Avaliacao1_GAAL_1s2019

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Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Câmpus Ponta Grossa
EaD de Geometria Anaĺıtica e Álgebra Linear
Avaliação 1- 10/04/2019
Questões Pontos Escore
1 3
2 2
3 2
4 3
Total 10
Nome: RA:
Leia com atenção as questões. A prova contém 2 páginas.
Todas as respostas deverão ser justificadas, por definições
ou contas. A prova vale 10 pontos. BOA PROVA!
1. (3 Pontos) Assinale V para verdadeiro e F para falso.
( ) Seja A e B matrizes n× n, sempre é verdadeiro que (A + B)2 = A2 + 2AB + B2.
( ) Se A, B e C são matrizes n× n então (ABC)T = CTATBT .
( ) Se A e B são matrizes triangulares superiores n×n então AB é triangular superior.
( ) Se A é uma matriz triangular superior 3× 3 e B é uma matriz triangular inferior
3× 3, então tanto A+B como AB não serão matrizes triangulares superiores nem
inferiores.
( )
[
1 2
3 4
] [
5 6
7 8
]
=
[
1× 5 2× 6
3× 7 4× 8
]
=
[
5 12
21 28
]
2. (2 Pontos) Qual o valor de x para que a matriz abaixo possua inversa 1 2 3− x2 2 x2
1 1 x
 .
3. (2 Pontos) Determine se a afirmação é verdadeira V ou falsa F, justificando sua resposta:
( ) Se A e B forem matrizes n× n inverśıveis, então AB é inverśıvel e vale (AB)−1 =
A−1B−1.
( ) A matriz A =
[
a b
c d
]
é inverśıvel se, e somente se, ad− bc 6= 0.
( ) Se A é uma matriz não singular então A−1 é não singular e (A−1)−1 = A.
( ) Sejam A, B, C e X matrizes n×n inverśıveis então podemos afirmar que a solução
da equação AXB = CB é X = ACB.
4. (3 Pontos) Resolva os sistemas a seguir achando as matrizes aumentadas reduzidas à
forma escada e dando seus postos pa, os postos das matrizes dos coeficientes pc, o grau de
liberdade n− p e classifique os sistemas (posśıvel determinado, posśıvel indeterminando,
imposśıvel).
(a)
{
3x1 + x2 + x3 + x4 = 0
5x1 − x2 + x3 − x4 = 0
EN31D Avaliação 1 - Página 2 de 2 10/04/2019
(b)

2x1 − x2 + 3x3 + 4x4 = 9
x1 − 2x3 + 7x4 = 11
3x1 − 3x2 + x3 + 5x4 = 8
2x1 + x2 + 4x3 + 4x4 = 10
(c)

x1 + 2x2 + x3 = 1
2x1 + x2 + 2x3 = 2
x1 + 2x2 + x3 = 3