TALITA ATIVIDADE 2

Prévia do material em texto

CENTRO UNIVERSITÁRIO DA GRANDE DOURADOS FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
 ENGENHARIA DE PRODUÇÃO
#ATIVIDADE - 2
DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
PROFESSOR: Wilson Espindola Passos					 ANO:	2021
1- Calcular as derivadas das expressões abaixo, usando as fórmulas de derivação:
a) R: = 2x + 4
b) R: f (x) = - 
c) R: = ( x2 + 1)
d) R : = 
e) R : = 36 x + 
f) R: = 
g) 	 R: = 
 h) 	 R: = 2 (9x2 + x – 1)
i) 	 R: = 
j) 	 R: = 
k) 	 R: = 
l) 	 R: = 
m) R: 
n) 	 R: : = 
o) R: = 10x (x2 – a2)4
2- Para cada função f(x), determine a derivada f’(x) no ponto x0 indicado:
 
a) f(4) = 42 = 16
b) f(3) = 2*3+3 = 6 +3 = 9
c) f(1) = -3*1 = -3
d) f(2) = 22-3*2 = 4-6 = -2
e) f(0) = 02- 4 = -4
f) f(0) = 5*04+03-6*02+9*0-4 = -4
g) f(2) = ½ = 0,5
h) f(5) = 5*52+3*5 -9/52+5 = 5*25+15-9/30 = 131/30 = 4,37
i) f(6) = 62-3*6+4 = 36-18+4 = 14
Aplicação de derivaras e máximos e minimos
1-Deseja-se construir uma piscina com formato quadrangular com capacidade de 32 m3 de água. Determinar as dimensões da piscina para que seja mínimo o consumo de material utilizado no seu revestimento interno.
As dimensões são a, a e y e seu volume é de 32 m3 , então 
V = a2*y = 32
y = 32/a2
A área total do revestimento da piscina de base quadrangular é A = 4*a*y + a2, pois se sabe que a área total de um prisma de base quadrangular fechado é A = 4*a*y +2*a2, todavia a piscina não é fechada confirmando a primeira expressão. Substituindo o valor de y:
 A = 4*a*32/a2 + a2
 A = 
 A = 
 A’ = 
 A’ = = 0
 2*a3 – 128 = 0
 a = 4 e y = 2 
 Logo, as dimensões para que se tenha mínimo gasto de material são respectivamente, 4m, 4m e 2m
 
2- Geraldo deseja construir um cercado retangular para por seus pequenos poodles franceses. Quais dimensões devem ter este cercado, sabendo-se que ele possui apenas 1500m de grade de modo que se tenha uma área máxima?
O cercado apresenta uma forma retangular, e não são conhecidas as dimensões que o cercado deve apresentar, destarte x e y serão os lados do retângulo.
O perímetro do cercado é,
2(x+y) = 1500
x+y = 1500 /2
x+y = 750 
A área do retângulo será,
A = x*y
Com o perímetro, têm-se ,
x = 750 - y
Logo,
A = y(750 – y)
A = 750y – y2
Podemos derivar a função para achar as dimensões (comprimento e a largura) do cercado,
A’(y) = 750 – 2y
com A’(y) = 0 
0 = 750 -2y
2y = 750
Y = 750/2
Y = 350 m
A outra dimensão será,
x = 750 – y
X = 750 – 375
X = 375 m
Embora o e enunciado não tenha solicitado, mas a área máxima seria,
A = x* y
A = 375*375
A = 140625m2
resposta: As dimensões do cercado são de 375m por 375m e a sua área máxima é equivalente a 140625m² .
3- Uma dona de casa deseja construir, uma pequena horta de formato retangular em seu quintal. Porém, ela possui apenas 20m de tela para cercá-la. Quais deverão ser as medidas dos lados do retângulo, para que o máximo de espaço seja aproveitado? 
Como ainda não é conhecida a largura da horta, foi adotado x para representar essa largura, e para manter os 20m de tela, foi posto para o comprimento 10 –x, de tal forma que ao calcular o perímetro do retângulo será mantido os 20m de tela. 
Como o perímetro é de 20m, as dimensões do retângulo são de 10 –x e x. Calculando a área do retângulo, obtêm-se:
A(x) = x∙(10 –x)
A(x) = 10∙x –x2 
A área será máxima, quando a tangente tiver inclinação zero.
 A’(x) = 10 –2∙x
Igualando-se a derivada a zero,10 –2∙x = 0, logo x = 5.
Para que seja possível ter o maior aproveitamento da área com os 20m de tela, a dona de casa deverá fazer sua horta com as dimensões de 5m x 5m, onde obterá uma área útil de 25m2.
4- Carlos Antônio precisa fazer um reservatório de água (espécie de tanque) feito com tijolo e cimento revestido de cerâmica, sem tampa, tendo na base um retângulo com comprimento igual ao triplo da largura. Calcule as dimensões que permitem a máxima economia de material para produzir o reservatório de volume de 36 m3.
 O volume desta caixa é dado por V = 3*x*x*y = 3* x2*y e então,
V = 3*x2*y, V = 36 m3
3*x2*y = 36, y = 36/3*x2 = y = 12/x2
A área total da caixa é A = (3*x*x+2*x*y+2*3*x*y), logo a área 
 A = 3*x2+ 8*x*y
Substituindo y na área,
 A(x) = 3*x2+8*x*12/x2+96/x
 A(x) = 3*x3+96/x
Para encontrar o valor máximo ou mínimo é preciso derivar a área e igualar
A zero:
A’(x) = 
A’(x) = = 
A’(x) = 0,
A’(x) = 6*x3-96 = 0
X = 3√16 =2 3√2 ≈ = 2.52 metros
Para calcular a altura é só substituir a medida x em y = 12/x2, y = 12/3√16, logo, y = 4,76 metros.
Logo, as dimensões que permitem a máxima economia de material para um tanque de volume 36 m3, são aproximadamente: comprimento, largura e altura, respectivamente, 7,56 m, 2,52 m e 4,76 m.
5- O empresário Augusto deseja lançar um novo suco em lata no mercado. Para isso, foi feito um contrato com uma indústria de embalagens, que deve fabricar recipientes cilíndricos em alumínio com capacidade de 800 cm3. Qual deve ser a medida R do raio da base e a medida H da altura de cada um desses recipientes cilíndricos de modo que a quantidade de alumínio utilizada para sua fabricação seja mínima?
área total do cilindro é e seu volume é v = *R2*H,
 V = 800 cm3
 *R2*H = 800
 H = 800/
Substituindo na formula da área a altura tem-se o seguinte: 
 A = 2**R*+2* *R2 = +2* *R2
 A = + 2* *R2
 A (R) = 
 Derivando a área em relação ao raio e depois igualando a zero,
 A (R) = 
 A’(R) = =0
 R = 3√
 R = 3√ cm e para encontrar a altura substituir em H = , assim: 
 H = * 
 H = 2*3√
 então, as medidas do raio e da altura serão, respectivamente, 3√ e 2*3√, que equivalem a 5,03 cm e 10, 06 cm, ou seja, H = 2*R.
6- Um agricultor precisa construir um galinheiro de forma retangular utilizando-se de uma tela de 16m. Sabendo que ele vai usar um muro como fundo do galinheiro, determine as dimensões do mesmo para que sua dimensão seja máxima.
O comprimento da tela é de 16 m e como ele vai aproveitar o muro logo as dimensões do galinheiro serão x m, 16 – 2x m, xm.
A área é A (x) = (16 – 2*x)*x a derivada da área igualada à zero determinará qual valor das dimensões para que seja máxima a área do galinheiro.
 A (x) = 16*x-2*x2
 A’(x) = 16 – 4*x = 0
 X = 4 
Então as dimensões são 4m e 8m.
(
)
2
2
x
x
f
=
2
3
2
3
x
x
y
+
=
(
)
(
)
1
6
1
3
-
×
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
x
x
x
x
f
x
b
a
x
b
a
x
y
-
-
-
+
=
2
5
(
)
2
3
3
1
x
x
y
+
=
(
)
(
)
2
3
1
2
+
-
=
x
x
x
y
2
2
4
2
x
b
x
y-
=
x
a
x
a
y
+
-
=
3
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
-
=
x
a
x
a
y
x
x
y
-
+
=
1
1
(
)
3
3
1
x
y
+
=
2
3
1
1
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
=
x
x
x
dx
dy
(
)
5
2
2
a
x
y
-
=
6
4
3
)
(
)
5
5
9
3
5
)
(
)
2
1
)
(
)
0
4
9
6
5
)
(
)
0
4
)
(
)
2
3
)
(
)
1
3
)
(
)
3
3
2
)
(
)
4
)
(
)
0
2
0
2
2
0
0
2
3
4
0
2
0
2
0
0
0
2
=
+
-
=
=
+
-
+
=
=
=
=
-
+
-
+
=
=
-
=
=
-
=
=
-
=
=
+
=
=
=
x
para
x
x
x
f
i
x
para
x
x
x
x
f
h
x
para
x
x
f
g
x
para
x
x
x
x
x
f
f
x
para
x
x
f
e
x
para
x
x
x
f
d
x
para
x
x
f
c
x
para
x
x
f
b
x
para
x
x
f
a
x
x
y
4
2
+
=