Aula_16__modelos_MA_1__e_MA_2__ho

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Análise e previsão de séries temporais I – Prof.: Henrique Hippert 
 
Bacharelado em Estatística – 2011.2 
Disciplina: Análise e Previsão de Séries Temporais I 
Professor: Henrique S. Hippert 
 
Aula 16 – Processos MA(1) e MA(2) 
 
 
1. Processo MA(1) 
 
11 −−+= ttt aaz θµ (1) 
 
Escrito com os dados centrados: 
11 −−= ttt aaz θ (2) 
tt aBz )1( 1θ−= 
 
1.1. Estacionariedade e invertibilidade 
 
Para um modelo MA(1), a equação característica é 
01 1 =− Bθ 
 
cuja raiz é 
1
1
θ
=B 
 
Para que |B| > 1, é preciso que 
1|| 1 <θ 
 
Portanto, um modelo MA(1) é sempre estacionário, e será invertível se 1|| 1 <θ . 
 
 
1.2. Média e variância 
 
De (1) e (2) acima, 
 
µ=)( tzE 
0)( =tzE 
 
22
1
2 )1( az σθσ += 
 
1.3. Função de autocorrelação (FAC) 








>
=
+++
+++−
=
−+
qk
qk
q
qkqkk
k
0
,...,2,1
...1
...
22
1
11
θθ
θθθθθ
ρ (3) 
 
Análise e previsão de séries temporais I – Prof.: Henrique Hippert 
 
Substituindo o coeficiente θ1 em (3), obtemos: 
2
1
1
1 1 θ
θρ
+
−
= 
0=kρ , k>1 
 
1.4. Função de autocorrelação parcial (FACP) 
 
Substituindo o ρ1 acima nas equações de Yule-Walker, Box & Jenkins (1994) demonstram 
que é possível chegar à expressão da FACP do modelo MA(1), em função do defasamento k: 






−
−
−=
+22
1
2
1
1 1
1
k
k
kk θ
θθφ (4) 
 
portanto, 






−
−
−= 4
1
2
1
111 1
1
θ
θθφ 





+−
−
−= )1)(1(
1
2
1
2
1
2
1
1 θθ
θθ 2
1
1
1 θ
θ
+
−
= 






−
−
−= 6
1
2
12
122 1
1
θ
θθφ 






−
−
−= 8
1
2
13
133 1
1
θ
θθφ , etc. 
 
como, pela condição de invertibilidade do modelo, 
1|| 1 <θ 
 
é fácil de ver que k1θ irá decair exponencialmente (se o sinal de θ1 for negativo, as potências 
sucessivas de k1θ terão sinais alternados). Como o termo entre parênteses em (4) 
1
1
1
22
1
2
1 <





−
−
+kθ
θ
 
 
vemos que 
k
kk 1|| θφ < 
 
e concluímos daí que kkφ será dominada por uma exponencial amortecida. 
Para um modelo MA(1), portanto, a FAC tem apenas um valor diferente de zero, 
enquanto a FACP decai indefinidamente. É a situação inversa do que acontecia com AR(1). 
 
 
Análise e previsão de séries temporais I – Prof.: Henrique Hippert 
 
2. Processo MA(2) 
 
Modelo: 
2211 −− −−+= tttt aaaz θθµ (5) 
 
Ou, usando dados centrados, 
2211 −− −−= tttt aaaz θθ 
tt aBBz )1( 221 θθ −−= 
 
 
2.1. Estacionariedade e invertibilidade 
 
Os processos MA(2) são sempre estacionários. Para que seja invertível, é preciso que as 
raízes da equação característica estejam fora do círculo unitário, o que ocorre se os 
coeficientes atenderem às restrições: 
112 <+θθ 
112 <−θθ 
11 2 <<− θ 
 
Estas três restrições definem a área sombreada abaixo: 
 
 
Um modelo será invertível se o ponto definido por seus coeficientes estiver dentro do 
triângulo. Note que estas condições são similares àquelas exigidas para a estacionariedade de 
um AR(2). 
 
 
2.2. Média e variância: 
 
De (1) e (2) acima, 
µ=)( tzE 
)1()( 22212 θθσ ++= atzVar 
 
 
2.3. Função de autocorrelação : 
 
Da expressão (3), obtemos 
2
2
2
1
21
2
2
2
1
211
1 1
)1(
1 θθ
θθ
θθ
θθθρ
++
−−
=
++
+−
= 
Análise e previsão de séries temporais I – Prof.: Henrique Hippert 
 
2
2
2
1
2
2 1 θθ
θρ
++
−
= 
 
ρk= 0 para k≥3 
 
 
2.4. Função de autocorrelação parcial 
 
A expressão da FACP para modelos MA(2) é bastante complicada e não será 
apresentada aqui. Esta função é dominada pela soma de duas exponenciais (se as raízes da 
equação característica são reais), ou por uma senóide amortecida, no caso contrário. Portanto, 
a FACP de um processo MA(2) irá se comportar exatamente como um a FAC de um processo 
AR(p). 
 
 
 
3. Dualidade entre AR e MA 
 
 
AR: ACF infinita; PACF finita 
MA: ACF finita; PACF infinita 
 
AR: sempre invertível 
MA: sempre estacionário 
 
AR: raizes fora do círculo unitário, para estacionariedade 
MA: raizes fora do círculo unitário, para invertibilidade