Calculo Multiplas Variaveis Aula 2

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GRADUAÇÃO ENGENHARIA
ARA0018 – CÁLCULO DE MÚLTIPLAS VARIÁVEIS
OLGA MARIA DAS NEVES DE LEMOS
PROFESSORA
Rio de Janeiro, 16/08/2021 – 15/12/2021
UNESA – Universidade Estácio de Sá.
CÁLCULO DE MÚLTIPLAS VARIÁVEIS
Verificando Aprendizado
1 - Sejam as funções g(t) = [t2-1, 3-t, t+3] e f(u) = [u+1, u2+2, u2], com u 
e t reais. Assinale a alternativa que representa o valor da função
m(u) =f(u).g(u), para u=1: 
a) 〈0,6,4〉
b) 〈2,3,1〉
c) 8
d) 10
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Solução 1
g(t) = [t2-1, 3-t, t+3] e f(u) = [u+1, u2+2, u2]
m(u) =f(u).g(u)
m(u) =[u2-1, 3-u, u+3] . [u +1, u2+2, u2]
m(u) = (u2-1)(u+1) +(3-u)(u2+2) + (u +3)u2
m(u) = u3+u2- u – 1 + 3u2 + 6 – u3- 2u + u3+3u2
m(u) = u3 + 7u2 - 3u + 5
m(1) = 1 + 7 - 3 + 5 = 10 Resp.: D
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2. Considerando a função F(t) = [2t sen t, ln t , tcos t] , definida para t
real maior do que 0 (zero), assinale a alternativa que apresenta a
equação da trajetória da curva espacial definida pela imagem da
função F(t):
a) x2 – 4e2y + 4z2 = 0
b) x2 – e2y + z2 = 0
c) x2 – y2 + 4z2 = 0
d) x2 – 4lny + 4z2 =0
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Solução 2
F(t) = [2t sen t, ln t , tcos t]
x = 2t sent sent = x/2t
y = ln t t = 𝑒𝑦
z = t cost cos t = z/t
cos2 x + sen2 x = 1
1 = 
𝑥2
4𝑒2𝑦
+ 
𝑧2
𝑒2𝑦
4𝑒2𝑦 = x2 + 4z2
x2 - 4𝑒2𝑦 + 4z2 = 0 Resp.: A
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Limite de Função Vetorial é definito pelos limites de suas 
funções componentes
r(t) = [f(t), g(t), h(t)]
lim
𝑡→𝑎
r(t) = [lim
𝑡→𝑎
f(t), lim
𝑡→𝑎
g(t), lim
𝑡→𝑎
h(t)]
desde que os limites das funções existam
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Os limites de Funções Vetoriais possuem propriedades especiais,
similarmente aos limites de Funções Escalares.
As Operações com Vetores são diferenciadas:
vetores podem ser somados ou passarem por produtos escalares e
vetoriais, podendo ser extraídos limites vetoriais das funções
compostas.
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Sejam Ԧ𝐹 (t) e Ԧ𝐺 (t) funções vetoriais 
K1 e k2 constantes
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Exemplo
Determine o limite de F(t) = [2t + 1, 
2𝑠𝑒𝑛𝑡
𝑡
, 
t3−3t+2
𝑡+2
] quando t tende a zero.
lim
𝑡→0
2𝑡 + 1 = 1
lim
𝑡→0
2𝑠𝑒𝑛𝑡
𝑡
= 2 lim
𝑡→0
𝑠𝑒𝑛𝑡
𝑡
= 2
lim
𝑡→0
t3−3t+2
𝑡+2
= 2
2
=1
lim
𝑡→0
F(t) = [1, 2, 1] = [ Ԧ𝑥, 2 Ԧ𝑦, Ԧ𝑧]
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Seja f(t) e g(t) funções vetoriais e lim
𝑡→𝑘
f(t) = a e lim
𝑡→𝑘
g(t)= b, então:
lim
𝑡→𝑘
[f(t) + g(t)] = a + b
lim
𝑡→𝑘
[f(t) . g(t)] = a . b
lim
𝑡→𝑘
[f(t) x g(t)] = a x b
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Continuidade
De forma semelhante à função real, vamos definir a continuidade
de uma função vetorial em um ponto do seu domínio t = t0
Considerando F(t) = [f1(t), f2(t),…, fn(t) ∈ Rn, com t real, e t0 um
ponto do domínio da função, a função F(t) será contínua em t = t0
se e somente se: lim
𝑡→𝑡
0
𝐹(𝑡) = F(t0)
A função F(t) só será contínua em um ponto t0 se todas as 
suas funções componentes forem contínuas no ponto t0.
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Exemplo
Considerando a função F(t) = [2t + 1,
2𝑠𝑒𝑛𝑡
𝑡
,
t3−3t+2
𝑡+2
], para t real
diferente de 0 (zero) e de – 2, determine o valor de F(0) e F(-2)
para que a função seja contínua para todo t real.
lim
𝑡→0
F(t) = [1, 2, 1] = Ԧ𝑥, 2 Ԧ𝑦, Ԧ𝑧
O limite existe. Para que seja contínua, a função deve ter valor 
em t =0 igual ao valor do limite no ponto. Portanto, temos:
F(0) = [1, 2, 1] = Ԧ𝑥, 2 Ԧ𝑦, Ԧ𝑧
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F(t) = [2t + 1, 
2𝑠𝑒𝑛𝑡
𝑡
, 
t3−3t+2
𝑡+2
]
lim
𝑡→−2
2𝑡 + 1 = -3
lim
𝑡→−2
2𝑠𝑒𝑛𝑡
𝑡
= - sen(-2) = sen 2
lim
𝑡→−2
t3−3t+2
𝑡+2
= −8 +6+2
−2+2
= 
0
0
lim
𝑡→−2
t3−3t+2
𝑡+2
= lim
𝑡→−2
(t2−2t+1)(t + 2)
𝑡+2
= 4 + 4+ 1 = 9 
Portanto, temos: F(-2) = [-3, sen 2, 9] 
t3−3t+2 t + 2
-t3−2t2 t2-2t +1
−2t2−3t+2
2t2 + 4t
t + 2
-t – 2
0
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A Derivada r’ de uma função vetorial r é definida do mesmo modo como 
foi feito para as funções de valores reais: 
Vetor Tangente r’(t) Vetor Secante 𝑷𝑸
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Constante
Potência
Produto por Constante
Soma / Subtração
Produto de Função
(uv)’ = u * v’ + v * u’
Divisão de Função
Regrar da Cadeia
Potência de Função
Funções Trigonométricas
(cosec) = cosec x . cotg x
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Relações Trigonométricas Fundamentais 
sen2 x + cos2x = 1
tg x = 
𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥
cotg x = 
1
tg 𝑥
= 
cos 𝑥
sen 𝑥
sec x = 
1
cos 𝑥
cossec x = 
1
sen 𝑥
sec2x = 1 + tg2x 
csc2x = 1 + cotg2x
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Soma e Diferença de Arcos
cos (a + b) = cos a.cos b – sen a.sen b
cos (a - b) = cos a.cos b + sen a.sen b
sen (a + b) = sen a.cos b + sen b.cos a
sen (a - b) = sen a.cos b - sen b.cos a
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Exemplo
Vamos obter a derivada da função G(u) = [sec u, u2+1, 3eu]
para u=π/4
f1 = sec u f1’ = sec u tg u
f2 = u
2+1 f2’ = 2u
f3 = 3e
u f2’ = 3e
u
G’(u) = [sec u tgu, 2u, 3eu]
G’(π/4) = [sec π/4 tg π/4, 2 π/4, 3eπ/4] = [ 2,
π
2
, 3eπ/4]
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A reta tangente a C em P é definida como a reta que 
passa por P e é paralela ao vetor r’(t). 
O vetor tangente unitário é dado por:
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Se r(t) = [f(t), g(t), h(t)] = f(t)Ԧ𝑖 + g(t)Ԧ𝑗 + h(t)𝑘
f t , g(t) e h(t) são funções diferenciais, então:
r’(t) = [f’(t), g’(t), h’(t)] = f′(t)Ԧ𝑖 + g’(t)Ԧ𝑗 + h’(t)𝑘
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Fisicamente, se um objeto descreve uma curva no plano e sua
posição em cada instante t é dada por:
r(t) = [x(t); y(t)],
A derivada da função vetorial r(t) é a velocidade do objeto, pois a
velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo.
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aponta sempre na direção
tangente ao deslocamento
da partícula para t crescente.
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Exemplo:
Seja r(t) = (1 + t2)Ԧ𝑖 + (et)Ԧ𝑗 + (sen t) 𝑘.
a) Determine a derivada de r(t) 
r’(t) = (2t)Ԧ𝑖 + (et)Ԧ𝑗 + cos t 𝑘
b) Determine o vetor tangente unitário no ponto em que t=0.
r’(0) = Ԧj + k
r′(0) = 1 + 1 = 2
T(0) = 
Ԧ𝑗 + 𝑘
2
= 
Ԧ𝑗
2
+ 
𝑘
2
= 
2
2
Ԧ𝑗 + 
2
2
𝑘
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Propriedades da Derivada
Sejam 𝑢(t) e Ԧ𝑣(t), funções vetoriais diferenciáveis e f(t) uma função escalar.
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Exercícios
Ache a derivada dos vetores abaixo
a) 𝑟(𝑡) = sent Ԧ𝑖 + cost Ԧ𝑗 + 5𝑘
b) 𝑟(𝑡) = t Ԧ𝑖 +( 4 − 𝑡2)3 Ԧ𝑗 + (1 − t )𝑘
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Solução 1 
a) Ԧ𝑟 (t)= sentԦ𝑖 + cosԦ𝑗 + 5𝑘
𝑟′ (t)= costԦ𝑖 - senԦ𝑗
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Solução 1 
b) 𝑟(𝑡) = t Ԧ𝑖 + (4 − 𝑡2)3 Ԧ𝑗 + (1 − t )𝑘
𝑟′(𝑡) = Ԧ𝑖 + 3 (4 − 𝑡2)2 (-2t) Ԧ𝑗 − 𝑘
𝑟′(𝑡) = Ԧ𝑖 - 6t (4 − 𝑡2)2 Ԧ𝑗 − 𝑘
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Exemplo 1 - Considerando uma função vetorial G(t), tal que, para todo
t de seu domínio, a norma(módulo) de G(t) seja sempre igual a uma
constante k, determine o valor do produto escalar de G(t).
𝑑
𝑑𝑡
[G(t)].
Como Ԧ𝐺(t) é um vetorentão: A .B = |A | |B | cos θ
Pelo enunciado temos:
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Como Ԧ𝐺(t). Ԧ𝐺(t) é uma constante então a derivada é nula
Logo 
Como o produto escalar será 0 (zero), o vetor Ԧ𝐺(t) e o vetor 𝐺′(t) 
serão ortogonais
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As derivadas de ordem superior serão definidas de
forma semelhante, isto é, a derivada de ordem n da
função vetorial será obtida pelas derivadas de
ordem n das funções componentes.
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Exemplo 2 - Vamos obter a derivada de segunda ordem da função
G(u) = [sec u, u2+1, 3eu].
G’(u) = [secu tgu, 2u, 3eu]
f1’ (u) = secu tgu f1’’ (u) = secu tgu tgu + secu sec
2u = sec u tg2u + sec3u
f2’ (u) = 2u f2’’ (u) = 2
f3’ (u) = 3e
u f3’’ (u) = 3e
u
G’’(u) = [sec utg2u + sec3 u, 2, 3eu]
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Exercícios
1 - Determine a derivada da função Ԧ𝐹(t) = [ t + cos t, 3t2, t + 2]
2 - Determine a derivada da função Ԧ𝐹(t) = [ 4t - et, sen 2t, 5t2 – 3t]
3 - Determine a derivada segunda da função Ԧ𝐹(t) = [3cos 2t, 𝝅 - sen t, 2 tgt]
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Solução 1
Ԧ𝐹(t) = [ t + cos t, 3t2, t + 2]
f1 = t + cos t f1’ = 1 - sen t 
f2 = 3t
2 f2’ = 6t
f3 = t + 2 f3’ = 1
Ԧ𝐹’(t) = [ 1 – sen t, 6t, 1]
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Solução 2 Ԧ𝐹(t) = [ 4t - et, sen 2t, 5t2 – 3t]
f1 = 4 t - e
t f1’ = 4 - e
t
f2 = sen 2t f2’ = 2cos 2t
f3 = 5t
2 – 3t f3’ = 10 t - 3
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Solução 3 Ԧ𝐹(t) = [3cos 2t, 𝝅 - sen t, 2 tgt]
f1 = 3cos 2t f1’ = 3(-sen 2t) * 2 = -6sen 2t 
f2 = 𝝅 - sen t f2’ = -cos t
f3 = 2tg t f3’ = 2sec
2 t
f1’ = -6sen 2t f1’’ = - 6(cos 2t)* 2 = =-12 cos 2t 
f2’ = -cos t f2’’ = sen t
f3’ = 2sec
2 t f3’’ = 2sec t (sec t)’ = 2 sec t sec t tg t = 2sec
2 t tg t
Ԧ𝐹(t) = [- 12cos 2t, sent, 2sec2 tg t]
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Solução 3 Ԧ𝐹(t) = [3cos 2t, 𝝅 - sen t, 2 tg3t]
Outra forma
f3’ = sec
2 t = sec t sec t
f3’’ = (sec t)’sec t + sec t (sec t)’ 
f3’’ = sec t tg t sec t + sec t sec t tg t 
f3’’ = sec
2 t tg t + sec2 t tg t
f3’’ = 2 sec
2 t tg t
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Integrais das Funções Vetoriais
De forma semelhante à operação do limite e da derivada, a
integração de funções vetoriais segue a mesma definição da
integração de uma função real e será calculada por meio da
integração de suas funções componentes.
Ԧ𝐹(t) =[ f1(t), f2(t), ..., f3(t)], então
𝑎׬
𝑏 Ԧ𝐹(t)= 𝑎׬]
𝑏
f1(t), 𝑎׬
𝑏
f2(t), ..., 𝑎׬
𝑏
fn(t)]
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Teorema Fundamental do Cálculo
𝑎׬
𝑏 Ԧ𝐹(t)dt = หԦ𝐺(t) ba= Ԧ𝐺(b) - Ԧ𝐺(a)
Ԧ𝐺(t) é a primitiva de Ԧ𝐹(t)
𝐺′(t) = Ԧ𝐹(t)
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Exemplo
Considerando a função H(u) = [u, cos u, -sec2u] para u > 0,
determine 0׬
𝝅/4
H(u)du.
𝑢𝑑𝑢׬ =
𝑢2
2
+ C
׬ cos 𝑢 𝑑𝑢 = sen u + C
−׬ 𝑠𝑒𝑐2 𝑢 = - tg u + C
0׬
𝝅/4
H(u)du =[ ቓ
𝑢2
2
𝝅/4
0
, 𝑠𝑒𝑛𝑢ۀ 𝝅/4
0
, −ۀ tg 𝑢 𝝅/4
0
=
0׬
𝝅/4
H(u)du = [(
𝝅2
32
- 0), (
2
2
- 0), (-1 – 0)] = [
𝝅2
32
,
2
2
, -1]
"Fazer da educação a nossa identidade"
OBRIGADA !