Regras Básicas de Integração

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Engenharia de Produção Cálculo Diferencial e Integral II 
 
 1 
Antiderivadas 
Uma função F é uma antiderivada de uma função ƒ se para todo x no domínio de 
ƒ, temos F’ (x) = ƒ (x). 
 Se F(x) é uma antiderivada de ƒ(x), então também o é F(x) + C, onde C é uma 
constante arbitrária. 
 F(x) = x3 → 
 F(x) = x3 – 5 → 3x2 
 F(x) = x3 + 0,3 → 
 
 Todas as antiderivadas de 3x2 são da forma x3 + C. Assim, o processo de 
antidiferenciação não define uma função única, e sim uma família de funções, que 
diferem entre si por uma constante. 
 
Notação para Antiderivadas e Integrais Indefinidas 
∫ += CxFdxxf )()( 
Sinal de integral: ∫∫∫∫ 
Diferencial: dx 
Antiderivada: F(x) + C 
Integrando: f(x) 
A notação∫ += CxFdxxf )()( , onde C é uma constante arbitrária, significa que 
F é uma antiderivada de f. Isto é, F’ (x) = f(x) para todo x no domínio de f. 
∫ += Cxdx 22 
∫ += Cttdt
224 
 ∫ += Cxdxx
323 
Cálculo de Antiderivadas 
[ ] )()( xfdxxf
dx
d =∫ → A diferenciação é o inverso da integração. 
Cxfdxxf +=∫ )()(' → A integração é o inverso da diferenciação. 
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 2 
Regras Básicas da Integração 
1) CKxKdx +=∫ ; K é uma constante → Regra da Constante 
Ex: Cxdx +=∫ 22 . 
 
2) ∫ ∫= dxxfKdxxKf )()( → Regra do Múltiplo Constante 
Ex: ∫ ∫= dxxdxx
22 33 . 
 
3) [ ]∫ ∫ ∫+=+ dxxgdxxfdxxgxf )()()()( → Regra da soma 
Ex: dxxdxxdxxx ∫∫ ∫ +=+
2323 3)3( . 
 
4) [ ]∫ ∫ ∫−=− dxxgdxxfdxxgxf )()()()( → Regra da Diferença 
Ex: dxxdx
x
dxx
x
∫∫ ∫ −=





− 4
3
4
3
33
. 
 
5) 1,
1
1
−≠+
+
=∫
+
nC
n
x
dxx
n
n → Regra Simples da Potência 
Ex: C
x
dxx +=∫ 6
6
5 . 
6) 1,ln
1 −=+=∫ nCxdxx
 
Cálculo de Integrais Indefinidas 
 
 1) ∫ =xdx3 
 
 2) ∫ =dxx3
1
 
 
 3) ∫ =dxx 
 
 4) ( )∫ =+− dxxxx 24 53 
 
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 3 
 5) ∫ =
+
dx
x
x 1
 
 
 
 
Exercícios – Lista 1 
Ache a integral indefinida: 
1) ∫ =dx6 2) ∫ =dtt
23 3) ∫ =
− dxx 35 4) ∫ =du 5) ∫ =− dx4 6) ∫ =dtt
4 
7) ∫ =
− dyy 34 8) ∫ =edx 9) ∫ =
−
dvv 2
1
 10) ∫ =dxx 2
3
 11) ∫ =dxx3 
12)∫ =dxx2
1
 13) ∫ =dxxx
1
 14) ∫ =dxx32
1
 15) ∫ =dxx2
1
 16) ∫ =+ dxxx )3(
2 
17) ∫ =dxx 3)2(
1
 18) ( )∫ =+ dxx 23 19) ∫ =






−+ dxxx 132 3
4
 20) ∫ =dxx
3 2 
 21) ∫ =dxx3
1
 22) ∫ =dxx24
1
 23) ∫ =
+
dt
t
t
2
2 2
 24) ( )∫ =+ duuu 13 2 
25) ( )( )∫ =−− dxxx 561 26) ∫ =dyyy2 27) ∫ =





+ dx
x
x
2
1
 28) ( )∫ =+ dxx 14 3 . 
Regra Geral da Potência para Integração 
Se u é uma função diferenciável de x, então ∫ −≠++
=
+
.1,
1
1
nC
n
u
dx
dx
du
u
n
n 
 Aplicação: Calcule as seguintes integrais indefenidas. 
1) ( )∫ =+ dxxx 12 2 
 
2) ( ) ( )∫ =++ dxxxx 1232 
 
 
3) ∫ =− dxxx 23
32 
 
 
4) ( )∫ =−
−
dx
x
x
2221
4
 
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 4 
Onde não se aplica a Regra Geral da Potência 
Calcular a integral indefinida ( )∫ −− .438 22 dxx . 
⇒Regra Geral da Potência 
243 xu −= x
dx
du
8−= 
I = ( )∫ −− .4381 22 dxxxx 






x
1
só é válido para constantes; portanto ( ) ( )∫ ∫ −−≠−− dxxxxdxx
2222 438
1
438 . 
 
⇒Resolvemos assim: 
( ) ( ) ( )∫ ∫∫ =−+−=+−−=−− dxxxdxxxdxx 424222 12819272162498438 
CxxxC
xx
x +−+−=+−+−= 53
53
5
128
6472
5
128
3
192
72 . 
Aplicando a Regra Geral da Potência 
Calcule a integral indefinida ∫ + dxxx 17
32 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituição: 
Regra Geral da Potência: ∫ ∫= duudxdx
du
u nn . 
Integração por Substituição 
 Calcule a integral indefinida dxx∫ − 31 . 
 
 
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 5 
Exercícios – Lista 2 
I) Calcule a integral indefinida. 
1) ( ) ( )∫ =⋅+ dxx 221
4 2) ( )∫ =⋅− dxxx 1045 2 3) ( )∫ =− dxxx 23 33 
 4) ( )∫ =− dxx
41 5) ( )∫ =− dxxx 72 1 6) ( )∫ =+ dxx
x
23
2
1
 7) ( )∫ =−+
+
dx
xx
x
22 32
1
 
8) ∫ =
+−
−
dx
xx
x
34
2
2
 9) =−∫ dxxx
3 215 10) ∫ =
+
dx
x
x
21
4
 11) ∫ =+
−
dx
x 32
3
 
12) ∫ =
−
dx
x
x
4
3
1
 13) ∫ =dxx2
1
 14) ( )( )∫ =++ dxxxx 13 23 
15) ( )( ) =+−−∫ dxxxx 41423 2 16) ( )∫ =+ dxx
x
321
6
 17) ( )∫ =++
+
dx
xx
x
32 73
64
 
 18) =
−
∫ .
1 3
2
dx
x
x
 
II) Calcule a integral indefinida mediante substituição formal: 
19) ( )∫ =− dxxx 32 16 ; 20) ( )∫ =− dxxx 232 1 ; 21) ( )∫ =− dxxx 2
3
32 32 ; 
22) ∫ =
+
dx
x
x
252
; 23) ∫ =+
dx
x 12
3
; 24) ∫ =
++
+
dx
xx
x
43
1
3
2
; 
25) ∫ =






− dxxx
2
2
3
4 ; 26) ∫ =






+ dxxx 2
1
2 ; 27) ∫ =
+
dx
x
x
2
2 1
; 28) ( )∫ =+ dxxx 1 ; 
29) ( )∫ =− dtt 22 12 ; 30) ( )∫ =+ dttt 231 . 
 
Integrais Exponenciais e Logarítmicas 
 
Regra Exponencial Simples: 
∫ += Cedxe
xx 
Regra Exponencial Geral: 
 ∫ += Cedxdx
du
e uu 
Exemplos: Integração de funções Exponenciais 
1) ∫ =dxe
x2 
2) ∫ =dxe
x22 
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 6 
3) ( )∫ =+ dxxex 
4) ∫ =
− dxxe x
2
5 
 
 
Regra Logarítmica Simples: 
 Cxdx
x
+=∫ ln
1
 
Regra Logarítmica Geral: 
 ∫ ∫ +==⋅ Cuduu
dx
dx
du
u
ln
11
 
Exemplos: Integrando Funções Logarítmicas. 
1) ∫ =dxx
4
 
2) =∫ dxx
x
2
2
 
3) ∫ =+
dx
x 13
3
 
 
Aplicando a Regra Log. 
4) ∫ =+
dx
x 12
1
 
 
5) ∫ =+
dx
x
x
1
6
2
 
 
 
ATENÇÃO: As integrais às quais se pode aplicar a Regra Log. Costumam ser dadas em 
forma disfarçada. Por exemplo, se uma função racional tem numerador de grau não inferior ao 
do denominador, devemos primeiro efetuar a divisão, obtendo uma parte inteira e uma parte 
fracionária. Eis um exemplo: 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ +
+=





+
+=





+
+
+
+=
+
++
dx
x
x
dxdx
x
x
dx
x
x
x
x
dx
x
xx
1
6
1
1
6
1
1
6
1
1
1
16
2222
2
2
2
 
( ) Cxx +++= 1ln3 2 . 
 
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 7 
Exemplos: Escrevendo sob Nova Forma Antes de Integrar. 
a) ∫ =
−+
dx
x
xx
2
2 123
 
 
b) ∫ =+ −
dx
e x1
1
 
 
c) ∫ −
++
1
12
x
xx
= 
 
Exercícios – Lista 3 
I) Use a regra exponencial para calcular a integral indefinida. 
1) ∫ =dxe
x22 2) ∫ =dxe
x4 3) ∫ =
− dxe x25,0 4) ∫ =
− dxxe x
2
9 5) ∫ =dxxe
x25,02 
 6) ∫ =dxex
x325 7) ( )∫ =+ + dxex xx
2
12 8) ( )∫ =⋅+ −+ dxexx xx 132
23
2 
 9) ( )∫ =− − dxex xx 8
2
43 10) ∫ =
− dxe x25 11) 
( )
∫ =
+−
dxe
x
2
1
3 12) ∫ =dxex
x
2
2
1
 
13) ∫ =dxex
x24
1
3
1
 14) ∫ =dxex
x1 15) ( )∫ =− − dxee xx 2 . 
II) Use a regra log. para calcular a integral indefinida. 
16) ∫ =+
dx
x 1
1
 17) ∫ =−
dx
x23
1
 18) ∫ =+
dx
x
x
12
 19) ∫ =−
dx
x
x
3
2
3
 
 20) ∫ =++
+
dx
xx
x
76
3
2
 21) ∫ =+++
++
dx
xxx
xx
193
32
23
2
 22) ∫ =dxxx ln
1
 
23) ∫ =+
dx
e
e
x
x
1
 24) ∫ =+ −
−
dx
e
e
x
x
1
 25) ∫ =+
dx
e
e
x
x
2
3
 
26) ∫ =−
dx
e
e
x
x
2
2
5
4
 27)∫ =−
−
dx
e
e
x
x
3
3
2
. 
III) Aplique quaisquer fórmulas básicas se integração para calcular a integral indefinida. 
28) =++∫ dxe
ee
x
xx 122
 29) ( )∫ =+⋅+ dxexex xx 236 30) ∫ =− dxee xx 1 
 31) 
( )
( )∫ =+
−
−
−
dx
ee
ee
xx
xx
2
2
 32) 
( )∫
=
−
dx
x 21
1
 33) =
+
dxx 1
1
 34) =−∫ dxx
x 42
 
 35) =+∫ dxx
x 5
 36) ∫ =
−
dx
x
xx
2
3
2
8
 37) ∫ =+ −
dx
e x1
2
 38) ∫ =+ −
dx
e x31
3
 
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 8 
39) =
−
++
∫ dxx
xx
1
522
 40) ∫ =+
−
dx
x
x
3
3
 41) ∫ =−
++
dx
xx
xxx
2
23 34
 
42) ∫ =+
+
−
−
dx
xe
e
x
x
1
1
 
Integrais de Funções Trigonométricas 
 
[ ] Cudx
dx
du
u
dx
du
uu
dx
d +=⇒= ∫ sencoscossen 
[ ] Cudx
dx
du
u
dx
du
uu
dx
d +−=⇒−= ∫ cossensencos 
[ ] ∫ +=⇒= Ctgudxdx
du
u
dx
du
utgu
dx
d 22 secsec 
[ ] Cugdx
dx
du
u
dx
du
ugu
dx
d +−=⇒−= ∫ cotseccosseccoscot
22 
[ ] ∫ +=⇒= Cudxdx
du
tguu
dx
du
tguuu
dx
d
secsecsecsec 
[ ] ∫ +−=⇒−= Cudxdx
du
uu
dx
du
uguu
dx
d
seccoscotseccoscotseccosseccos 
Exemplo: 
I) Calcule a integral. 
 1) ∫ =xdxcos2 
 2) ∫ =dxsenxx
323 
 
 
 3) ∫ =dxxtgx 33sec 
 
 
 
 4) ∫ =dxee
xx 2sec 
 
 
 
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 II) Aplicação da Regra Geral da Potência. 
 ∫ dxxxsen 4cos4
2 
 
 
 
 
 
 III) Aplicação da Regra Log. 
 ∫ =dxx
senx
cos
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Outras Integrais Trigonométricas 
 ∫ +−= Cuduu coslntan 
 ∫ += Csenuduug lncot 
 ∫ ++= Cuuduu tanseclnsec 
 ∫ +−= Cuguduu cotseccoslnseccos 
 
Exemplos: 
 I) Calcule a Integral. 
 1) ∫ =xdxtg4 
 
 
 2) dx
x
xgx
∫
−
sen
sen3cot2 2
 
 
 
 
 3) ( )∫ ++ dxxgxtg 4cot 22 
 
 
 
 
 4) dxxx∫ − cos1sen 
 
 
 
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 10 
Exercícios - Lista 4 
 
I) Calcule a integral. 
1) ( )∫ =+ dxxx cos3sen2 2) ( )∫ =− dttt sen2 3) ( )∫ =− dttgt cotseccos1 
4) ( )∫ =+ θθθ d22 sec 5) ( )∫ =− θθθ dcosseccos 2 6) ( )∫ =− dyyyy 2sectansec 
7) ∫ =xdx2sen 8)∫ =xdx6cos 9) ∫ =dxxx
2cos 
10) ∫ =dxxx
2sen 11) ∫ =dx
x
2
sec2 12) ∫ =dx
x
2
seccos 2 
13) ∫ =xdx3tan 14) ∫ =xdxgx 2cot2seccos 15) ( ) ( ) =⋅∫ dxxx 23 sectan 
16) ∫ =xdxπcot 17) ∫ =xdx2seccos 18) ∫ =dxx
x
2tan
2sec2
 
19) ∫ =+
dx
x
x
cos1
sen
 20) ∫ =dxx
x
3
2
cot
seccos
 21) ∫ =dxee
xx sen