Cálculo Numérico - Lista 3

Prévia do material em texto

Página inicial / Meus cursos / Período Acadêmico Emergencial - PAE / Instituto de Matemática e Estatística / IME06 / SALA02IMECNUM
/ Listas de Exercícios (valendo nota) / Lista 3
Iniciado em segunda, 11 Out 2021, 15:56
Estado Finalizada
Concluída em segunda, 11 Out 2021, 16:33
Tempo
empregado
36 minutos 31 segundos
Avaliar 10,00 de um máximo de 10,00(100%)
Lista 3: Revisão da tentativa https://ava.pr1.uerj.br/mod/quiz/review.php?attempt=198030&cmid=117527
1 of 11 11/10/2021 18:46
https://ava.pr1.uerj.br/course/view.php?id=1033
https://ava.pr1.uerj.br/course/view.php?id=1033
https://ava.pr1.uerj.br/
https://ava.pr1.uerj.br/
https://ava.pr1.uerj.br/course/index.php?categoryid=2
https://ava.pr1.uerj.br/course/index.php?categoryid=2
https://ava.pr1.uerj.br/course/index.php?categoryid=34
https://ava.pr1.uerj.br/course/index.php?categoryid=34
https://ava.pr1.uerj.br/course/index.php?categoryid=73
https://ava.pr1.uerj.br/course/index.php?categoryid=73
https://ava.pr1.uerj.br/course/view.php?id=1033
https://ava.pr1.uerj.br/course/view.php?id=1033
https://ava.pr1.uerj.br/course/view.php?id=1033#section-7
https://ava.pr1.uerj.br/course/view.php?id=1033#section-7
https://ava.pr1.uerj.br/mod/quiz/view.php?id=117527
https://ava.pr1.uerj.br/mod/quiz/view.php?id=117527
Questão 1
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Queremos fazer a fatoração de uma matriz , quadrada e de ordem 
.
A função func1 recebe uma matriz A qualquer.
1. function [d c] = func1(A)
2. m = size(A,1);
3. for ii= 1 : (m-1)
4. A(ii+1:end,ii)=A(ii+1:end,ii)/A(ii,ii);
5. A(ii+1:end,ii+1:end)=A(ii+1:end,ii+1:end)-...
6. A(ii+1:end,ii)*A(ii,ii+1:end);
7. endfor
8. d = eye(m)+tril(A,1);
9. c = triu(A,-1);
10. endfunction
Podemos afirmar sobre esta função:
a. Nenhuma das demais afirmativas é verdadeira.
b. O comando da linha 9 está pegando a parte triangular superior, incluindo a diagonal principal, da matriz e
colocando em .
c. Não sei.
d. O comando da linha 8 está
errado, deveria ser ''d =
eye(m)+tril(A,-1);''
 Correto, o comando apresentado no programa pega a parte triangular
inferior mas inclui a diagonal principal e  a primeira superdiagonal. A
correção proposta garante que apenas a parte triangular inferior, sem a
diagonal principal seja recuperada e somada à matriz identidade.
e. Esta função funciona, sem problemas, para matrizes retangulares ou quadradas, desde que não surjam pivôs
nulos.
LU A
m
A
c
Sua resposta está correta.
Este código está implementando a fatoração LU sem pivoteamento parcial  e tenta construir uma matriz triangular inferior e 
uma matriz triangular superior , tal que 
No entanto,  não tem proteção alguma para dados de entrada inconsistentes ou errados. Por exemplo, caso a matriz  A  não
seja  quadrada, o programa pode ter uma saída inesperada. Há outros problemas.
A resposta correta é:
O comando da linha 8 está errado, deveria ser ''d = eye(m)+tril(A,-1);''
d
c
A = d ∗ c.
Lista 3: Revisão da tentativa https://ava.pr1.uerj.br/mod/quiz/review.php?attempt=198030&cmid=117527
2 of 11 11/10/2021 18:46
Questão 2
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Queremos fazer a fatoração de uma matriz , quadrada e de ordem 
.
A função func1 recebe uma matriz A qualquer.
1. function [d c] = func1(A)
2. m = size(A,1);
3. for ii= 1 : (m-1)
4. A(ii+1:end,ii)=A(ii+1:end,ii)/A(ii,ii);
5. A(ii+1:end,ii+1:end)=A(ii+1:end,ii+1:end)-...
6. A(ii+1:end,ii)*A(ii,ii+1:end);
7. endfor
8. d = eye(m)+tril(A,1);
9. c = triu(A,-1);
10. endfunction
Podemos afirmar sobre esta função:
a. Não sei.
b. Os comandos das linhas 5 e 6 estão
atualizando todas as posições da matriz 
para as quais não sabemos de antemão os
resultados.
 Correto, todas as posições que sabemos de antemão os
resultados não estão sendo atualizadas, apenas as que não
sabemos estão sendo alteradas.
c. Nenhuma das demais afirmativas é verdadeira.
d. Esta função funciona, sem problemas, para matrizes retangulares ou quadradas, desde que não surjam pivôs
nulos.
e. O comando da linha 9 está
errado, deveria ser
"c=triu(A);" ou "c=triu(A,0);".
 Correto, o comando apresentado pega a parte triangular superior, incluindo
a diagonal principal, mas também pega  a primeira subdiagonal. A correção
proposta garante que apenas a parte triangular superior seja recuperada. Os
dois comandos sugeridos têm as mesmas saídas.
LU A
m
A
Lista 3: Revisão da tentativa https://ava.pr1.uerj.br/mod/quiz/review.php?attempt=198030&cmid=117527
3 of 11 11/10/2021 18:46
Questão 3
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Sua resposta está correta.
Este código está implementando a fatoração LU sem pivoteamento parcial  e tenta construir uma matriz triangular inferior e 
uma matriz triangular superior , tal que 
No entanto,  não tem proteção alguma para dados de entrada inconsistentes ou errados. Por exemplo, caso a matriz  A  não
seja  quadrada, o programa pode ter uma saída inesperada. Há outros problemas.
As respostas corretas são:
O comando da linha 9 está errado, deveria ser "c=triu(A);" ou "c=triu(A,0);".,
Os comandos das linhas 5 e 6 estão atualizando todas as posições da matriz para as quais não sabemos de antemão os
resultados.
d
c
A = d ∗ c.
Calculamos a fatoração  da matriz  quadrada , sem pivoteamento
parcial, onde     
e  
 podemos afirmar que:
a. o determinante de L é igual a 1.  Correto.
b. o determinante de U é igual a -136,42  Correto.
c. com as informações dadas, não é possível calcular o determinante de A.
d. o determinante de A é igual a -136,42  Correto.
e. Não sei (0,00).
LU A
L =
⎛
⎝⎜
1
4, 9
9, 7
0
1
6, 6
0
0
1
⎞
⎠⎟
U =
⎛
⎝⎜
4, 9
0
0
7, 6
−9, 6
0
8, 7
5, 3
2, 9
⎞
⎠⎟
Sua resposta está correta.
Como , todas as informações necessárias para os cálculos dos vários determinantes estão disponíveis.
As respostas corretas são: o determinante de A é igual a -136,42, o determinante de L é igual a 1., o determinante de U é igual
a -136,42
A = LU
Lista 3: Revisão da tentativa https://ava.pr1.uerj.br/mod/quiz/review.php?attempt=198030&cmid=117527
4 of 11 11/10/2021 18:46
https://ava.pr1.uerj.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=A
https://ava.pr1.uerj.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=A
Questão 4
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Queremos fazer a fatoração de uma matriz , quadrada e de ordem 
.
A função func1 recebe uma matriz A qualquer.
1. function [d c q] = func1(A)
2. m = size(A,1);
3. perm = 1:m;
4. for ii= 1 : (m-1)
5. [val ind] = max(abs(A(ii:end,ii)));
6. ind = ind+ii-1;
7. if (ind>ii)
8. aux = A(ii,:);
9. A(ii,:) = A(ind,:);
10. A(ind,:) = aux;
11. auxperm = perm(ii);
12. perm(ii) = perm(ind);
13. perm(ind) = auxperm;
14. endif
15. A(ii+1:end,ii)=A(ii+1:end,ii)/A(ii,ii);
16. A(ii+1:end,ii+1:end)=A(ii+1:end,ii+1:end)-
A(ii+1:end,ii)*A(ii,ii+1:end);
17. endfor
18. d = eye(m)+tril(A,1);
19. c = triu(A);
20. q = eye(m)(perm,perm);
21. endfunction
Podemos afirmar sobre esta função:
a. o comando da linha 20 está correto, devolvendo ao usuário a matriz de permutação tal que .
b. o comando da linha 19 monta a matriz
triangular superior que será devolvida ao
usuário.
 Correto, a matriz armazenada em é a parte triangular
superior, incluindo a diagonal principal, da matriz após as
operações realizadas no laço. 
c. Não sei.
d. a linha 15 está montando parte da matriz
triangular inferior que será devolvida ao
usuário.
 Correto, está montando parte, mas ainda falta a diagonal
principal. A montagem completa da matriz se dará mais para o
fim da função, depois de terminado o laço.
LU A
m
q ∗ a = d ∗ c
c
A
Lista 3: Revisão da tentativa https://ava.pr1.uerj.br/mod/quiz/review.php?attempt=198030&cmid=117527
5 of 11 11/10/2021 18:46
Questão 5
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
e. Nenhuma das demais afirmativas é verdadeira.
Sua resposta está correta.
Este código está implementando a fatoração LU com pivoteamento parcialque constrói uma matriz triangular inferior "d", uma
matriz triangular superior "c" e um matriz de permutação "q", tais que:
No entanto,  não tem proteção alguma para dados de entrada inconsistentes ou errados. Por exemplo, caso a matriz  A  não
seja  quadrada, o programa pode ter uma saída que não faça sentido. Há outros problemas.
As respostas corretas são:
a linha 15 está montando parte da matriz triangular inferior que será devolvida ao usuário.,
o comando da linha 19 monta a matriz triangular superior que será devolvida ao usuário.
qA = d ∗ c.
Ao tentarmos  aplicar o processo de fatoração , sem pivoteamento
parcial, à matriz , onde 
, podemos afirmar:
a. a segunda coluna de L é composta pelos elementos: 0; 1; 0,482 e  1,821.  Correto.
b. com as informações dadas, não é possível calcular o quarto pivô.
c. Não sei (0).
d. com as informações dadas, não é possível calcular a terceira coluna de L.
e. as quatro entradas da primeira coluna da matriz L são: 0, 0, 0 e 0
LU
A
A =
⎛
⎝
⎜⎜⎜
7, 1
0
0
0
5, 07
5, 08
2, 45
9, 25
a13
0
10, 62
1, 31
3, 86
0
1, 63
−15, 49
⎞
⎠
⎟⎟⎟
Sua resposta está correta.
Trata-se de um exercício de interpretação da fatoração . Observe que a distribuição de zeros facilita o cálculo completo de
L, no entanto como o elemento A(1,3) está indefinido, não podemos calcular o fator U.
A resposta correta é: a segunda coluna de L é composta pelos elementos: 0; 1; 0,482 e  1,821.
LU
Lista 3: Revisão da tentativa https://ava.pr1.uerj.br/mod/quiz/review.php?attempt=198030&cmid=117527
6 of 11 11/10/2021 18:46
Questão 6
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Calculamos a fatoração  da matriz  quadrada , sem pivoteamento
parcial, onde    é matriz triangular inferior e sua diagonal tem apenas 1's
e   é matriz triangular superior. Sabendo que a primeira coluna de  é
igual a
e a posição (1,1) de  é igual a -6,5, podemos afirmar que:
a. a posição A(3,1)=52,00.
b. a posição A(1,1)=-6,50.  Correto.
c. a posição A(2,1)=-33,80.
d. a posição A(4,1)=52,00.  Correto.
e. Não sei (0,00).
LU A
L
U L
⎛
⎝
⎜⎜⎜
1
−5, 2
8
−8
⎞
⎠
⎟⎟⎟
U
Sua resposta está correta.
Como , todas as informações necessárias para a reconstrução da primeira coluna da matriz  estão dadas. Qualquer
dúvida, reveja a construção das matrizes  e  . Reveja, principalmente, o conceito de multiplicação de duas matrizes.
As respostas corretas são: a posição A(1,1)=-6,50., a posição A(4,1)=52,00.
A = LU A
L U
Lista 3: Revisão da tentativa https://ava.pr1.uerj.br/mod/quiz/review.php?attempt=198030&cmid=117527
7 of 11 11/10/2021 18:46
Questão 7
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Calculamos a fatoração LU da matriz  quadrada A, sem pivoteamento
parcial, onde   L é matriz triangular inferior e sua diagonal tem apenas 1's e  
U é matriz triangular superior. Sabendo que a primeira coluna de L é igual a
1
−5, 6
5, 2
−6, 1
e a posição (1,1) de U é igual a 11,8, podemos afirmar que:
a. a posição A(1,1)=-11,80.
b. a posição A(4,1)=71,98.
c. Não sei (0,00).
d. a posição A(2,1)=-66,08.  Correto.
e. a posição A(3,1)=-61,36.
( )
Sua resposta está correta.
Como , todas as informações necessárias para a reconstrução da primeira coluna da matriz  estão dadas.
Qualquer dúvida, reveja a construção das matrizes  e  . Reveja, principalmente, o conceito de multiplicação de duas
matrizes.
A resposta correta é: a posição A(2,1)=-66,08.
Lista 3: Revisão da tentativa https://ava.pr1.uerj.br/mod/quiz/review.php?attempt=198030&cmid=117527
8 of 11 11/10/2021 18:46
https://ava.pr1.uerj.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%20A%3DLU
https://ava.pr1.uerj.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%20A%3DLU
https://ava.pr1.uerj.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%20A
https://ava.pr1.uerj.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%20A
https://ava.pr1.uerj.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%20L
https://ava.pr1.uerj.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%20L
https://ava.pr1.uerj.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%20U
https://ava.pr1.uerj.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%20U
Questão 8
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Calculamos a fatoração  da matriz  quadrada , sem pivoteamento
parcial, onde    é matriz triangular inferior e sua diagonal tem apenas 1's
e   é matriz triangular superior. Sabendo que a primeira coluna de  é
igual a
e a posição (1,1) de  é igual a 14,5, podemos afirmar que:
a. a posição A(4,1)=62,35.
b. Não sei (0,00).
c. a posição A(3,1)=101,50.  Correto.
d. a posição A(2,1)=127,60.
e. a posição A(1,1)=-14,50.
Sua resposta está correta.
Como , todas as informações necessárias para a reconstrução da primeira coluna da matriz  estão dadas.
Qualquer dúvida, reveja a construção das matrizes  e  . Reveja, principalmente, o conceito de multiplicação de duas
matrizes.
A resposta correta é: a posição A(3,1)=101,50.
◄ Programação da Lista 2
Seguir para...
Programação da Lista 3 ►
Lista 3: Revisão da tentativa https://ava.pr1.uerj.br/mod/quiz/review.php?attempt=198030&cmid=117527
9 of 11 11/10/2021 18:46
https://ava.pr1.uerj.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%20LU%20
https://ava.pr1.uerj.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%20LU%20
https://ava.pr1.uerj.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%20A
https://ava.pr1.uerj.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%20A
https://ava.pr1.uerj.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%20L%20
https://ava.pr1.uerj.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%20L%20
https://ava.pr1.uerj.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%20U%20
https://ava.pr1.uerj.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%20U%20
https://ava.pr1.uerj.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%20L%20
https://ava.pr1.uerj.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%20L%20
https://ava.pr1.uerj.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%201%5C%5C%20-8%2C8%20%5C%5C%207%20%5C%5C%20-4%2C3%C2%A0%20%5Cend%7Bpmatrix%7D
https://ava.pr1.uerj.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%201%5C%5C%20-8%2C8%20%5C%5C%207%20%5C%5C%20-4%2C3%C2%A0%20%5Cend%7Bpmatrix%7D
https://ava.pr1.uerj.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%20U%20
https://ava.pr1.uerj.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%20U%20
https://ava.pr1.uerj.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%20A%3DLU
https://ava.pr1.uerj.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%20A%3DLU
https://ava.pr1.uerj.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%20A
https://ava.pr1.uerj.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%20A
https://ava.pr1.uerj.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%20L
https://ava.pr1.uerj.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%20L
https://ava.pr1.uerj.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%20U
https://ava.pr1.uerj.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%20U
https://ava.pr1.uerj.br/mod/vpl/view.php?id=90995&forceview=1
https://ava.pr1.uerj.br/mod/vpl/view.php?id=90995&forceview=1
https://ava.pr1.uerj.br/mod/vpl/view.php?id=93346&forceview=1
https://ava.pr1.uerj.br/mod/vpl/view.php?id=93346&forceview=1
Questão 9
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Ao tentarmos  aplicar o processo de fatoração , sem pivoteamento
parcial, à matriz , onde 
, podemos afirmar:
a. o quarto pivô é igual a -16,601  Correto.
b. a segunda coluna de L é composta pelos elementos: 0; 1; 0,495 e  1,681.  Correto.
c. as quatro entradas da primeira coluna da matriz L são: 0, 0, 0 e 0
d. Não sei (0).
e. a terceira coluna de L é composta pelos elementos: 0; 0; 1;  e  0,073.  Correto.
Sua resposta está correta.
Trata-se de um exercício de interpretação da fatoração . Observe que a distribuição de zeros facilita o cálculo completo
de L, no entanto como o elemento A(1,3) está indefinido, não podemos calcular o fator U.
As respostas corretas são: a segunda coluna de L é composta pelos elementos: 0; 1; 0,495 e  1,681., a terceira coluna de L é
composta pelos elementos: 0; 0; 1;  e  0,073., o quarto pivô é igual a -16,601
Lista 3: Revisão da tentativa https://ava.pr1.uerj.br/mod/quiz/review.php?attempt=198030&cmid=117527
10 of 11 11/10/2021 18:46
https://ava.pr1.uerj.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=LU
https://ava.pr1.uerj.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=LU
https://ava.pr1.uerj.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=Ahttps://ava.pr1.uerj.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=A
https://ava.pr1.uerj.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=A%3D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%209%2C72%20%26%202%2C23%20%26%C2%A0a_%7B13%7D%20%26%202%2C71%5C%5C%200%C2%A0%26%205%2C39%C2%A0%26%200%C2%A0%20%26%200%C2%A0%5C%5C%200%20%26%202%2C67%20%26%2017%2C19%20%26%201%2C11%5C%5C%200%20%26%209%2C06%20%26%201%2C26%20%26%20-16%2C52%20%5Cend%7Bpmatrix%7D
https://ava.pr1.uerj.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=A%3D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%209%2C72%20%26%202%2C23%20%26%C2%A0a_%7B13%7D%20%26%202%2C71%5C%5C%200%C2%A0%26%205%2C39%C2%A0%26%200%C2%A0%20%26%200%C2%A0%5C%5C%200%20%26%202%2C67%20%26%2017%2C19%20%26%201%2C11%5C%5C%200%20%26%209%2C06%20%26%201%2C26%20%26%20-16%2C52%20%5Cend%7Bpmatrix%7D
https://ava.pr1.uerj.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=LU
https://ava.pr1.uerj.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=LU
Questão 10
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Seja  . Utilizando a forma matricial da
 fatoração LU  com pivoteamento parcial, podemos afirmar sobre a ação da
primeira matriz elementar sobre a matriz. 
a. Depois da aplicação da primeira matriz elementar, a primeira coluna da matriz  será 3;  -11,3; -7,3 e 5,9, nesta
ordem.
b. Depois da aplicação da primeira matriz elementar, a terceira  linha da matriz  será 5,9;  4; 4,4; 4,2, nesta ordem.
c. Depois da aplicação da primeira matriz elementar,
a segunda linha da matriz será 3;  1,6; 1,7; 2,9,
nesta ordem.
 Correto, as linhas do pivô antigo e  do novo têm que ser
trocadas, na  fatoração LU  com pivoteamento parcial. As
demais ficam iguais.
d. Não é necessária a  troca de pivôs.
e. Não sei (0).
Sua resposta está correta.
Na forma matricial da  fatoração LU  com pivoteamento parcial se multiplica pela esquerda a matriz  por uma matriz que
coloque, caso seja necessário, na primeira linha o novo pivô. Só que precisamos trocar as duas linhas para não alterar o
resultado do sistema. Ela é construída a partir da matriz identidade, trocando-se duas linhas da matriz identidade; no caso, a
primeira linha com a linha onde está o novo pivô.
A resposta correta é: Depois da aplicação da primeira matriz elementar, a segunda linha da matriz será 3;  1,6; 1,7; 2,9, nesta
ordem.
Lista 3: Revisão da tentativa https://ava.pr1.uerj.br/mod/quiz/review.php?attempt=198030&cmid=117527
11 of 11 11/10/2021 18:46
https://ava.pr1.uerj.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%20A%3D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%0D%0A3%261%2C6%261%2C7%262%2C9%5C%5C-11%2C3%2611%2C2%26%200%2C5%26%209%2C8%5C%5C-7%2C3%26-8%26-8%2C8%261%5C%5C5%2C9%264%264%2C4%264%2C2%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%20
https://ava.pr1.uerj.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%20A%3D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%0D%0A3%261%2C6%261%2C7%262%2C9%5C%5C-11%2C3%2611%2C2%26%200%2C5%26%209%2C8%5C%5C-7%2C3%26-8%26-8%2C8%261%5C%5C5%2C9%264%264%2C4%264%2C2%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%20