PROJETO DE CONCRETO (CONCLUÍDO)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE RORAIMA 
PRO REITORIA DE ENSINO E GRADUAÇÃO 
CENTRO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA - CCT 
DEPARTAMENTO DE ARQUITETURA E URBANISMO - DAU 
CURSO DE ARQUITETURA E URBANISMO 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROJETO ESTRUTURAL: CÁLCULO E DIMENSIONAMENTO DAS 
LAJES, VIGAS E PILARES DE UMA RESIDÊNCIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BOA VISTA – RR 
2018.2 
 
2 
 
ENOLLA DINIZ PEREIRA 
FELIPE ALVES EVANGELISTA 
ISABELA ARENAS DALLAGASSA 
RITHELLY LOBATO LIMA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MEMORIAL DE CÁLCULO DE PROJETO ESTRUTURAL EM 
CONCRETO ARMADO PARA UMA EDIFICAÇÃO RESIDENCIAL 
 
 
Trabalho escrito apresentado ao Curso de 
Arquitetura e Urbanismo da Universidade Federal 
de Roraima, como requisito parcial para obtenção 
de notas na Disciplina de Estrutura de concreto 
armado I – Sistemas IV sob orientação do professor 
Gustavo Neres Nunes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
BOA VISTA – RR 
2018.2 
 
3 
 
 
SUMÁRIO: 
1. INTRODUÇÃO....................................................................................................5 
2. DESCRIÇÃO DO PROJETO...............................................................................6. 
3. CÁLCULO DE ESPESSURA MINIMA DA LAJE..............................................7 
4. CÁLCULO DE Ψ2.................................................................................................................................................8 
5. CÁLCULO DE Ψ3.................................................................................................................................................8 
6. DETERMINAÇÃO DA ESPESSURA MÍNIMA................................................9 
7. CÁLCULO DO CARREGAMENTO NAS LAJES.............................................9 
7.1 Carga Permanente (g) ................................................................................................9 
7.2 Revestimento..............................................................................................................9 
7.3 Carga acidental...........................................................................................................9 
7.4 Carga Total.................................................................................................................9 
8. CÁLCULO DA REAÇÃO DE APOIO DA LAJE.............................................10 
9. CÁLCULO DO MOMENTO FLETOR DA LAJE............................................10 
10. CÁLCULO DE DIMENSIONAMENTO DE LAJES........................................12 
a) Momento de projeto............................................................................................12 
b) Índice kc..............................................................................................................12 
c) Laje 4...................................................................................................................12 
d) Índice ks..............................................................................................................13 
e) Laje 4...................................................................................................................13 
f) Cálculo da área do aço.........................................................................................13 
g) Laje 4...................................................................................................................13 
h) Cálculo da área mínima do aço............................................................................14 
i) Laje......................................................................................................................14 
j) Cálculo de número de barras...............................................................................14 
k) Laje 4................................................................................................................... 16 
l) Cálculo de espaçamento.......................................................................................16 
m) Laje 4...................................................................................................................16 
11. LEVANTAMENTO DE CARGAS DAS VIGAS...............................................19 
4 
 
11.1 Carregamento das reações de apoio das lajes...........................................................19 
11.2 Peso Próprio.............................................................................................................20 
11.3 Carregamento Total................................................................................................ 21 
11.4 Carregamentos atuantes na viga 6...........................................................................23 
11.5 Carregamentos atuantes na viga 21...................................................................... ..24 
12. DIMENSIONAMENTO A FLEXÃO DE VIGAS.............................................25 
12.1 Cálculo da largura efetiva da mesa..........................................................................25 
 12.2 Estimativa de altura útil..........................................................................................26 
12.3 Cálculo da posição da linha neutra............................................................................26 
12.4 Cálculo da armadura (as) ........................................................................................26 
13. O CÁLCULO DO CISALHAMENTO ..............................................................28 
13.1 Espaçamento............................................................................................................30 
14. COMPRIMENTO DE ANCORAGEM...............................................................32 
14.1 Cálculo do comprimento de ancoragem da viga 6...................................................33 
15. CONCLUSÃO.....................................................................................................35 
16. REFERENCIAS..................................................................................................36 
 
 
5 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
 O trabalho visa expor como são os procedimentos necessários, passo a passo para 
o cálculo de dimensionamento de vigas e lajes de um edifício, conhecidos através das 
aulas lecionadas durante todo o semestre. 
Para esse tipo de cálculo existem normas que servem para padronização de 
análises, que são a NBR 6118 – Projeto de estruturas de concreto e a NBR 6129 – Cargas 
para cálculo de estruturas de edificações. 
O projeto tem etapas de cálculos que funcionam da seguinte maneira: inicialmente 
as lajes, que são placas contínuas geralmente apoiadas em seu perímetro por colunas que 
constituem os pavimentos e tetos de edificações estruturadas em concreto armado objeto 
de estudo e cálculo, as utilizadas no projeto são maciças, quanto a sua tipologia, após 
determinarmos as dimensões de cada laje foi definido por meio de cálculo as espessuras 
mínimas das lajes, seus pesos totais, áreas, número de barras, espaçamentos entre as 
barras, diâmetros de bitola e área mínimas, que correspondem as duas primeiras provas. 
Sucessivamente, os cálculos de vigas foram iniciados, as mesmas funcionam para 
a sustentação das lajes e transferem os pesos a pilares existentes na edificação. Quanto a 
sua classificação as vigas se dividem em viga T e viga retangular e os dois métodos de 
cálculos foram ensinados em sala de aula, além de todos os cálculos citados 
anteriormente. No cálculo de vigas se acrescentam, cisalhamento e ancoragem, as vigas 
selecionadas pelo professor, após a verificação, foram somente classificadas como 
retangulares, portanto não se encontra nesse material o método a ser adotado caso as vigas 
sejam T. 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
2. DESCRIÇÃO DO PROJETO 
Este projeto foi idealizado para ser construído na zona urbana de uma região de clima 
úmido e tropical, como o intuito de proporcionar um ambiente que gere a sensação de 
segurança, aconchegoe uma estética agradável. 
O edifício é composto por dois pavimentos, no pavimento térreo os cômodos 
correspondentes são: sala de estar, sala de jantar, cozinha, lavabo, garagem e área de 
serviço. No pavimento superior encontram – se três dormitórios e uma suíte. 
A edificação está localizada em uma zona urbana de clima úmido, e de acordo com a 
Norma 6118:2003 possui baixo índice de agressividade, a área construída da casa conta 
com 179,80 m2, o que significa que ocupa 62,43% do lote total, pois o terreno mede 12m 
por 24m, totalizando 288m2 no total. No terreno ainda podem haver outras adições na 
edificação, mas somente para o fundo. Não existe nenhum tipo de vegetação a não ser 
rasteira, mas o projeto conta com a implantação de espécies arbóreas de médio porte para 
melhor conforto térmico. 
Para que os cálculos sejam realizados, adotamos as seguintes especificações Concreto 
Armado de categoria 50kgf/mm², e concreto com classe de 20Mpa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
3. CÁLCULO DA ESPESSURA MÍNIMA DA LAJE 
 
A NBR 6118 (item 13.2.4.1) estabelece que a espessura mínima para as lajes maciças 
deve respeitar: 
a) 7 cm para lajes de cobertura não em balanço; 
b) 8 cm para lajes de piso não em balanço; 
c) 10 cm para lajes em balanço; 
d) 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 kN; 
e) 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN; 
f) 15 cm para lajes com protensão apoiada em vigas, com o mínimo de /42 para 
lajes de piso biapoiadas e /50 para lajes de piso contínuas; 
g) 16 cm para lajes lisas e 14 cm para lajes cogumelo fora do capitel 
 
Sendo d a altura útil da laje, temos: 
 
𝑑 =
𝑙
𝜓2. 𝜓3
 
 Onde, 
 
l = lx é o menor vão. 
A laje 01 vai servir para a demonstração de como os cálculos devem ser 
realizados. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 01: Laje 1 
Fonte: os autores 
8 
 
4. CÁLCULO DE Ψ2 
De acordo com a Tabela 4 do Libânio M. Pinheiro, é definido o pré-dimensionamento 
das lajes por sua quantidade de vínculos e dimensões. 
 
Figura 02: pré-dimensionamento dos valores de Ψ2 e Ψ3 
Fonte: Libanio M. Pinheiro 
 
No caso da laje1 anteriormente citada: 
lx = vão menor = 3,63m 
ly = vão maior = 3,65m 
Para que os valores da tabela sejam inseridos é necessário que se obtenha o valor de λ, 
através da seguinte fórmula: 
𝜆 =
𝑙𝑦
𝑙𝑥
=
3,65𝑚
3,63𝑚
= 1,00 
Com o valor de λ obtido, pela mesma tabela (Tabela 2.1ª), o valor correspondente de Ψ2 
é dado por: 
Ψ2 = 1,80 
5. CÁLCULO DE Ψ3 
De acordo com a Tabela 2.1ª (Libânio M. Pinheiro), sabendo – se que o aço com o qual 
trabalharemos é o aço CA 50 e que todas as lajes no dito projeto serão maciças, temos: 
fyk = 500 MPa 
Assim, diretamente na tabela (Laje Maciça), temos: 
Ψ3 = 25 
9 
 
6. DETERMINAÇÃO DA ESPESSURA MÍNIMA 
𝑑 =
𝑙
𝜓2. 𝜓3
=
3,63
1,80 . 25
= 0,09𝑚 = 𝑙𝑜𝑔𝑜 9𝑐𝑚 
Mas, diante de todas as alturas calculadas, adotou – se como método de padronização, a 
seguinte medida: 10 cm para lajes inferiores e 8 cm para lajes superiores. 
 
 
7. CÁLCULO DO CARREGAMENTO NAS LAJES 
 
7.1 Carga Permanente (g) 
Peso próprio 
γ concreto armado = 25 KN/m³ 
Peso Próprio = γ concreto armado * h 
Peso Próprio = 25 * 0,10 = 2,5 KN/m² 
7.2 Revestimento: 
Revestimento = 0,8KN/m² 
Para fazer o cálculo do contrapiso, faz-se o produto da γ do contrapiso pela argamassa, 
logo, o valor utilizado para a laje foi de 1,47KN. 
7.3 Carga acidental: 
Segundo a NBR 6120, adota-se o valor de 1,5KN para lajes que têm acesso ao uso de 
pessoas, e para as lajes sem acesso, 0,5KN. 
7.4 Carga Total: 
𝑞𝑡 = 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑝𝑟ó𝑝𝑟𝑖𝑜 + 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑝𝑖𝑠𝑜 + 𝑟𝑒𝑣𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 + 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑎𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙𝑞𝑡
= 2,5 + 1,47 + 1,5 + 0,08 = 5,5𝐾𝑁
10 
 
 
8. CÁLCULO DA REAÇÃO DE APOIO DA LAJE: (ANEXO 1) 
Para entrarmos na Tabela 2.1ª (Libânio M. Pinheiro), temos: 
𝜆 = 1,00 (Valor já citado acima) 
Gerando os seguintes valores, obtidos na Tabela 2.1ª (Libânio M. Pinheiro): 
υX=2,19; υX’=3,20; υY=2,17; υY'=3,17. 
Utilizando a fórmula: 
𝑉𝑥 = 𝜐𝑋 ∗ (
𝑝𝑙𝑋
10
) 
Foram obtidos os seguintes valores: 
Vx = 4,37 KN/m²; Vx’ = 6,39 KN/m²; Vy = 4,33 KN/m²; Vy’ = 6,33 KN/m² 
 
9. CÁLCULO DO MOMENTO FLETOR DA LAJE: (ANEXO 2) 
Para entrarmos na Tabela 2.1ª (Libânio M. Pinheiro), temos: 
𝜆 = 1,00 (Valor já citado acima) 
Gerando os seguintes valores, obtidos na Tabela 2.1ª (Libânio M. Pinheiro): 
μX=2,74; μX’=7,08; μY=2,69; μY'=7,03. 
 
Utilizando a fórmula: 
𝑀𝑥 = 𝛍𝑋 ∗ (
𝑝. 𝑙𝑥
100
) 
Foram obtidos os seguintes valores: 
Mx= 1,99 KN.m/m; Mx’= 5,13 KN.m/m; My= 1,95 KN.m/m; My’= 5,09 KN.m/m 
 
 
11 
 
As lajes seguintes foram calculadas de acordo com os métodos citados anteriormente, 
gerando assim os valores descritos nas tabelas abaixo: 
 
Tabela 01 
CÁLCULO ALTURA DAS LAJES 
LAJES LX(m) LY(m) λ ψ2 ψ3 d 
L1 3,63 3,65 1,005509642 1,8 25 9 
L2 1,63 3,1 1,901840491 1,73 25 4 
L3 1,63 3,1 1,901840491 1,73 25 4 
L4 4,275 5 1,169590643 1,73 25 10 
L5 2,35 3,27 1,391489362 2 25 5 
L6 3,15 3,63 1,152380952 1,74 25 8 
L7 3,14 3,62 1,152866242 1,95 25 7 
L8 3,43 3,45 1,005830904 1,79 25 8 
L9 1,45 2,9 2 1,7 25 4 
L10 1,45 2,9 2 1,7 25 4 
L11 3,65 4,28 1,17260274 1,94 25 8 
L12 1,35 4,28 3,17037037 1,4 25 4 
L13 2,35 3,27 1,391489362 2 25 5 
L14 2,95 3,42 1,159322034 1,73 25 7 
L15 2,35 3,1 1,319148936 1,91 25 5 
L16 3,15 3,63 1,152380952 1,74 25 8 
12 
 
Sob orientação do Professor Gustavo Nunes, foram selecionadas as lajes 04 e 08, 
calculadas a partir do seguinte método: 
10. CÁLCULO DE DIMENSIONAMENTO DE LAJES (ANEXO 3) 
a. Momento de projeto 
Multiplica-se o momento calculado pelo coeficiente de concreto γ = 1,4. Assim é obtido 
o momento de projeto, na laje 04 a operação foi realizada da seguinte maneira: 
Mx: 3,44 x 1,4= 4,81 KN.m/m 
My: 2,66 x 1,4= 3,73 KN.m/m 
Mx’: 8,32 x 1,4= 11,56 KN.m/m 
My’: 7,54 x 1,4=10,55 KN.m/m 
b. Índice Kc 
 
 Para efetuar esses cálculos devemos adotar e utilizar 𝑏𝑤 (𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑎 𝑙𝑎𝑗𝑒) =
100 𝑐𝑚 padrão para todas as lajes: 
𝐾𝑐 =
𝑏𝑤 . 𝑑²
𝑀𝑠𝑑 . 100
 
 
c. Laje 4 
 
 Para calcular o Kc da laje em questão, utilizar os valores já calculados de 𝑑 =
7,25𝑐𝑚, de 𝑀𝑠𝑑𝑥 = 4,81
𝐾𝑁𝑚
𝑚
 e 𝑀𝑠𝑑𝑦 = 3,73
𝐾𝑁𝑚
𝑚
, 𝑀𝑠𝑑𝑥′ = 11,65
𝐾𝑁𝑚
𝑚
 e 𝑀𝑠𝑑𝑦′ =
10,55
𝐾𝑁𝑚
𝑚
com isso temos: 
 
𝐾𝑐𝑥 =
100 . 7,252
4,81 . 100
= 11,01
𝑐𝑚2
𝐾𝑁
 
 
 
𝐾𝑐𝑦 =
100 . 7,252
3,73 . 100
= 14,10
𝑐𝑚2
𝐾𝑁
 
 
13 
 
𝐾𝑐𝑥′ =
100 . 7,252
11,65 . 100
= 4,51
𝑐𝑚2
𝐾𝑁
 
 
 
𝐾𝑐𝑦′ =
100 . 7,252
10,55 . 100
= 4,98
𝑐𝑚2
𝐾𝑁
 
 
 
d. Índice Ks 
 
 O coeficiente de Ks deve ser obtido por meio da análise da tabela 13 (Libânio M. 
Pinheiro), deve-se levar em consideração 𝐾𝑐 encontrado da laje e o C e CA (concreto e 
aço) estabelecido. 
 
e. Laje 4 
 
 Para encontrar o Ks da L4 devemos ter os valores de Kc, e considerar o concreto 
C20 e o aço CA-50, com isso encontramos: 
 
𝐾𝑠𝑥 = 0,024, 𝐾𝑠𝑥′ = 0,02570187, 𝐾𝑠𝑦 = 0,024 e 𝐾𝑠𝑦′ = 0,025 
 
f. Cálculo da área do aço 
 
 Esse cálculo tem o objetivo obter a área que aço irá ocupar na laje, no entanto 
ainda é possível verificar a área mínima para saber se o valor obtido com o cálculo da 
área é o bastante para a carga já calculada, para realizar esse cálculo devemos saber o Ks 
da laje, além do Msd e da altura útil encontrada, temos então: 
 
𝐴𝑠𝑑 =
𝐾𝑠 . 𝑀𝑠𝑑
𝑑
 
 
g. Laje 4 
 
 Para encontrar a área do aço da laje 4: 
14 
 
 
𝐴𝑠𝑑𝑥 =
0,024 . 4,81
𝐾𝑁𝑐𝑚
𝑐𝑚 
7,25 𝑐𝑚
= 0,02 
𝑐𝑚2
𝑐𝑚
 
 
𝐴𝑠𝑑𝑦 =
0,024 . 3,73
𝐾𝑁𝑐𝑚
𝑐𝑚 
7,25 𝑐𝑚
= 0,01
𝑐𝑚2
𝑐𝑚
 
 
𝐴𝑠𝑑𝑥′ =
0,025701871 . 11,65
𝐾𝑁𝑐𝑚
𝑐𝑚 
7,25 𝑐𝑚
= 0,04
𝑐𝑚2
𝑐𝑚
 
 
𝐴𝑠𝑑𝑦′ =
0,025 . 10,55
𝐾𝑁𝑐𝑚
𝑐𝑚 
7,25 𝑐𝑚
= 0,04
𝑐𝑚2
𝑐𝑚
 
Tendo em vista que as áreas não passaram, foi utilizada a área de aço mínima: 
h. Cálculo da área mínima do açoAssim como o cálculo da área do aço o cálculo da área mínima estabelece o 
mínimo que a área calculada dele obter, por isso temos: 
 
𝐴𝑠𝑑 =
0,1 . 𝑏 . ℎ 
100
 
 
i. Laje 4 
 
 Para encontrar a área do aço mínima da laje 4 
𝐴𝑠𝑑 𝑚𝑖𝑛 =
0,1 . 100 . 10
100
= 1,00
𝑐𝑚2
𝑐𝑚
 
 
𝐴𝑠𝑑 𝑚𝑖𝑛 =
0,15 . 100 . 10
100
= 1,50
𝑐𝑚2
𝑐𝑚
 
 
 
 Nesse caso os valores obtidos servem tanto para x’ como para y’. 
 
j. Cálculo de número de barras 
15 
 
 
 Esse cálculo é responsável por estabelecer a quantidade de barras de aço que será 
utilizada no projeto, para realizar o cálculo devemos utilizar o Asd encontrado, e saber a 
bitola adotada para calcular a área da barra. 
 
𝑁 =
𝐴𝑠𝑑
𝜋 . ∅²
4
 
k. Laje 4 
 
 Para a calcular o número de barras da laje 4: 
𝑁𝑥 =
1,00
𝜋 .0, 5²
4
= 5,092 ≅ 6 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 ∅ 5,0 𝑚𝑚 
𝑁𝑋′ =
1,5
𝜋 .0, 5²
4
= 7,64 ≅ 8𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 ∅ 5,0 𝑚𝑚 
 
 
𝑁𝑦 =
1,00
𝜋 . 0,5²
4
= 5,092 ≅ 6 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 ∅ 5,0 𝑚𝑚 
𝑁𝑌′ =
1,5
𝜋 . 5²
4
= 7,64 ≅ 8 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 ∅ 5,0 𝑚𝑚 
 
l. Cálculo de espaçamento 
 
 O cálculo de espaçamento é responsável por reger a distância que as barras terão 
uma das outras, nesse casso o espaçamento se faz por duas etapas: 
 
 1ª – verificação do espaçamento 
 
 
 
 S = 
 
10 cm 
20 cm 2 . h 
16 
 
 2ª – cálculo do espaçamento 
 
𝑆 =
100 . 𝐴∅
𝐴𝑠𝑑∅
 
 
m. Laje 4 
 
 Para calcular o escapamento da laje 4 nas duas etapas utilizaremos 𝐴𝑠𝑑𝑥 =
1,00
𝑐𝑚2
𝑐𝑚
 e 𝐴𝑠𝑑𝑦 = 1,0
𝑐𝑚2
𝑐𝑚
, 𝐴𝑠𝑑𝑥′ = 1,5
𝑐𝑚2
𝑐𝑚
, 𝐴𝑠𝑑𝑦 = 1,5
𝑐𝑚2
𝑐𝑚
,usando a bitola de 5,0 
mm, onde h = 10cm. 
 
 1ª – verificação do espaçamento 
 
 
 
 
 S = 
 
 
 
2ª – cálculo do espaçamento 
 
𝑆𝑥 =
100 . 
𝜋 . 0,5²
4
1,00
= 20𝑐𝑚 
𝑆𝑥′ =
100 . 
𝜋 . 0,5²
4
1,5
= 14𝑐𝑚 
 
 
𝑆𝑦 =
100 . 
𝜋 . 0,5²
4
1,00
= 20𝑐𝑚 
 
10 cm 
20 cm 
2 . 15 cm = 30 cm 
17 
 
𝑆𝑥 =
100 . 
𝜋 . 0,5²
4
1,5
= 14𝑐𝑚 
 
 Nesse caso vemos que o espaçamento da laje 4 passou tanto na verificação quanto 
no cálculo de espaçamento. 
 
Figura 03 - detalhamento laje 04 
 
Figura 04 – detalhamento laje 08 
 
 
 
 
18 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
 
11. LEVANTAMENTO DE CARGAS DAS VIGAS 
Por meio da seguinte equação podemos calcular as cargas provenientes da 
alvenaria. 
𝑄𝑎𝑙𝑣 = 
𝛾𝑎𝑙𝑣𝑒𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎
𝐿𝑣𝑖𝑔𝑎
 
Onde: 
𝛾𝑎𝑙𝑣𝑒𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎 = 13
𝐾𝑁
𝑚3
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑖𝑗𝑜𝑙𝑜 𝑓𝑢𝑟𝑎𝑑𝑜 
𝐿𝑣𝑖𝑔𝑎= Vão de cada trecho calculado 
 
TABELA 02: Carregamento da alvenaria na V6 
Trecho 
Vão 
(m) Peso específico alvenaria (KN/m³) Carregamento (KN/m) 
Trecho 
1 3,05 13 4,27 
Trecho 
2 1,20 13 10,84 
Trecho 
3 1,20 13 10,84 
 
A viga 21 por estar posicionada no pavimento superior e por não existir nenhuma outra 
estrutura acima da viga, não possui carregamento de alvenaria. 
11.1 Carregamento das reações de apoio das lajes 
O carregamento proveniente das lajes para a viga é definido através das reações de 
apoios já calculados nas lajes (Tabela 03). Assim, para as vigas adotou-se os seguintes 
carregamentos: 
20 
 
TABELA 03: Levantamento de cargas das reações de apoio da V6 
Trecho Lajes vx v'x vy v'y Carga Total KN/m 
Trecho 1 L3(ly)+L4(lx) 5,76 8,42 1,53 2,24 17,95 
Trecho 2 L4(lx)+L5(lx) 5,76+4,14 8,42+0 0 0 18,32 
Trecho 3 L5 (lx)+L7(ly) 4,14 0 2,95 4,32 11,41 
 
TABELA 04: Levantamento de cargas das reações de apoio da V21 
Trecho Lajes vx v'x vy v'y Carga Total KN/m 
Trecho 1 L9 0 2,31 0 0 2,31 
Trecho 2 L10 0 2,31 0 0 2,31 
Trecho 3 L11 4,80 0 0 0 4,80 
Trecho 4 L12 2,35 3,35 0 0 5,70 
11.2 Peso Próprio 
 
O peso próprio da viga pode ser calculado através do dimensionamento de sua 
seção transversal multiplicado pelo peso específico do concreto armado. Temos assim: 
 
𝑄𝑝𝑝 = ℎ𝑣𝑖𝑔𝑎 𝑥 𝑏𝑤 𝑥 𝛾𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑜 
 
V6 V21 
ℎ𝑣𝑖𝑔𝑎 = 0,35 𝑚 
𝑏𝑤 = 0,20 𝑚 
𝛾𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑜= 25,0 KN/m³ 
Logo: 
𝑄𝑝𝑝 = 0,35 𝑥 0,20 𝑥 25 = 1,75 𝐾𝑁/𝑚 
ℎ𝑣𝑖𝑔𝑎 = 0,38 𝑚 
𝑏𝑤 = 0,20 𝑚 
𝛾𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑜= 25,0 KN/m³ 
Logo: 
𝑄𝑝𝑝 = 0,38 𝑥 0,20 𝑥 25 = 1,9𝐾𝑁/𝑚 
 
21 
 
11.3 Carregamento Total 
Portanto o carregamento total é a somatória de todas as cargas atuantes em uma 
viga. Portanto: 
𝑄 = 𝑄𝑎𝑙𝑣𝑒𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎 + 𝛴𝑅 + 𝑄𝑝𝑝 
 
Figura 05: Carregamentos distribuídos na viga 6 
Fonte: FTOOL 
 Carregamento Total V6 
 
 Trecho 1: 
𝑄𝑎𝑙𝑣𝑒𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎 = 4,27 𝐾𝑁/𝑚 
𝛴𝑅 = 17,95 
𝑄𝑝𝑝 = 1,75 𝐾𝑁/𝑚 
 Logo: 
Q1 = 4,27+17,95+1,75 = 23,97 KN/m 
 
 Trecho 2: 
𝑄𝑎𝑙𝑣𝑒𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎 = 10,84 𝐾𝑁/𝑚 
𝛴𝑅 = 18,32 
𝑄𝑝𝑝 = 1,75 𝐾𝑁/𝑚 
22 
 
 Logo: 
Q2 = 10,84+ 18,32+1,75 = 30,91 KN/m 
 
 Trecho 3: 
𝑄𝑎𝑙𝑣𝑒𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎 = 10,84𝐾𝑁/𝑚 
𝛴𝑅 = 11,41 𝐾𝑁/𝑚 
𝑄𝑝𝑝 = 1,75𝐾𝑁/𝑚 
 Logo: 
Q3 = 10,84+11,41+1,75= 24,00 KN/m 
 
Figura 06: Carregamentos na viga 21 
Fonte: FTOOL 
Carregamento Total V21 
 
 Trecho 1: 
𝛴𝑅 = 2,31 𝐾𝑁/𝑚 
𝑄𝑝𝑝 = 1,90 𝐾𝑁/𝑚 
 Logo: 
Q1 =2,31+1,90= 4,21= KN/m 
 
 Trecho 2: 
23 
 
𝛴𝑅 = 2,31𝐾𝑁/𝑚 
𝑄𝑝𝑝 = 1,90 𝐾𝑁/𝑚 
 Logo: 
Q2=2,31+1,90= 4,21KN/m 
 
 Trecho 3: 
𝛴𝑅 = 4,80 𝐾𝑁/𝑚 
𝑄𝑝𝑝 = 1,90 𝐾𝑁/𝑚 
Logo: 
Q3 =4,80+1,90=6,7 KN/m 
 Trecho 4: 
𝛴𝑅 = 5,70 𝐾𝑁/𝑚 
𝑄𝑝𝑝 = 1,90 𝐾𝑁/𝑚 
Logo: 
Q3 =5,70+1,90=7,6 KN/m 
 
11.4 Carregamentos atuantes na viga 6 
 
Figura 07: Carregamentos uniformemente distribuídos na viga 6 
Fonte: FTOOL 
24 
 
 
Figura 08: Diagrama de esforço cortante da viga 6 
Fonte: FTOOL 
 
Figura 09: Diagrama de momento fletor da viga 6 
Fonte: FTOOL 
11.5 Carregamentos atuantes na viga 21 
 
Figura 10: Carregamentos uniformemente distribuídos na viga 21 
Fonte: FTOOL 
25 
 
 
Figura 11: Diagrama de esforço cortante da viga 21 
Fonte: FTOOL 
 
Figura 12: Diagrama de momento fletor da viga 21 
Fonte: FTOOL 
 
12. DIMENSIONAMENTO A FLEXÃO DE VIGAS 
Primeiro é necessário verificarmos se a seção da viga a ser calculada será de formato “T” 
ou retangular com as seguintes considerações. 
12.1 Cálculo da largura efetiva da mesa 
Temos que :𝑏𝑓 = b1 + ba+ b3 
Sendo ba= bw = 0,20m 
Mas, segundo a NBR 6118/14, item 14.6.2.2, b1 e b3 podem ser calculados da seguinte 
forma: 
b1≤ {
0,10. 𝑎
0,10. 𝑏2
 
b3≤ {
0,10. 𝑎
𝑏4
 
26 
 
𝑎 = 0,75. 𝑙 (Vão com momento em uma só extremidade) 
𝑎 = 0,75. 3,05= 2,2875 – 2,29 
b1≤ {0,10.2,29= 0,229m 
bf= 0.229+0,20+0,229= 0,658 cm 
12.2 Estimativa de altura útil 
Adotando estribos com φ de 5.0 mm e para a armadura de flexão φ 8 mm, inicialmente temos: 
d’= h- cnom+ φt+
φ
2
= 
350 – 25 - 5 -
 8
2
= 316mm 
12.3 Cálculo da posição da linha neutra 
 Calculo do momento limite 
Mk= 21,6.10⁶ N.mm 
Msd= 21,6.10⁶x1,4= 30,24.10⁶ N.mm 
Md,lim= bf.hf.0,85.fcd. d- 
ℎ𝑓
2
 = 
Md,lim= 658.100.0,86. 14,28.10 N/mm². 316- 
100
2
 = 
Md, lim= 255,23.10⁶ N.mm 
Msd<Md,lim = a linha neutra não interceptou a mesa 
 
Portanto, a viga escolhida terá a seção transversal retangular 
Inserir imagem da seção 
12.4 Cálculo da armadura (as) 
 Cálculo de µsd (Tabela Universal) 
 
µsd= 
𝑀𝑠𝑑
𝑏𝑓.𝑑2.𝑓𝑐𝑑
 = 
30,24.10⁶
200.3162.14,28𝑁/𝑚𝑚
 = 0,10599 106 (domínio 2) 
27 
 
Que por esta entre os valores de 0,099 e 0,107 após a interpolação foi encontrado o 
valor de: 
ζ = 0,928 
 Cálculo da armadura 
Asd= 
𝑀𝑠𝑑
𝑧.𝑓𝑦𝑑
= 
30,24.10⁶
293,248.
500
1,15
 = 237,1780 mm² 
Z= ζ.d= 0,928.316= 293,248 mm 
 Número de barras 
nº=
𝐴𝑠𝑑
𝐴∅
 = 
237,1780
 
 𝛑 .8²
𝟒
= 4,72= 5 barras 
 Cálculo do espaçamento 
S≥ {
20𝑚𝑚
∅ = 8𝑚𝑚
1,2. 𝑏𝑟𝑖𝑡𝑎 = 1,2 .19𝑚𝑚 = 22,8𝑚𝑚
 
 
S= 
𝑏𝑤−2( 𝑐𝑛𝑜𝑚+φt)−nº.∅ 
nº−1
 = 
200−2(25+5)−5.8
5−1
 = 25 mm 
Passou na área de aço mínima exigida 
Este mesmo passo a passo também foi utilizado para o cálculo de dimensionamento da 
viga 21. 
 
 
Figura 13: Tabela de cálculo de flexão das vigas 6 e 21. 
Fonte:Excel 
28 
 
 
Figura 14 – detalhamento viga 06 
 
Figura 15 – detalhamento viga 21 
13. O CÁLCULO DO CISALHAMENTO 
Cálculo de cisalhamento da viga 6 com seção retangular, trecho 1. Dados: 
Aço C20 
Concreto Armado CA50 
Cobrimento Nominal 2,5cm 
γs= 1,15 e γc= 1,4 
Øt= 5mm 
29 
 
Ø= 8mm 
γs= 1,15 e γc= 1,4 
p= 23,97 KN/m 
l= 3,05 m 
bw= 200 mm 
h= 350 mm 
 
 
VK= (p.l)/2 
VK= (23,97. 3,05)/2= 
36,55 KN 
 
Vsd= 1,4. VK 
Vsd= 1,4. 36,55 
Vsd= 51,17KN 
 
 
d=h-Cnom-Øt-(Ø/2) 
d=35-2,5-0,5-(0,8/2) 
d= 31,6 cm 
 
 
αv2= 1- (fck/250) 
αv2= 1- (20/250) 
αv2= 0,92 
 
 
30 
 
VRD2= 0,27. αv2. Fcd. bw.d= 
VRD2= 0,27. 0,92. (2/1,4). 20. 31,6= 224,27 
 
 
Fctd= ((0,7.0,3)/1,4) . ³√Fck² 
Fctd= ((0,7.0,3)/1,4) . ³√20² 
Fctd= 1,105 MPA 
 
 
Vc= 0,6. fctd. bw. d 
Vc= 0,6. 0,1105. 20. 31,6 
Vc= 41,90KN 
 
 
Vsw= Vsd- Vc 
Vsw= 51,17- 41,90 
Vsw= 9,27KN 
 
 
Asd/s= Vsw/ (0,9.d.fyd.(senα+ cosα)) 
Asd/s=9,27/(0,9.31,6 .(50/1,15). (sen90+cos90)) 
Asd/s= 0,0075 cm²/cm 
 
13.1 Espaçamento 
VSD (90°)= { ≤0,20.vrd2= → d≤80cm 
 { >0,20.vrd2= → 0,6. d≤35cm 
VSD (90°)= {(0,20.224,27)= 
31 
 
 51,17 >44,85 → 0,6. d≤35cm 
 → 0,6. 31,6≤35cm 
 → (arredondado para) 20≤35cm passou 
 
 
Asd= (Asd/s).s 
Asd= 0,0075. 20 
Asd= 0,15 cm²/cm 
 
n°=Asd/(π.(Øt²/4)) 
n°=0,15/(π.(0,5²/4)) 
n°=0,763 → arredondando para 1 estribo 
 
fctd,m= 0,3. ³√Fck² 
fctd,m=0,3. ³√20²fctd,m= 2,21MPA 
 
Asd/s mín= (20.fctd,m.bw)/fyk 
Asd/s mín= (20.0,221.20)/50 
Asd/s mín= 1,77cm 
 
n° mín= (Asd/s mín)/(π.(Øt²/4)) 
n° mín= 1,77/ (π.(0,5²/4)) 
n° mín= 9,01 (arredondando = 10 estribos) 
Os Cálculos da viga 21 seguem com os mesmos métodos e fórmulas. 
 
 
 
 
 
32 
 
 
Figura 16 – Detalhamento do cisalhamento 
 
 
 
 
 
14. COMPRIMENTO DE ANCORAGEM 
Segundo a NBR 6118/14 o “comprimento de ancoragem básico” é o comprimento reto 
necessário para uma barra de armadura passiva ancorar a força limite nessa barra, 
admitindo, ao longo desse comprimento, resistência de aderência uniforme e igual a fbd. 
A norma define o “comprimento de ancoragem necessário” (lb,nec - item 9.4.2.5), que 
leva em consideração a existência ou não de gancho e a relação entre a armadura calculada 
(𝐴𝑠𝑐𝑎𝑙𝑐) e a armadura efetivamente colocada (𝐴𝑠𝑒𝑓) . O seu valor é: 
𝑙𝑏, 𝑛𝑒𝑐= α1 . 𝑙𝑏 . 
𝐴𝑠𝑐𝑎𝑙𝑐
𝐴𝑠𝑒𝑓 
 ≥ 𝑙𝑏, 𝑚í𝑛 
α1= 1,0 (para barras sem gancho) 
α1=0,7 (para barras tracionadas com gancho, com cobrimento no plano normal ao do 
gancho ≥ 3 φ ;) 
𝑙𝑏,= comprimento de ancoragem básico; 
𝐴𝑠,𝑐𝑎𝑙𝑐= área da armadura calculada; 
33 
 
𝐴𝑠, 𝑒𝑓= área da armadura efetiva. 
𝑙𝑏,𝑚𝑖𝑛= {
0,3. 𝑙𝑏
10. φ
100 𝑚𝑚
 
14.1 Cálculo do comprimento de ancoragem da viga 6 
 Cálculo do lb; 
𝑙𝑏= 
φ
4
 . 
fyd
𝑓𝑏𝑑
 = 
8
4
 . 
500
1,15
20
1,4
 = 60,87mm 
 Cálculo do lb, nec; 
𝑙𝑏, 𝑛𝑒𝑐= α1 . 𝑙𝑏 . 
𝐴𝑠𝑐𝑎𝑙𝑐
𝐴𝑠𝑒𝑓) 
 = 1. 60,87. 
237,18
98,17
 = 147,06mm = 150mm 
α1= 1,0 (para barras sem gancho) 
 Cálculo do lb, min; 
O lb, mín= passou em todos os requisitos exigidos no lb, mínimo. 
O cálculo do comprimento de ancoragem da viga 21 também é o mesmo. 
 
34 
 
Figura 17 – Detalhamento viga 21 
 
 
 
 
Figura 18- Detalhamento viga 06 
 
 
 
 
 
 
 
 
35 
 
15. CONCLUSÃO 
 É possível concluir a partir da conclusão do trabalho, os procedimentos necessários para 
o desenvolvimento dos cálculos de dimensionamento de lajes e vigas. 
Todo o conhecimento obtido e aplicado é tido como fundamental para que se sigam todos 
os cálculos estruturais, tanto os demonstrados aqui como os que seguirão na disciplina de 
Concreto Armado II e esse trabalho é uma demonstração de que os alunos que realizaram 
este trabalho sabem como conduzir de maneira adequada os passos descritos no trabalho 
inteiro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 
 
16. REFERÊNCIAS 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS – ABNT. NBR 6118: 
Projeto de estruturas de concreto - Procedimento. 2003. 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS – ABNT. NBR 6120: 
Cargas para o cálculo de estruturas de edificações. 1980. 
PINHEIRO, Libânio M. et al. Projeto de lajes maciças. USP – EESC – Departamento 
de Engenharia de Estruturas, 2007. 
SOUZA, C. J. Aprenda a pré-dimensionar uma estrutura em concreto armado. 01 
abr. 2018. ArchDaily Brasil. Disponível em: 
<https://www.archdaily.com.br/br/891672/aprenda-a-pre-dimensionar-uma-estrutura-
em-concreto-armado>. Acesso em: 25 nov. 2018. 
 
 
 
 
 
37 
 
 
 
 
 
CÁLCULO DOS PESOS (ANEXO 1) 
LAJES ϫconc hlaje PESO 
PRÓPRIO 
(KN/m²) 
ϫargamassa espessura do 
contrapiso 
CONTRAPISO CARGA 
ACIDENTAL 
REVESTIMENTO PESO 
TOTAL 
(KN/m²) 
L1 25 0,1 2,5 21 0,07 1,47 1,5 0,08 5,55 
L2 25 0,1 2,5 21 0,07 1,47 1,5 0,08 5,55 
L3 25 0,1 2,5 21 0,07 1,47 1,5 0,08 5,55 
L4 25 0,1 2,5 21 0,07 1,47 1,5 0,08 5,55 
L5 25 0,1 2,5 21 0,07 1,47 1,5 0,08 5,55 
L6 25 0,1 2,5 21 0,07 1,47 1,5 0,08 5,55 
L7 25 0,1 2,5 21 0,07 1,47 1,5 0,08 5,55 
L8 25 0,08 2 21 0,07 1,47 0,5 0 3,97 
L9 25 0,08 2 21 0,07 1,47 0,5 0 3,97 
L10 25 0,08 2 21 0,07 1,47 0,5 0 3,97 
L11 25 0,08 2 21 0,07 1,47 0,5 0 3,97 
L12 25 0,08 2 21 0,07 1,47 0,5 0 3,97 
L13 25 0,08 2 21 0,07 1,47 0,5 0 3,97 
L14 25 0,08 2 21 0,07 1,47 0,5 0 3,97 
L15 25 0,08 2 21 0,07 1,47 0,5 0 3,97 
L16 25 0,08 2 21 0,07 1,47 0,5 0 3,97 
38 
 
 
 
 
 
CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO (ANEXO 2) 
LAJES ϑX Θy ϑX’ Θy’ P VX VY VX’ VY’ 
L1 2,19 2,17 3,2 3,17 5,5 4,37 4,33 6,39 6,33 
L2 3,96 1,71 0 2,5 5,5 3,55 1,53 0 2,24 
L3 3,96 1,71 0 2,5 5,5 3,55 1,53 0 2,24 
L4 2,48 2,17 3,62 3,17 5,5 5,76 5,1 8,42 7,45 
L5 3,2 2,5 0 0 5,5 4,14 3,23 0 0 
L6 2,45 2,17 3,58 3,17 5,5 4,24 3,76 6,2 5,49 
L7 3,28 1,71 0 2,5 5,5 5,66 2,95 0 4,32 
L8 2,18 2,17 3,19 3,17 3,97 2,97 2,95 4,34 4,32 
L9 0 1,71 4,01 2,5 3,97 0 0,98 2,31 1,44 
L10 0 1,71 4,01 2,5 3,97 0 0,98 2,31 1,44 
L11 3,31 1,71 0 2,5 3,97 4,8 2,48 0 3,62 
L12 4,38 1,83 6,25 0 3,97 2,35 0,98 3,35 0 
L13 3,2 2,5 0 0 3,97 2,99 2,33 0 0 
L14 2,46 2,17 3,6 3,17 3,97 2,88 2,54 4,22 3,71 
L15 0 1,71 3,51 2,5 3,97 0 1,6 3,27 2,33 
L16 2,45 2,17 3,48 3,17 3,97 3,06 2,71 4,35 3,96 
39 
 
 
 
 
 
CÁLCULO DO MOMENTO FLETOR (ANEXO 3) 
LAJES μx μy μx’ μy’ P Mx My Mx’ My’ 
L1 2,74 2,69 7,08 7,03 5,5 1,99 1,95 5,13 5,09 
L2 4,08 0,94 8,42 5,56 5,5 0,6 0,14 1,23 0,81 
L3 4,08 0,94 8,42 5,56 5,5 0,6 0,14 1,23 0,81 
L4 3,51 2,63 8,44 7,55 5,5 3,44 2,66 8,32 7,54 
L5 3,3 1,66 7,24 5,7 5,5 1 0,5 2,2 1,73 
L6 3,42 2,65 8,28 7,5 5,5 1,87 1,45 4,52 4,09 
L7 2,99 1,85 6,95 5,69 5,5 1,62 1 3,77 3,09 
L8 2,73 2,69 7,03 7,02 3,97 1,28 1,26 3,28 3,28 
L9 4,12 0,88 8,47 5,64 3,97 0,34 0,07 0,71 0,47 
L10 4,12 0,88 8,47 5,64 3,97 0,34 0,07 0,71 0,47 
L11 3,08 3,6 7,09 5,73 3,97 1,63 1,9 3,75 3,03 
L12 7,03 1,48 12,5 0 3,97 0,51 0,11 0,9 0 
L13 3,3 1,66 7,24 5,7 3,97 0,72 0,36 1,59 1,25 
L14 3,46 2,64 8,35 7,52 3,97 1,2 0,91 2,88 2,6 
L15 3,45 1,6 7,63 5,75 3,97 0,76 0,35 1,67 1,26