0 Conjuntos e Funcoes

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Capítulo 1
Conjuntos e funções
Neste capítulo, recordaremos as noções de conjunto e funções. Este capítulo
deve portanto ser vista como uma aula de recapitulação de fatos já aprendidos
em cursos anteriores. Vamos aproveitar para introduzir algumas notações que
serão utilizadas ao longo de todo livro.
1.1 Conjuntos
�O que é um conjunto?�é uma questão muito difícil de ser respondida. Não
vamos de�nir conjunto (classe ou coleção) e nem dar uma lista de axiomas para
a teoria dos conjuntos. Conjunto será considerado como um conceito primitivo,
esta noção é denominada teoria ingênua de conjuntos. Esta de�nição intuitiva
de um conjunto foi dada primeiramente por Georg Cantor, que criou a teoria
dos conjuntos em 1895.
Um conjunto é constituido de objetos, chamados elementos. Se A é um
conjunto e x um elemento, usamos a notação x 2 A para dizer que x é um
elemento do conjunto A ou que x pertence a A: Se x não é um elemento do
conjunto A, dizemos que x não pertence a A, e escrevemos x =2 A.
Existem duas formas de caracterizar um conjunto:
1 : Listando seus elementos, escrevendo-os separados por virgula � , � no
interior de chaves (f: : :g), onde a ordem em que os elementos são escritos não
é importante. Assim, o conjunto f1; 2; 3g é o mesmos que f2; 3; 1g. Além disso,
como os elementos de um conjunto são distintos, f1; 2; 3; 3g, não é uma notação
apropriada de um conjunto, e deve ser substituida por f1; 2; 3g.
Por exemplo, se A é o conjunto cujos elementos são as vogais a; e; i; o e u,
então escrevemos
A = fa; e; i; o; ug
Note que a 2 A, o 2 A e b =2 A.
Dado um elemento x, podemos considerar o conjunto formado por este único
elemento e será denotado por
fxg
e chamado de conjunto unitário.
Nem sempre é possível descrever um conjunto listando-se seus elementos e
por isso frequentemente utilizamos os modos alternativos a seguir.
1
2 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS E FUNÇÕES
2 : Uma outra maneira caracterizar um conjunto é através de uma pro-
priedade p comum e exclusiva a todos os elementos e denotamos por
X = fx : p(x)g
para caracterizar o conjunto em que todos os elementos satisfazem a propriedade
p:
Quando for preciso especi�car onde os elementos x devem ser tomados, es-
crevemos
X = fx 2 A : p(x)g
Como regra, a todo conjunto A e a toda proposição p (x) sobre x 2 A; existe
um único conjunto
X = fx 2 A : p(x)g
cujos elementos são precisamente aqueles elementos x 2 A para os quais a a�r-
mação p (x) é verdadeira. Numa abordagem axiomática da teoria dos conjuntos,
esta regra é postulada como um axioma, chamado o Axioma da Especi�-
cação.
Exemplo 1.1 Seja p a propriedade �as vogais do alfabeto latino�e seja
A = fx : p(x)g:
Logo, A = fa; e; i; o; ug
Exemplo 1.2 Seja N o conjunto dos números naturais e consideremos a seguinte
propriedade
�x é maior do que 10�
A propriedade p, de um número natural ser maior do que 10 de�ne o conjunto
A = f11; 12; 13; : : :g ou seja,
A = fx 2 N : x > 10g
Ás vezes pode ocorrer que nenhum elemento de A satisfaça a propriedade p:
Neste caso, o conjunto
fx 2 A : p(x)g
não possui nenhum elemento e chamaremos de conjunto vazio e denotaremos
pelo símbolo ?:
Portanto, o conjunto vazio ? é de�nido assim:
Qualquer que seja, x tem-se x =2 ?
Por exemplo, fn 2 N : 0 < n < 1g = ? e também fx : x 6= xg = ?.
Ainda uma outra forma, muito particular, de de�nir conjuntos, e através
da introdução de um axioma que estabeleça a existência de um conjunto satis-
fazendo determinadas propriedades bem especi�cadas. Por exemplo, o conjunto
dos números naturais N pode ser de�nido dessa forma, como veremos no próxima
capítulo. O conjunto R dos números reais também pode ser de�nido seguindo
esse método, chamado métódo axiomático, como veremos mais adiante. É claro
que o recurso a esse procedimento envolve uma discussão bastante delicada, de
caráter lógico, sobre a consistência do axioma introduzido com os demais previ-
amente admitidos na teoria; e, portanto, utilizado apenas em casos excepcionais
e somente por especialistas muito experientes.
� �� � �� � �� � �� � � �� � �� � �� � �� � �� � �
1.1. CONJUNTOS 3
De�nição 1.1 (Subconjunto) Sejam A e B dois conjuntos. O conjunto A
é dito um subconjunto de B, ou que A está contido em B, ou ainda que B
contém A e escrevemos
A � B ou B � A
se x 2 A, então x 2 B, isto é, todo elemento de A pertence a B.
� �� � �� � �� � � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �
Noutras palavras, A � B signi�ca que todo elemento do conjunto A é
também um elemento do conjunto B. A relação A � B é chamada relação de
inclusão.
Nota: Quando se escreve A � B não exclui a possibilidade de A conter todos
os elementos de B. Logo, é imediato que A � A.
Exemplo 1.3 Sejam A = fa; e; i; o; ug e B = fa; b; c; d; : : : ; zg. Mostre que
A � B.
Solução. Sendo B é o conjunto de todas as letras do alfabeto latino, então
para qualquer que seja � 2 A, como � é uma letra, temos que � 2 B: Logo,
A � B.
� �� � �� � �� � � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �
De�nição 1.2 (Conjuntos iguais) Dois conjuntos A e B são ditos iguais,
e escrevemos A = B se contêm os mesmos elementos. Caso contrário, eles são
diferentes e escrevemos A 6= B.
� �� � �� � �� � � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �
Nota: Se existe um elemento x 2 B tal que x =2 A, usamos a notação A ( B
que é uma abreviação para A � B com A 6= B, neste caso, dizemos que A é um
subconjunto próprio de B: Também usamos a notação A 6� B para indicar
que A não está contido em B.
Para mostrar que um conjunto A não é subconjunto de um conjunto B,
deve-se obter um elemento de A que não pertence a B: Por exemplo, Sejam
A = f0; 1; 3g e B = f0; 1; 2; 4g. Temos que A 6� B, pois 3 2 A e 3 =2 B.
Geralmente, em matemática, o melhor meio de provar que dois conjunto A
e B são iguais é mostrar que A � B e B � A.
Teorema 1.1 Sejam A e B dois conjuntos. Então A = B se, e somente se,
A � B e B � A
Demonstração. Suponha que A = B. Como A � A e B � B, segue-se que
A � B e B � A.
Suponha agora queA � B eB � A. ComoA � B, temos que todo elemento
de A é elemento de B e analogamente B � A implica que todo elemento de B é
elemento de A, logo, A e B têm os mesmos elementos, e por de�nição A = B.�
Exemplo 1.4 Mostre que valem as seguintes propriedades, referentes a subcon-
juntos de um dado conjunto A.
Problema 1.1 1: x 2 X () fxg � X.
2: Dados os objetos x; y; tem-se x = y se, e somente se, fxg = fyg.
4 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS E FUNÇÕES
Solução. 1 : ( =) ) Suponha que x 2 X. Então fxg � X, porque todo elemento
do conjunto fxg é o objeto x, e portanto pertence a X.
((= ) Suponha que fxg � X. Então x 2 X, porque x é elemento do
conjunto fxg.
2 : ( =) ) Suponha que x = y. Então x 2 fxg e y 2 fxg, portanto fxg � fyg
e fyg � fxg, donde fxg = fyg.
((= ) Suponha que fxg = fyg. Então x 2 fyg (pois x 2 fxg), donde x = y.
Teorema 1.2 Para qualquer conjunto A, tem-se ? � A. Em particular, o
conjunto vazio é único.
Demonstração. Suponha por absurdo que ? 6� A. Isto signi�ca que existe
algum elemento x 2 ? tal que x =2 A, que é uma contradição, pois, por de�nição
de vazio não podemos ter x 2 ?. Esta contradição nos obriga a concluir que
? � A. Agora, se ?1 e ?2 são conjunto vazios, então podemos concluir que
?1 � ?2 e ?2 � ?1
e portanto, pelo Teorema 1.1, temos que ?1 = ?2. �
Por causa de frequente aparecimento, deste e dos demais capítulos, e em
outros tópicos de matemática, os seguintes símbolos serão reservados para os
seguintes conjuntos:
N = f0; 1; 2; 3; : : :g conjunto dos números naturais
Z = f: : :� 2;�1; 0; 1; 2; : : :g conjunto dos números inteiros
Q = fp
q
: p; q 2 Z; q 6= 0g conjunto dos números racionais
e R o conjuto dos números reais. Note que
N � Z � Q � R
Observação: É usual ainda a escolha para o conjunto dos números naturais
como sendo N = f1; 2; 3; : : :g isto é, sem o número 0: A escolha de se incluir ou
não o 0 é totalmente indiferente com relação a teoremas, lemas e de�nições onde
o conjunto dos números naturais estiver presente.
Teorema 1.3 Se A � B e B � C, então A � C.
Demonstração. Mostraremos que para todo x 2 A temos quex 2 C. Se
x 2 A, então x 2 B, pois A � B e como B � C, então x 2 C. Portanto
mostramos que A � C. �
É possível que os elementos de um conjunto possam ser também conjuntos.
Por exemplo, no conjunto das retas, cada reta é um conjunto de pontos. No
conjunto de planos do espaço tridimensional, cada plano é um conjunto de retas.
� �� � �� � �� � �� � �� � � �� � �� � �� � �� � �
1.1. CONJUNTOS 5
De�nição 1.3 (Conjunto das partes) Seja A um conjunto. A coleção de
todos os subconjuntos de A é dita conjunto das partes1 de A e é denotada
por } (A) : Em símbolos,
} (A) = fX : X � Ag
� �� � �� � �� � � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �
Exemplo 1.5 Temos que } (?) = f?g. Se A = f1; 2g, então
} (A) = f?; f1g; f2g; f1; 2gg
Nota: Qualquer que seja A; } (A) nunca é vazio.
Teorema 1.4 Se A tem n elementos, então } (A) tem 2n elementos.
Demonstração. Já sabemos que o conjunto vazio ? pertence a } (A) : Em
seguida, cada x 2 A forma um subconjunto tal que
fxg � } (A)
e que o número desse conjunto unitário é
�
n
1
�
. Continuando, existem exatamente�
n
2
�
subconjuntos de A com 2 elementos de A. Finalmente, existem exatamente�
n
n
�
subconjuntos deA com n elementos deA, que é o próprioA. Logo, contando
com o conjunto vazio, o número total de subconjuntos de A é igual a�
n
0
�
+
�
n
1
�
+ � � �+
�
n
n
�
Usando a expansão do binômio de Newton para (1 + 1)n, temos
(1 + 1)
n
=
�
n
0
�
+
�
n
1
�
+ � � �+
�
n
n
�
Assim, } (A) tem 2n elementos. �
Na aritmética, podemos adicionar, multiplicar ou subtrair dois números
quaisquer. Na teoria dos conjuntos as operações união, interseção e diferença, se
comportam de maneira análogas às operações adição, multiplicação e subtração
de números.
� �� � �� � �� � �� � �� � � �� � �� � �� � �� � �
De�nição 1.4 (União) Sejam A e B dois conjuntos. A união de A e B,
denotado por A [B é o conjunto de todos os elementos que pertencem a A ou
B: Em outros termos,
A [B = fx : x 2 A ou x 2 Bg
� �� � �� � �� � �� � �� � � �� � �� � �� � �� � �
Dizer que x 2 A [ B signi�ca que x pertence a pelo menos um dos dois
conjuntos A ou B, ou seja,
x 2 A [B () x 2 A ou x 2 B
1Na teoria dos conjuntos a existência do conjunto das partes não óbvia, pois a existência
de um conjunto das partes não é conseqüência do axioma da especi�cação.
6 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS E FUNÇÕES
Num contexto em que todos os conjuntos com os quais se trabalha são
subconjuntos de um mesmo conjunto U (por exemplo, no curso de Análise
Real, U = R), o conjunto U é às vezes chamado conjunto-base ou conjunto-
universo. Como auxílio na vizualização de operações de conjuntos, introduzire-
mos diagramas, chamados diagramas de Venn, que representam conjuntos
geometricamente.
Representaremos o conjunto conjunto-universo U por um retângulo, e os
subconjuntos de U por círculos desenhados dentro do retângulo. Por exem-
plo, na �gura, abaixo representamos dois conjuntos A e B como dois círculos
sombreados; a área sombreada total é a união A [B.
Por exemplo, se A = fx 2 N : x 6 8g e B = fx 2 N : x > 2g: Então
A [B = N
Veja também que Z [ R = R.
De modo mais geral, podemos considerar a união de um número qualquer,
n, de conjuntos A1;A2; : : : ;An. Nesse caso, é comum usarmos a notação
n[
k=1
Ak = A1 [A2 [ � � � [An
Mais precisamente, a de�nição para essas uniões de n conjuntos seria
n[
k=1
Ak = fx : x 2 Ak, para algum k 2 f1; 2; : : : ; ngg
Por exemplo, se An = [n; n+ 1] ; onde n 2 N, então
18[
i=1
Ai = [1; 2] [ [2; 3] [ � � � [ [18; 19] = [1; 19]
Teorema 1.5 Sejam A;B e C conjuntos. Então:
1: A � A [B e B � A [B.
2 : A [? = A.
3 : A [A = A.
4 : A [B = B [A.
5 : A [ (B [C) = (A [B) [C.
1.1. CONJUNTOS 7
6 : A � B se, e somente se, A [B = B.
7 : A � C e B � C se, e somente se, A [B � C.
8 : Se A � B, então A [C � B [C.
Demonstração. 1 : Seja x 2 A. Então x 2 A ou x 2 B e portanto, x 2 A[B.
Logo, A � A [B. Do mesmo modo prova-se que B � A [B.
2 : Seja x 2 A[?. Então x 2 A ou x 2 ?, logo, x 2 A. Fica assim provado
que A [? � A. Pelo item 1 :, obtemos a outra inclusão A � A [?.
3 : É claro que A � A [A. Seja x 2 A [A. Então x 2 A ou x 2 A, logo,
x 2 A Fica assim provado que
A [A � A
e pelo Teorema 1.1, concluimos que A [A = A.
4 : Para mostrar que o primeiro membro está contido no segundo, seja
x 2 A [B
Então x 2 A ou x 2 B, ou ambos. Se x 2 A, então x 2 A [ B e também, se
x 2 B, então x 2 B [A. Fica assim provado que
A [B � B [A
Do mesmo modo prova-se que B [A � A [B. Pelo Teorema 1.1, concluímos
que A [B = B [A.
5 : Seja x 2 A[ (B [C). Se x 2 A, então x 2 A[B, logo, x 2 (A [B)[C;
e se x 2 B[C, há duas possibilidades a considerar: x 2 B ou x 2 C. Se x 2 B,
então x 2 A [ B, logo, x 2 (A [B) [ C; e x 2 C implica x 2 (A [B) [ C.
Fica assim provado que
A [ (B [C) � (A [B) [C
A demonstração de que (A [B) [C � A [ (B [C) é inteiramente análoga.
6 : ( =) ) Suponha que A � B. Seja x 2 A[B. Então x 2 A ou x 2 B, ou
ambos. Logo, x 2 B, pois A � B e portanto,
A [B � B
Como B � A [B e A [B � B pelo Teorema 1.1, obtemos A [B = B.
((= ) Suponha que A [ B = B. Seja x 2 A, pelo item 1 :, x 2 A [ B:
Então x 2 B , pois A [B = B e portanto, A � B.
7 : Suponha que A � C e B � C. Seja x 2 A [B, então x 2 A ou x 2 B.
Logo, x 2 C ou x 2 C ou seja, x 2 C. Segue que A [B � C.
Suponha que A [ B � C. Se x 2 A, então x 2 A ou x 2 B ou seja,
x 2 A [B. Como x 2 A [B e A [B � C, temos que x 2 C. Logo, A � C.
Do mesmo modo prova-se que B � C.
8 : Suponha que A � B. Seja x 2 A [ C, então x 2 A ou x 2 C. Logo,
x 2 B ou x 2 C, pois A � B e portanto, x 2 B [C. �
� �� � �� � �� � �� � �� � � �� � �� � �� � �� � �
8 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS E FUNÇÕES
De�nição 1.5 (Interseção) Sejam A e B dois conjuntos. A interseção de
A e B, denotado por A \B é o conjunto de todos os elementos que pertencem
a A e B: Em outros termos,
A \B = fx : x 2 A e x 2 Bg
� �� � �� � �� � �� � �� � � �� � �� � �� � �� � �
Pode ocorrer que não existe x tal que x 2 A e x 2 B: Neste caso, A\B = ?
e dizemos que os conjuntos A e B são disjuntos. Quando os conjuntos A e B
são disjuntos, escreve-se, às vezes:
A
U
B
para indicar a sua união. No diagrama abaixo a parte duplamente hachurada é
a interseção A \B.
De modo mais geral, podemos considerar a interseção de um número qual-
quer, n, de conjuntos A1;A2; : : : ;An. Nesse caso, é comum usarmos a notação
n\
k=1
Ak = A1 \A2 \ � � � \An
Mais precisamente, a de�nição para essas interseção de n conjuntos seria
n\
k=1
Ak = fx : x 2 Ak; para todo k 2 f1; 2; : : : ; ngg
Veja que, se A = fx 2 N : x 6 8g e B = fx 2 N : x > 2g, então
A \B = f3; 4; 5; 6; 7; 8g
Teorema 1.6 Sejam A,B e C conjuntos. Então:
1 : A \B � A e A \B � B:
2 : A \? = ? e A \A = A:
3 : A \B = B \A:
4 : A \ (B \C) = (A \B) \C:
1.1. CONJUNTOS 9
5 : A � B se, e somente se, A \B = A:
6 : C � A e C � B se, e somente se, C � A \B:
7 : Se A � B; então A \C � B \C:
8 : A \ (B [C) = (A \B) [ (A \C) e A [ (B \C) = (A [B) \ (A [C) :
Demonstração. 1 : Seja x 2 A \B: Então x 2 A e x 2 B: Logo, A \B � A
e A \B � B:
2 : Como ? � A\? e A\? � ?; segue-se do Teorema 1.1, que A\? = ?:
Pelo item 1 : temos que A \A � A: Seja x 2 A; logo, x 2 A \A e portanto,
A � A \A:
3 : Para mostrar que o primeiro membro está contido no segundo, seja
x 2 A \B
Então x 2 A e x 2 B, logo, x 2 B e x 2 A e portanto, x 2 B \A: Fica assim
provado que A \B � B \A. Do mesmo modo prova-se que B \A � A \B:
Pelo Teorema 1.1, concluímos que A \B = B \A:
4 : Seja x 2 A \ (B \C) : Então x 2 A e x 2 (B \C) ; logo, x 2 A \ B e
x 2 C ou seja, x 2 (A \B) \C e portanto,
A \ (B \C) � (A \B) \C
A demonstração de que (A \B) \C � A \ (B \C) é inteiramente análoga.
5 : ( =) ) Suponha que A � B: Seja x 2 A \ B: Então x 2 A e x 2 B:
Logo, x 2 A; pois A � B e portanto,
A \B � A
Como A \B � A e A \B � A, então pelo Teorema 1.1, obtemos A \B = A:
((= ) Suponha que A\B = A: Como A\B � B, temos que A � B, pois
A \B = A:
6 : ( =) ) Suponha que C � A e C � B: Seja x 2 C; então x 2 A e x 2 B:
Logo, x 2 A \B ou seja,
C � A \B
((= ) Suponha que C � A \B: Se x 2C; então x 2 A e x 2 B ou seja,
C � A e C � B:
7 : Suponha que A � B: Seja x 2 A \C; então x 2 A e x 2 C: Logo, x 2 B
e x 2 C; pois A � B; e portanto, x 2 B \C:
8 : Para provarmos a relação A \ (B [C) = (A \B) [ (A \C), temos que
mostrar as seguintes inclusões:
A \ (B [C) � (A \B) [ (A \C) (#)
e
(A \B) [ (A \C) � A \ (B [C) (�)
A seguir mostraremos (#), ou seja, se
x 2 A \ (B [C) ; então x 2 (A \B) [ (A \C)
De fato, se x 2 A e x 2 (B [C), então temos uma das seguintes possibilidades:
10 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS E FUNÇÕES
� x 2 A e x 2 B, portanto x 2 (A \B)
ou
� x 2 A e x 2 C, portanto x 2 (A \C).
Portanto, temos uma das seguintes possibilidades:
x 2 (A \B) ou x 2 (A \C)
logo, x 2 (A \B) [ (A \C). Isto mostra que
A \ (B [C) � (A \B) [ (A \C)
A seguir, mostraremos (�), ou seja, se
x 2 (A \B) [ (A \C) ; então x 2 A \ (B [C)
De fato, se x 2 (A \B)[ (A \C), então temos uma das seguintes possilidades:
(i) x 2 (A \B)
ou
(ii) x 2 (A \C)
No caso (i) temos x 2 A e x 2 B, como x 2 B, então x 2 (B [C) ; portanto,
x 2 A e x 2 (B [C) ; logo
x 2 A \ (B [C)
No caso (ii) temos x 2 A e x 2 C, como x 2 C, então x 2 (B [C) ;
portanto, x 2 A e x 2 (B [C) ; logo
x 2 A \ (B [C)
o que mostra (A \B) [ (A \C) � A \ (B [C) : O caso
A [ (B \C) = (A [B) \ (A [C)
é feito de modo análogo. �
� �� � �� � �� � �� � �� � �� � � �� � �� � �� � �
De�nição 1.6 (Diferença) Sejam A e B dois conjuntos. A diferença de
um conjunto A em relação ao conjunto B, denotado por A �B ou A�B é o
conjunto de todos os elementos que pertencem a A e não pertence a B; formal-
mente,
A�B = fx : x 2 A e x =2 Bg
� �� � �� � �� � � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �
Exemplo 1.6 Sejam
A = f1; 2; 3; 4g e B = f3; 4; 5; 6g
Determine A�B e B�A:
1.1. CONJUNTOS 11
Solução. Temos que
A�B = f1; 2; 3; 4g � f3; 4; 5; 6g = f1; 2g
e
B�A = f3; 4; 5; 6g � f1; 2; 3; 4g = f5; 6g
Exemplo 1.7 Mostre que (A [B)�A = B�A e (A [B)�B = A�B.
Solução. Para mostrarmos que (A [B) �A = B �A, temos que mostrar as
seguintes inclusões:
(A [B)�A � B�A (1:1)
e
B�A � (A [B)�A (1:2)
A seguir mostraremos (1:1), ou seja, se x 2 (A [B)�A, então x 2 B�A.
Tome arbitrariamente x 2 (A [B) �A, então x 2 (A [B) e x =2 A. Mas se
x 2 (A [B), signi�ca que x 2 A ou x 2 B, mas por hipótese x =2 A, logo
x 2 B. Então x 2 B e x =2 A, o que signi�ca que x 2 B�A, com isso provamos
(1:1).
A seguir mostraremos (1:2), ou seja, se x 2 B�A, então x 2 (A [B)�A.
Tome arbitrariamente x 2 B �A, então x 2 B e x =2 A. Mas se x 2 B, então
x 2 (A [B). Então x 2 (A [B) e x =2 A, o que signi�ca que x 2 (A [B)�A,
com isso provamos (1:2). A outra igualdade prova-se de modo análogo.
Na �gura abaixo a área hachurada representa a operação A�B, através de
diagrama de Venn.
Nota: Sejam A e B conjuntos. Então (A�B) � A:
Com efeito, seja x 2 (A�B) ; pela de�nição de diferença x 2 A e x =2 B:
Em particular, x 2 A, e portanto, (A�B) � A.
� �� � �� � �� � �� � � �� � �� � �� � �� � �� � �
De�nição 1.7 (Complementar de A em B) Se A � B, o conjunto B�A
é dito também ser o complementar de A em relação a B, e denotado por
B�A = CBA
� �� � �� � �� � �� � � �� � �� � �� � �� � �� � �
É costume se usar uma notação mais simples para o complementar de um
conjunto qualquer A, contido em U, em relação ao conjunto U. Nesse caso, em
12 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS E FUNÇÕES
vez de U�A, denotamos o complementar de A em relação a U simplesmente
por Ac. Podemos então tomar como de�nição
Ac = fx : x =2 Ag = CUA
omitindo o fato, subentendido, de que x 2 U. Por exemplo, se
A = fx 2 N : x 6 8g e U = N
então Ac = fx 2 N : x > 8g.
Com relação a de�nição de complementar de A; temos que:
x 2 Ac () x =2 A
Exemplo 1.8 Sejam U = f0; 1; 2; 3; 4; 5; 6g e A = f0; 1; 5g: Determine Ac:
Solução. Temos que
Ac = f0; 1; 2; 3; 4; 5; 6g � f0; 1; 5g = f2; 3; 4; 6g
Quando A e B são subconjutos de U; a diferença reduz-se à de complemen-
tar, do seguinte modo
A�B = A \Bc
Com efeito,
x 2 (A�B) () x 2 A e x =2 B () x 2 A e x 2 Bc () x 2 A \Bc
Isto signi�ca que x 2 (A�B) () x 2 A \Bc; ou seja, A�B = A \Bc:
� �� � �� � �� � �� � �� � � �� � �� � �� � �� � �
De�nição 1.8 (Diferença simétrica) A diferença simétrica de dois con-
juntos A e B, denotada por A4B, é de�nida como
A4B = (A�B) [ (B�A)
� �� � �� � �� � �� � �� � � �� � �� � �� � �� � �
Por exemplo, se A = f1; 2; 4; 5g e B = f2; 3; 5g; então
A4B = f1; 4g [ f3g = f1; 3; 4g
Na �gura abaixo a área hachurada representa a operação A4B, através de
diagrama de Venn.
1.1. CONJUNTOS 13
Teorema 1.7 Sejam A e B subconjuntos de U. Então:
1 : (Ac)c = A; A \Ac = ? e A
U
Ac = U:
2 : A � B se, e somente se, Bc � Ac:
3 : A = ? se, e somente se, Ac = U:
4 : (A [B)c = Ac \Bc:
5 : (A \B)c = Ac [Bc:
Demonstração. 1 : Temos
x 2 (Ac)c () x =2 Ac () x 2 A
Logo, (Ac)c = A:
Suponha por absurdo que A \Ac 6= ?: Então existe x tal que x 2 A \Ac:
Então x 2 A e x =2 A, o que é uma contradição. Logo,
A \Ac = ?
É claro que A
U
A
c � U: Mostraremos agora, a outra inclusão. Seja
x 2 A
U
A
c
Então x 2 A ou x =2 A e portanto, x 2 U. Logo, A
U
A
c
= U
2 : ( =) ) Suponha que A � B: Seja x 2 Bc; então x =2 B: Como A � B
temos que x =2 A e portanto x 2 Ac Logo,
x 2 Bc =) x 2 Ac
ou seja, Bc � Ac:
((= ) Reciprocamente, se Bc � Ac então, pelo que acabamos de ver, temos
(Ac)
c � (Bc)c
Agora, usando o item 1 :, obtemos A � B:
3 : A = ? () x =2 A para todo x 2 U () x 2 Ac para todo
x 2 U () Ac = U:
4 : Como A � A [B e B � A [B segue-se de 2 : que
(A [B)c � Ac e (A [B)c � Bc
pelo Teorema 1.5, item 5 : temos que
(A [B)c � Ac \Bc
Por outro lado, usando item 1 : do Teorema 1.5, obtemos Ac \ Bc � Ac e
Ac \Bc � Bc: Pelo item 2 : vem
A � (Ac \Bc)c e B � (Ac \Bc)c
donde, A [B � (Ac \Bc)c : Pelos ítens 2 : e 1 : vem
Ac \Bc � (A [B)c
14 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS E FUNÇÕES
Concluímos que (A [B)c = Ac \Bc:
5 : Pelos ítens 1 : e 4 : obtemos
Ac [Bc = ((Ac [Bc)c)c = ((Ac)c \ (Bc)c)c = (A \B)c
�
Se tivermos apenas dois conjuntos, digamos A e B, podemos tomar o com-
plementar em relação a U = A [B. Neste caso temos
(A \B)c = U� (A \B) = (A [B)� (A \B)
e
Ac = U�A = (A [B)�A e Bc = (A [B)�A
Pelo item 5 : do Teorema 1.7, (A \B)c = Ac[Bc; portanto, das relações acima,
concluímos que
(A [B)� (A \B) = ((A [B)�A) [ ((A [B)�A) (x)
Exemplo 1.9 Mostre que A4B = (A [B)� (A \B).
Solução. Pelo Exemplo 1.7, temos (A [B)�A = B�A e (A [B)�B = A�B.
Assim,
A4B = (A�B) [ (B�A) = ((A [B)�B) [ ((A [B)�A)
e pela igualdade em (x) temos que
A4B = (A [B)� (A \B)
O Teorema 1.7, mostra que tomando-se complementares, invertem-se as in-
clusões, transformam união em interseção e vice-versa. Os dois últimos ítens do
Teorema 1.7 são conhecidos como Leis De Morgan.
Já vimos que um conjunto pode ser de�nido pela lista de seus elementos, cuja
ordem dos elemento na lista não importa e que repetições são irrelevantes. Para
que a ordem ou repetições sejam relevantes usamos o conceito de par ordenado.
Dados dois objetos quaisquer a e b, podemos formar um objeto (a; b), chama-
do de par ordenado2 a; b: Note que a ordem pelo qual os objetos a e b aparecem
entre parênteses é fundamental. Repare que o par ordenado (a; b) não é o mesmo
que o conjunto fa; bg: Dois pares ordenados (a; b) e (c; d) são iguais se eles forem
iguais coordenada por coordenada, ou seja,
(a; b) = (c; d) () a = c e b = d
Observação: Note que (a; b) 6= (b; a) salvo se a = b:
Exemplo 1.10 Temos que
(x� 1; 3) = (0; y + 4) () x = 1 e y = �1
2Obsever que a notação (a; b) para um par ordenado é a mesma para intervalo aberto
quando a e b são números reais. Por isso, o leitor deverá �car atento e fazer a distinção a
partir do contexto.
1.1. CONJUNTOS 15
Exemplo 1.11 De�na o par ordenado (a; b) como sendo o conjunto ffag; fa; bgg:
Use esta de�nição para provar que (a; b) = (c; d) se, e somente se, a = c e b = d:
Solução. Com efeito, se a = c; então fag = fcg e se a = c e b = d; então
fa; bg = fc; dg: Logo,
(a; b) = ffag; fa; bgg = ffcg; fc; dgg = (c; d)
Reciprocamente, suponha que (a; b) = (c; d) ou seja,
ffag; fa; bgg = ffcg; fc; dgg
Pela igualdadede conjuntos, temos
fag = fcg e fa; bg = fc; dg ou fag = fc; dg e fa; bg = fcg
� Se fag = fcg, então a = c e como fa; bg = fc; dg, temos que b = d:
� Se fag = fc; dg ; então c 2 fc; dg = fag ; ou seja, c 2 fag e portanto,
a = c: Por outro lado, d 2 fc; dg = fag e, então a = d: Logo, a = c = d:
Se fa; bg = fcg; então a 2 fcg e b 2 fcg, isto mostra que a = c e b = c:
Conclui-se, então que a = b = c = d:
� �� � �� � �� � �� � �� � � �� � �� � �� � �� � �
De�nição 1.9 (Produto cartesiano) SejamA e B dois conjuntos quaisquer.
O conjunto de todos os pares ordenados (a; b), onde a 2 A e b 2 B, é chamado
o produto cartesiano de A e B; e denotado por A�B: Em símbolos:
A�B = f(a; b) : a 2 A e b 2 Bg
� �� � �� � �� � �� � �� � � �� � �� � �� � �� � �
Exemplo 1.12 Sejam A = f0; 1g e B = f2; 4g : Encontre os produtos carte-
sianos A�B e B�A.
Solução. Pela De�nição de produto cartesiano,
A�B = f(0; 2) ; (0; 4) ; (1; 2) ; (1; 4)g
e
B�A = f(2; 0) ; (4; 0) ; (2; 1) ; (4; 1)g
Assim,
A�B 6= B�A
e portanto, o produto cartesiano não goza da propriedade comutativa.
Exemplo 1.13 Sejam A e B dois conjuntos. Então o produto cartesiano
A�B = B�A
se, e somente se, A = B ou A = ? ou B = ?:
16 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS E FUNÇÕES
Solução. ( =) ) Suponha que B = ?: Como A�? é o conjunto de todos os
pares ordenados (a; b) ; tais que a 2 A e b 2 ?; e como o conjunto vazio ? não
contém nenhum elemento, não há nenhum b em ? e portanto,
A�? = ?
Analogamente, se A = ?; então
?�B = ?
e se A = B é óbvio que A�B = B�A:
((= ) Reciprocamente, suponha por absurdo que A 6= ?, B 6= ? e A 6= B:
Assim, temos dois casos para analisar:
i) existe a 2 A e a =2 B;
ii) existe b 62 A e b 2 B:
Suponha que seja válido o caso i). Como B 6= ?; temos que existe b 2 B.
Assim,
(a; b) 2 A�B
por outro lado, (a; b) =2 B�A; pois a =2 B e portanto,
A�B 6= B�A
o que é uma contradição. O caso ii) é feito de modo análogo.
Em particular, quando A = B, temos o quadrado cartesiano do conjunto
A isto é, A2 = A � A que lê-se �A dois�. Exemplos disso surgem quando
tratamos do plano eucldiano, R� R e do espaço euclidiano tridimensional, re-
presentado por R� R� R.
Dado um conjunto não vazio A. O subconjunto
� = f(x; x) : x 2 Ag � A�A
é chamado de diagonal de A2:
Exemplo 1.14 Se A = f0; 1g então:
A2 = f(0; 0) ; (0; 1) ; (1; 0) ; (1; 1)g
e
�x = f(0; 0) ; (1; 1)g � A2
O termo �cartesiano� é tomado emprestado da geometria de coordenadas,
onde um ponto no plano é re-
presentado por um par ordenado de números reais (x; y), onde x é sua abscissa
e y sua ordenada. O par ordenado de números reais (x; y) é chamado de coor-
denadas cartesiana.
Teorema 1.8 Sejam A;B;C e D conjuntos quaiquer. Então:
1 : A�B = ? () A = ? ou B = ?:
2 : A� (B \C) = (A�B) \ (A�C) :
1.1. CONJUNTOS 17
3 : A� (B [C) = (A�B) [ (A�C) :
4 : A� (B�C) = (A�B)� (A�C) :
5 : (A�B) \ (C�D) = (A \C)� (B \D) :
6 : se C�D 6= ?, então C�D � A�B () C � A e D � B:
Demonstração. 1 : Suponha por absurdo que A 6= ? e B 6= ?: Assim, existem
elementos a e b tais que a 2 A e b 2 B, o que implica (a; b) 2 A�B e portanto,
A�B 6= ? que é uma contradição.
Reciprocamente, suponha por absurdo que A�B 6= ?: Então existem pelo
menos um par ordenado (a; b) 2 A�B: Logo, a 2 A e b 2 B e portanto, A 6= ?
e B 6= ? o que é uma contradição.
2 : Seja (a; b) 2 A � (B \C) : Então a 2 A e b 2 B \C: Pela de�nição de
interseção b 2 B e b 2 C. Como a 2 A e b 2 B, temos (a; b) 2 A�B: Também
como a 2 A e b 2 C; temos (a; b) 2 A�C: Consequentemente
(a; b) 2 (A�B) \ (A�C)
Logo, A� (B \C) � (A�B) \ (A�C) :
Seja (c; d) 2 (A�B) \ (A�C) : Então (c; d) 2 A � B e (c; d) 2 A � C:
Segue-se que
(c 2 A e d 2 B) e (c 2 A e d 2 C)
Como d 2 B e d 2 C, temos d 2 B \ C. Temos que c 2 A e d 2 B \ C e
portanto, (c; d) 2 A� (B \C) : Logo,
(A�B) \ (A�C) � A� (B \C)
e pelo Teorema 1.1, concluímos que
A� (B \C) = (A�B) \ (A�C)
3 : Seja (a; b) 2 A � (B [C) : Então a 2 A e b 2 B [C: Pela de�nição de
união b 2 B ou b 2 C. Como a 2 A e b 2 B, temos (a; b) 2 A �B: Também
como a 2 A e b 2 C; temos (a; b) 2 A�C: Consequentemente
(a; b) 2 (A�B) [ (A�C)
Logo, A� (B [C) � (A�B) [ (A�C) :
Seja (c; d) 2 (A�B) [ (A�C) : Então (c; d) 2 A �B ou (c; d) 2 A �C:
Segue-se que
(c 2 A e d 2 B) ou (c 2 A e d 2 C)
Como d 2 B ou d 2 C, temos d 2 B [ C. Temos que c 2 A e d 2 B [ C e
portanto, (c; d) 2 A� (B [C) : Logo,
(A�B) [ (A�C) � A� (B [C)
e pelo Teorema 1.1, concluímos que
A� (B [C) = (A�B) [ (A�C)
18 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS E FUNÇÕES
4 : Seja (a; b) 2 A � (B�C) : Então a 2 A e b 2 B �C: Pela de�nição de
diferença b 2 B e b =2 C. Como a 2 A e b 2 B, temos (a; b) 2 A�B: Também
como a 2 A e b =2 C; temos (a; b) =2 A�C: Consequentemente
(a; b) 2 (A�B)� (A�C)
Logo, A� (B�C) � (A�B)� (A�C) :
Seja (c; d) 2 (A�B) � (A�C) : Então (c; d) 2 A � B e (c; d) =2 A � C:
Segue-se que
(c 2 A e d 2 B) e (c 2 A e d =2 C)
Como d 2 B e d =2 C, temos d 2 B � C. Temos que c 2 A e d 2 B � C e
portanto, (c; d) 2 A� (B�C) : Logo,
(A�B)� (A�C) � A� (B�C)
e pelo Teorema 1.1, concluímos que
A� (B�C) = (A�B)� (A�C)
5 : Fica como exercício.
6 : ( =) ) Suponha que C � A e D � B: Seja (a; b) 2 C�D: Então a 2 C
e b 2 D: Pela hipótese, a 2 A e b 2 B e portanto,
(a; b) 2 A�B
Logo, C�D � A�B.
((= ) Reciprocamete, suponha que C�D 6= ? e C�D � A�B: Se a 2 C
e b 2 D; então (a; b) 2 C�D e portato, (a; b) 2 A�B ou seja, a 2 A e b 2 B:
Logo, C � A e D � B: �
1.1. CONJUNTOS 19
1.1.1 Problemas propostos
1. Sejam os seguintes conjuntos:
A = fm 2 Z : m = 2r � 1 para algum inteiro rg
e
B = fn 2 Z : n = 3s+ 2 para algum inteiro sg
Mostre que, A 6= B.
2. Mostre que, } (A) � } (B) se, e somente se, A � B.
3. Determine } (} (} (f?g))).
4. Seja A = fx; yg : Determine:
a) A \ } (A);
b) (} (A)�A) \A;
c) } (f} (A)� ffxggg �?).
5. Sejam os conjuntos A =
�
x 2 R : x2 > 4
	
e B =
�
x 2 R : x2 < 9
	
. De-
termine os conjuntos A [B e A \B.
6. Sejam A, B e C conjuntos quaisquer. Se A [B = A [C, então B = C.
Prove esta proposição, caso seja verdadeira, ou dê um contraexemplo, caso
seja falsa.
7. Se A é disjunto de B e de C (noutros termos, A \B = ? e A \C = ?),
então
A [B = A [C implica B = C
8. Sejam A, B e C conjuntos quaisquer. Se A \B = A \C, então B = C.
Prove esta proposição, caso seja verdadeira, ou dê um contraexemplo, caso
seja falsa.
9. Veri�que se as a�rmações abaixo são verdadeiras ou falsas, provando ou
dando um contraexemplo.
a) Se A � B e B 6� C, então A 6� C.
b) (A \B) � (A�B).
10. Prove que, (A�B) \ (B�A) = ?.
11. Sejam A, B e C conjuntos quaisquer. Mostre que,
A \ (B�C) = (A \B)� (A \C)
12. Sejam A e B conjuntos quaisquer. Mostre que, (A�B) [ B = A se, e
somente se, B � A.
13. Sejam A e B conjuntos quaisquer. Mostre que, A� (A�B) = A \B.
20 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS E FUNÇÕES
14. Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Demonstre que, A e B �A são
disjuntos, e que A [B = A [ (B�A). (Isto mostra como representar a
união A [B como uma união disjunta.).
15. Prove que, para todos os conjuntos A, B e C,
(A�B)� (B�C) = A�B
16. Simpli�que as seguintes expressões usando apenas as propriedades de con-
juntos:
a) ((A \ (B [C)) \ (A�B)) \ (B [Cc);
b) (A� (A \B)) \ (B� (A \B)).
1.2. FUNÇÕES 21
1.2 Funções
Nesta seção, será discutido alguns resultados básicos sobre as funções, que
é um caso particular de relação. As funções surgem quando uma quantidade
depende de outra, por exemplo, se P é a população mundial, então P depende
do tempo t: Este exemplo, descreve uma regra tal que dado um valor para t; �ca
determinado um outro número para P: Neste caso, dizemos que P é uma função
de t: As funções são um dos tipos de relações mais importantes da Matemática.
É muito comum encontrar nos livros do Ensino Médio que uma função é uma
regra de correspondência que associa a cada elemento de um conjunto a um único
elemento do outro conjunto (os dois conjuntos em questão podem ser iguais).
Nesta de�nição o que se quer dizer precisamente por uma �regra�?. Para evitar
essa ambigüidade vamos de�nir função, usando a linguagem de conjuntos.
� �� � �� � �� ��� � � �� � �� � �� � �� � �� � �
De�nição 1.10 (Função) Sejam A e B dois conjuntos. Uma relação f de A
em B é dita uma função se são válidas as seguintes condições:
1 : Para todo x 2 A, existe um elemento y 2 B tal que (x; y) 2 f ;
2 : Se (x; y) 2 f e (x; z) 2 f , então y = z:
� �� � �� � �� � �� � � �� � �� � �� � �� � �� � �
Assim, com a De�nição 1.10, podemos ver que uma função de A em B pode
ser considerada uma regra de correspondência que associa a cada elemento
de A um único elemento de B: Para todo x 2 A; o único elemento y 2 B tal
que xfy será denotado por f (x) (lê-se f de x ou f aplicado em x):
Indicaremos uma função de A em B pela notação
f : A ! B
x 7! f (x)
A notação x 7! f (x) pode ser substituida pela expressão y = f (x) : Não se deve
confudir a função com seu valor no ponto, isto é, dada f : A ! B, ocasion-
almente falamos f (x) como sendo a função f; que é apenas uma conveniência
lingüistica.
Exemplo 1.15 Sejam A = f2; 3; 4g e B = f4; 5; 6; 7; 8g e a relação f de A em
B de�nida por
xfy () y = 2x
é uma função, pois para todo x 2 A, existe um elemento y 2 B tal que (x; y) 2 f:
Cada elemento de A coresponde um só elemento de B; isto é,
(x; y) 2 f e (x; z) 2 f =) y = 2x e z = 2x =) y = z
Seja f : A ! B uma função. O conjunto A será chamado de domínio de
f e será denotado por D (f) = A, e por isso o conjunto A será chamado de
domínio de f: Chamaremos o conjunto B; em f : A! B de contradomínio
da função e denotaremos por B = CD (f).
� �� � �� � �� � �� � � �� � �� � �� � �� � �� � �
22 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS E FUNÇÕES
De�nição 1.11 (Imagem) Seja f : A ! B uma função. A imagem de f;
denotado por Im f; é o conjunto constituido de todos os elementos y 2 B tais
que y = f (x) para algum x 2 A. Em símbolos,
Im (f) = ff (x) : x 2 Ag
� �� � �� � �� � �� � �� � � �� � �� � �� � �� � �
De um modo geral, a imagem de uma função é um subconjunto do con-
tradomínio dessa função.
Exemplo 1.16 Seja f : A! R de�nida por A = f�1; 0; 1; 2g e f (x) = x2 +1
para todo x 2 A. Encontre a imagem da função f .
Solução. Temos que
f (�1) = f (1) = 2; f (0) = 1 e f (2) = 5
Logo, Im f = f1; 2; 5g:
Exemplo 1.17 Dada a função f : R! R de�nida por f (x) = x2x�1 : Determine
Im (f) :
Solução. Pela De�nição de imagem, temos que
Im (f) =
�
x
2x� 1 : x 2 R
�
= R� f1=2g
� �� � �� � �� � �� � �� � � �� � �� � �� � �� � �
De�nição 1.12 (Funções iguais) Duas funções são iguais quando têm o
mesmo domínio, o mesmo contradomínio e a mesma regra de correspondência.
� �� � �� � �� � �� � �� � � �� � �� � �� � �� � �
Exemplo 1.18 Sejam os conjuntos A = f0; 2; 4g e B = f1; 2; 3; 4; 5g e as
funções de A em B de�nidas por
f (x) = x+ 1 e g (x) =
x2 � 1
x� 1
Mostre que as funções f e g são iguais.
Solução. Temos que
f (0) = g (0) ; f (2) = g (2) e f (4) = g (4)
Porém, as funções f : R! R e g : R� f1g ! R de�nidas por
f (x) = x+ 1 e g (x) =
x2 � 1
x� 1
não são iguais, pois D (f) 6= D (g) :
1.2. FUNÇÕES 23
Teorema 1.9 Sejam
f : A ! B e g : A ! B
funções. Então f = g se, e somente se, f (x) = g (x) para todo x em A:
Demonstração. ( =) ) Suponha que f = g e seja x um elemento qualquer
de A: Pelo item 1 : da De�nição 1.10, existem f (x) 2 B e g (x) 2 B tais que
(x; f (x)) 2 f e (x; g (x)) 2 g: Como f = g; segue-se que
(x; f (x)) 2 f e (x; g (x)) 2 f
e portanto, pelo item 2 : da De�nição 1.10, temos que f (x) = g (x) :
((= ) Reciprocamente, suponha que f (x) = g (x) para todo x em A: Se
(x; y) é um elemento qualquer de f; então y = f (x) e portanto, y = g (x) isto
signi�ca que (x; y) 2 g. Logo, f � g e de modo análogo, demonstramos que
g � f; basta trocar f por g: Isto demonstra que, f = g: �
� �� � �� � �� � �� � � �� � �� � �� � �� � �� � �
De�nição 1.13 (Grá�co) O grá�co de uma função f : A ! B é o sub-
conjunto G (f) do produto cartesiano A�B formado pelos pares ordenados
(x; f (x)) ; onde x 2 A é arbitrário. Em símbolos,
G (f) = f(x; y) 2 A�B : y = f (x)g
� �� � �� � �� � � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �
O subconjunto G (f) � A�B é grá�co de uma função f : A ! B se toda
paralela ao eixo das ordenadas, traçada por um ponto deA; deve cortar o grá�co
G (f) num e num só ponto.
Nos cursos de cálculo trabalhamos com funções de�nidas por duas (ou mais)
sentenças, por exemplo, h : R! R de�nida por
h (x) =
8<: �x se x 6 �1
x2 � 1 se x > 1
A função h pode ser considerada como h = f [ g; onde
f : (�1;�1]! R
de�nida por f (x) = �x; para todo x 2 (�1;�1] e
g : [1;1)! R
de�nida por g (x) = x2 � 1: Vamos agora generalizar este resultado.
24 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS E FUNÇÕES
Teorema 1.10 Sejam f : A! C e g : B! D duas funções tas que
f (x) = g (x) ;8x 2 A \B
Então h = f [ g : A [B! C [D de�nida por
h (x) =
8<: f (x) se x 2 A
g (x) se x 2 B
é uma função.
Demontração. Como f e g são relações então
f � A�C e g � B�D
e portanto,
h = f [ g � (A�C) [ (B�D)
Como A�C � (A�C) [ (B�D) e B�D � (A�C) [ (B�D) temos que
h � (A [B)� (C [D)
Isto signi�ca que h é uma relação de A[B em C[D. Mostraremos agora que
h satisfaz as condições 1 : e 2 : da De�nição 1.10. Temos que
D (h) = D (f) [D (g) = A [B
e portanto, h satisfaz a condição 1 : da De�nição 1.10.
Para cada x 2 A [B; podemos considerar três casos:
i) x 2 A \Bc;
ii) x 2 Ac \B;
iii) x 2 A \B:
Para x 2 A\Bc; temos h (x) = f (x) : Como f : A! C satisfaz a condição
2 : da De�nição 1.10, temos que
h : A [B! C [D
também satisfaz a condição 2 : da De�nição 1.10. O caso ii) é feito de modo
análogo e para o caso iii), basta notar que
f (x) = g (x) ;8x 2 A \B
�
Seja X um conjunto não vazio. Uma função f : X ! R chama-se função
de valores reais, ou ainda função real. Portanto, funções reais são aquelas que
assumem valores no conjunto R dos números reais.
A soma das funções f; g : X ! R é a função f + g : X ! R de�nida por
(f + g) (x) = f (x) + g (x)
1.2. FUNÇÕES 25
A produto das funções f; g : X ! R é a função fg : X ! R de�nida por
(fg) (x) = f (x) g (x)
O produto da função f : X ! R pelo número real � é a função �f : X ! R
cujo valor, em cada elemento x 2 X é
(�f) (x) = �f (x)
O valor absoluto, ou módulo da função f : X ! R é a função
jf j : X ! R
de�nida por jf j (x) = jf (x)j.
Dadas f; g : X ! R, as funções f ^ g : X ! R e f _ g : X ! R são de�nidas
por:
(f ^ g) (x) = min ff (x) ; g (x)g e (f _ g) (x) = max ff (x) ; g (x)g
Uma função f : X ! R diz-se não negativa quando f (x) > 0 para todo
x 2 X, e positiva quando f (x) 6 0 para todo x 2 X. Escreve-se: f > 0 para
indicar que f é não negativa.
Sejam f; g : X ! R. Escreve-se:
f 6 g
para indicar que f (x) 6 g (x) para todo x 2 X. Portanto, f 6 g quando a
função g � f é não negativa.
Uma vantagem das funções é que podemos transformar um conjunto A em
outro conjunto digamos, B de modo que as informações contida em B seja me-
lhor3 do que as informações em A. Como podemos codi�car e depois decodi�car
sem perder informação?4 .
Seja A = f�2;�1; 0; 1; 2g um conjunto de dados. Suponha que o sinal de
menos (�) no teclado não funciona. Então a pessoa que vai receber a �mensagem
A�será informada que some 3 a todos os números do conjunto A e portanto,
do outro lado será feito
B = f (A) = fx+ 3 : x 2 Ag = f1; 2; 3; 4; 5g
Agora, quem vai receber a mensagem, conhece o �código�e portanto, vai sub-
trair 3 a todos os elementos do conjunto B para recuperar os valores
A = f�1 (f (A)) = f�2;�1; 0; 1; 2g
Isto só foi possivel porque a função f usada para codi�car tem a seguinte pro-
priedade
x1 6= x2 =) f (x1) 6= f (x2)
� �� � �� � �� � �� � �� � �� � � �� � �� � �� � �
3Na verdade esperamos conseguir a melhor informação.
4Sempre perdemos informação, o que desejamos é perder pouca.
26 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS E FUNÇÕES
De�nição 1.14 (função injetora) Uma função f : A ! B é injetora5(ou
um-a-um)6 quando, satisfaz:
se x1; x2 2 A e f (x1) = f (x2) , então x1 = x2
� �� � �� � �� � �� � �� � � �� � �� � �� � �� � �
Em outras palavras a função
f : A! B
é injetora se, e somente se, x1; x2 2 A com x1 6= x2 implica f (x1) 6= f (x2).
Note que uma função não é injetora quando: existem doiselementos distintos
de A que têm imagens iguais.
Por exemplo, a função f : N ! N de�nida por f (x) = x2 não é injetora,
pois �2 6= 2 e f (�2) = f (2). Por outro lado, a função g : N! N de�nida por
g (x) = 2x+ 1 é injetora, pois se g (x1) = g (x2), então
2x1 + 1 = 2x2 + 1
ou seja, 2x1 = 2x2, donde x1 = x2.
� �� � �� � �� � �� � � �� � �� � �� � �� � �� � �
De�nição 1.15 (Função sobrejetora) Uma função f : A ! B é dita so-
brejetora (ou sobrejeção) quando satisfaz a seguinte condição:
Im (f) = B
ou seja, para todo y 2 B existe pelo menos x 2 A tal que f (x) = y.
� �� � �� � �� � �� � � �� � �� � �� � �� � �� � �
Note que uma função f : A! B não é sobrejetora quando há um elemento
de B que não é imagem de elemento algum de A ou seja, não usa todos os
elementos do contradomínio.
Exemplo 1.19 Seja f : R! R uma função de�nida por f (x) = x2. Veri�que
se f é sobrejetora.
Solução. Já sabemos que Im (f) � R; onde Im (f) = R+. Para mostrar que f
é uma função sobrejetora, basta mostrar que R � Im (f) : Mas
�1 2 R e � 1 =2 Im (f) = R+
isto é, não existe x 2 R tal que x2 = �1: Por outro lado, a função g : Q ! Q
de�nida por g (x) = 2x+ 1 é sobrejetora, pois dado y 2 Q; existe
x =
y � 1
2
2 Q
tal que
g (x) = g
�
y � 1
2
�
= 2
�
y � 1
2
�
+ 1 = y
5Alguns autores preferem a palavra injetiva.
6Neste caso, usamos a notação f é 1� 1:
1.2. FUNÇÕES 27
Exemplo 1.20 Mostre que a função f : N! N de�nida por
f (x) =
8<: x+ 1 se x é par
x� 1 se x é ímpar
é sobrejetora.
Solução. Com efeito, para cada n 2 N: Temos:
� Se n é par, então n+ 1 é ímpar. Assim,
f (n+ 1) = n
� Se n é ímpar, então n� 1 é par. Assim,
f (n� 1) = n
Exemplo 1.21 Seja f : R! [m;1) ; m 2 R uma função de�nida por
f (x) = x2 + 6x+ 92
Determine m para que f seja uma função sobrejetora.
Solução. Como f (x) = x2 + 6x+ 92 é uma parábola e a = 1 > 0, temos que
Im (f) = fy 2 R : y > ��
4a
g = fy 2 R : y > 83g = [83;1)
Logo, m = 83.
� �� � �� � �� � � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �
De�nição 1.16 (Função bijetora) Uma função f : A! B é chamada bije-
tora (ou correspondência biunívoca) se é simultaneamente injetora e sobre-
jetora.
� �� � �� � �� � �� � � �� � �� � �� � �� � �� � �
Vale lembrar que existem funções que não são nem injetora e nem sobrejetora
por exemplo, a função f : R! R de�nida por f (x) = x2.
Exemplo 1.22 mostre que a função f : (�1; 1)! R de�nida por f (x) = x1�jxj
é bijetora.
Solução. Com efeito, sejam x1; x2 2 (�1; 1) tais que
f (x1) = f (x2) , ou seja,
x1
1� jx1j
=
x2
1� jx2j
Se x1; x2 > 0, então jx1j = x1 e jx2j = x2. Assim,
x1
1� x1
=
x2
1� x2
=) x1 = x2
Se x1; x2 < 0, então jx1j = �x1 e jx2j = �x2. Logo,
x1
1 + x1
=
x2
1 + x2
=) x1 = x2
28 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS E FUNÇÕES
Portanto, f é uma função injetora.
Mostraremos agora que f é uma função sobrejetora isto é, para cada y 2 R,
existe x 2 (�1; 1) tal que
f (x) =
x
1� jxj = y
De fato, se y = 0, então x = 0; se y > 0, podemos tomar x > 0 e da igualdade
x
1� x = y
tiramos que x = y1+y 2 (�1; 1), pois
y < y + 1 =) 0 < y
y + 1
< 1
Finalmente, se y < 0; tomando x < 0 e da igualdade
x
1 + x
= y
tiramos que x = y1�y 2 (�1; 1), pois
y > y � 1 =) �1 < y
1� y < 0
e portanto, f é sobrejetora.
Exemplo 1.23 Mostre que a função f : R2 ! R2 de�nida por
f (x; y) = (x+ y; x) é bijetora
Solução. De fato, f é injetora, pois
f (x1; y1) = f (x2; y2) =) (x1 + y1; x1) = (x2 + y2; x2)
Logo, x1 = x2 e y1 = y2:
f é sobrejetora, pois para cada (x; y) 2 R2 existe (y; x� y) 2 R2 tal que
f (y; x� y) = (y + x� y; y) = (x; y)
Para achar (y; x� y) 2 R2; fazemos
f (x; y) = (a; b) =) (x+ y; x) = (a; b)
e portanto, x = b e y = a� b:
Como uma função f : A! B é um caso particular de uma relação de A em
B, portanto f�1 é uma relação de B em A. Uma pergunta natural é: quando
f�1 torna-se uma função? O próximo teorema responde esta pergunta.
Teorema 1.11 Seja f : A! B uma função. Então a relação inversa
f�1 : B! A
é uma função se, e somente se, f é uma função bijetora.
1.2. FUNÇÕES 29
Demonstração. ( =) ) Suponha que f�1 : B ! A seja uma função. Então
para cada y 2 B, existe um elemento x 2 A tal que
(y; x) 2 f�1 () (x; y) 2 f
e portanto, f é sobrejetora. Sejam x1; x2 2 A com x1 6= x2.
Se f (x1) = f (x2) = y, então
f�1 (y) = x1 e f�1 (y) = x2
que é uma contradição, pois f�1 é uma função. Logo, f é uma função injetora.
((= ) Reciprocamente, suponha que f : A ! B seja uma função bijetora.
Como f : A! B é sobrejetora, pela De�nição 1.15, temos que Im (f) = B. Por
outro lado, Im (f) = D
�
f�1
�
. Logo, D
�
f�1
�
= B. Assim, a condição 1 : da
De�nição 1.10 está satisfeita.
Para mostrar a outra condição, sejam
(y; x1) 2 f�1 e (y; x2) 2 f�1
e portanto,
(x1; y) 2 f e (x2; y) 2 f =) f (x1) = f (x2) = y
Agora, como f : A ! B é injetora, concluímos que x1 = x2. Isto mostra que
f�1 : B! A é uma função. �
� �� � �� � �� � �� � � �� � �� � �� � �� � �� � �
De�nição 1.17 (Função inversa) Seja f : A ! B uma função bijetora. A
função f�1 : B! A é chamada de função inversa de f .
� �� � �� � �� � �� � � �� � �� � �� � �� � �� � �
Seja f : A ! B uma função bijetora. Já sabemos que (x; y) 2 f se, e
somente se, (y; x) 2 f�1 ou seja,
y = f (x) () x = f�1 (y)
concluímos que a função inversa f�1 : B! A é de�nida pela expressão
x = f�1 (y)
Exemplo 1.24 Seja f : R ! R de�nida por f (x) = 4x + 2. Veri�que se f
admite inversa e caso a�rmativo. Determine f�1.
Solução. Sejam x1; x2 2 R, com f (x1) = f (x2). Então temos
4x1 + 2 = 4x2 + 2
e portanto, x1 = x2. Logo, f é injetora. Para cada y 2 R, existe um elemento
x = y�24 2 R tal que
f (x) = f
�
y � 2
4
�
= x
�
y � 2
4
�
+ 2 = y
Logo, f é uma função sobrejetora. Temos que
f (x) = y () f�1 (y) = x () f�1 (y) = y � 2
4
e portanto, f�1 (x) = x�24 .
30 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS E FUNÇÕES
Exemplo 1.25 Dada a função bijetora f : [1;1)! [2;1) de�nida por
f (x) = x2 � 2x+ 3
Determine f�1.
Solução. Como y = f (x) ; temos que y = x2 � 2x + 3 com x > 1 e y > 2:
Agora, trocando as variáveis, x por y e y por x; obtemos
x = y2 � 2y + 3
com y > 1 e x > 2. Assim,
x = y2�2y+3 () x = (y � 1)2+2 () y�1 =
p
x� 2 ou y�1 = �
p
x� 2
Logo, f�1 : [2;1) ! [1;1) é dada por f�1 (x) = 1 +
p
x� 2; pois y > 1 e
x > 2.
Exemplo 1.26 Se f : A ! B é uma função bijetora, então f�1 : B ! A é
uma função bijetora e vale
�
f�1
��1
= f .
Solução. Pelo Teorema 1.11, temos que f�1 : B! A é uma função. Mostraremos
agora que f�1 : B! A é injetora. Sejam y1; y2 2 B, com
f�1 (y1) = f
�1 (y2) = x
Então temos f (x) = y1 e f (x) = y2 e portanto, y1 = y2. Logo, f�1 é injetora.
Finalmente, mostraremos f�1 : B! A é sobrejetora. Sabemos que
Im
�
f�1
�
= D (f)
Por outro lado, D (f) = A e portanto, Im
�
f�1
�
= A, isto mostra que f�1 é
sobrejetora. Sendo f�1 : B! A, temos que�
f�1
��1
: A! B
Note que f e f�1 são funções de A em B. Para mostrar que�
f�1
��1
= f
basta mostrar que
�
f�1
��1
(x) = f (x), para todo x 2 A, pelo Teorema 1.9.
Temos que
f (x) = y () x = f�1 (y) () y = (f�1)�1 (x) () f (x) = (f�1)�1 (x)
Logo,
�
f�1
��1
(x) = f (x) para todo x 2 A.
� �� � �� � �� � �� � �� � �� � � �� � �� � �� � �
De�nição 1.18 (Imagem direta) Sejam X � A e f : A ! B uma função.
O conjunto
f (X) = ff (x) : x 2 Xg
é chamado de imagem direta de X pela função f .
1.2. FUNÇÕES 31
� �� � �� � �� � �� � � �� � �� � �� � �� � �� � �
A �gura abaixo apresenta uma interpretação da imagem de um conjunto
X � A pela função f : A! B.
Nota: Podemos deduzir as seguintes equivalências lógicas da De�nição 1.18:
y 2 f (X) () 9x 2 X; y = f (x)
y =2 f (X) () 8x 2 X; y 6= f (x)
Por exemplo, sejam A = f2; 3; 5; 7g, B = f1; 4; 9; 25; 49; 50g e f : A ! B
de�nida por f (x) = x2. Então pela De�nição 1.18, temos
f (f3; 5; 7g) = ff (x) : x 2 f3; 5; 7gg = ff (3) ; f (5) ; f (7)g = f9; 25; 49g
Exemplo 1.27 Considere a função f : R ! R+ de�nida por f (x) = x2. De-
termine a imagem de X = (1; 2] pela função f .
Solução. A imagem de X pela função f é o conjunto
f ([1; 2]) = ff (x) : 1 < x 6 2g =
�
x2 : 1 < x 6 2
	
= (1; 4]
Veja a representaçãográ�ca dos conjuntos X e f(X)
Exemplo 1.28 Seja f : R! R a função dada por
f (x) =
8<: 1 se x 2 Q�1 se x 2 R�Q
Encontre f (f�3; 0; 4)g e f(f
p
2; 5; �g).
32 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS E FUNÇÕES
Solução. Pela De�nição 1.18,
f (f�3; 0; 4g) = ff (�3) ; f (0) ; f (4)g = f1; 1; 1g = f1g
e
f(f
p
2; 5; �g) = ff(
p
2); f (5) ; f (�)g = f�1; 1;�1g = f�1; 1g
Teorema 1.12 Para qualquer função f : A! B, tem-se
f (?) = ?, f (A) = Im (f)
e f (fxg) = ff (x)g para todo x 2 A.
Demonstração. Como ? é subconjunto de qualquer subconjunto, então
? � f (?)
Resta mostrar que f (?) � ?. Suponha que f (?) 6� ?. Então existe y 2 f (?)
tal que y =2 ?. Como y 2 f (?), então existe x 2 ? tal que f (x) = y, o que é
uma contradição, pois viola a de�nição de conjunto vazio. Logo, f (?) � ?, e
portanto, f (?) = ?.
Primeiro, vamos considerar a implicação
y 2 f (A) () y 2 Im (f)
Suponha que y 2 f (A). Pela de�nição de imagem direta, existe x 2 A tal que
y = f(x). Logo y 2 Im (f) e, portanto, f (A) � Im (f).
Vamos considerar agora a implicação
y 2 Im (f) () y 2 f (A)
Seja y 2 Im (f). Pela de�nição do conjunto Im (f), existe x 2 A tal que
y = f(x). Deste modo, temos que y 2 f (A). Concluímos portanto que
Im (f) � f (A)
Se y 2 f (fxg), então y é valor assumido por f em algum elemento do
conjunto fxg, logo y é o valor f (x) de f em x. Assim, y = f (x), donde
y 2 ff (x)g. Desta forma,
f (fxg) � ff (x)g
Por outro lado, como f (x) é o valor de f no elemento x 2 fxg, tem-se
f (x) 2 f (fxg), e portanto:
ff (x)g � f (fxg)
Isto mostra que f (fxg) = ff (x)g. �
Teorema 1.13 Dada uma função f : A ! B e indicando com X e Y subcon-
juntos de A. Então:
1 : Se X � Y , então f (X) � f (Y ).
2 : A imagem da união satisfaz, f (X [ Y ) = f (X) [ f (Y ).
1.2. FUNÇÕES 33
3 : A imagem da interseção satisfaz, f (X \ Y ) � f (X) \ f (Y )
4 : f (A�X) � f (A)� f (X).
Demonstração. 1 : Devemos mostrar que X � Y implica f (X) � f (Y ).
Pela de�nição de inclusão de conjuntos, o consequente pode ser escrito como:
�y 2 f (X) implica y 2 f (Y )�.
Com efeito, se y 2 f (X), então existe x 2 X tal que y = f(x). Contudo,
sabemos que X � Y . Logo, temos que x 2 Y e, consequentemente, y 2 f (Y ).
Portanto, f (X) � f (Y ).
2 : Pelo item 1 : do Teorema 1.4, temos que X � X [Y e Y � X [Y . E pelo
item anterior
f (X) � f (X [ Y ) e f (Y ) � f (X [ Y ) (*)
De (�) concluímos que f (X) [ f (Y ) � f (X [ Y ). Resta provar que
f (X [ Y ) � f (X) [ f (Y )
Seja y 2 f (X [ Y ), então existe um x 2 X [Y tal que f (x) = y. Se x 2 X,
então y 2 f (X) e por conseguinte, y 2 f (X) [ f (Y ). Ainda, se x 2 Y , então
y 2 f (Y ), logo, y 2 f (X) [ f (Y ). Em qualquer caso, temos que
f (X [ Y ) � f (X) [ f (Y )
Logo, f (X [ Y ) = f (X) [ f (Y ).
3 : Se y 2 f (X \ Y ), então existe um x 2 X \ Y tal que f (x) = y. Como
x 2 X e x 2 Y , segue que y 2 f (X) e y 2 f (Y ) e portanto, y 2 f (X) \ f (Y ).
Logo, f (X \ Y ) � f (X) \ f (Y ).
4 : Se y 2 f (A�X), então existe um x 2 A �X tal que f (x) = y. Como
x 2 A e x =2 X, então y 2 f (A) e y =2 f (X), ou seja, y 2 f (A)� f (X). Logo,
f (A�X) � f (A)� f (X) para todo X � A. �
Vamos ver um exemplo que ilustra a condição de só termos a inclusão no
item 3 : do Teorema 1.13, como mostra o exemplo a seguir.
sejam A = f0; 1; 2; 3; 4; 5g, B = f6; 7; 8; 10; 12g e f : A ! B de�nida do
seguinte modo:
x 0 1 2 3 4 5
f (x) 6 7 8 7 7 12
Sejam X = f0; 1g e Y = f3; 4; 5g. Então X\Y = ? e portanto, f (X \ Y ) = ?.
Porém, f (X) = f6; 7g e f (Y ) = f7; 12g. Portanto, f (X) \ f (Y ) = f7g.
Este exemplo mostra que pode-se ter f (X \ Y ) diferente de f (X) \ f (Y ).
34 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS E FUNÇÕES
Exemplo 1.29 Seja f : A! B uma função. Então f é injetiva se, e somente
se, quaisquer que sejam X;Y � A
f (X \ Y ) = f (X) \ f (Y )
Solução. ( =) ) Suponha que f seja injetiva. Pelo Teorema 1.13,
f (X \ Y ) � f (X) \ f (Y )
Então basta mostrar a outra inclusão. Se y 2 f (X)\f (Y ), então existe x1 2 X
tal que y = f (x1) e existe x2 2 Y tal que y = f (x2). Como f é injetiva, então
a a�rmação f (x1) = f (x2) implica x1 = x2 e portanto, x1 2 X \ Y , e deste
modo y = f (x1) 2 f (X \ Y ).
((= ) Reciprocamente, suponha que f não seja injetiva. Então existem
x1; x2 2 X, com x1 6= x2 tal que f (x1) = f (x2). Assim, existem dois conjuntos
unitários X = fx1g e Y = fx2g tais que X \ Y = ? e desta forma
f (X \ Y ) = f (?) = ?
porém, f (X) \ f (Y ) = ff (x1)g \ ff (x2)g = ff (x1)g 6= ? o que é uma
contradição.
� �� � �� � �� � �� � �� � � �� � �� � �� � �� � �
De�nição 1.19 (Imagem inversa) Dada uma função f : A! B, consi-
deremos um subconjunto Y � B. A imagem inversa de Y pela função f é
o conjunto f�1 (Y ), formados por todos os x 2 A tais que f (x) 2 Y . Em
símbolos,
f�1 (Y ) = fx 2 A : f (x) 2 Y g
� �� � �� � �� � �� � �� � � �� � �� � �� � �� � �
A �gura abaixo apresenta uma interpretação da imagem inversa do conjunto
Y � B pela função f : A! B.
Seja y 2 B e considere o conjunto fyg. Escrevemos f�1 (y) ao invés de f�1 (fyg).
Nota: Podemos deduzir as seguintes equivalências lógicas da De�nição 1.19:
x 2 f�1 (Y ) () f (x) 2 Y
x =2 f�1 (X) () f (x) =2 Y
1.2. FUNÇÕES 35
Exemplo 1.30 Seja f : R ! R uma função dada por f (x) = x2. Determine
f�1 (Y ), onde Y = [1; 4].
Solução. Por de�nição de imagem inversa,
f�1 ([1; 4]) = fx 2 R : f (x) 2 [1; 4]g
= fx 2 R : 1 6 f (x) 6 4g
=
�
x 2 R : 1 6 x2 6 4
	
= fx 2 R : 1 6 jxj 6 2g
= [�2;�1] [ [1; 2]
Como mostra a �gura abaixo, a imagem inversa de Y pela função f é o conjunto
[�2;�1] [ [1; 2] formado pela união de dois intervalos.
Exemplo 1.31 Seja f : R! R de�nida por
f (x) = x2 � 3x+ 2
Calcule f�1 (f0g), f�1 ([0;1)) e f ([1; 2]).
Solução. Por de�nição de imagem inversa, tem-se
f�1 (f0g) = fx 2 R : f (x) 2 f0gg =
�
x 2 R : x2 � 3x+ 2 = 0
	
= f1; 2g
e
f�1 ([0;1)) = fx 2 R : f (x) 2 [0;1)g
=
�
x 2 R : x2 � 3x+ 2 > 0
	
= (1; 1] [ [2;1)
36 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS E FUNÇÕES
Pela de�nição de imagem direta tem-se
f�1 ([1; 2]) = ff (x) : x 2 [1; 2]g = ff (x) : 1 6 x 6 2g = [�1=4; 0]
Exemplo 1.32 Considere os conjuntos A = f1; 2; 3; 4g e B = f1; 2; 3; 4; 5g, e a
função f : A! B com f(x) = x+1. Determine imagem inversa dos conjuntos
f2g ; f3g ; f4g e f5g.
Solução. Por de�nição de imagem inversa,
f�1 (f2g) = fx 2 A : f (x) = 2g = f1g
De modo análogo, f�1 (f3g) = f2g ; f�1 (f4g) = f3g e f�1 (f5g) = f4g.
Podemos também calcular a imagem inversa do conjunto f1g. Nesse caso,
porém, temos
f�1 (f1g) = ?
De fato, sabemos que f1g \ Im (f) = ?. Deste modo, para todo x 2 A,
tem-se f (x) 6= 1. Sendo assim, temos que f(x) =2 f1g, ou seja, f�1 (f1g) = ?.
No caso geral, vale o seguinte teorema.
Teorema 1.14 Sejam f : A! B uma função e Y � B. Temos que
f�1 (Y ) = ?
se, e somente se, Y \ Im (f) = ?.
Demonstração. ( =) ) Suponha que f�1 (Y ) = ?. Mostraremos que
Y \ Im (f) = ?
Suponha que Y \ Im (f) 6= ?. Então existe y 2 B tal que y 2 Im (f) e y 2 Y .
Mas,
y 2 Y =) f�1 (fyg) 2 f�1 (Y )
e portanto, f�1 (Y ) 6= ?, o que é uma contradição.
((= ) Suponha que Y \ Im (f) = ?. Mostraremos que f�1 (Y ) = ?.
Suponha que f�1 (Y ) 6= ?. Então existe x 2 A tal que f (x) 2 Y . Por outro
lado, f (x) 2 Im f , concluímos que f (x) 2 (Y \ Im (f)). Contudo, a�rmação
Y \ Im (f) 6= ? é uma contradição pois, por hipótese Y \ Im (f) = ?. Assim,
f�1 (Y ) = ?. �
O seguinte teorema relaciona o conceito de imagem inversa com a união,
interseção, complementar e diferença de conjuntos.
1.2. FUNÇÕES 37
Teorema 1.15 Dada uma função f : A ! B e indicando com Y e Z subcon-
juntos de B. Então:
1 : Se Y � Z, então f�1 (Y ) � f�1 (Z) :
2 : f�1 (Y [ Z) = f�1 (Y ) [ f�1 (Z) :
3 : f�1 (Y \ Z) = f�1 (Y ) \ f�1 (Z) :
4 : f�1 (Y c) =
�
f�1 (Y )
�c
:
5 : f�1 (Y � Z) = f�1 (Y )� f�1 (Z) :
6 : f�1 (B) = A e f�1 (?) = ?:
Demontração. 1 : Temos que, se x 2 f�1 (Y ), então f (x) 2 Y . Como Y � Z,
segue que f (x) 2 Z e portanto, x 2 f�1 (Z). Logo,
f�1 (Y ) � f�1 (Z)
2 : Temos que
x 2 f�1 (Y [ Z)
() f (x) 2 Y [ Z
() f (x) 2 Y ou f (x) 2 Z
() x 2 f�1 (Y ) [ f�1 (Z)
Isto signi�ca que x 2 f�1 (Y [ Z) () x 2 f�1(Y ) [ f�1 (Z), ou seja,
f�1 (Y [ Z) = f�1 (Y ) [ f�1 (Z)
3 : Temos que
x 2 f�1 (Y \ Z)
() f (x) 2 Y \ Z
() f (x) 2 Y e f (x) 2 Z
() x 2 f�1 (Y ) \ f�1 (Z)
Isto signi�ca que x 2 f�1 (Y \ Z) () x 2 f�1 (Y ) \ f�1 (Z), ou seja,
f�1 (Y \ Z) = f�1 (Y ) \ f�1 (Z)
4 : Agora,
x 2 f�1 (Y c) () f (x) 2 Y c () f (x) =2 Y () x 2
�
f�1 (Y )
�c
38 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS E FUNÇÕES
Isto signi�ca que x 2 f�1 (Y c) () x 2
�
f�1 (Y )
�c
, ou seja,
f�1 (Y c) =
�
f�1 (Y )
�c
5 : Como temos que demonstrar uma igualdade de conjuntos, a demostração
será dividida em dois casos. Primeiramente, vamos mostrar que
f�1 (Y � Z) � f�1 (Y )� f�1 (Z)
ou seja, se x 2 f�1 (Y � Z) =) x 2 f�1 (Y )� f�1 (Z).
Seja x 2 f�1 (Y � Z). Pela de�nição da imagem inversa concluímos que
f (x) 2 Y � Z. Pela de�nição de diferença de conjuntos, temos que f (x) 2 Y
e f (x) =2 Z. Consequentemente, pela de�nição de imagem inversa, deduzimos
que x 2 f�1 (Y ) e x =2 f�1 (Z). Portanto, podemos escrever
x 2 f�1 (Y )� f�1 (Z)
Logo, vale a relação de inclusão f�1 (Y � Z) � f�1 (Y )� f�1 (Z).
Vamos agora mostrar que f�1 (Y ) � f�1 (Z) � f�1 (Y � Z). Suponha que
x 2 f�1 (Y ) � f�1 (Z). Pela de�nição de diferença de conjuntos, temos que
x 2 f�1 (Y ) e x =2 f�1 (Z). Pela de�nição de imagem inversa, concluímos que
f (x) 2 Y e f (x) =2 Z. Sendo assim, podemos escrever f (x) 2 Y �Z, ou ainda,
x 2 f�1 (Y � Z). Logo,
f�1 (Y )� f�1 (Z) � f�1 (Y � Z)
6 : Pela De�nição 1.19, temos que
f�1 (B) = fx 2 A : f (x) 2 Bg = A e f�1 (?) = fx 2 A : f (x) 2 ?g = ?
�
1.2. FUNÇÕES 39
1.2.1 Problemas propostos
1. Considere uma função f : A ! B. De�na uma relação entre elementos
do conjunto A pondo
a1 � a2 () f (a1) = f (a2)
Mostre que � é uma relação de equivalência sobre A, isto é,
a) A relação � é re�exiva: a � a, para todo a 2 A.
b) A relação � é simérica: dados a1; a2 2 A, temos
a1 � a2 =) a2 � a1
c) A relação � é transitiva: dados a1; a2; a3 2 A, temos a1 � a2 e
a2 � a3 =) a1 � a3.
2. Uma função P : R ! R é dita par se P (�x) = P (x). Uma função
I : R! R é dita ímpar se I (�x) = �I (x).
a) Identi�que quais das seguintes funções de R em R são pares e quais
são ímpares:
f (x) = senx; g (x) = jxj e h (x) = cosx
b) Veri�que que a função f : R ! R dada por f (x) = x2 + 2x+ 2 não
é nem par nem ímpar.
c) Mostre que, dada uma função f : R! R qualquer, a função
P : R! R
dada P (x) = f(x)+f(�x)2 é par.
d) Mostre que, dada uma função f : R! R qualquer, a função
I : R! R
dada I (x) = f(x)�f(�x)2 é ímpar.
e) Mostre que toda função f : R! R pode ser escrita como
f (x) = P (x) + I (x)
onde P é uma função par e I é uma função ímpar.
f ) Escreva a função f : R! R dada por f (x) = x2+2x+2 como soma
de uma função par e uma função ímpar.
3. Uma função f : R ! R é dita periódica quando existe p 2 R tal que
f(x + p) = f (x), para todo x 2 R. O menor p 2 R positivo tal que
f(x+ p) = f (x) é chamado período da função f . Mostre que as funções
abaixo são periódicas e determine, se existir, seu período.
a) f : R! R, f (x) = senx.
b) f : R! R, f (x) = cosx.
40 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS E FUNÇÕES
c) f : R! R,
f (x) =
8<: 0 se x 2 Q
1 se x =2 Q
4. Sejam f(x) e g(x) funções com períodos distintos T1 e T2, respectivamente.
Se a razão T1T2 =
m
n for um número racional, então f(x)+ g(x), f(x)g(x) e
f(x)
g(x) são funções periódicas. Mais precisamente essas funções têm período
nT1 = mT2. Determine o período da função f (x) = senx+ sen (1; 3x).
5. Seja f : R! R uma função periódica de período T: Então:
a) A função g : R ! R de�nida por g (x) = f (ax) ; a 2 R� é periódica
de período Ta :
b) A função g : R ! R de�nida por g (x) = f
�
x
b
�
; b 2 R� é periódica
de período bT:
6. A parte negativa e a parte positiva da função f : X ! R são respec-
tivamente as funções reais f�; f+ de�nidas no conjunto X pondo:
f� (x) =
jf (x)j � f (x)
2
; f+ (x) =
jf (x)j+ f (x)
2
Se X é um conjunto não vazio tal que jg (x)j = g (x) para todo x 2 X,
mostre que (fg)� = f�g e (fg)+ = f+g.
7. Mostre que, se a função f (x) = sen (ax) + sen (bx) é periódica, então a=b
é racional.
8. Considere a função f : Z! f1; 2g, dada por f (n) = (�1)
n+3
2 .
a) Mostre que, f é sobrejetiva.
b) Veri�que que, f�1 (f1g) é o conjunto dos inteiros ímpares e f�1 (f2g)
é o conjunto dos inteiros pares.
c) Mostre que, Z = f�1 (f1g) [ f�1 (f2g) e f�1 (f1g) \ f�1 (f2g) = ?.
9. Mostre que a função f : R ! R dada por f (x) = ax + b em que a 6= 0 é
uma função bijetiva.
10. Seja f : R2 ! R2 dada por f (x; y) = (2x; 2y) e sejam os seguintes sub-
conjuntos do plano:
X =
�
(x; y) 2 R2 : x > y
	
, Y =
�
(x; y) 2 R2 : x2 + y2 < 1
	
e Z =
�
(x; y) 2 R2 : x > y e x2 + y2 < 1
	
. Determine a imagem inversa
de X;Y e Z, ou seja,
f�1 (X) ; f�1 (Y ) e f�1 (Z)
11. Seja f : A! B, uma função. Sejam X;Y � A de modo que A = X [ Y
e f (X) \ f (Y ) = ?. Se fjX e fjY são injetivas, então f é injetiva.
1.2. FUNÇÕES 41
12. Sejam f : A! B uma função, X um subconjunto de A e Y subconjunto
de B. Então �
fjX
��1
(Y ) = X \ f�1 (Y )
13. Sejam f : A! B uma função e Y um subconjunto de B. Então
f�1 (Y ) = f�1 (Y \A)
Sejam f : A ! B, X = f (A) e Y � B tal que a interseção X \ Y 6= ?.
Seja
z : f�1 (X \ Y )! X \ Y
de�nida pondo z (x) = f (x) para todo x 2 X \ Y . Mostre que z é
sobrejetora.
14. Sejam f : A! R e X � A não vazio. Mostre que, (f�X)jX = fjX .
42 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS E FUNÇÕES
1.3 Composição de funções
Sejam A, B e C três conjuntos e consideremos as funçãos f : A ! B e
g : B! C. Então podemos de�nir a relação composta
g � f : A! C
Teorema 1.16 A relação composta g � f : A! C é uma função.
Demonstração. Suponha que f : A ! B e g : B ! C.são funções. Então
para cada x 2 A, existe y 2 B tal que y = f (x) e para este elemento y existe
z 2 C tal que z = g (y). Logo, para cada x 2 A, existe z 2 C tal que
(x; z) 2 g � f
Isto motra a condiçao a) da De�nição 1.10. Para mostrar a outra condição,
sejam
(x; z1) 2 g � f e (x; z2) 2 g � f
Pela de�nição de composta de duas relações, existem elementos y1 e y2 em B
tais que
(x; y1) 2 f e (y1; z1) 2 g
e
(x; y2) 2 f e (y2; z2) 2 g
De (x; y1) 2 f e (x; y2) 2 f concluímos que y1 = y2: Logo,
(y1; z1) 2 g e (y1; z2) 2 g
e portanto, z1 = z2: �
� �� � �� � �� � �� � �� � � �� � �� � �� � �� � �
De�nição 1.20 (função composta) Sejam f : A ! B e g : B ! C duas
funções tais que o domínio de g é igual ao contradomínio de f: A função
composta7 de g e f é a função g � f : A! C que consiste em aplicar primeiro
f e depois g ou seja,
(g � f) (x) = g (f (x)) para todo x 2 A
� �� � �� � �� � �� � �� � � �� � �� � �� � �� � �
A função composta g � f : A! C pode ser visualizada pelo diagrama
7ou composição de g e f:
1.3. COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES 43
Reforçamos um ponto que pode ter passado despercebido: essa construção
só faz sentido quando o contradomínio de f é igual ao domínio de g.
Exemplo 1.33 Sejam f : R ! R e g : R ! R duas funções, dadas respectiva-
mente por f (x) = x� 1 e g (x) = x2 + 1 para todo x 2 R. Encontre (f � g) (x)
e (g � f) (x).
Solução. Pela De�nição 1.20, temos
(f � g) (x) = f (g (x)) = f
�
x2 + 1
�
= x2 + 1� 1 = x2
e
(g � f) (x) = g (f (x)) = g (x� 1) = (x� 1)2 + 1 = x2 � 2x+ 2
Com este exemplo, podemos notar que, as composta g�f : R! R e f�g : R! R
estão de�nidas, mas g � f 6= f � g e portanto, a composta não é comutativa.
Exemplo 1.34 Sejam f : R! R e g : R! R duas funções de�nidas por
f (x) =
8<: x
2 se x < 0
2x se x > 0
e g (x) =
8<: 1� x se x < 1
1 + x se x > 1
Determine g � f e f � g.
Solução. Pela De�nição 1.20, temos
(g � f) (x) =
8<: 1� f (x) se f (x) < 1
1 + f (x) se f (x) > 1
Assim, temos quatro casos para analisar:
� Se f (x) < 1 e x < 0; então x2 < 1 e x < 0 e portanto, �1 < x < 1 Logo,
(g � f) (x) = g
�
x2
�
= 1� x2 para � 1 < x < 1
� Se f (x) < 1 e x > 0; então 2x < 1 e x > 0 e portanto, 0 6 x < 12 . Logo,
(g � f) (x) = g (2x) = 1� 2x para 0 6 x < 1
2
� Se f (x) > 1 e x < 0; então x2 > 1 e x < 0 e portanto, x 6 �1.Logo,
(g � f) (x) = g
�
x2
�
= 1 + x2 para x 6 �1
44 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS E FUNÇÕES� Se f (x) > 1 e x > 0; então 2x > 1 e x > 0 e portanto, x > 12 . Logo,
(g � f) (x) = g (2x) = 1 + 2x para x > 1
2
e portanto,
(g � f) (x) =
8>>>>>>>><>>>>>>>>:
1 + x2 se x 6 �1
1� x2 se �1 < x < 0
1� 2x se 0 6 x < 12
1 + 2x se x > 12
O caso f � g �ca como exercício.
Exemplo 1.35 Sejam f : A! B e g : B! C duas funções:
a) Se f e g são injetoras, então g � f é injetora;
b) Se f e g são sobrejetoras, então g � f é sobrejetora;
c) Se f e g são bijetoras, então g � f é bijetora.
Solução. a) Sejam x1; x2 2 A: Pelas De�nições 1.20 e 1.14, temos
(g � f) (x1) = (g � f) (x2) =) g (f (x1)) = g (f (x2)) =) f (x1) = f (x2)
e portanto, x1 = x2. Logo, g � f é injetora.
b) Seja z um elemento qualquer de C. Como g é sobrejetora, existe y 2 B
tal que z = g (y). Como f também é sobrejetora, então existe x 2 A tal que
y = f (x). Assim,
z = g (y) = g (f (x)) = (g � f) (x)
e portanto g � f é sobrejetora.
c) Suponha que f e g sejam funções bijetoras. Pelo item a) temos que g � f
é injetora e pelo item b) g � f é sobrejetora. Logo, g � f é bijetora.
Uma infelicidade notacional é que f e g aparecem em g � f na ordem oposta
à que aparecem na �gura acima e também a ordem natural �primeiro f depois
g�; isto é uma consequência do fato de lermo da esquerda para direita e da
notação funcional f (x) com x à direita de f 8 . Notamos também que o símbolo
� não quer dizer grande coisa; gf seria bom o su�ciente, mas haveria o perigo de
confusão com a multiplicação, de modo que vamos nos ater à notação habitual.
Teorema 1.17 Sejam f : A! B; g : B! C e h : C! D funções. Então
(h � g) � f = h � (g � f)
8Algebristas, que sabem das coisas, escrevem (x) f ; se usássemos essa notação, a composta
de f e g seria f � g.
1.3. COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES 45
Demonstração. Note que (h � g)�f e h� (g � f) são funções de A em D. Para
mostrar que
(h � g) � f = h � (g � f)
pelo Teorema 1.9, basta mostrar que
[(h � g) � f ] (x) = [h � (g � f)] (x)
para todo x 2 A. Pela De�nição 1.20, temos
[(h � g) � f ] (x) = (h � g) (f (x)) = h (g (f (x)))
e
[h � (g � f)] (x) = h ((g � f) (x)) = h (g (f (x)))
para todo x 2 A. Mostramos assim que a composição de funções é associativa.�
Exemplo 1.36 Se f : A ! B é uma função arbitrária e IdA : A ! A e
IdB : B! B são respectivamente, as funções identidade de A e B, então
f � IdA = f e IdB � f = f
Solução. Considere as funções f : A! B e IdA : A! A: Pela De�nição 1.20,
podemos de�nir a função composta f �IdA : A! B. Temos que D (f � IdA) =
D (f) e IdA (x) = x para todo x 2 A. Assim,
(f � IdA) (x) = f (IdA (x)) = f (x)
e pelo Teorema 1.9, concluímos que f � IdA = f . A outra igualdade é feita de
modo análogo.
Exemplo 1.37 Seja f : A ! B uma função bijetora e seja f�1 : B ! A a
função inversa de f . Mostre que
f�1 � f = IdA e f � f�1 = IdB
Solução. Seja f : A! B uma função bijetora. Então
y = f (x) () x = f�1 (y)
Logo, �
f�1 � f
�
(x) = f�1 (f (x)) = f�1 (y) = x
e �
f � f�1
�
(y) = f
�
f�1 (y)
�
= f (x) = y
� �� � �� � �� � �� � � �� � �� � �� � �� � �� � �
De�nição 1.21 (inversa à esquerda) Dadas as funções f : A ! B e g :
B! A, dizemos que g é uma inversa à esquerda da função f quando
g � f = IdA
isto é, g (f (x)) = x para todo x em A.
46 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS E FUNÇÕES
� �� � �� � �� � �� � �� � � �� � �� � �� � �� � �
Por exemplo, seja k um número natural �xado, f : N ! N de�nida por
f (x) = 2x e g : N! N tal que
g (x) =
8<:
x
2 se x é par
k se x é ímpar
e portanto, para todo x 2 N, temos g (f (x)) = x; isto signi�ca que g é uma
inversa à esquerda de f .
Exemplo 1.38 Considere as funções f : R�+ ! R e g : R ! R�+ de�nidas por
f (x) = x2 e
g (x) =
8<:
p
x se x > 0
0 se x < 0
Para todo x 2 R�+ temos g (f (x)) =
p
f (x) =
p
x2 = x, e portanto, g é uma
inversa à esquerda de f .
Teorema 1.18 Uma função f : A ! B admite uma inversa à esquerda se, e
somente se, é injetiva.
Demonstração. ( =) ) Suponha, que existe uma inversa a esquerda de f ,
isto é, uma função g : B ! A tal que g � f = IdA. Devemos mostrar que f é
injetiva. Para tal, consideremos, x1; x2 2 A tais que f (x1) = f (x2). Aplicando
g a esta última igualdade, obtemos g (f (x1)) = g (f (x2)). Logo,
x1 = IdA (x1) = (g � f) (x1) = (g � f) (x2) = IdA (x2) = x2
Sendo assim, f (x1) = f (x2) implica que x1 = x2. Portanto f é injetiva.
((= ) Reciprocamente, suponha que f : A ! B seja injetiva. Devemos
construir uma inversa à esquerda de f . Para tal, �xemos x0 2 A. Sendo
f injetiva, para cada y 2 f (A) existe um único x 2 A tal que f (x) = y.
De�nimos g : B! A pondo
g (x) =
8<: x se y 2 f (A)
x0 se y 2 B� f (A)
Veja a �gura abaixo:
1.3. COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES 47
Vamos determinar a composta g � f : A! A. Para todo x 2 A, temos
(g � f) (x) = g (f (x)) = g (y) ; onde y = f (x) 2 f (A)
Pela de�nição de g, temos que (g � f) (x) = g (f (x)) = g (y) = x. Como esta
igualdade ocorre para todo x 2 A, segue que g � f = IdA. �
Nota: A escolha de x0 2 A na demonstração do Teorema 1.18 é arbitrária.
Podemos, inclusive, escolher vários pontos no domínio, para uma mesma função
f .
� �� � �� � �� � � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �
De�nição 1.22 (inversa à direita) Sejam f : A ! B e g : B ! A e duas
funções, dizemos que g é uma inversa à direita da função f quando
f � g = IdB
isto é, f (g (y)) = y para todo y em B.
� �� � �� � �� � � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �
Por exemplo, seja f : A�B! A de�nida por f (x; y) = x e g : A! A�B
dada por g (x) = (x; n), onde n 2 B qualquer �xado. Logo,
(f � g) (y) = f (g (y)) = f (y; n) = y
para todo y em A, e portanto, g é uma inversa à direita de f .
Teorema 1.19 Uma função f : A ! B admite uma inversa à direita se, e
somente se, é sobrejetora.
Demonstração. ( =) ) Suponha que existe uma g : B! A, inversa à direita
de f , isto é, tal que f � g = IdB. Devemos mostrar que f é sobrejetora. Para
tal, tomemos y 2 B. O elemento x = g (y) 2 A é tal que
f (x) = f (g (y)) = (f � g) (y) = IdB (y) = y
Isso mostra que f e sobrejetora.
((= ) Reciprocamente, suponha que f : A! B seja sobrejetora. Devemos
construir uma inversa à direita de f . Para cada y 2 B, consideremos o conjunto
f�1 (y) = fx 2 A : f (x) = yg
Como f é sobrejetora, f�1 (y) 6= ?, para todo y 2 B. Podemos, então, escolher,
para cada y 2 B, um elemento g (y) 2 f�1 (y). Esta escolha de�ne uma função
g : B! A (veja a �gura abaixo)
48 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS E FUNÇÕES
Para mostrarmos que a composta f � g é igual a IdB, tomemos y 2 B. Pela
construção de g, sabemos que g (y) = x 2 f�1 (y), logo
(f � g) (y) = f (g (y)) = f (x) = y; para todo y 2 B
Isso mostra que f � g = IdB. �
As inversas à esquerda e à direita não são únicas, a menos que a função f seja
bijetora, como veremos no Teorema 1.20 a seguir. Antes, mais uma de�nição.
� �� � �� � �� � �� � �� � � �� � �� � �� � �� � �
De�nição 1.23 (Inversa bilateral) Dada uma função f : A ! B, uma
função g : B! A é dita inversa bilateral de f ou, simplesmente uma inversa
de f , quando
f � g = IdB e g � f = IdA
� �� � �� � �� � �� � �� � � �� � �� � �� � �� � �
Teorema 1.20 Uma função f : A ! B admite uma inversa bilateral se, e
somente se, f é bijetiva. Além disso, a inversa de f é única e é denotada por
f�1 : B! A.
Demonstração. De acordo com os Teoremas 1.18 e 1.19 , f : A! B é bijetiva
se, e somente se, admite uma inversa à esquerda g : B ! A e uma inversa à
direita h : B! A. Então
g � f = IdA e f � h = IdB
Mostraremos, agora, que, nestas condições, g = h. De fato,
g = g � IdB = g � (f � h) = (g � f) � h = IdA � h = h
ou seja, g(x) = h(x), para todo x 2 B. Como g e h têm o mesmo domínio e o
mesmo contradomínio, então g e h são funções iguais. Finalmente,
g = g � IdB = g �
�
f � f�1
�
= (g � f) � f�1 = IdA � f�1 = f�1
o que, demonstra o que queríamos. �
O próximo teorema será de grande importância para os próximos capítulos.
Teorema 1.21 Dada a função f : A ! B, seja Y = f (A) a imagem de f .
Existe um conjunto X � A tal que fjX de�ne uma bijeção entre X e Y . Noutras
palavras, existe uma função bijetiva f0 : X ! Y tal que
f0 (x) = f (x) para todo x 2X
Demonstração. Seja g : A ! Y de�nida pondo g (a) = f (a) para todo
a 2 A. Como Y = f (A), todo elemento b 2 Y é valor assumido pela função
f , e portanto pela função g, em algum elemento a 2 A. Logo, g é sobrejetiva e
pelo Teorema ??, admite uma inversa à direita de g; digamos
h : Y ! A
1.3. COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES 49
Em virtude de ser g (h (b)) = b, para todo b 2 Y , g é inversa à esquerda de h.
Por conseguinte, a função h é injetiva. Sejam X = h (Y ) e
' : Y ! X
de�nida por ' (z) = h (z) para todo z 2 Y . Pelo exposto acima, ' é sobrejetiva,
e pela injetividade de h, temos que ' é injetiva. Logo, ' é uma bijeção entre Y
e X. Assim sendo, a função inversa
'�1 : X ! Y
é uma bijeção entre X e Y . Seja x 2 X dado arbitrariamente. Como x 2 X e
X é a imagem h (Y ) de Y pela função h, existe y 2 Y de modo que:
x = h (y) (�)
Tem-se, pela de�nição de g, f (a) = g (a) para todo a 2 A. Como X =
h (Y ) � A, então f (a) = g (a) para todo a 2 X. A função h : Y ! A é inversa
à direita de g, e x 2 X. Portanto, pela igualdade (�) tem-se:
f (x) = g (x) = g (h (y)) = y (��)
Em virtude da de�nição de ', ' (z) = h (z) para todo z 2 Y . Como y 2 Y , de
(�) segue
x = h (y) = ' (y) (#)
Uma vez que '�1 é a inversa de ', de (#) obtém-se:
'�1 (x) = '�1 (' (y)) = y (##)
De (��) e (##) resulta a igualdade '�1 (x) = f (x). Sendo x arbitrário, conclui-
se daí que vale
'�1 (x) = f (x)
para todo x 2 X, o que prova o enunciado acima, tomando '�1 = f0. �
50 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS E FUNÇÕES
1.3.1 Problemas propostos
1. Sejam f : A! B e g : B! C funções, X um subconjunto de A e Y um
subconjunto de C. Então temos
(g � f) (X) = g (f (X)) e (g � f)�1 (Y ) = f�1
�
g�1 (Y )
�
2. Seja g(x) = x2 e f(x) = x + 2 para x 2 R, e seja h a função composta
h = g � f .
a) Encontre a imagem direta h (X), onde X = fx 2 R : 0 6 x 6 1g.
b) Encontre a imagem inversa h�1 (Y ), onde Y = fx 2 R : 0 6 x 6 4g.
3. Dê um exemplo de duas funções f ; g de R sobre R tais que f 6= g e vale:
a) f � g 6= g � f .
b) f � g = g � f .
4. Sejam f : A! B e g : B! C funções.
a) Mostre que, se g � f é injetiva, então f é injetiva.
b) Mostre que, se g � f é sobrejetiva, então g é sobrejetiva.
5. Sejam A um conjunto não vazio e f : A! A uma função tal que
f � f = IdA
Mostre que f é uma função bijetora.
6. Sejam f : A ! B e g : B ! C funções. Se f é uma função par, mostre
que g � f é par.
7. Sejam f : A! B e g : B! C funções, onde f é uma função ímpar. Se g
é uma função ímpar, a função g � f é sempre ímpar? E se g for par?