ANÁLISE COMPARATIVA DE ESFORÇOS E DESLOCAMENTOS EM LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO ATRAVÉS DOS MÉTODOS DE ANALOGIA DE GRELHA E TABELAS

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA 
CENTRO DE TECNOLOGIA 
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ane Priscila Diel 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANÁLISE COMPARATIVA DE ESFORÇOS E DESLOCAMENTOS EM 
LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO ATRAVÉS DOS 
MÉTODOS DE ANALOGIA DE GRELHA E TABELAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Santa Maria, RS 
2018 
Ane Priscila Diel 
 
 
 
 
 
 
 
ANÁLISE COMPARATIVA DE ESFORÇOS E DESLOCAMENTOS EM LAJES 
MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO ATRAVÉS DOS MÉTODOS DE ANALOGIA 
DE GRELHA E TABELAS 
 
 
 
 
 
 
 
Trabalho de Conclusão de Curso 
apresentado ao Curso de Engenharia Civil, 
da Universidade Federal de Santa Maria 
(UFSM – RS), como requisito parcial para 
obtenção do título de Engenheira Civil. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Orientador: Prof.º Dr.º Almir Barros da Silva Santos Neto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Santa Maria, RS 
2018 
Ane Priscila Diel 
 
 
 
 
ANÁLISE COMPARATIVA DE ESFORÇOS E DESLOCAMENTOS EM LAJES 
MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO ATRAVÉS DOS MÉTODOS DE ANALOGIA 
DE GRELHA E TABELAS 
 
 
 
 
 
Trabalho de Conclusão de Curso 
apresentado ao Curso de Engenharia Civil, 
da Universidade Federal de Santa Maria 
(UFSM – RS), como requisito parcial para 
obtenção do título de Engenheira Civil. 
 
 
 
Aprovado em 12 de Julho de 2018: 
 
 
 
__________________________________________________ 
Almir Barros da Silva Santos Neto, Prof. Dr. (UFSM) 
(Presidente/Orientador) 
 
 
 
__________________________________________________ 
André Lübeck, Prof. Dr. (UFSM) 
 
 
 
__________________________________________________ 
Larissa Degliuomini Kirchhof, Prof. Dra. (UFSM) 
 
 
 
 
 
Santa Maria, RS 
2018 
AGRADECIMENTOS 
 
Aos meus pais, Sandra e Adilson, pelo incondicional apoio durante toda a 
graduação. Respeitando e entendendo minhas decisões durante esse período, 
sempre me incentivando a buscar a realização dos meus sonhos e sendo sempre 
minhas grandes inspirações e exemplos de vida. A vocês, meu muito obrigada! 
Aos meus irmãos, Sara, Lauren, Igor, Gabriel e Andressa, e demais familiares 
por todo apoio e momentos especiais compartilhados. 
Aos meus colegas e amigos do curso, por todo companheirismo durante essa 
caminhada, compartilhando além das preocupações da faculdade uma forte amizade. 
Em especial à Carine, Ticiana, Larissa, Paola, Thaís, Criziéli, Caroline, Manoela, 
Henrique e Fernanda, com certeza a companhia de vocês foi fundamentl durante essa 
trajetória. 
Às minhas amigas de infância e do coração, Ana, Stephanie, Gabriela, Júlia, 
Bianca, Marina, Juliane e Camila, por toda parceria de sempre. Obrigada pela 
amizade, apoio, carinho e pelos momentos de descontração. Ao meu namorado Bruno 
pela parceria, carinho e pela paciência durante os momentos de angústia e estresse 
desse final de graduação. 
A todos os professores que contribuíram para minha formação acadêmica, em 
especial ao orientador Almir Barros da Silva Santos Neto, por todos os conhecimentos 
compartilhados, pela paciência e ajuda durante a realização desse trabalho. 
Aos colegas da Sarkis Engenharia Estrutural Luciana, Thiago, Mateus, Paulo, 
Cássio, por todos ensinamentos compartilhados e por estarem sempre dispostos a 
me ajudar. 
Enfim, a todos que de alguma maneira participaram da realização desse 
trabalho e para minha formação. 
 
 
 
 
RESUMO 
 
ANÁLISE COMPARATIVA DE ESFORÇOS E DESLOCAMENTOS EM LAJES 
MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO ATRAVÉS DOS MÉTODOS DE ANALOGIA 
DE GRELHA E TABELAS 
 
 
AUTORA: Ane Priscila Diel 
ORIENTADOR: Almir Barros da Silva Santos Neto 
 
 
O presente trabalho visa analisar e comparar os esforços e deslocamentos em lajes 
maciças de concreto armado por meio de tabelas e do método da analogia de grelha. 
Foi analisada a planta do pavimento de um edifício e determinados os momentos 
fletores e flechas máximos utilizando as tabelas propostas por Bares, Czerny, Araújo, 
Montoya e Marcus, além de realizada a modelagem do pavimento no software SAP 
2000. A modelagem foi feita para dois diferentes casos: o primeiro considerando 
apoios indeformáveis, a fim de simular as condições estabelecidas pelas tabelas, e o 
segundo com apoios deformáveis, com o intuito de verificar uma situação mais 
próxima da realidade. Através da análise dos resultados percebeu-se que, tanto para 
os momentos quanto para os deslocamentos, não houve grandes variações nos 
valores obtidos entre as tabelas. No entanto, quando comparadas com os modelos 
baseados na analogia de grelha, a divergência dos resultados mostrou-se mais 
considerável. De maneira geral, os momentos positivos obtidos considerando apoios 
indeformáveis foram inferiores aos obtidos através das tabelas, enquanto que o 
modelo com apoios deformáveis apresentou valores superiores na direção do maior 
vão. Para os momentos negativos, ambas as modelagens apresentaram valores 
inferiores que os encontrados a partir da utilização das tabelas. Já a análise dos 
deslocamentos mostrou que considerando apoios deformáveis obtém-se valores 
consideravelmente superiores aos indeformáveis. Dessa forma, os resultados 
mostraram que, apesar de viável a utilização das tabelas para casos isolados, é 
importante a utilização de métodos que considerem a interação dos diferentes 
elementos de um pavimento para melhor determinação dos esforços e flechas. 
 
 
Palavras-chave: Lajes. Momentos fletores. Flechas. Tabelas. Analogia de grelha. 
 
ABSTRACT 
 
COMPARATIVE ANALYSIS OF EFFORTS AND DISPLACEMENTS IN 
REINFORCED CONCRETE SLABS BY GRILLAGE ANALOGY AND TABLES 
 
 
AUTHOR: Ane Priscila Diel 
ADVISER: Almir Barros da Silva Santos Neto 
 
 
The present work aims to analyze and compare the efforts and displacements in 
reinforced concrete slabs using tables and grillage analogy method. A building floor 
was analyzed and determined the maximum bending moments and deflections using 
the tables compiled by Bares, Czerny, Araújo, Montoya and Marcus, in addition to the 
pavement modelling in SAP 2000 software. The modelling was done for two different 
cases: the first considering indeformable supports, in order to simulate the conditions 
stablished by the tables, and the second one with deformable supports, to verify a 
situation closer to reality. Through the analysis of the results it was noticed that both 
for the moments and the displacements, there were not great variations in the values 
obtained by the tables. However, when compared to the modellings based on grillage 
analogy the results showed a more considerable divergence. In general, the positive 
moments obtained by the indeformable supports modelling were lower than the ones 
by the tables, while the deformable supports modelling presented higher values for the 
long direction. For the negative moments, both modellings presented lower results than 
the ones from the tables. The displacements analysis showed that considering 
deformable supports the results are considerably superior to the indeformable ones. 
Therefore, the results showed that although the using of the tables is viable, it is 
important to use methods that considerate the complete interaction of the different 
elements in the pavement in order to obtain better results to efforts and displacements 
in slabs. 
 
 
Keywords: Slabs. Bending moments. Displacements. Tables. Grillage analogy. 
 
 
 
LISTA DE FIGURAS 
 
Figura 1 - Elemento linear ......................................................................................... 16 
Figura 2 - Elemento de superfície ............................................................................. 16 
Figura 3 - Elemento tridimensional ............................................................................ 17 
Figura 4 - Laje armada em uma direção ................................................................... 20 
Figura 5 - Laje armada em duas direções ................................................................. 20 
Figura 6 - Convenção da representação
das condições de apoio das lajes ............. 21 
Figura 7 - Lajes adjacentes com espessuras diferentes ........................................... 23 
Figura 8 - Lajes adjacentes com descontinuidade no apoio comum ......................... 23 
Figura 9 - Lajes adjacentes com momentos negativos diferentes ............................. 24 
Figura 10 - Classe de agressividade ambiental (Tabela 6.1 da NBR 6118:2014) ...... 26 
Figura 11 - Cobrimento nominal relacionado a classe de agressividade ambiental 
(Tabela 7.2 da NBR 6118:2014) ................................................................................ 27 
Figura 12 - Altura útil para lajes maciças ................................................................... 27 
Figura 13 - Lajes armadas em uma direção .............................................................. 30 
Figura 14 – a) Elemento de placa; b) Deformada da placa; c) Equilíbrio dos esforços 
internos. .................................................................................................................... 34 
Figura 15 - Aproximação de função para malha unidimensional ............................... 38 
Figura 16 - Malha de diferenças finitas - caso bidimensional .................................... 39 
Figura 17 - Ponto (m,n) malha de diferenças finitas .................................................. 40 
Figura 18 - Laje simplesmente apoiada .................................................................... 41 
Figura 19 - Possibilidades de vinculação das lajes ................................................... 45 
Figura 20 - Malha de grelha equivalente ................................................................... 47 
Figura 21 - Pavimento modelo .................................................................................. 52 
Figura 22 - Vinculação das lajes ............................................................................... 54 
Figura 23 - Deformada do pavimento – Apoios indeformáveis .................................. 56 
Figura 24 - Deformada do pavimento – Apoios deformáveis .................................... 56 
 
 
LISTA DE GRÁFICOS 
 
Gráfico 1 - Momentos positivos L1 ............................................................................ 57 
Gráfico 2 - Momentos positivos L2 ............................................................................ 57 
Gráfico 3 - Momentos positivos L3 ............................................................................ 58 
Gráfico 4 - Momentos positivos L4 ............................................................................ 58 
Gráfico 5 - Momentos positivos L5 ............................................................................ 58 
Gráfico 6 - Momentos positivos L6 ............................................................................ 59 
Gráfico 7 - Momentos positivos L7 ............................................................................ 59 
Gráfico 8 - Momentos positivos L10 .......................................................................... 59 
Gráfico 9 - Momentos positivos L11 .......................................................................... 60 
Gráfico 10 - Momentos positivos L12 ........................................................................ 60 
Gráfico 11 - Momentos positivos L13 ........................................................................ 60 
Gráfico 12 - Momentos negativos L1 ......................................................................... 62 
Gráfico 13 - Momentos negativos L2 ......................................................................... 62 
Gráfico 14 - Momentos negativos L3 ......................................................................... 62 
Gráfico 15 - Momentos negativos L4 ......................................................................... 63 
Gráfico 16 - Momentos negativos L5 ......................................................................... 63 
Gráfico 17 - Momentos negativos L6 ......................................................................... 63 
Gráfico 18 - Momentos negativos L7 ......................................................................... 64 
Gráfico 19 - Momentos negativos L10 ....................................................................... 64 
Gráfico 20 - Momentos negativos L11 ....................................................................... 64 
Gráfico 21 - Momentos negativos L12 ....................................................................... 65 
Gráfico 22 - Momentos negativos L13 ....................................................................... 65 
Gráfico 23 - Flechas L1 ............................................................................................. 66 
Gráfico 24 - Flechas L2 ............................................................................................. 66 
Gráfico 25 - Flechas L3 ............................................................................................. 67 
Gráfico 26 - Flechas L4 ............................................................................................. 67 
Gráfico 27 - Flechas L5 ............................................................................................. 67 
Gráfico 28 - Flechas L6 ............................................................................................. 68 
Gráfico 29 - Flechas L7 ............................................................................................. 68 
Gráfico 30 - Flechas L10 ........................................................................................... 68 
Gráfico 31 - Flechas L11 ........................................................................................... 69 
Gráfico 32 - Flechas L12 ........................................................................................... 69 
Gráfico 33 - Flechas L13 ........................................................................................... 69 
 
 
LISTA DE QUADROS 
 
Quadro 1 - Classificação das lajes do pavimento. ..................................................... 52 
Quadro 2 – Carregamentos ....................................................................................... 53 
 
 
SUMÁRIO 
 
1. INTRODUÇÃO ............................................................................................. 12 
1.1. CONSIDERAÇÕES INICIAIS ....................................................................... 12 
1.2. JUSTIFICATIVA ............................................................................................ 13 
1.3. OBJETIVOS ................................................................................................. 14 
1.3.1. Objetivo geral ............................................................................................. 14 
1.3.2. Objetivos específicos ................................................................................ 14 
2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ........................................................................ 15 
2.1. ELEMENTOS ESTRUTURAIS ..................................................................... 15 
2.1.1. Elementos Lineares ................................................................................... 15 
2.1.2. Elementos de Superfície ............................................................................ 16 
2.1.3. Elementos de volume ................................................................................ 17 
2.2. LAJES .......................................................................................................... 17 
2.2.1. Tipos de lajes quanto à natureza .............................................................. 18 
2.2.2. Classificação quanto ao tipo de apoio ..................................................... 19 
2.2.3. Classificação quanto à armação ............................................................... 19 
2.2.4. Vinculação nas bordas ..............................................................................
21 
2.2.4.1. Bordos simplesmente apoiados .................................................................... 22 
2.2.4.2. Bordos perfeitamente engastados ................................................................ 22 
2.2.5. Vãos efetivos .............................................................................................. 24 
2.2.6. Espessura ................................................................................................... 25 
2.2.7. Cobrimento e altura útil ............................................................................. 25 
2.2.8. Estudo das cargas ..................................................................................... 28 
2.2.8.1. Cargas permanentes .................................................................................... 28 
2.2.8.2. Cargas acidentais ......................................................................................... 29 
2.2.8.3. Cargas excepcionais .................................................................................... 29 
2.3. MÉTODOS DE DIMENSIONAMENTO DE LAJES ....................................... 29 
2.3.1. Método plástico .......................................................................................... 30 
2.3.2. Método elástico .......................................................................................... 31 
2.4. TEORIA DE FLEXÃO DAS PLACAS............................................................ 32 
2.4.1. Equação fundamental ................................................................................ 32 
2.4.2. Condições de contorno ............................................................................. 35 
2.4.3. Restrições da teoria ................................................................................... 35 
2.5. MÉTODOS ELÁSTICOS DE CÁLCULO DE LAJES .................................... 36 
2.5.1. Resolução por meio de séries .................................................................. 36 
2.5.2. Método das diferenças finitas ................................................................... 38 
2.5.3. Teoria das grelhas e método de Marcus .................................................. 41 
2.5.3.1. Tabelas de Marcus ........................................................................................ 43 
2.5.4. Método dos elementos finitos ................................................................... 43 
2.5.5. Utilização de tabelas .................................................................................. 44 
2.5.5.1. Tabelas de Bares .......................................................................................... 46 
2.5.5.2. Tabelas de Araújo ......................................................................................... 46 
2.5.5.3. Tabelas de Czerny ........................................................................................ 46 
2.5.5.4. Tabelas de Montoya ...................................................................................... 46 
2.5.6. Analogia de grelha ..................................................................................... 47 
2.5.6.1. Rigidez à flexão ............................................................................................ 48 
2.5.6.2. Rigidez à torção ............................................................................................ 49 
2.5.6.3. Disposição da malha adotada ...................................................................... 50 
3. METODOLOGIA ........................................................................................... 51 
3.1. CARACTERÍSTICAS DA ESTRUTURA ....................................................... 51 
3.2. PARÂMETROS ADOTADOS ........................................................................ 53 
3.3. CARREGAMENTOS .................................................................................... 53 
3.4. UTILIZAÇÃO DAS TABELAS ....................................................................... 54 
3.5. MODELAGEM DO PAVIMENTO .................................................................. 55 
4. ANÁLISE DOS RESULTADOS .................................................................... 56 
4.1. MOMENTOS POSITIVOS ............................................................................ 57 
4.2. MOMENTOS NEGATIVOS ........................................................................... 61 
4.3. FLECHAS ..................................................................................................... 66 
5. CONCLUSÃO............................................................................................... 71 
REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 73 
ANEXO A – TABELAS DE MARCUS ....................................................................... 75 
ANEXO B – TABELAS DE BARES .......................................................................... 77 
ANEXO C – TABELAS DE ARAÚJO ....................................................................... 82 
ANEXO D – TABELAS DE CZERNY ........................................................................ 86 
ANEXO E – TABELAS DE MONTOYA ..................................................................... 90 
 
 
 
12 
1. INTRODUÇÃO 
1.1. CONSIDERAÇÕES INICIAIS 
 
Um dos maiores desafios no dimensionamento de um edifício é a elaboração 
de um projeto eficiente, seguro e econômico. Para isso, é necessário que o 
profissional possua um bom entendimento do comportamento da estrutura e da 
interação entre os elementos estruturais que a compõem. Dentre esses elementos 
principais, a análise das lajes é de fundamental importância para a obtenção de um 
bom projeto, visto que essas são responsáveis pela distribuição primária das cargas 
de utilização atuantes no pavimento e apresentam alto consumo de concreto, 
impactando de forma significativa no custo da edificação. 
A teoria fundamental desenvolvida para a análise das lajes, conhecida como 
teoria das placas, baseia-se em princípios da teoria da elasticidade e possibilita 
determinar os esforços e deslocamentos em pontos no interior da laje através de uma 
equação fundamental. No entanto, o cálculo por esse método torna-se mais 
trabalhoso de realizar para execução de um projeto devido a sua complexidade e ao 
grande tempo demandado para sua resolução. Com o intuito de facilitar o 
dimensionamento e tornar viável essa análise, foram desenvolvidos métodos 
aproximados de cálculo que permitem a obtenção dos momentos fletores, reações de 
apoio e flechas de forma mais objetiva e simplificada (ARAÚJO, 2014). 
Embora permitam o cálculo de forma mais direta, esses métodos apresentam 
diferentes limitações na sua aplicação. Uma vez que a análise das lajes é feita de 
forma isolada, são restritas as opções de consideração das vinculações dessas com 
os elementos adjacentes. Com isso, é ignorada a influência da flexibilidade dos 
apoios, ocasionando na obtenção de esforços e deslocamentos que não coincidem 
com os reais da estrutura (CARVALHO; FIGUEIREDO FILHO, 2015). 
Contando com a evolução de recursos tecnológicos, foram desenvolvidos 
algoritmos computacionais que possibilitam uma análise mais completa da estrutura 
e das interações entre os elementos, possibilitando o melhor entendimento do real 
comportamento estrutural e a otimização do processo de cálculo. Esses programas, 
geralmente, baseiam-se sua análise no método dos elementos finitos e na analogia 
de grelha. 
13 
Os programas de análise estrutural desenvolvidos permitem, além da análise 
integral do pavimento, maior rapidez no dimensionamento. Também proporcionam 
melhor tomada de decisões em relação a composição estrutural de uma edificação, 
uma vez que é possível a verificação de diferentes situações de projeto em um mesmo 
conjunto de dados com pequenas alterações. Com isso, o projetista é capaz de decidir 
a melhor configuração
do sistema estrutural da edificação em questão, conforme 
especificações arquitetônicas, questões de segurança e economia (CARVALHO; 
FIGUEIREDO FILHO, 2015). 
Embora já estejam disponíveis esses recursos computacionais, os métodos 
simplificados de dimensionamento das lajes permitem, de maneira geral, a obtenção 
de uma estrutura segura e satisfatória (WHITE; GERGELY; SEXSMITH, 1972). Dessa 
forma, esses métodos ainda são utilizados como recursos didáticos em escolas de 
engenharia. Além disso, a sua resolução permite que o profissional obtenha uma 
melhor compreensão do comportamento das placas, possibilitando que sejam 
detectados possíveis erros gerados no modelo do programa utilizado. 
Dessa forma, torna-se válido o estudo comparativo dos valores de esforços, e 
deslocamentos obtidos por esses diferentes métodos de cálculo. Podendo assim, 
analisar e compreender as possíveis diferenças geradas em cada método disponível, 
visando a possibilidade de execução de projetos com melhor desempenho e que 
correspondam com a realidade do comportamento da estrutura projetada. 
Com esse intuito, o presente trabalho visa estabelecer os valores de reações 
de apoio, momentos fletores e flechas através de diferentes métodos aproximados no 
dimensionamento de um pavimento com lajes maciças de concreto armado. Serão 
utilizadas diferentes tabelas baseadas na teoria fundamental das placas em regime 
elástico bem como o cálculo por analogia de grelha, que será realizado com o auxílio 
do software SAP2000. Além disso, será feita a análise e comparação dos resultados 
obtidos a partir das diferentes metodologias de cálculo. 
 
1.2. JUSTIFICATIVA 
 
Visto que as lajes são elementos fundamentais numa estrutura, além de 
apresentarem alto consumo de concreto, é necessário a obtenção dos esforços da 
melhor maneira possível para elaboração de um projeto seguro e econômico. Com os 
14 
diferentes recursos e métodos aproximados disponíveis atualmente para o 
dimensionamento de lajes maciças de concreto armado, torna-se fundamental a 
análise e comparação dos resultados obtidos quando aplicados diferentes métodos 
de dimensionamento, justificando a escolha do tema. 
 
1.3. OBJETIVOS 
 
1.3.1. Objetivo geral 
 
Este trabalho tem como objetivo geral determinar e comparar os esforços e 
deslocamentos verticais obtidos nas lajes do pavimento de um edifício através da 
utilização de diferentes tabelas de cálculo e por analogia de grelha. 
 
1.3.2. Objetivos específicos 
 
a) Determinar os momentos fletores e flechas das lajes maciças de concreto armado 
de um pavimento com a utilização das tabelas propostas por Marcus, Bares, 
Czerny, Araújo e Montoya; 
b) modelar o pavimento de um edifício com base no método da analogia de grelha e 
determinar os momentos fletores e flechas das lajes; 
c) analisar e comparar os resultados obtidos por cada método. 
 
 
15 
2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 
2.1. ELEMENTOS ESTRUTURAIS 
 
Uma edificação é composta por um sistema estrutural, que corresponde a 
determinada disposição dos elementos estruturais que a compõem. Essa disposição 
deve ser definida pelo projetista de forma a atender os requisitos de projeto 
arquitetônico. Os elementos estruturais têm a função de receber e transmitir as 
solicitações da estrutura. 
A classificação dos elementos estruturais básicos é feita baseada em sua 
geometria e função estrutural, de acordo com a ABNT NBR 6118:2014. Tendo em 
vista essas características, podem ser classificados como elementos lineares, 
elementos de superfície ou elementos de volume. 
 
2.1.1. Elementos Lineares 
 
Os elementos lineares, também chamados de barras, são aqueles que 
apresentam comprimento linear pelo menos três vezes maior que a maior dimensão 
da seção transversal (Figura 1) (BASTOS, 2015). 
 As vigas e os pilares são os exemplos mais utilizados desse tipo de elemento. 
As vigas são barras posicionadas horizontalmente ou inclinadas em que o principal 
esforço solicitante é a flexão, podendo ser executadas de diferentes materiais, como 
concreto, madeira ou metálicas e com diferentes seções. Já os pilares são elementos 
dispostos na vertical nos quais o esforço principal atuante são forças normais de 
compressão. Assim como as vigas, podem ser projetados com diferentes seções e 
diferentes materiais, dependendo das determinações do projeto arquitetônico e de 
questões de economia de material (NBR 6118:2014; BASTOS, 2015). 
 Outros exemplos de elementos lineares são os tirantes e os arcos. Os tirantes 
atuam principalmente sob forças normais de tração, enquanto os arcos são elementos 
curvos que apresentam forças normais de compressão preponderantes, “agindo ou 
não simultaneamente com esforços solicitantes de flexão, cujas ações estão contidas 
em seu plano” (NBR 6118:2014, p. 84). 
 
 
16 
Figura 1 - Elemento linear 
 
Fonte: Bastos, 2015. 
 
2.1.2. Elementos de Superfície 
 
A NBR 6118:2014, item 14.4.2, define os elementos de superfície como aqueles 
onde a espessura é pequena comparada às duas outras dimensões (comprimento e 
largura), também podendo ser chamados de elementos bidimensionais. 
Os elementos de superfície, quando planos, são chamados de placas ou 
chapas, e quando curvos são nomeados de cascas. As placas e as chapas se diferem 
pelo sentido do carregamento atuante. Nas placas, o carregamento é disposto 
perpendicularmente ao seu plano (Figura 2), sendo a laje exemplo mais frequente 
presente nas edificações. Por outro lado, nas chapas, as ações encontram-se contidas 
no plano, ou seja, atuando paralelamente ao plano. Estas são bastante utilizadas em 
paredes de reservatórios e em paredes de arrimo. Um caso especial de chapas são 
as vigas-parede, que recebem essa denominação quando apresentam vão menor que 
três vezes a maior dimensão da seção transversal (BASTOS, 2006). 
 
Figura 2 - Elemento de superfície 
 
Fonte: Bastos, 2015. 
 
17 
2.1.3. Elementos de volume 
 
Bastos (2015) apresenta, além dos elementos lineares e bidimensionais, a 
classificação em elementos tridimensionais, ou elementos de bloco ou volume. Nesse 
caso, as três dimensões possuem a mesma ordem de grandeza (Figura 3). Os 
elementos mais frequentes nas edificações são blocos de fundações e sapatas. 
 
Figura 3 - Elemento tridimensional 
 
Fonte: Bastos, 2015. 
 
2.2. LAJES 
 
Assim como os pilares e as vigas, as lajes são componentes básicos das estruturas 
convencionais, sendo também chamadas de placas de concreto, como visto 
anteriormente. As lajes desempenham função principal de receber e transmitir as 
cargas de utilização para as vigas de apoio, estas transmitem as cargas para os 
pilares que, por fim, transmitem para a fundação. Elas também atuam distribuindo as 
ações horizontais nos elementos de contraventamento e, no caso de vigas T, 
funcionando como mesa de compressão da seção (SOUZA; CUNHA, 1998). 
Segundo Araújo (2014), as lajes apresentam carregamento predominantemente 
transversal e são elementos planos bidimensionais possuindo a espessura h 
relativamente inferior à largura e ao comprimento. 
As lajes podem ser classificadas com base em diferentes critérios, conforme Souza 
e Cunha (1998), de forma que um pavimento de edifício pode apresentar diferentes 
tipos de laje, dependendo das considerações e escolha do projetista, como a mais 
adequada para a situação. Dentre os critérios de classificação, encontram-se a forma 
da estrutura, podendo esta ser poligonal ou elíptica e a natureza da laje, podendo 
18 
variar, assim, entre laje maciça, nervurada, lisa ou laje-cogumelo, como previsto na 
NBR 6118:2014. 
Também podem ser classificadas quanto ao tipo de armação. Essa classificação 
depende da relação entre o menor e o maior vão da laje, podendo ser armada em 
uma ou em duas direções. Por fim, as lajes são classificadas com base nas estruturas 
em que elas se encontram apoiadas, podendo ser com apoio contínuo
(sobre vigas, 
paredes de alvenaria) ou com apoio discreto (diretamente sobre pilares). 
 
2.2.1. Tipos de lajes quanto à natureza 
 
Quando analisadas quanto à natureza, as lajes podem ser classificadas como 
laje maciça, nervurada, lisa ou laje-cogumelo, conforme previsto na NBR 6118:2014. 
A escolha da laje mais adequada a ser utilizada em uma determinada edificação é de 
responsabilidade do projetista. Este deve garantir que a estrutura atenda ao projeto 
arquitetônico, bem como a questões de segurança (ELU), conforto ao usuário (ELS) 
e economia, podendo a decisão variar de acordo com a experiência do profissional 
(SOUZA; CUNHA, 1998). 
As lajes maciças são as mais utilizadas nas edificações que apresentam vãos 
relativamente pequenos. Estas caracterizam-se por apresentar espessura uniforme e 
existência de apoios ao longo do seu contorno (ARAÚJO, 2014). 
As lajes nervuradas são compostas por uma mesa de concreto, localizada na 
região comprimida, e nervuras na região tracionada. As nervuras devem obedecer ao 
espaçamento recomendado pela NBR 6118:2014 e nelas são posicionadas as 
armaduras de tração. Esse tipo de laje possibilita a redução do peso próprio da 
estrutura quando comparadas com lajes maciças, uma vez que ocorre a retirada de 
material da região tracionada. Por questões estéticas pode-se preencher o espaço 
entre as nervuras com material inerte de baixo peso especifico ou ser feito 
revestimento com forro. Esse tipo de laje é normalmente utilizado na existência de 
grandes vãos, em geral superiores a oito metros. 
Souza e Cunha (1998) apresentam dois outros tipos de lajes que, conforme 
apresentado pelos autores, podem ser considerados casos especiais de lajes 
nervuradas: as lajes em grelha e as lajes duplas. As lajes em grelha possuem 
espaçamento entre as nervuras superior a um metro, sendo utilizadas em prédios 
19 
comerciais, como edifícios garagem, ou industriais. Já as lajes duplas são 
caracterizadas pelo posicionamento das nervuras dar-se entre dois painéis de laje. 
Por fim, quando as lajes se encontram apoiadas diretamente sobre pilares 
podem ser classificadas como lajes lisas ou lajes-cogumelo. Essas diferem entre si 
pela existência ou não de alargamento de seção na proximidade da ligação entre a 
laje e o pilar. Esse engrossamento é chamado de capitel, e encontra-se presente nas 
lajes-cogumelo, enquanto nas lajes lisas, o apoio dá-se diretamente sobre o pilar sem 
o alargamento na seção. (HENNRICHS, 2003) 
 
2.2.2. Classificação quanto ao tipo de apoio 
 
As lajes podem apresentar dois principais tipos de apoio: contínuo e discreto. 
Apoios contínuos ocorrem quando essas possuem vigas, alvenaria ou paredes de 
concreto no seu contorno, enquanto apoio discreto ocorre quando estão apoiadas 
diretamente sobre pilares. Se apoiadas sobre vigas, estas podem ser de concreto 
armado, protendido, de madeira ou metálicas. Quando uma lateral da laje não está 
sobre nenhum tipo de apoio, essa extremidade é chamada de bordo livre. 
Um caso especial de apoio de lajes são aquelas em que o apoio é 
“proporcionado por determinado trecho de sua área, que esteja em contato com o 
solo” (SOUZA; CUNHA, 1998, p.23). Esse caso é utilizado em radiers, pistas de 
aeroportos e de rodovias. 
 
2.2.3. Classificação quanto à armação 
 
Embora possam apresentar diferentes formas geométricas, as lajes 
retangulares são mais frequentemente utilizadas nas edificações. Dentro desse tipo, 
pode-se facilmente classificar as lajes quanto ao tipo de armação. Segundo Bastos 
(2015, p.1), “uma classificação muito importante das lajes maciças é aquela referente 
à direção ou direções da armadura principal. Existem dois casos: laje armada em uma 
direção ou laje armada em duas direções”. 
As lajes armadas em uma só direção apresentam uma das dimensões maior 
que o dobro da outra, ou seja, a relação entre vãos é superior a 2, conforme mostrado 
na Figura 4. Nesse tipo, a menor direção, também chamada de direção principal, é 
responsável por suportar a maioria do carregamento, apresentando esforços 
20 
solicitantes importantes apenas na direção do vão menor. Seu dimensionamento é 
feito supondo-se uma viga com largura de 1m na direção principal da laje (BOTELHO; 
MARCHETTI, 2010). 
Entretanto, embora sejam denominadas como armadas em uma só direção, 
também apresentam armadura na direção secundária (maior vão). Em virtude de os 
esforços solicitantes nessa direção serem desprezados no cálculo, adota-se armadura 
de distribuição de acordo com as orientações previstas na NBR 6118:2014. 
 
Figura 4 - Laje armada em uma direção 
 
Fonte: Autora, 2018 (baseado em Araújo, 2014). 
 
As lajes armadas em duas direções, ou armadas em cruz, apresentam relação 
entre vãos menor ou igual a 2 (Figura 5). Por apresentarem solicitações importantes 
nas duas direções, o dimensionamento de armadura é feito para os momentos 
positivos do meio do vão em ambas as direções (SOUZA; CUNHA, 1998). O cálculo 
dos esforços solicitantes e das flechas desse tipo de laje pode ser feito com o auxílio 
de tabelas, como as propostas por Czerny e Bares (BOTELHO; MARCHETTI, 2010). 
 
Figura 5 - Laje armada em duas direções 
 
Fonte: Autora, 2018 (baseado em Araújo, 2014). 
21 
2.2.4. Vinculação nas bordas 
 
Quando analisado o comportamento de uma estrutura de edificação de 
concreto verifica-se que esta possui comportamento monolítico, ou seja, trata-se de 
uma estrutura única e contínua. Entretanto, devido à complexidade de cálculo, para 
realizar a análise da estrutura com essas condições, é necessário dispor de recursos 
computacionais adequados (ARAÚJO, 2014). 
Embora atualmente encontrem-se disponíveis esses recursos, determinadas 
situações exigem a utilização de procedimentos tradicionais de cálculo, nos quais os 
elementos de laje de um pavimento são analisados de forma isolada. Nessa situação, 
torna-se necessário a utilização de simplificações para determinar a vinculação dos 
elementos de placa com os elementos adjacentes. Dessa forma, os bordos das lajes 
de um pavimento podem ser considerados como perfeitamente engastados, 
simplesmente apoiados ou como bordo livre (ARAÚJO, 2014). São adotadas as 
representações da Figura 6 para representar as condições de apoio das lajes. 
 
Figura 6 - Convenção da representação das condições de apoio das lajes 
 
Fonte: Bastos, 2015. 
 
Essas simplificações causam divergências entre os valores calculados dos 
esforços e os valores reais, uma vez que a probabilidade de ocorrência das condições 
consideradas é baixa. Souza e Cunha (1998) ressaltam a importância da análise do 
grau desse erro, a qual deve ser feita pelo projetista de modo que não sejam 
comprometidas a segurança e economia da edificação. Segundo os autores, quando 
considerados bordos externos como simplesmente apoiados, o erro cometido é da 
ordem de 10%, enquanto na consideração de bordos internos como engastamento 
perfeito esse erro é de 5%. 
Quando analisados bordos livres, não há ocorrência de erro quando feita a 
simplificação. Isso ocorre devido ao fato de que, não havendo ligação com estruturas 
22 
adjacentes, não há ocorrência de esforços (momentos fletores, torçores e esforços 
cortantes) naquele bordo. Consequentemente, o que é adotado na simplificação está 
de acordo com o que acontece na realidade. Dessa forma, como os erros não 
ultrapassam a ordem de 10%, é viável a utilização das aproximações na vinculação 
das lajes sem que haja comprometimento da eficiência da estrutura (SOUZA E 
CUNHA, 1998). 
 
2.2.4.1. Bordos simplesmente apoiados 
 
São considerados bordos com apoio simples aqueles que não possuem laje 
adjacente. Nesse caso, é desprezado o engastamento existente entre a viga e a laje. 
Com isso, admite-se que a viga não impede a deformação da laje, considerando o 
bordo com rotação livre (BOTELHO, MARCHETTI, 2010). 
 
2.2.4.2. Bordos perfeitamente engastados
O engaste perfeito é adotado quando ocorre a existência de continuidade com 
lajes vizinhas ou no caso de lajes em balanço, frequentemente utilizadas em 
marquises e sacadas (BASTOS, 2015). 
Conforme apresentado por Carvalho e Figueiredo Filho (2015), é necessário 
cuidado no emprego dessa condição, uma vez que a laje adjacente pode não possuir 
condições adequadas, como rigidez ou espessura, para impedir a rotação da laje em 
questão, conforme ilustrado na Figura 7. Isso pode ocorrer também quando há 
descontinuidade no apoio na borda comum (Figura 8). 
Em geral, cabe ao projetista avaliar qual a escolha de vinculação mais 
adequada para cada caso. Carvalho e Figueiredo Filho (2015) recomendam que seja 
feita a análise de ambas as situações, ou seja, considerando o bordo como 
simplesmente apoiado e engastado, adotando-se os valores de esforços menos 
favoráveis para os momentos negativos e positivos obtidos. 
 
 
 
 
 
23 
Figura 7 - Lajes adjacentes com espessuras diferentes 
 
Fonte: Bastos, 2015. 
 
Figura 8 - Lajes adjacentes com descontinuidade no apoio comum 
 
Fonte: Bastos, 2015. 
 
Para o caso de descontinuidade no apoio, Bastos (2015) aponta as seguintes 
simplificações que podem ser adotadas na determinação da vinculação: 
- se 𝑎 ≥
2
3
𝐿 : laje L1 pode ser considerada engastada na laje L2; 
- se 𝑎 <
2
3
𝐿 : laje L1 apresenta borda simplesmente apoiada. 
Em ambos os casos, considera-se a laje L2 engastada na laje L1. 
Além disso, no caso de lajes contínuas, como a análise de cada elemento é 
feita de forma isolada, quando considerado perfeitamente engastado o bordo comum 
entre duas lajes apresentará valores diferentes para o momento negativo (Figura 9). 
Diante disso, é necessário fazer a compatibilização dos momentos naquele bordo, 
uma vez que não é possível determinar o valor real do momento no apoio em questão. 
24 
Para a compatibilização, recomenda-se adotar o maior valor entre a média dos 
momentos negativos e 80% do maior momento (ARAÚJO, 2014). 
Quando feita essa compatibilização dos momentos negativos é necessário 
analisar o valor do momento positivo na respectiva direção. Recomenda-se que seja 
feita a correção do valor nos casos em que a compatibilização provoca aumento no 
momento positivo. Quando ocorre a diminuição do momento, por questões de 
segurança ignora-se tal alteração (PINHEIRO, 2007). 
 
Figura 9 - Lajes adjacentes com momentos negativos diferentes 
 
Fonte: Bastos, 2015. 
 
2.2.5. Vãos efetivos 
 
De acordo com a NBR 6118:2014, os vãos efetivos das lajes, quando 
considerados apoios suficientemente rígidos quanto à translação vertical, devem ser 
calculados pela Equação (1): 
 𝑙𝑒𝑓 = 𝑙𝑜 + 𝑎1 + 𝑎2 (1) 
Para os valores de 𝑎1 e 𝑎2 deve ser adotado o menor valor entre a distância até 
o centro do apoio correspondente e 30% da espessura da laje. Desse modo, torna-se 
desnecessário a utilização de valor maior que o vão livre (𝑙𝑜 ) acrescido de 60% da 
espessura da laje, onde vão livre equivale à distância entre as faces internas dos 
apoios. No caso de lajes contínuas, deve-se considerar a espessura do painel de laje 
em questão. 
 
 
 
25 
2.2.6. Espessura 
 
A NBR 6118:2014, item 13.2.4.1, prevê os seguintes valores como mínimos 
para a espessura das lajes: 
a) 7 cm para cobertura não em balanço; 
b) 8 cm para lajes de piso não em balanço; 
c) 10 cm para lajes em balanço; 
d) 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 
kN; 
e) 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN; 
f) 15 cm para lajes com protensão apoiadas em vigas, com o mínimo de 𝑙/42 
para lajes de piso biapoiadas e 𝑙/42 para lajes de piso continuas; 
g) 16 cm para lajes lisas e 14 cm para lajes-cogumelo, fora do capitel. 
Além disso, deve-se considerar um coeficiente adicional 𝛾𝑛 para os esforços 
solicitantes no cálculo de lajes em balanço, definido pela Equação (2) conforme a 
espessura ℎ da laje (expressa em centímetros). 
 𝛾𝑛 = 1,95 − 0,05. ℎ (2) 
Segundo Campos Filho (2014), “as lajes devem ter uma espessura tal que 
atendam a verificação do estado limite de serviço de deformações excessivas”. Desse 
modo, caso a verificação não seja atendida com a espessura inicialmente 
estabelecida, deve-se adotar espessura maior até que atenda a mesma. 
 
2.2.7. Cobrimento e altura útil 
 
Para garantia de boa durabilidade da edificação é imprescindível boa qualidade 
do concreto a ser utilizado, bem como adequada espessura de cobrimento das 
armaduras, conforme ressaltado na NBR 6118:2014. Com o intuito de garantir essa 
durabilidade, a referida norma estabelece valores recomendados para o cobrimento 
nominal, os quais variam conforme a classe de agressividade ambiental (Figura 10) 
do local. 
 
 
 
 
26 
Figura 10 - Classe de agressividade ambiental (Tabela 6.1 da NBR 6118:2014) 
 
Fonte: NBR 6118:2014. 
 
O cobrimento nominal (𝑐𝑛𝑜𝑚) é equivalente ao cobrimento mínimo (𝑐𝑚𝑖𝑛) 
necessário para boas condições da estrutura acrescentado de um valor de tolerância 
construtiva (∆𝑐), conforme Equação (3): 
 𝑐𝑛𝑜𝑚 = 𝑐𝑚𝑖𝑛 + ∆𝑐 (3) 
O valor de tolerância ∆𝑐 recomendado é de 10 mm, podendo este ser reduzido 
para 5 mm quando utilizado concreto com resistência maior que a exigência mínima. 
Os valores mínimos recomendados para o cobrimento nominal em função da 
classe de agressividade ambiental, conforme a NBR 6118:2014 estão apresentados 
na Figura 11. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
Figura 11 - Cobrimento nominal relacionado à classe de agressividade ambiental 
(Tabela 7.2 da NBR 6118:2014) 
 
Fonte: NBR 6118:2014 
 
A partir do valor estabelecido para a espessura da laje (ℎ), do cobrimento 
nominal (𝑐𝑛𝑜𝑚) e do diâmetro da armadura tracionada (Φ𝑙), pode-se determinar a 
altura útil da laje conforme Equação (4). Entende-se como altura útil (𝑑), a distância 
entre a face comprimida e o eixo da armadura tracionada, conforme representado na 
Figura 12. Como no processo de dimensionamento essa armadura ainda é 
desconhecida, costuma-se considerar barra com 10 mm de diâmetro. 
 
𝑑 = ℎ − 𝑐 −
Φ𝑙
2
 
(4) 
 
Figura 12 - Altura útil para lajes maciças 
 
Fonte: Bastos, 2015. 
 
 
 
28 
2.2.8. Estudo das cargas 
 
Souza e Cunha (1998) apontam que devem ser consideradas no cálculo de 
uma edificação quaisquer ações que possam produzir esforços significativos na 
estrutura. Essas ações são apresentadas na NBR 6118:2014, bem como na NBR 
8681:2004 e NBR 6120:1980. 
Segundo a NBR 6120:1980, as ações em determinada estrutura podem ser 
classificadas como permanentes e acidentais. Souza e Cunha (1998) ressaltam a 
incompatibilidade de uma classificação tão simplista para as cargas atuantes em uma 
edificação, dado a complexidade dos projetos estruturais. Defendem, ainda, uma 
classificação de forma mais específica, como pode ser vista na NBR 6118:2014 e na 
NBR 8681:2004. 
Essas normas também dividem as cargas em permanente e acidental, no 
entanto, apresentam subdivisões nas mesmas, além de introduzir a possibilidade de 
ocorrência de cargas excepcionais. Segundo a NBR 6118:2014, as ações 
permanentes podem ser subdivididas em ações diretas, as quais abrangem o peso 
próprio da estrutura, de elementos construtivos e de instalações permanentes; e 
ações indiretas, que incluem efeitos de retração e fluência do concreto, imperfeições, 
entre outras. As ações acidentais, chamadas na referida norma de ações variáveis, 
também se subdividem em diretas e indiretas. As diretas referem-se as cargas móveis, 
ação do vento e ação da água (no caso de reservatórios, tanques, etc.), enquanto as 
ações indiretas ocorrem devido a variações térmicas e dinâmicas. 
No presente trabalho, serão adotadas as denominações de carga permanente, 
carga acidental e carga total atuantes, conforme definições previstas na NBR 
6120:1980. 
Dessa forma, entende-se como carga atuante
a ser utilizada no cálculo da 
estrutura, chamada carga total (p), o resultado da soma das cargas permanentes e 
acidentais consideradas, conforme Equação (5). 
 𝑝 = 𝑔 + 𝑞 (5) 
 
2.2.8.1. Cargas permanentes 
 
Entendem-se como cargas permanentes (g) de uma edificação aquelas que 
sofrem pouca variação ao longo da vida útil da estrutura. Estão compreendidas nessa 
29 
classificação as cargas devido ao peso próprio da edificação, e sobrecargas fixas, tais 
como paredes divisórias, revestimentos e enchimentos (SOUZA; CUNHA, 1998). A 
NBR 6120:1980 apresenta tabela com o peso específico a ser considerado dos 
materiais de construção mais utilizados. 
 
2.2.8.2. Cargas acidentais 
 
As cargas acidentais (q), também chamadas de cargas de utilização, possuem 
ação variável ao longo da vida da estrutura e seu valor a ser considerado depende da 
finalidade da edificação. Nessa classificação, estão previstos carregamentos devido 
ao peso de móveis, pessoas, veículos e demais equipamentos existentes ao longo da 
vida útil da estrutura. A NBR 6120:1980 apresenta os valores mínimos de referência 
que devem ser utilizados como carga acidental nas edificações. 
 
2.2.8.3. Cargas excepcionais 
 
As cargas excepcionais são consideradas apenas em determinadas situações. 
Esse tipo de carregamento apresenta baixa probabilidade de ocorrência e, quando 
ocorrem, possuem curta duração. Essas cargas são ocasionadas por incêndios, 
sismos, explosões ou choques de veículos, e sua consideração deve ser feita com 
base nas normativas brasileiras específicas para cada situação, conforme orientado 
pela NBR 6118:2014. 
 
2.3. MÉTODOS DE DIMENSIONAMENTO DE LAJES 
 
O cálculo de lajes se difere para cada tipo. No caso de lajes maciças, o 
dimensionamento depende da classificação da laje quanto ao tipo de armação. 
Nas lajes armadas em uma só direção, é necessário determinar o valor dos 
esforços apenas na direção principal (menor vão), conforme visto anteriormente. 
Nesse caso, a análise é feita considerando a laje como uma viga com largura de um 
metro (ARAÚJO, 2014). Devem ser analisadas as vinculações das lajes nas estruturas 
adjacentes e determinados os carregamentos (permanente e acidental) atuantes na 
laje. A Figura 13 mostra um exemplo de laje armada em uma só direção, com as 
30 
diferentes possibilidades de vinculação, bem como a viga equivalente considerada 
para o cálculo dos esforços. 
 
Figura 13 - Lajes armadas em uma direção 
 
Fonte: Araújo, 2014, p. 14. 
 
No caso de lajes armadas em duas direções essa analise torna-se mais 
complexa, conforme ressalta Araújo (2014). Para estas, devem ser analisados os 
momentos em ambas as direções. Devido a essa maior complexidade, foram 
desenvolvidos métodos de cálculo simplificados para facilitar o processo de 
dimensionamento. 
A NBR 6118:2014 prevê a possibilidade de análise de placas de concreto por 
métodos elásticos (com ou sem aproximação) e método plástico. Embora cada 
método apresente suas limitações e deficiências, Araújo (2014) ressalta que ambos 
têm se mostrados eficientes, visto a boa qualidade de estruturas antigas, cujos 
projetos foram desenvolvidos com base em métodos simplificados, quando inexistiam 
recursos computacionais que permitissem analise da estrutura de forma mais 
completa. 
 
2.3.1. Método plástico 
 
O método plástico, também conhecido como método das linhas de ruptura, 
baseia sua análise em um comportamento rígido-plástico do material, 
desconsiderando suas deformações elásticas, buscando identificar a maneira com 
31 
que a laje chega ao colapso (CARVALHO; FIGUEIREDO FILHO, 2015). Para isso, é 
utilizada a teoria das charneiras plásticas. 
Na teoria das charneiras plásticas são determinados os momentos de 
plastificação da laje, que corresponde ao valor do início do escoamento da armadura 
de tração. Considera-se esse valor como sendo constante durante a deformação 
plástica da peça. As chamadas ‘charneiras’ são formadas de acordo com ‘linhas’ de 
plastificação, correspondendo aos locais onde o momento de plastificação é atingido. 
Configurando-se, assim, a ruina da laje (LANGENDONCK, 1970). A configuração 
dessas linhas depende da vinculação no bordo da laje e do formato geométrico da 
mesma, tornando complexo sua determinação quando se trata de laje que não possui 
formato retangular. A variedade de configurações possíveis para os diferentes 
formatos de lajes pode ser encontrada na bibliografia de Langendonck (1970). 
A fim de facilitar os cálculos e tornar possível a utilização da teoria, a NBR 
6118:2014 estabelece as seguintes aproximações permitidas para o posicionamento 
das linhas de ruptura: 
a) 45º entre dois apoios do mesmo tipo; 
b) 60º a partir do apoio considerado engastado, se o outro for considerado 
simplesmente apoiado; 
c) 90º a partir do apoio, quando a borda vizinha for livre. 
 
2.3.2. Método elástico 
 
O método elástico, denominado na NBR 6118:2014 como método linear, 
considera o material em estado não fissurado e com comportamento elástico-linear. 
Esse método baseia-se nas “equações de equilíbrio de um elemento infinitesimal de 
placa e nas relações de compatibilidade das deformações do mesmo”, conforme 
definido por Carvalho e Figueiredo Filho (2015, p. 321). Essas equações e relações 
fundamentam-se em conceitos e determinações da teoria da elasticidade. 
Na utilização desse método de análise, são feitas considerações em relação ao 
material, a fim de permitir a aplicação de simplificações de cálculo. Embora o concreto 
armado seja um material heterogêneo (constituído de aço e concreto), deve-se 
considerá-lo como material homogêneo. Também deve ser considerado como 
fisicamente linear, ou seja, admitindo-se relação linear entre tensões e deformações; 
e isótropo, apresentando mesmas propriedades em todas as direções. 
32 
Outra consideração é em relação à elasticidade do material, admitindo que 
esse retorne ao estado inicial quando não mais aplicadas cargas sobre ele. Além 
disso, para possibilitar a aplicação da teoria de superposição de efeitos, considera-se 
a placa com pequenas deformações (CARVALHO E FIGUEIREDO FILHO, 2015). 
Diferentes processos para a determinação dos esforços e deslocamentos em 
placas de concreto foram desenvolvidos a partir da análise elástica da estrutura. 
Dentre eles podem-se destacar a teoria das grelhas, teoria de flexão das placas, 
analogia de grelha equivalente, método das diferenças finitas e método dos elementos 
finitos (ARAÚJO, 2014). 
 
2.4. TEORIA DE FLEXÃO DAS PLACAS 
 
A teoria de flexão das placas finas foi desenvolvida com base em 
considerações da teoria da elasticidade para um corpo tridimensional quando 
submetido a ações externas. Também, para o desenvolvimento da teoria, são 
admitidas as seguintes hipóteses para placas finas com pequenas deflexões da Teoria 
de Kirchhoff, conforme Araújo (2014): 
a) o material de placa é elástico linear, homogêneo e isotrópico; 
b) a espessura da placa é pequena em relação às outras dimensões; 
c) as deflexões são pequenas em relação à espessura da placa; 
d) as rotações da superfície média transformada são pequenas em relação à 
unidade; 
e) linhas retas, inicialmente normais à superfície média, permanecem retas e 
normais à superfície média após as deformações; 
f) as deflexões da placa são normais ao plano indeformado inicial; 
g) as tensões normais à superfície média são desprezíveis. 
 
2.4.1. Equação fundamental 
 
Considera-se um elemento de placa submetido a uma carga distribuída 𝑝 (𝑥, 𝑦), 
aplicada transversalmente ao plano médio, conforme Figura 14a. 
Admitindo-se a deformada da placa em uma seção paralela ao eixo x (Figura 
14b), é possível representar a relação entre as deformações e os deslocamentos 
verticais 𝑤, conforme as equações a seguir (PINHEIRO, 1988). 
33 
 
𝑚𝑥 = −𝐷(
𝜕2𝑤
𝜕𝑥2
+ 𝜈.
𝜕2𝑤
𝜕𝑦2
) 
(6) 
 
 
𝑚𝑦 = −𝐷(
𝜕2𝑤
𝜕𝑦2
+ 𝜈.
𝜕2𝑤
𝜕𝑥2
) 
(7) 
 
 
𝑚𝑥𝑦 = −𝐷(1 − 𝜈)
𝜕2𝑤
𝜕𝑥𝜕𝑦
 
(8) 
 
 
𝑣𝑥 = −𝐷
𝜕
𝜕𝑥
(
𝜕2𝑤
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑤
𝜕𝑦2
) 
(9) 
 
 
𝑣𝑦 = −𝐷
𝜕
𝜕𝑦
(
𝜕2𝑤
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑤
𝜕𝑦2
) 
(10) 
 
 
Onde: 
𝑚𝑥 = momento fletor na direção x (em torno de y); 
𝑚𝑦 = momento fletor na direção y (em torno de x); 
𝑚𝑥𝑦 = momento torçor; 
𝑣𝑥 = esforço cortante na direção x; 
𝑣𝑦 = esforço cortante na direção y. 
𝐷 = rigidez à flexão da placa, dada por 𝐷 = 
𝐸.ℎ³
12.(1−𝜈2)
 
 
Com base nas hipóteses anteriormente citadas, o equilíbrio de um elemento 
infinitesimal de placa é determinado a partir dos esforços internos atuantes - 
momentos fletores 𝑚𝑥 e 𝑚𝑦, momentos torçores 𝑚𝑥𝑦 e 𝑚𝑦𝑥 e esforços cortantes 𝑣𝑥 e 
𝑣𝑦, conforme representado na Figura 14c. 
 
 
 
 
34 
Figura 14 – a) Elemento de placa; b) Deformada da placa; c) Equilíbrio dos esforços 
internos. 
 
Fonte: Madureira, Medeiros e Silva, 2017. 
 
A partir do equilíbrio dos esforços e das relações das equações (6) a (10), é 
possível determinar a equação fundamental das placas delgadas (Equação (11)). 
 𝜕4𝑤
𝜕𝑥4
+ 2.
𝜕4𝑤
𝜕𝑥2𝜕𝑦2
+
𝜕4𝑤
𝜕𝑦4
=
𝑝(𝑥, 𝑦)
𝐷
 
(11) 
Onde: 
𝑤 = deslocamento vertical 
𝑥, 𝑦 = coordenadas de um ponto da placa 
𝑝 = carga distribuída atuante 
𝐷 = rigidez à flexão da placa 
𝐸 = módulo de elasticidade do material 
𝜈 = coeficiente de Poisson 
 
A Equação (11), diferencial de quarta ordem, não-homogênea, é conhecida 
como equação de Lagrange, sendo válida para placas com rigidez à flexão constante 
(ARAÚJO, 2014). É possível observar, a partir dessa equação, que os deslocamentos 
da placa dependem das dimensões da mesma, do carregamento, do módulo de 
elasticidade, da espessura da placa, do coeficiente de Poisson e das condições de 
contorno. 
A solução da equação de Lagrange pode ser obtida através do método de 
Navier ou método de Lévy, ambos baseados em expansões em série de Fourier, 
permitindo a determinação dos esforços e deslocamentos de um elemento de placa. 
No entanto, trata-se de um processo de cálculo trabalhoso e complexo, além de sua 
35 
aplicação ser bastante restrita, uma vez que as soluções só podem ser utilizadas para 
poucos casos de formas e condições de contorno da placa. Em vista disso, diversos 
autores apresentaram em suas bibliografias tabelas com cálculos aproximados que 
possibilitam essa determinação de forma mais rápida e simples. 
 
2.4.2. Condições de contorno 
 
É necessário estabelecer duas condições de contorno para a resolução da 
equação diferencial já que esta é de quarta ordem. Essas condições dependem dos 
tipos de apoio da placa. Para exemplificar as condições, será considerada uma borda 
reta paralela ao eixo y (PINHEIRO, 1988). 
No caso de borda simplesmente apoiada consideram-se nulos o deslocamento 
e o momento, ou seja: 
 
𝑤 = 0 ; 𝑚𝑥 = −𝐷 (
𝜕2𝑤
𝜕𝑥2
+ 𝜈.
𝜕2𝑤
𝜕𝑦2
) = 0 
(12) 
Para bordo engastado, a flecha e a rotação são consideradas nulas, portanto: 
 
𝑤 = 0 ; 
𝜕𝑤
𝜕𝑥
= 0 
(13) 
Por fim, no caso de bordo livre, os esforços solicitantes (o momento 𝑚𝑥 e a 
reação) no bordo são nulos: 
 
𝑚𝑥 = 0 ; 𝑣𝑥 −
𝜕𝑚𝑥𝑦
𝜕𝑦
= 0 
(14) 
2.4.3. Restrições da teoria 
 
Conforme citado por Araújo (2014), torna-se necessário a aplicação de algumas 
condições para que sejam válidas as soluções da teoria das placas. Dentre essas 
condições, destacam-se a consideração de apoios rígidos, emprego de armaduras de 
canto e consideração de cargas parcialmente distribuídas para o cálculo das vigas de 
apoio. 
A necessidade de considerar apoios rígidos deve-se ao fato de que, na teoria 
das placas, é considerado deslocamento vertical nulo no contorno. Na prática, essa 
consideração só é verificada quando as lajes estão apoiadas em paredes de alvenaria, 
não se adequando à maioria dos casos, nos quais as lajes apoiam-se em vigas pouco 
rígidas. Com isso, os valores reais das flechas e momentos fletores positivos da laje 
36 
são maiores que os calculados pela teoria das placas, enquanto os momentos fletores 
negativos e momentos torçores são menores. 
Quanto à necessidade de armaduras de canto, esta deve-se ao fato de que, 
quando considerados apoios rígidos, se considera a integralidade da rigidez à torção 
da placa. Dessa forma, são importantes os momentos torçores nos cantos 
simplesmente apoiados (ARAÚJO, 2014). 
 
2.5. MÉTODOS ELÁSTICOS DE CÁLCULO DE LAJES 
 
A partir das equações fornecidas pela teoria das placas é possível determinar 
os valores de esforços, tensões, deformações e deslocamentos em qualquer ponto no 
interior da placa. No entanto, o processo de desenvolvimento desse cálculo para a 
obtenção dos resultados é bastante trabalhoso, tornando praticamente inviável sua 
utilização para a análise das lajes de um edifício (SOUZA; CUNHA, 1998). 
Os métodos aproximados desenvolvidos para o cálculo de lajes têm como base 
os fundamentos da teoria das placas. Embora os métodos simplificados apresentem 
a desvantagem de determinação apenas dos valores máximos de esforços e 
deslocamentos, enquanto as equações propostas pela teoria fundamental permitem 
determinar os valores em qualquer ponto no interior da placa, os métodos 
simplificados tornam-se bastante viáveis devido à sua simplicidade de aplicação. 
Segundo a NBR 6118:2014, o cálculo de elementos de placa pela análise linear 
pode ser feito utilizando os métodos aproximados baseados na teoria da elasticidade 
desde que seja utilizado coeficiente de Poisson 𝜈 = 0,2. 
 
2.5.1. Resolução por meio de séries 
 
A solução da equação fundamental das placas, ou equação de Lagrange, pode 
ser feita através de séries duplas trigonométricas, conforme desenvolvido por Navier 
e apresentado em Timoshenko e Woinowsky-Krieger (1959). Nessa solução, a carga 
𝑝(𝑥, 𝑦) é considerada por superposição de carregamentos com forma bissenoidal, 
conforme Equação (15). 
 𝑝 = 𝑝(𝑥, 𝑦) = ∑ ∑ 𝑃𝑚𝑛. 𝑠𝑒𝑛
𝑚𝜋𝑥
𝑎
𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋𝑦
𝑏𝑛𝑚
 (15) 
Onde: 
𝑎, 𝑏 = dimensões da placa; 
37 
𝑚, 𝑛 = número de retângulos em que a placa é dividida; 
𝑝𝑚𝑛 = 
4
𝑎𝑏
∫ ∫ 𝑝(𝑥, 𝑦)𝑠𝑒𝑛
𝑚𝜋𝑥
𝑎
𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋𝑦
𝑏
𝑑𝑥𝑑𝑦 
𝑏
0
𝑎
0
= carregamento máximo no centro 
do retângulo. 
Considerando laje retangular com os quatro bordos simplesmente apoiados, 
satisfazendo-se as condições de contorno, obtêm-se o deslocamento 𝑤 por: 
 𝑤 =
𝑝𝑚𝑛
𝜋4. 𝐷. (
𝑚²
𝑎²
+
𝑛2
𝑏²
) ²
. 𝑠𝑒𝑛
𝑚𝜋𝑥
𝑎
𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋𝑦
𝑏
 (16) 
 Para placas com carregamento uniformemente distribuído 𝑝 o valor de 𝑝𝑚𝑛 
resulta em: 
 
𝑝𝑚𝑛 =
16𝑝
𝜋²𝑚𝑛
 
(17) 
Onde 𝑚 e 𝑛 apresentam valores impares, uma vez que, quando pares, a 
integral se anula. 
Dessa forma, substituindo-se a Equação (17) na equação do deslocamento 𝑤, 
obtêm-se a função 𝑤(𝑥, 𝑦) para o deslocamento considerando carga uniforme: 
 
𝑤 =
16𝑝
𝜋6𝐷
∑ ∑
𝑠𝑒𝑛
𝑚𝜋𝑥
𝑎 𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋𝑦
𝑏
𝑚. 𝑛(
𝑚2
𝑎2
+
𝑛2
𝑏2
)𝑛𝑚
 
(18) 
Com isso, é possível determinar os momentos fletores (𝑚𝑥 e 𝑚𝑦) pelas 
equações a seguir. 
 
𝑚𝑥 =
16𝑝
𝜋4
∑ ∑
(
𝑚2
𝑎2
+ 𝜈.
𝑛2
𝑏2
)
𝑚. 𝑛(
𝑚2
𝑎2
+
𝑛2
𝑏2
)𝑛𝑚
𝑠𝑒𝑛
𝑚𝜋𝑥
𝑎
𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋𝑦
𝑏
 
 
(19) 
 
 
 𝑚𝑦 =
16𝑝
𝜋4
∑ ∑
(
𝑛2
𝑏2
+ 𝜈.
𝑚2
𝑎2
)
𝑚. 𝑛(
𝑚2
𝑎2
+
𝑛2
𝑏2
)𝑛𝑚
𝑠𝑒𝑛
𝑚𝜋𝑥
𝑎
𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋𝑦
𝑏
 
(20) 
A partir dessas equações, se conhecido o valor de 𝑝 é possível determinar os 
momentos fletores na placa. Observa-se que os valores de momentos são máximos 
no centro da laje. Além disso, utilizando-se dessa solução, é possível determinar as 
expressões para o cálculo das reações de apoio da laje nas vigas de bordo. (ARAÚJO, 
2014) 
 
 
38 
2.5.2. Método das diferenças finitas 
 
Através do método das diferenças finitas, obtêm-se uma solução aproximada 
para a equação diferencial da placa. Nesse método, é considerada uma malha, 
chamada de malha
de diferenças finitas, podendo essa ser retangular, triangular ou 
de outra forma. Essa malha é composta de pontos igualmente espaçados 
denominados pontos nodais que se localizam nos nós da mesma. 
Com base nisso, substituem-se as derivadas da equação de Lagrange por 
aproximações de diferenças de valores correspondentes aos deslocamentos em 
pontos nodais da malha. O erro obtido com as aproximações é inversamente 
proporcional ao refinamento da malha, ou seja, quanto maior o número de pontos 
nodais, menor o erro (CASTRO, 2001). 
Para melhor compreensão do método, considera-se, primeiramente, um caso 
unidimensional, representado na Figura 15. 
 
Figura 15 - Aproximação de função para malha unidimensional 
 
Fonte: Araújo, 2014, p. 124. 
 
Nesse caso, a função 𝑓(𝑥) pode ser determinada a partir da Equação (21), onde 
𝑎𝑖 é determinado obedecendo a igualdade 𝜑(𝑥) = 𝑓(𝑥) nos pontos em que 𝑓(𝑥) é 
conhecida. 
 
𝜑(𝑥) = ∑ 𝑎𝑖𝑥
𝑖
𝑘
𝑖=0
 
(21) 
39 
 Dessa forma, considerando-se 𝑘 = 1, a função é definida por segmentos de 
reta. Quando 𝑘 = 2, a aproximação é feita por parábolas do segundo grau, conforme 
Equação (22) (ARAÚJO, 2014). 
 𝜑(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥² (22) 
Assim, quando considerados pontos nodais 𝑥𝑚−1, 𝑥𝑚, 𝑥𝑚+1, é possível obter 
uma equação adequada para a função 𝑓(𝑥) e, a partir dessa, determinar as derivadas 
correspondentes. 
De forma análoga, considerando malha bidimensional, conforme Figura 16, 
pode-se representar a equação de Lagrange aplicada ao ponto (𝑚, 𝑛), pela Equação 
(23). 
 
Figura 16 - Malha de diferenças finitas - caso bidimensional 
 
Fonte: Araújo, 2014, p. 127. 
 
 
(
𝜕4𝑤
𝜕𝑥4
)
𝑚,𝑛
+ 2. (
𝜕4𝑤
𝜕𝑥2𝜕𝑦2
)
𝑚,𝑛
+ (
𝜕4𝑤
𝜕𝑦4
)
𝑚,𝑛
= (
𝑝
𝐷
)
𝑚,𝑛
 
(23) 
Aplicando-se as aproximações das derivadas, obtêm-se a seguinte Equação 
de equilíbrio: 
 ∑ 𝐾𝑖,𝑗𝑤𝑖,𝑗 = (
𝑝
𝐷
)
𝑚,𝑛
 (24) 
onde 𝑖 varia de 𝑚 − 2 a 𝑚 + 2 e 𝑗 varia de 𝑛 − 2 a 𝑛 + 2. 
Com isso, considerando um ponto (𝑚, 𝑛) de uma malha com ∆𝑥 = ∆𝑦, os 
valores correspondentes ao coeficiente 𝐾𝑖,𝑗 estão representados na Figura 17. 
 
40 
Figura 17 - Ponto (m,n) malha de diferenças finitas 
 
Fonte: Araújo, 2014, p.128. 
 
A partir da Equação (24), é possível determinar um sistema de equações 
algébricas simultâneas, que pode ser representado por: 
 𝐾𝑊 = 𝑃 (25) 
onde: 
𝐾 = matriz de rigidez da placa 
𝑊 = vetor com flechas nodais a serem determinadas 
𝑃 = vetor de cargas nodais 
Resolvendo-se o sistema representado pela Equação (25), com base em 
determinações das condições de contorno, é possível obter os valores dos 
deslocamentos em cada ponto nodal da malha. A partir dos deslocamentos, pode-se 
determinar os valores dos momentos fletores, torçores e esforços cortantes. 
Dependendo do formato e tamanho da placa, pode ser necessário considerar 
pontos fictícios fora do domínio da mesma, uma vez que os pontos nodais devem 
apresentar mesmo espaçamento (PINHEIRO, 1988). Além disso, é válido observar 
que o número de equações que compõem o sistema corresponde ao número de 
pontos nodais da mesma, permitindo-se obter o deslocamento em cada nó. 
Araújo (2014) ressalta que, embora simples de ser aplicado, o método das 
diferenças finitas apresenta inconvenientes que ocasionaram o abandono da 
utilização desse método nos dias atuais. Dentre esses inconvenientes, pode-se citar 
a dificuldade de desenvolvimento de algoritmo que corresponda às diferentes 
41 
condições de contorno existentes, bem como a necessidade de utilização de uma 
malha consideravelmente refinada para que seja obtido um erro aceitável. 
 
2.5.3. Teoria das grelhas e método de Marcus 
 
A teoria das grelhas foi inicialmente desenvolvida considerando lajes sobre 
apoios rígidos, ou seja, desconsiderando possíveis efeitos de torção. O método 
desenvolvido por Marcus baseou-se nessa teoria, adaptando as equações já 
existentes para incluir o efeito da torção nas lajes (ARAÚJO, 2014). 
Para compreensão da teoria das grelhas, analisa-se uma laje retangular com 
os bordos simplesmente apoiados, submetida a uma carga uniformemente distribuída 
𝑝 e com apoios indeformáveis. Dessa placa, consideram-se duas faixas centrais, com 
largura unitária e que se cruzam no centro da mesma (Figura 18). 
 
Figura 18 - Laje simplesmente apoiada 
 
Fonte: Araújo, 2014, p. 82. 
 
O carregamento atuante pode ser dividido conforme a direção da faixa, sendo 
denominados de 𝑝𝑥 e 𝑝𝑦, conforme mostrado na Figura 18, e devem obedecer a 
relação: 
 𝑝 = 𝑝𝑥 + 𝑝𝑦 (26) 
42 
A flecha no centro da faixa na direção 𝑥 é dada pela Equação (27), onde 𝐷 é a 
rigidez à flexão da faixa, e 𝑙𝑥 e 𝑝𝑥 correspondem ao vão e ao carregamento na direção 
𝑥, respectivamente. 
 
𝑊𝑥 =
5
384
𝑝𝑥𝑙𝑥
4
𝐷
 
(27) 
De forma análoga, a flecha na direção 𝑦 é dada por: 
 
𝑊𝑦 =
5
384
𝑝𝑦𝑙𝑦
4
𝐷
 
(28) 
A flecha no centro da laje possui um valor único, portanto considera-se que 
𝑊𝑥 = 𝑊𝑦, obtendo-se, assim, a seguinte relação: 
 𝑝𝑥𝑙𝑥
4 = 𝑝𝑦𝑙𝑦
4 (29) 
Substituindo-se a relação 𝑝𝑦 = 𝑝 − 𝑝𝑥, proveniente da Equação (26), tem-se: 
 
𝑝𝑥 = (
𝑙𝑦
4
𝑙𝑥4 + 𝑙𝑦4
) 𝑝 
(30) 
A partir da relação 𝜆 entre vãos definida por: 
 
𝜆 =
𝑙𝑦
𝑙𝑥
 
(31) 
Pode-se determinar os valores de 𝑝𝑥 e 𝑝𝑦 pelas equações a seguir. 
 𝑝𝑥 = 𝑘𝑥𝑝 ; 𝑝𝑦 = 𝑘𝑦𝑝 (32) 
Onde 
 𝑘𝑥 =
𝜆4
1+𝜆4
 ; 𝑘𝑦 = 1 − 𝑘𝑥 
(33) 
A partir da Equação (32) é possível concluir que os carregamentos 
correspondentes às direções 𝑥 e 𝑦 dependem apenas dos vãos da laje. Também a 
partir dessa equação, pode-se determinar os momentos fletores em ambas direções. 
 𝑀𝑥 = 𝑚𝑥𝑝𝑙𝑥
2 ; 𝑚𝑥 = 𝑘𝑥/8 (34) 
 𝑀𝑦 = 𝑚𝑦𝑝𝑙𝑦
2 ; 𝑚𝑦 = 𝑘𝑦/8 (35) 
Sendo 𝑀𝑥 o momento máximo na direção 𝑥 e 𝑀𝑦 o momento máximo na direção 
𝑦. 
No método desenvolvido por Marcus, as equações de momentos fletores 
positivos apresentam coeficientes 𝐶𝑥 e 𝐶𝑦, que dependem das condições de contorno 
e da relação entre os vãos da laje. Os momentos são, então, reduzidos quando 
comparados aos calculados pela teoria das grelhas, uma vez que os coeficientes 
43 
apresentam valores inferiores a 1. Dessa forma, os momentos são definidos pela 
equação a seguir. 
 𝑀𝑥𝑜 = 𝐶𝑥𝑀𝑥 ; 𝑀𝑦𝑜 = 𝐶𝑦𝑀𝑦 (36) 
Os coeficientes 𝐶𝑥 e 𝐶𝑦 podem ser calculados por: 
 𝐶𝑥 = 1 −
20𝑘𝑥
3𝛼𝑥𝜆²
 ; 𝐶𝑥 = 1 −
20𝑘𝑥
3𝛼𝑥𝜆2
 (37) 
Onde 𝛼𝑥 e 𝛼𝑦 dependem das condições de apoio, sendo 𝛼 = 8 para faixa 
biapoiada; 𝛼 = 14,22 para faixa engastada e apoiada; e 𝛼 = 24 para faixa 
biengastada. 
 Esses coeficientes surgem devido a consideração de que as deformações no 
centro das faixas na direção 𝑥 e 𝑦 não apresentam o mesmo valor. Isso ocorre devido 
a diferentes condições de continuidade nos bordos da laje. Com isso, surgem 
momentos volventes nas extremidades da placa, responsáveis pela diminuição do 
momento máximo positivo definido pelo método das grelhas (SOUZA; CUNHA, 1998). 
 
2.5.3.1. Tabelas de Marcus 
 
Com base nesse método, Marcus desenvolveu tabelas que permitem o cálculo 
dos momentos fletores e das reações de apoio para diferentes configurações das 
condições de apoio das lajes. 
As tabelas de Marcus utilizadas para a realização desse trabalho são as 
disponibilizadas por Souza e Cunha (1998) e podem ser encontradas no Anexo A. 
 
2.5.4. Método dos elementos finitos 
 
A ampla aplicabilidade do método dos elementos finitos permite sua utilização 
para a análise do comportamento de diferentes elementos, bem como fluxo de fluidos, 
condução de calor e análise estrutural. Conforme defende Araújo (2014, p. 132), “o 
grande atrativo do método é a generalidade da formulação, o que permite que um 
conjunto de rotinas de cálculo possa ser utilizado para resolver problemas diferentes”. 
O método consiste na subdivisão da placa em um conjunto de pequenos
elementos, denominados elementos finitos. Esses elementos estão conectados por 
nós e seu conjunto forma uma malha de elementos finitos. Essa malha pode ser 
composta por elementos triangulares, retangulares ou isoparamétricos. 
44 
Ao contrário dos outros métodos, o método dos elementos finitos considera os 
elementos ou regiões de forma isolada, permitindo variar as dimensões e 
características elásticas de um elemento para outro. Além disso, essa análise 
separada dos elementos origina polinômios mais simples para descrever a solução 
aproximada quando comparados aos métodos baseados na teoria da elasticidade 
(REIS, 2007). 
De maneira geral, embora o método apresente resultados aproximados, o 
refinamento da malha e aumento do número de nós permite a obtenção de resultados 
mais próximos aos obtidos pela teoria da elasticidade (REGGIANI, 2016). 
 
2.5.5. Utilização de tabelas 
 
Devido à considerável complexidade de resolução da equação diferencial das 
placas apresentada anteriormente e à falta de recursos computacionais disponíveis 
para a análise da estrutura por elementos finitos ou analogia de grelha equivalente, 
diversos autores desenvolveram tabelas para o cálculo dos momentos fletores, 
flechas e reações de apoio em lajes maciças. Essas diferentes tabelas foram 
elaboradas com base na resolução por meio de séries e podem apresentar 
divergências entre si devido a aproximações das séries de Fourier ou devido a adoção 
de valores distintos para o coeficiente de Poisson (ARAÚJO, 2014). 
Nesse método, mesmo no caso de lajes contínuas, a análise é feita com a 
discretização do pavimento, desconsiderando a existência de comportamento 
monolítico na estrutura e considerando as lajes de forma isolada. Para isso, são 
considerados apenas dois tipos de vinculação: bordos simplesmente apoiados ou 
engastados. As diferentes possibilidades de vinculação das lajes nas estruturas 
adjacentes estão ilustradas na Figura 19 (CARVALHO; FIGUEIREDO FILHO, 2015). 
 
 
 
 
 
 
 
 
45 
Figura 19 - Possibilidades de vinculação das lajes 
 
Fonte: Bastos, 2015. 
 
Essa análise pode gerar divergências nos resultados quando comparados com 
os obtidos através de métodos que analisam as lajes de um pavimento de forma 
contínua. Isso ocorre devido ao fato de que, quando consideradas contínuas, o painel 
de lajes apresenta resistência maior que quando analisadas de forma isolada, 
originando, no último caso, valores maiores para as solicitações atuantes (BOTELHO; 
MARCHETTI, 2010). 
No presente trabalho, serão utilizados os quadros desenvolvidos por Bares, 
Czerny, Montoya, Marcus e Araújo. As tabelas apresentam valores de coeficientes a 
serem utilizados na determinação dos momentos fletores, reações de apoio e flechas, 
conforme as equações correspondentes. Para obtenção desses coeficientes, devem 
ser consideradas as vinculações da laje e o valor de 𝜆, equivalente à relação entre o 
maior e o menor vão da mesma. 
46 
2.5.5.1. Tabelas de Bares 
 
As tabelas desenvolvidas por Bares (1972) foram baseadas na resolução por 
meio de séries. Serão utilizadas nesse trabalho as tabelas disponibilizadas por 
Carvalho e Figueiredo Filho (2015) adaptando as tabelas de Bares para o coeficiente 
de Poisson 𝜈 = 0,20, conforme recomendação da NBR 6118:2014. As tabelas 
utilizadas podem ser encontradas no Anexo B. 
 
2.5.5.2. Tabelas de Araújo 
 
As tabelas disponibilizadas por Araújo (2014) para cálculo dos esforços e 
flechas em lajes retangulares armadas em duas direções foram baseadas nas tabelas 
de Kalmanok (1961) e adaptadas para Coeficiente de Poisson 𝜈 = 0,20. As tabelas 
utilizadas nesse trabalho encontram-se no Anexo C. 
 
2.5.5.3. Tabelas de Czerny 
 
As tabelas desenvolvidas por Czerny foram baseadas na teoria da elasticidade 
considerando Coeficiente de Poisson nulo (𝜈 = 0). Para a realização desse trabalho, 
foram utilizadas as tabelas de Czerny devidamente adaptadas para Coeficiente de 
Poisson 𝜈 = 0,20, disponibilizadas em Beton-Kalender (1976). As tabelas utilizadas 
permitem a determinação dos momentos fletores e flechas máximas para as lajes, e 
encontram-se no Anexo D. 
 
2.5.5.4. Tabelas de Montoya 
 
As tabelas disponibilizadas em Montoya, Meseguer e Cabré (2000) foram 
desenvolvidas a partir da teoria da elasticidade para Coeficiente de Poisson 𝜈 = 0,15 
e podem ser encontradas no Anexo E. A partir dessas tabelas, é possível determinar 
os momentos fletores e flechas máximas nas lajes de concreto armado. 
 
 
 
 
47 
2.5.6. Analogia de grelha 
 
De maneira semelhante ao método desenvolvido por Marcus, o processo de 
analogia de grelha consiste na substituição da laje por uma malha de vigas 
equivalentes, chamada de grelha equivalente. 
A possibilidade de utilização desse método em programação computacional 
permite o dimensionamento de uma estrutura de maneira rápida e prática. Devido a 
isso, é possível realizar modificações no sistema estrutural de forma bastante fácil, 
permitindo simulação de diferentes situações estruturais para um mesmo projeto, 
facilitando a análise e decisão da situação mais adequada ao projeto em questão 
(CARVALHO; FIGUEIREDO FILHO, 2015). 
Nesse método, os elementos estruturais do pavimento – vigas e lajes – são 
substituídos por uma malha de barras, configurando a grelha equivalente, conforme 
ilustrado na Figura 20. Isso permite a reprodução de elementos com diferentes 
geometrias. A disposição e espaçamentos dessas barras deve ser definida com base 
na situação mais adequada para o pavimento. 
 
Figura 20 - Malha de grelha equivalente 
 
Fonte: Carvalho e Figueiredo Filho, 2015, p. 327. 
48 
Os carregamentos são analisados com base na área de influência de cada 
barra, podendo ser dispostos de maneira distribuída ao longo do comprimento das 
barras ou de forma concentrada nos nós. 
Na configuração de grelha, a rigidez à flexão e torção da laje encontra-se 
considerada no elemento de grelha mais próximo. E, conforme citado por Neves 
(2010, p. 21), 
 
O ideal seria a rigidez das vigas ser tal que, quando a laje e a respectiva 
grelha estivessem sujeitas a carregamentos idênticos, as duas estruturas 
fletissem de igual forma e os esforços em cada elemento de grelha 
igualassem os esforços na seção de laje que o elemento de grelha pretende 
simular. No entanto, devido às diferentes características da laje e da grelha 
equivalente, este ideal pode apenas ser aproximado. 
 
Apesar disso, é possível obter resultados satisfatórios a partir desse método, 
desde que aplicado de maneira apropriada, com espaçamento e rigidezes adequados. 
Nesse trabalho, o método da analogia de grelha será utilizado através do 
software comercial SAP 2000. Na representação do pavimento no programa, serão 
seguidas as recomendações a respeito dos parâmetros de rigidez e espaçamento de 
malha conforme indicados a seguir. 
 
2.5.6.1. Rigidez à flexão 
 
A malha da grelha, como citado anteriormente, é composta de barras 
longitudinais e transversais. A largura dessas barras varia conforme o espaçamento 
considerado para a malha em questão, e a altura da barra corresponde à espessura 
da laje. Dessa forma, a rigidez à flexão (𝐼𝑓) das barras pode ser calculada pela 
Equação (38). 
 
𝐼𝑓 =
𝑏ℎ3
12
 
(38) 
Onde, 
𝑏 = largura (soma da metade dos espaços entre os elementos vizinhos); 
ℎ = espessura da laje. 
 
 
49 
2.5.6.2. Rigidez à torção 
 
A rigidez à torção da barra depende do módulo de elasticidade transversal (𝐺) 
do material e do momento de inércia à torção ( 𝐼𝑡) da barra, e corresponde a 𝐺. 𝐼𝑡. 
O módulo de elasticidade transversal (𝐺) pode ser calculado pela Equação 
(39), onde 𝐸𝑐𝑠 é o módulo de elasticidade longitudinal do material e 𝜈 é o Coeficiente 
de Poisson. Conforme já citado, a NBR 6118:2014 estabelece o uso de 𝜈 = 0,2. 
 
𝐺 =
𝐸
2(1 + 𝜈)
 
(39) 
A NBR 6118:2014 recomenda utilizar a relação 𝐺