P1 2009.2 GABARITO

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Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro 09/10/2009 
Departamento de Economia 
 
ECO1800 - TÉCNICAS DE PESQUISA EM ECONOMIA – 2009.2 
1ª. PROVA - GABARITO 
 
· Prova sem consulta. Duração: 1h45min. 
· Permitido o uso de calculadora.Pode ser feita a lápis. 
· Todas as respostas devem ser justificadas adequadamente. 
· Caso o enunciado da questão seja ambíguo, interpretações razoáveis serão consideradas. 
· Boa sorte! 
 
Questão 1 (3 pontos) – Seja ity a taxa de desemprego no município i no período t. Você está interessado em 
estudar os efeitos de um programa federal de treinamento e qualificação profissional sobre o desemprego dos 
municípios. Seja iz um vetor de k características observáveis que variem entre municípios mas sejam 
constantes no tempo (o Estado em que o município se localiza, por exemplo). Seja itx um vetor de p 
características observáveis que variem entre municípios e no tempo. A variável itprog é a dummy 
indicadora da participação no programa: itprog =1 se o município i participa do programa no período t. 
Qualquer seqüência de participação é possível, ou seja, certo município pode participar em um período mas 
não em outro. 
 
a) (0,5 ponto) Considere o seguinte modelo estimado por MQO: 
 itititiit uprogxzy ++++= 1dbga , i=1,2,...,N; t=1,2,...,T 
 onde o erro do modelo é dado por: itiit vcu += . 
Avalie a seguinte afirmativa: “Esse modelo é de utilidade limitada porque os estimadores de MQO serão 
inconsistentes se os erros { itu } forem autocorrelacionados”. [Concorda? Discorda? Por quê?] 
 
b) (0,75 ponto) Suponha que 0),|( =itiit xzuE e 0)|( =itit progvE , mas você suspeite que a 
participação no programa dependa de características não observáveis das cidades constantes no tempo – 
isto é, que 0)|( ¹iti progcE . Como você testaria essa hipótese? Explique detalhadamente. 
 
c) (0,75 ponto) Suponha que suas suspeitas no item anterior tenham sido confirmadas – isto é, que o teste 
proposto no item anterior indique que 0)|( ¹iti progcE . Que método de estimação você usaria para 
estimar a regressão de interesse? Justifique! 
 
d) (0,5 ponto) Você consegue estimar todos os parâmetros 1 e ,, dbga a partir do método proposto no item 
anterior? Explique. 
 
e) (0,5 ponto) Suponha agora que, em vez de depender das características não observáveis das cidades 
constantes no tempo, a participação no programa dependa de efeitos temporais não observados tq (por 
exemplo, fatores macroeconômicos que variem no tempo mas afetem todos os municípios da mesma 
forma). Logo, o modelo apropriado é agora: 
 
 ittititiit vprogxzy +++++= qdbga 1 , i=1,2,...,N; t=1,2,...,T 
 
Uma forma de controlar para tais efeitos temporais seria através da introdução de variáveis dummy para 
cada período. Suponha, porém, que você não queira introduzir dummies para cada período. Que 
transformação do modelo acima pode ajudar a resolver a omissão do efeito temporal e tornar o modelo 
transformado estimável consistentemente por MQO? (Mostre algebricamente a transformação utilizada). 
 
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RESPOSTA 
 
a) A afirmação não é correta, pois a presença de autocorrelação nos erros implica a ineficiência, e não a 
inconsistência do estimador de MQO. 
b) Essa hipótese pode ser testada através do Teste de Hausman, que consiste em estimar o modelo por 
efeitos fixos e efeitos aleatórios e testar se a diferença entre as respectivas estimativas é 
estatisticamente significativa. O teste baseia-se na idéia de que, sob a hipótese de que o fator 
não observado c não tem correlação com os regressores, ambos os estimadores de efeitos 
fixos e efeitos aleatórios são consistentes – de modo que seria razoável esperar estimativas 
semelhantes a partir dos dois métodos –; mas, caso c seja correlacionado com algum 
regressor, apenas o estimador de efeitos fixos é consistente – de modo que seria razoável 
esperar estimativas diferentes a partir dos dois métodos. Logo, se as estimativas obtidas 
pelos dois métodos forem “significativamente” diferentes, isso é um indício contra a 
hipótese de ausência de correlação entre c e os regressores – e, portanto, a favor do uso do 
estimador de efeitos fixos (ou do estimador de primeira diferença). No teste de Hausman, a 
hipótese nula é que o estimador de efeitos aleatórios é consistente, e a hipótese alternativa é 
que esse estimador é inconsistente: 
Ho: 0)|( =iti progcE 
H1: 0)|( ¹iti progcE 
Se a estatística de teste superar o valor crítico da distribuição qui-quadrado (com p+1 graus de 
liberdade) ao nível de significância desejado, deve-se rejeitar H0. 
c) A rejeição da hipótese nula do teste de Hausman implica que a diferença entre as estimativas obtidas 
por efeitos fixos e por efeitos aleatórios é estatisticamente significativa. Logo, conforme explicado 
no item anterior, o correto seria estimar por efeitos fixos (ou primeira diferença, que também elimina 
o fator não observado c da regressão). 
d) Não. Na estimação por efeitos fixos (ou primeira diferença), qualquer variável constante no tempo é 
eliminada da regressão, da mesma forma que o efeito não observado c. Logo, esses métodos não 
permitem identificar o efeito sobre a variável dependente das características incluídas no vetor iz . 
e) Devemos procurar uma transformação do modelo que elimine o fator tq da regressão – assim como 
a transformação de efeitos fixos eliminava o fator c do modelo original. Uma possibilidade é 
trabalhar com os desvios em relação à média de cada variável para o conjunto dos indivíduos em 
cada ponto do tempo: 
.
1
1
)()()()(
1
1
1
etc
z
N
z
y
N
y
onde
vvpprogxxzzyy
N
i
i
N
i
itt
tittittititit
å
å
=
=
÷
ø
ö
ç
è
æ=
÷
ø
ö
ç
è
æ=
-+-+-+-=- dbg
 
 
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Questão 2 (3,75 pontos) – O economista Pedro deseja realizar previsões da taxa de inadimplência nos 
empréstimos a pessoa física para outubro e novembro/2009. A partir de 400 observações mensais da taxa de 
inadimplência (y), ele estima o seguinte modelo AR(1): 
 
ttt uyy ˆ8.02 1 ++= - , 36.0)ˆvar( =tu 
 
A tabela abaixo apresenta as últimas informações disponíveis da taxa de inadmplência (y) e do resíduo da 
regressão acima ( tuˆ ): 
Período 
ty tuˆ 
Julho/09 8.6 0.2 
Agosto/09 8.4 -0.48 
Setembro/09 8 -0.72 
 
a) (0,75 ponto) Calcule as previsões para outubro e novembro/2009, com seus respectivos intervalos de 
confiança a 95%. Explicite quaisquer hipóteses necessárias para realizar tal tarefa. 
 
b) (0,75 ponto) Qual seria uma previsão razoável, com seu respectivo intervalo de confiança, para a taxa de 
inadimplência em dezembro de 2011? 
 
A economista Paula decide investigar se o modelo AR(1) proposto por Pedro é realmente adequado para 
representar a dinâmica da taxa de inadimplência. Para tanto, ela calcula a FAC e FACP amostrais para a taxa 
de inadimplência a partir das 400 observações disponíveis, obtendo os seguintes resultados para as primeiras 
12 defasagens: 
 
Defasagem 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
FAC 0.8792 0.6578 0.4592 0.2837 0.16 0.08 0.02 -0.007 -0.003 -0.006 -0.039 -0.069 
FACP 0.8792 -0.507 0.32 -0.25 0.1628 -0.1 0.0502 0.002 0.042 -0.08 -0.048 0.075 
 
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Defasagem
FAC
 
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Defasagem
FACP
 
 
c) (1 ponto) Com base na análise da FAC e FACP acima, indique, dentre os processos abaixo, aquele que 
parece mais adequado para representar a série em questão: 
(a) ttt uyy ++= -18.02 
(b) tttt uyyy +++= -- 21 1.07.02 
(c) 11 8.08.02 -- +++= tttt uuyy 
(d) 11 8.08.02 -- -++= tttt uuyy 
(e) ttt uyy += -1 
(f) 18.02 -++= ttt uuy 
 
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d) (0,5 ponto) Após selecionarum dos processos acima, Paula estima o modelo correspondente. A FAC, 
FACP e a estatística Q de Ljung-Box para várias defasagens dos resíduos do modelo estimado estão 
apresentadas abaixo. Você diria que o modelo estimado por Paula parece adequado? 
 
 DEF FAC FACP Q-stat. [p-valor] 
 
 1 0.0721 0.0721 1.0455 [0.307] 
 2 0.0070 0.0018 1.0553 [0.590] 
 3 0.0066 0.0060 1.0641 [0.786] 
 4 -0.0236 -0.0247 1.1782 [0.882] 
 5 -0.0851 -0.0835 5.0685 [0.408] 
 6 -0.0266 -0.0074 5.2141 [0.517] 
 7 -0.0482 -0.0455 5.6967 [0.576] 
 8 -0.0791 -0.0729 6.9994 [0.537] 
 9 0.0139 0.0196 7.0401 [0.633] 
 10 0.0935 0.0854 9.2948 [0.504] 
 11 -0.0033 -0.0218 9.2972 [0.594] 
 12 -0.0819 -0.0903 11.5067 [0.486] 
 
 
e) (0,75 ponto) Vimos acima que Pedro e Paula propõem aproximar o processo gerador da série de 
inadimplência a partir de dois processos estocásticos distintos. Suponha que o VERDADEIRO processo 
econômico gerador da taxa de inadimplência seja descrito pelo sistema de equações abaixo: 
 
I. 1200 -++= ttt DJy bbb 
II. tt JD 10 gg += 
III. ttt eJJ += -11d 10 1 << d 
 
Onde y é a taxa de inadimplência, J é o desvio da taxa de juros real sobre os empréstimos em relação a 
seu nível de equilíbrio e D é a taxa de desemprego, e todos os parâmetros do modelo são positivos. 
Mostre que a trajetória da taxa de inadimplência segue um processo ARMA(p,q), definindo 
adequadamente o erro do modelo ARMA e especificando a relação entre os coeficientes desse modelo e 
os parâmetros do “verdadeiro” modelo econômico acima. [Dica: a forma mais fácil de resolver essa 
questão é usando o operador de defasagem L de forma “esperta”.] 
 
RESPOSTA 
 
a) Podemos escrever os valores a serem observados em t+1 e t+2 como: 
12
2
212
11
ˆ8.0ˆ8.0)8.01(2ˆ8.02
ˆ8.02
+++++
++
++++=++=
++=
tttttt
ttt
uuyuyy
uyy
 
Logo, as previsões são: 
72.88*64.06.3)ˆ8.0ˆ(8.0)8.01(2)(~
4.88*8.028.02)ˆ(8.02)(~
12
2
22
111
=+=++++==
=+=+=++==
++++
+++
ttttt
ttttt
uuEyyEy
yuEyyEy
 
E a variância do erro de previsão, supondo que não haja incerteza sobre os coeficientes estimados do 
modelo, é : 
59.0)36.0(8.036.0)ˆ8.0ˆ()~(
36.0)ˆ()~(
2
1222
111
=+=+=-
==-
++++
+++
tttt
ttt
uuVaryyVar
uVaryyVar
 
Supondo normalidade dos erros, um intervalo de confiança aproximado a 95% das previsões para t+1 e 
t+2 é dado por: 
· t+1: )6.0(24.8)~(2~ 111 ±=-± +++ ttt yyVary 
· t+2: )768.0(272.8)~(2~ 222 ±=-± +++ ttt yyVary 
 
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b) Dado que o horizonte de previsão é bastante longo e o processo é estacionário, uma previsão 
razoável é a média do processo = 2/(1-0.8) = 10. Da mesma forma, a variância do erro de previsão 
pode ser aproximada pela variância do processo = 0.36/(1-0.8^2)=1. Logo, o intervalo de confiança 
para a previsão seria [8,12]. 
c) Inicialmente, note que o intervalo de confiança aproximado para a FAC e FACP é dado por 
10.0400/2 ±=± . Ambas a FAC e a FACP apresentam decaimento gradual (para a FACP isso se 
verifica em módulo), o que sugere um processo misto ARMA(p,q) com p>0 e q>0. Logo, os 
candidatos são (c) e (d). Mas note que o processo (d) contém uma raiz comum nas partes 
autorregressiva e média móvel; de fato, o processo pode ser escrito como: 
tt uLyL )8.01(2)8.01( -+=- 
Se cancelarmos (1-0.8L) dos dois lados, obtemos: 
tt uy +-= )8.01/(2 
e fica claro que o processo não deve apresentar nenhum padrão de autocorrelação, pois é equivalente 
a um processo i.i.d. O processo adequado é, portanto, (c). 
d) O modelo parece adequado, pois não há evidência de autocorrelação nos resíduos. De fato, todas as 
autocorrelações encontram-se dentro do intervalo de confiança ( 10.0400/2 ±=± ) e o teste 
Ljung-Box não rejeita a hipótese nula de não-significância das autocorrelações conjuntas para 
qualquer ordem considerada (note que os p-valores elevados não permitem rejeitar H0). 
e) Reescreva III como: 
)1( 1L
e
J tt d-
= (IV) 
Usando (IV) em II: 
)1( 1
10 L
e
D tt d
gg
-
+= (V) 
(IV) e (V) em I: 
)1()1(
)1()1(
1
1
12
1
0020
1
1
102
1
00
L
e
L
e
L
e
L
e
y
tt
tt
t
d
gb
d
bgbb
d
ggb
d
bb
-
+
-
++=
ú
û
ù
ê
ë
é
-
++
-
+=
-
-
 
 
Multiplicando os dois lados por )1( 1Ld- : 
 
112002011 ))(1()1( -+++-=- ttt eeLyL gbbgbbdd 
 
Rearrumando: 
1111 -- +++= tttt uuyy qdm 
Onde 
012
0201
0
/
))(1(
bgbq
gbbdm
b
=
+-=
= tt eu
 
Logo, trata-se de um ARMA(1,1). 
 
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 6 
Questão 3 (3,25 pontos) –O gráfico abaixo apresenta a evolução da série trimestral de gastos reais do setor 
público brasileiro, dessazonalizada e em logaritmo, G, para o período 1995-2008. 
 
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
4.0
95 96 97 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08
G
 
 
A economista Paula deseja estimar um modelo para captar a evolução dessa série. Ele está em dúvida entre 
qual dos seguintes modelos utilizar: 
 
 ),0(~ , ),0(~ 0, 0, , 10
 onde G (IV)
G (III)
G (II)
G (I)
22
1
1
1
etut
ttttt
tt
ttt
ttt
iideiidu
eXXXt
ut
uG
uG
ssamf
fam
am
m
fm
³³<<
+=++=
++=
++=
++=
-
-
-
 
 
a) (0,5 ponto) Quais dos processos acima são estacionários (de 2ª.ordem) e quais não-estacionários? 
 
b) (1,25 ponto) Quais são as diferenças fundamentais entre os processos acima? Ou seja, quais são as 
diferenças entre as séries temporais “típicas” geradas por cada um desses processos? Qual (ou quais) 
dos processos acima parece(m) constituir uma boa aproximação para o processo gerador da série de 
interesse, G? Justifique cuidadosamente. 
 
c) (0,5 ponto) Com base em sua resposta ao item anterior, qual seria um processo adequado para 
representar o processo gerador da taxa de crescimento dos gastos (DG)? 
 
d) (0,5 ponto) O economista Pedro afirma: “Olhando para o período completo (1995-2008), realmente 
fica-se em dúvida sobre o melhor modelo para representar a evolução de G. Mas se analisarmos 
apenas o período 2000-2008, não há dúvida sobre qual é o melhor modelo”. Concorda? Discorda? 
Por quê? 
 
e) (0,5 ponto) A fim de verificar a validade da afirmação de Pedro, Paula estima regressões de G em 
uma constante e em uma tendência determinística linear para o período completo e para o subperíodo 
2000-2008, obtendo as seguintes séries de resíduos: 
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 7 
-.16
-.12
-.08
-.04
.00
.04
.08
.12
.16
.20
1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008
RES_1995_2008 RES_2000_2008
 
 
onde RES_1995_2008 é a série de resíduos para o período completo e RES_2000_2008 é a série de 
resíduos para o subperíodo 2000-2008. Esse gráfico realmente parece corroborar a afirmação de Pedro? 
Ou não? 
 
RESPOSTA 
 
a) I é um AR(1) estacionário, pois 10 << f (de modo que a raiz da equação característica do processo 
é maior que 1). II não é estacionário, pois 1=f (de modo que a raiz da equação característica do 
processo é igual a 1); trata-se de um passeio aleatório com deslocamento (se 0>m ). A resposta para 
III e IV depende do valor de a ; se 0>a , trata-se de processos com tendência determinística e, 
portanto, não-estacionários: sua média depende do tempo; por outro lado, se 0=a , tais processos 
são estacionários. 
b) O processo I tende a flutuar em torno de uma média constante, apresentando algum grau de 
autocorrelação (“inércia”) que depende da magnitude de f . 
O processo II é muito persistente (o valor em t é altamente correlacionado com o valor em t-1) e não 
tende a voltar para algum nível constante. Além disso, se 0>m , o processo apresenta um 
componente determinístico de crescimento notempo. 
O processo III apresenta uma tendência determinística de crescimento. As séries temporais por ele 
geradas são desvios i.i.d. em torno dessa tendência determinística. 
O processo IV também apresenta uma tendência determinística de crescimento, mas as séries 
temporais por ele geradas são desvios autocorrelacionados (e não desvios i.i.d.) em torno dessa 
tendência determinística. Dependendo da magnitude de f , tais desvios podem ser mais ou menos 
persistentes, mas a série sempre converge para a tendência. (isso contrasta com o caso II, em que as 
séries também apresentam tendência determinística mas não tendem a convergir para essa tendência 
devido à raiz unitária do processo). 
 
O gráfico de G mostra uma clara tendência de crescimento no tempo, de modo que o processo I não 
é adequado. Dentre os processos que apresentam tendência de crescimento, podemos descartar III, 
pois claramente os desvios em torno da tendência de crescimento não são i.i.d (se traçarmos uma reta 
de tendência, os desvios apresentam-se claramente autocorrelacionados). Poderíamos, assim, ficar na 
dúvida entre II e IV, pois ambos permitem uma tendência de crescimento e desvios persistentes em 
torno da tendência; dada a curta extensão amostral, não é possível diferenciar adequadamente entre 
tais processos, pois não se sabe se há (ou não) tendência da série sempre convergir para uma reta. 
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 8 
c) Se supusermos que o processo adequado para G é II, então o processo para DG é: 
tt u+=D mG
 
que é um processo i.i.d. com média maior que zero. 
Se supusermos que o processo adequado para G é IV, então o processo para DG é: 
tt XD+=D aG 
 
d) O raciocínio de Pedro é o seguinte: “Se traçarmos uma reta de tendência para o período como um 
todo, observaremos alguns desvios muito persistentes em torno dessa reta, pelo fato de que o 
crescimento de G ao longo do tempo não é uniforme (em particular, na primeira parte da amostra a 
série apresenta pouco ou nenhum crescimento). Logo, ficamos na dúvida entre o processo II 
(passeio aleatório com deslocamento) e o processo IV com f relativamente alto (digamos, acima de 
0,8), que também poderia gerar séries com desvios muito persistentes em torno da tendência. Mas se 
olharmos apenas para o período pós-2000, a tendência de crescimento da série é aproximadamente 
constante e os desvios em torno de uma reta de tendência devem apresentar-se relativamente pouco 
persistentes (apesar de ainda autocorrelacionados), indicando que o processo IV deve ser mais 
adequado para representar a evolução de G nesse período”. 
 
Cabe ressaltar que, implícita no raciocínio de Pedro, está a idéia de que pode ter havido alguma 
“quebra estrutural” no comportamento de G, de modo que faria sentido analisar apenas o subperíodo 
mais recente a fim de identificar o processo gerador dessa variável. Se, por outro lado, não tiver 
havido nenhuma “quebra”, trabalhar com um período amostral mais reduzido não deveria ajudar a 
identificar adequadamente o processo. 
 
e) Paula realiza exatamente o exercício que Pedro havia imaginado acima, e os resultados parecem 
consistentes com a hipótese de Pedro: os resíduos para o período completo apresentam elevado grau 
de persistência, sendo compatíveis com um processo com raiz unitária ou com um AR(1) 
estacionário com f bastante elevado; enquanto que os resíduos para o período 2000-2008 
apresentam-se muito menos persistentes, tendo mais “cara” de um AR(1) estacionário. 
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