AEP-matematica-funcao-modular

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Sumário 
 
INTRODUÇÃO ................................................................................................................................................................ 2 
PROPRIEDADE ............................................................................................................................................................... 2 
EQUAÇÃO MODULAR .................................................................................................................................................... 2 
INEQUAÇÃO MODULAR ................................................................................................................................................ 3 
FUNÇÃO MODULAR ...................................................................................................................................................... 4 
Exercícios ................................................................................................................................................................... 5 
Gabarito ........................................................................................................................................................................ 6 
 
 
 
 
Para entender o comportamento de uma função modular é fundamental que se entenda 
inicialmente o conceito de módulo. 
O módulo de um número é o mesmo que o valor absoluto desse número, ou seja, o módulo de um 
número é estritamente positivo ou nulo. Portanto, podemos defini-lo da seguinte forma: 
 






0 x se x,-
0 x ,sex
x 
 
 
EXEMPLO: 
12 = 12 ou  25 = 25 
 
 
 
 Toda a equação que contiver a incógnita em um módulo num dos membros será chamada equação 
modular. 
 Para o tipo de equação  f(x) = k basta fazer f(x) = k ou f(x) = k. 
 
EXEMPLO: 
Resolva a equação x  8 = 12. 
 
SOLUÇÃO: 
Dado 
  x  8 = 12 
então teremos duas possibilidades 
 x  8 = 12 
 x = 20 
ou 
 x  8 = 12 
 x = 4 
portanto 
 S = {4, 20} 
 
EXEMPLO: 
OBS.: 
Para x negativo, vale a igualdade  x = -x. Lembrese do fato que se x é 
negativo, então -x é positivo. 
Somente para x positivo ou nulo é que vale a igualdade  x = x. 
 
 
Resolva a equação 4x + 7 = x + 13. 
 
SOLUÇÃO: 
Dado 
  4x + 7 = x + 13 
então 
 4x + 7 = x + 13 
 3x = 6 
 x = 2 
ou 
 4x + 7 = (x + 13) 
 4x + 7 = x 13 
 5x = 20 
 x = 4 
portanto 
 S = {4, 2} 
 
 Chamamos de inequações modulares as inequações nos quais aparecem módulos de expressões que 
contém a incógnita. 
 Observe os tipos mais comuns de inequação: 
 
Se  f(x) < k então  k < f(x) < k 
 
Se  f(x) > k então f(x) <  k ou f(x) > k 
 
EXEMPLO: 
Resolva a inequação 2x  12 < 8. 
 
SOLUÇÃO: 
Dado 
  2x  12 < 8 
então 
 8 < 2x  12 < 8 
 8 + 12 < 2x < 8 + 12 
 4 < 2x < 20 
logo 
 2 < x < 10 
portanto 
 S = {x  R/ 2 < x < 10} 
 
EXEMPLO: 
Resolva a inequação 4x + 10 > 30. 
 
SOLUÇÃO: 
Dado 
  4x + 10 > 30 
então teremos duas possibilidades 
 4x + 10 > 30 
 
 
 4x > 20 
 x > 5 
ou 
 4x + 10 < 30 
 4x < 40 
 x < 10 
portanto 
 S = {x  R/ x < 10 ou x > 5} 
 
Chamamos de função modular a função f(x)=|x| definida por: 
 






0 x se x,-
0 x ,
)(
sex
xxf 
 
 Observe, então, que a função modular é uma função definida por duas sentenças. 
 
 
 Vamos construir o gráfico da função f(x)=|x|: 
 
 Atribuindo valores para x, temos: 
 
x y 
-2 2 
-1 1 
0 0 
1 1 
2 2 
 
 Perceba que o gráfico é simétrico em relação ao eixo y e foi dividido em duas funções lineares. 
 
 A função crescente 
 
 f(x) = x, para x  0 
 
 e outra função decrescente 
 
 f(x) = -x, para x  0. 
 
 OBSERVAÇÃO: 
 O segredo é descobrir o valor de x que zera o módulos, pois é exatamente nesse ponto em que a 
função muda. 
 
 
x 
y 
 
 
 
 
01. Identifique o gráfico que melhor representa a função modular f(x) =  x + 3. 
a) b) c) 
 
 
 
 
d) e) 
 
 
02. Qual o gráfico que melhor representa a função modular f(x) =  x + 3? 
a) b) c) 
 
 
 
 
d) e) 
 
 
 
 
 
03. Seja f(x) = x – 4, uma função f de R em R, determine então o valor de 
)2()4(
)6()4()2(
33
2.2.2
ff
fff

. 
a) 2,0 
x 
y 
x 
y 
x 
y 
x 
y 
x 
y 
x 
y 
x 
y 
x 
y 
x 
y 
x 
y 
 
 
b) 1,6 
c) 1,0 
d) 0,8 
e) 0,2