Slides Aula 01 - Capítulo 1_01 - 18_10_2021 (2)

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CÁLCULO III
CAPÍTULO 1: INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
REFERÊNCIA: LIVRO TEXTO BASE – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS VOL.1 (DENNIS G. ZILL)
INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Resolução de algum 
tipo de equação 
envolvendo derivadas
Conhecer algumas 
definições e 
terminologias
As equações 
diferenciais são o 
suporte matemático 
para muitas áres da 
ciência e engenharia
TERMINOLOGIA E DEFINIÇÕES BÁSICAS
Dada uma função:
Y = f(x)
Então:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓′ 𝑥
Por exemplo: 
𝑦 = 𝑒𝑥
2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2𝑥𝑒𝑥
2
ou 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2𝑥𝑦
O problema a ser resolvido aqui é encontrar uma função que satisfaça uma equação diferencial
TERMINOLOGIA E DEFINIÇÕES BÁSICAS
Equação diferencial (ED):
É uma equação que contém as derivadas ou diferenciais de uma ou mais variáveis dependentes, em
relação a uma ou mais variáveis independentes.
A Classificação das Eds:
• Quanto ao tipo;
• Quanto a ordem;
• Quanto a linearidade.
TERMINOLOGIA E DEFINIÇÕES BÁSICAS
Classificação pelo tipo
• Equação Diferencial Ordinária (EDO)
Envolve somente derivadas ordinárias de uma ou mais variáveis dependentes, com relação a uma
única variável independente.
Ex: 𝑑𝑦
𝑑𝑡
− 5𝑦 = 1
𝑦 − 𝑥 𝑑𝑥 + 4𝑥𝑑𝑦 = 0
𝑑𝑢
𝑑𝑥
−
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= 𝑥
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
− 2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 6𝑦 = 0
TERMINOLOGIA E DEFINIÇÕES BÁSICAS
Classificação pelo tipo
• Equação Diferencial Parcial (EDP)
Envolve as derivadas parciais de uma ou mais variáveis dependentes de duas ou mais variáveis
independentes.
Ex:
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= −
𝜕𝑣
𝜕𝑥
𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= 𝑢
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
=
𝜕2𝑢
𝜕𝑡2
− 2
𝜕𝑢
𝜕𝑡
TERMINOLOGIA E DEFINIÇÕES BÁSICAS
Classificação pela Ordem
A ordem da equação é dada pela ordem da derivada de maior ordem em uma equação diferencial.
Ex:
EDO de segunda ordem EDO de primeira ordem EDP de quarta ordem
Equação Diferencial Ordinária Geral de n-ésima ordem
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
+ 5
𝑑𝑦
𝑑𝑥
3
− 4𝑦 = 𝑒𝑥 𝑦 − 𝑥 𝑑𝑥 + 4𝑥𝑑𝑦 =0 𝑎
2
𝜕4𝑢
𝜕𝑥4
+
𝜕2𝑢
𝜕𝑡2
= 0
𝐹 𝑥, 𝑦,
𝑑𝑦
𝑑𝑥
, … ,
𝑑𝑛𝑦
𝑑𝑥𝑛
= 0
TERMINOLOGIA E DEFINIÇÕES BÁSICAS
Classificação pela Linearidade
Linear:
• A variável dependente e todas as suas derivadas são do
primeiro grau;
• Cada coeficiente depende apenas da variável
independente;
• Pode ser escrita na forma:
Ex:
Não Linear:
• Equação que não é linear.
Linear Linear
Não Linear
𝑎𝑛 𝑥
𝑑𝑛𝑦
𝑑𝑥𝑛
+ 𝑎𝑛−1 𝑥
𝑑𝑛−1𝑦
𝑑𝑥𝑛−1
+⋯+ 𝑎1 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑎0 𝑥 𝑦 = 𝑔(𝑥)
𝑥3
𝑑3𝑦
𝑑𝑥3
− 𝑥2
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
+ 3𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 5𝑦 = 𝑒𝑥 𝑑3𝑦
𝑑𝑥3
+ 𝑦2 = 0𝑦
′′ − 2𝑦′ + 𝑦 = 0
𝑦𝑦′′ − 2𝑦′ = 𝑥𝑥𝑑𝑦 + 𝑦𝑑𝑥 = 0
TERMINOLOGIA E DEFINIÇÕES BÁSICAS
Solução para uma Equação Diferencial
Qualquer função f definida em algum intervalo I, que, quando substituída na equação diferencial, reduz a equação
a uma identidade, é chamada de solução para a equação no intervalo, ou seja:
Uma solução para a equação:
É uma função f que possui pelo menos n derivadas e satisfaz a equação:
Para todo x no intervalo I.
Obs: Uma solução para uma equação diferencial é qualquer função suficientemente diferenciável que satisfaça a
equação em algum intervalo.
𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦′, … , 𝑦 𝑛 = 0
𝐹 𝑥, 𝑓(𝑥), 𝑓′(𝑥), … , 𝑓 𝑛 (𝑥) = 0
Exemplo
TERMINOLOGIA E DEFINIÇÕES BÁSICAS
SoluçãoTrivial
Solução para uma equação diferencial que é identicamente nula em um intervalo I.
Solução Explícita
Solução para uma equação diferencial ordinária que pode ser escrita na forma 𝑦 = 𝑓 𝑥 .
Solução Implícita
A relação 𝐺 𝑥, 𝑦 = 0 é uma solução implícita de uma equação diferencial ordinária em um intervalo
I, se ela define uma ou mais soluções explícitas em I.
Número de soluções
Uma dada equação diferencial geralmente possui um número infinito de soluções.
Exemplo
Exemplo
Exemplo