em cada caso: 
 
 
 
 
 
 
 
5) Encontre o valor dos ângulos abaixo 
sabendo que eles são congruentes: 
 
 
 
POLÍGONOS 
Polígonos são linhas fechadas formadas apenas por segmentos de reta que não se cruzam. 
Em outras palavras, são figuras geométricas planas. 
 
 
 
 
 
TRIÂNGULOS 
 
Definição: Triângulo é todo polígono completo por três lados. 
Condição de Existência: 
➔ A soma das medidas dos dois lados menores deve ser maior do que a medida do 
maior lado. 
➔ A soma da medida dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180°. 
Exemplo 01: Verifique se pode existir um triângulo cujos lados medem 13 cm; 7 cm e 8 
cm. 
 
 
Exemplo 02: Em um triângulo, as medidas dos três lados são números inteiros. O maior dos 
lados tem 7 cm, e um dos outros dois lados mede 2 cm. Qual a medida do terceiro lado desse 
triângulo? 
 
 
Podemos classificar os triângulos de acordo com a medida do comprimento de seus 
lados e de acordo com a medida de seus ângulos: 
 
 
 
Atividades do Livro → P. 106 (N° 1, 2, 3 e 4) 
 
Outras relações sobre triângulos: 
 
➔ Soma das medidas internas dos ângulos internos de um triângulo: 
A soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é 180°. 
 
Exemplo 1: Qual o valor dos ângulos x, y, z? 
 
Exemplos 2: 
 
Exercícios p. 108: (5, 7, 9, 10, 12, 14) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lista de Exercícios: 
1) Encontre o valor de x e determine os ângulos nas figuras abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUADRILÁTEROS 
É todo polígono composto por quatro vértices, quatro lados, quatro ângulos internos, 
quatro ângulos externos e duas diagonais, quando convexos. 
 
IMPORTANTE: A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360°. 
Exemplo 1: Um quadrilátero é composto pelos ângulos 85°, 120° e 75°. Descubra a 
medida do quarto ângulo? 
 
 
 
 
Exemplo 2: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3: Encontre o valor de x em cada quadrilátero e determine o valor de cada 
ângulo: 
 
 
Exercícios: 
 
 
SOMA DA MEDIDA DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM POLÍGONO 
E dado pela seguinte fórmula: 
 
 
Determine a soma dos ângulos internos dos polígonos abaixo e encontre o valor de x: 
 
 
 
 
 
CLASSIFICAÇÃO DE QUADRILÁTEROS: 
TRAPÉZIOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS
 
 
 
 
 
 
 
 
Área de Polígonos 
➔ Agora vamos estudar como efetuar cálculos de área com figuras planas