FENTRAN_AulaResumo-7

Prévia do material em texto

Universidade Federal Fluminense
Revisão da Aula 7 – Transferência de Calor
FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Prof.: Gabriel Nascimento (Depto. de Eng. Agrícola e Meio Ambiente)
Elson Nascimento (Depto. de Eng. Civil)
 MECÂNICA DOS FLUIDOS
▪ Estática, cinemática e dinâmica dos fluidos
▪ Equações diferenciais e integrais
▪ Escoamento em tubos
 ANÁLISE DIMENSIONAL E SEMELHANÇA
 TRANSFERÊNCIA DE CALOR
▪ Regimes e formas de transferência
▪ Condução
▪ Convecção
▪ Irradiação
▪ Camada Limite
 TRANSFERÊNCIA DE MASSA
▪ Difusão molecular, difusão turbulenta e advecção
 TRANSPORTE SIMULTÂNEO DE QTD. DE MOV., CALOR E
MASSA
 BIBLIOGRAFIA:
▪ LIENHARD, John H., A Heat Transfer Textbook. 5ª ed. 
Cambridge, MA: Phlogiston Press, 2012. Disponível 
em: https://ahtt.mit.edu/. 
▪ INCROPERA F. P. & DE WITT, D. P., Fundamentos de 
Transferência de Calor e de Massa. 7ª ed. LTC, 2014.
▪ Imagens disponíveis na internet:
▪ Background vector created by upklyak - www.freepik.com
'https:/www.freepik.com/vectors/background
 Introdução
▪ Grandezas físicas
▪ 1ª e 2ª Lei da Termodinâmica
 Condução
▪ Lei de Fourier
▪ Equação da difusão
 Convecção
▪ Lei de Newton do resfriamento
▪ Solução da capacidade aglomerada
▪ Camada limite
 Radiação
▪ Espectro eletromagnético
▪ Corpo negro
▪ Lei de Stefan-Boltzmann
- GRANDEZAS FÍSICAS
- 1ª LEI DA TERMODINÂMICA
- 2ª LEI DA TERMODINÂMICA
 Grandezas térmicas:
▪ Temperatura: T (K)
▪ Calor: Q (J) 
▪ Taxa de transferência de calor: (J/s = W)
▪ Fluxo de calor: (W/m²)
ሶ𝑄 =
𝑑𝑄
𝑑𝑡
Ԧ𝑞 =
𝑑 ሶ𝑄
𝑑𝐴
𝑛
 1ª Lei da Termodinâmica:
– Substância incompressível:
ሶ𝑄 = 𝑝
𝑑𝑉
𝑑𝑡
+
𝑑𝑈
𝑑𝑡
→ ሶ𝑄 = 𝑚𝑐
𝑑𝑇
𝑑𝑡
 Formas de transferência de calor:
▪ Condução
▪ Convecção
▪ Radiação
 Formas de transferência de calor:
▪ Condução
 Formas de transferência de calor:
▪ Convecção
Disponível em: https://rogeriofisica.wordpress.com/2010/03/14/conveccao-e-radiacao/. Acesso em 10/06/2013
Transferência 
de Calor
• Formas de transferência de calor:
–Irradiação
 Formas de transferência de calor
Cartoon vector created by brgfx - www.freepik.com
1
2
3
1, 2 e 3; respectivamente:
A) Convecção, radiação e condução
B) Radiação, convecção e condução
C) Convecção, condução e radiação
D) Condução, convecção e radiação
E) Radiação, condução e convecção
 Trocadores de calor
 Refrigeração
 Isolamento térmico
https://www.rf-remodelacoes.pt/para-que-serve-o-isolamento-exterior-de-paredes-capoto/
 Meteorologia e oceonografia
https://www.climatecentral.org/news/weather-satellite-outage-points-to-larger-problems-16037
 Concretagem em grandes volumes
https://pixabay.com/pt/photos/barragem-weir-%C3%A1gua-armazenamento-4982654/
- Lei de Fourier
- Condutividade térmica
- Equação da difusão
- Unidimensional
- tridimensional
Lei de Fourier:
▪ Unidimensional:
▪ Tridimensional:
Fluxo de calor ~ (-) gradiente de temperatura
k: condutividade 
térmica
𝑞 = −𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑥
Ԧ𝑞 = −𝑘𝛻𝑇
𝑊
𝑚𝐾
Condução de Calor
Equação da difusão: 1ª Lei da Termodinâmica + Lei de Fourier
ρ𝑐
𝜕𝑇
𝜕𝑡
=
𝜕
𝜕𝑥
𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑥
+ 𝑞𝑓
𝜕𝑇
𝜕𝑡
=
𝑘
𝜌𝑐
𝜕2𝑇
𝜕𝑥2
𝛼 =
𝑘
𝜌𝑐
difusividade 
térmica 
(m²/s)
𝜕2𝑇
𝜕𝑥2
= 0
(distribuição linear 
de temperatura)
 1D:
▪ Geral:
▪ Meio homogêneo sem 
fontes internas
▪ ... e permanente:
 Exemplo:
O topo de uma laje (k = 35 W/m.K) é mantida à 110°C e o fundo à
50°C. Se a área da laje é 0,4 m² sua espessura é de 3 cm, calcule o
fluxo de calor q e a taxa de transferência de calor Q após atingido
regime permanente. Q
A = 0,4m²T=110°C
T=50°C
y
x
z
k = 35W/m.K e = 0,03 m
Para 
condução 1D: 𝑞 = −𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑥
... permanente e em meio 
homogêneo sem fontes internas 
→ distribuição linear de T:
= −𝑘
Δ𝑇
Δ𝑥
= −35
50 − 110
0,03
= 70
𝑄 = 𝑞𝐴 = 70 ∙ 103 ∙ 0,4 = 28
𝑘𝑊
𝑚2
𝑘𝑊
kn
Tn
Ln
k2
T2
L2
Resistência térmica
(condução 1D)
Camadas
em série
𝑅𝑖 =
𝐿𝑖
𝑘𝑖
𝑚2𝐾
𝑊
Δ𝑇 = −𝑅𝑒𝑞𝑞
k1
L1
T1
q q1 q
. . .
qnq2
𝑅𝑒𝑞 = ∑𝑅𝑖
k1
e1
q1
k2
q2 L2
e2
𝑇
ሶ𝑄𝑡
. . .
𝑇𝑎
𝑇𝑏
𝑅𝑒𝑞 =
∑𝑒𝑖
∑ Τ𝑒𝑖 𝑅𝑖
𝑏
kn
en
qn
 Exemplo:
Uma chapa de cobre (kc = 372 W/m.K) tem 3,0 mm de espessura e
possui uma camada de aço inoxidável protetora contra corrosão em cada lado
com 2,0 mm de espessura (ka = 17 W/m.K). A temperatura é de 400 °C num
dos lados desta parede composta e de 100 °C no outro. Calcule o calor
conduzido através da parede.
eqqRT −=

=
=
n
1i
ieq RR
i
i
i
k
L
R =
a
a
c
c
n
1i i
i
eq
k
L
2
k
L
k
L
R +== 
=
17
102
2
372
103
R
33
eq
−− 
+

=
W
Km
1043,2
2
4−=
4
eq 1043,2
400100
R
T
q
−
−
−=

−=
26 mW102,1q =
T 1
 =
 4
0
0
°C
T 2
=1
0
0
°C
2
,0
 m
m
3
,0
 m
m
2
,0
 m
m
Equação da difusão
 1D:
 3D:
▪ Geral
▪ Homogêneo, sem fontes e 
permanente:
ρ𝑐
𝜕𝑇
𝜕𝑡
=
𝜕
𝜕𝑥
𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑥
+ 𝑞𝑓
ρ𝑐
𝜕𝑇
𝜕𝑡
= 𝛻(𝑘𝛻𝑇) + 𝑞𝑓
𝛻2𝑇 = 0
𝜕
𝜕𝑥
𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑥
+
𝜕
𝜕𝑦
𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑦
+
𝜕
𝜕𝑧
𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑧
𝛻2𝑇 (Laplace) em coordenadas:
▪ cartesianas:
▪ cilíndricas:
▪ esféricas:
𝛻2𝑇 =
𝜕2𝑇
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑇
𝜕𝑦2
+
𝜕2𝑇
𝜕𝑧2
𝛻2𝑇 =
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
𝑟
𝜕𝑇
𝜕𝑟
+
1
𝑟2
𝜕2𝑇
𝜕𝜃2
+
𝜕2𝑇
𝜕𝑧2
𝛻2𝑇 =
1
𝑟
𝜕2 𝑟𝑇
𝜕𝑟2
+
1
𝑟2 sen 𝜃
𝜕
𝜕𝜃
sen 𝜃
𝜕𝑇
𝜕𝜃
+
1
𝑟2 sen2 𝜃
𝜕2𝑇
𝜕𝜙2
 Exemplo:
Determine a distribuição da temperatura em regime
permanente num cilindro comprido oco com raio interno
Ri, raio externo Re, utilizando a equação de difusão
térmica. Considere as temperaturas interna e externa
constantes e iguais a Ti e Te, respectivamente e material
homogêneo.
Ri
Re
Ti
Te
 Exemplo:
02 = T
2
2
2
2
2
2 11
z
TT
rr
T
r
rr
T


+


+









=

Permanente e homogêneo:
Coordenadas cilíndricas:
Ri
Re
Ti
Te
𝑇 − 𝑇𝑖
𝑇𝑒 − 𝑇𝑖
=
ln
𝑅
𝑅𝑖
ln
𝑅𝑒
𝑅𝑖
ሶ𝑄 = −𝐴𝑘
𝑑𝑇
𝑑𝑟
=−
2𝜋𝐿𝑘 𝑇𝑖−𝑇𝑒
ln
𝑅𝑖
𝑅𝑒
 Transiente - Solução analítica:
 1D
 temperatura inicial igual a 𝑇0 para 𝑥 > 0
 temperatura da fonte constante e igual a 𝑇𝑓 em 𝑥 = 0
 para um determinado instante 𝑡, penetração da temperatura
até o ponto 𝑥 = 𝛿
 gradiente nulo de temperatura em 𝛿, ou seja
𝜕𝑇
𝜕𝑥
= 0 para 𝑥 = 𝛿
𝑇 − 𝑇0
𝑇𝑓 − 𝑇0
= 1 − erf
𝑥
2 𝛼𝑡
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
𝑥/2√𝛼𝑡
(𝑇
−
𝑇
_0
 )
∕
(𝑇
_𝑓
−
𝑇
_0
 )
 
𝛿(𝑡) ≅ 4 𝛼𝑡
 Exemplo: Uma colher de aço, inicialmente à temperatura 
ambiente 𝑇0 = 24°C é colocada em água fervendo. Quanto tempo, 
aproximadamente, levará para que a extremidade da colher, 
distante 10 cm da água, chegue à 𝑇 = 50°C? Desconsidere a troca 
de calor por convecção e assumindo que a colher tem seção 
transversal constante. Propriedades do aço: 𝜌 = 7800 kg/m³, 𝑐 = 
460 J/kg.K e 𝑘 = 55 W/m.K.
𝑇 − 𝑇0
𝑇𝑓 − 𝑇0
=
50 − 24
100 − 24
≅ 0,34 0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
𝑥/2√𝛼𝑡
(𝑇
−
𝑇
_0
 )
∕
(𝑇
_𝑓
−
𝑇
_0
 )
 
𝑥
2 𝛼𝑡
≅ 0,65 → 𝑡 ≅
𝑥2
1,69 ⋅ 𝛼
𝛼 =
𝑘
𝜌𝑐
=
55
7800 ⋅ 460
= 1,53 ⋅ 10−5 𝑚2/𝑠
=
0,1 2
1,69 ⋅ 1,53 ⋅ 10−5
= 387 𝑠 ≅ 6 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
- Descrição
- Lei de Newton do resfriamento
- Coeficiente de transferência de calor (ℎ)
- Condução e convecção: Número de Biot
- Método da capacidade global
- Camada Limite
Convecção: 
Th
Tcorpo
escoamento
Fronteira
 difusão: movimento molecular aleatório
+
 advecção: movimento macroscópico do fluido
Lei de Newton do 
resfriamento:
𝑞 = ℎ(𝑇𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 − 𝑇∞)
തℎ : coeficiente médio de toda 
superfície
 E se തℎ não é conhecido?
▪ Solução analítica
▪ Solução empírica
▪ Solução numérica
→ análise dimensional
 Camada limite
▪ de velocidade
▪ de temperatura
 Camada limite - velocidade
▪ Variáveis dimensionais:
▪ 𝛿, 𝑢∞, 𝜌, 𝜇, 𝑥
▪ Análise dimensional. Grupos :
▪ 𝛿/𝑥
▪ 𝑅𝑒𝑥 = Τ𝜌𝑢∞𝑥 𝜇
▪ Ex.: placa plana laminar (Basius, 1908):
𝛿
𝑥
= 𝑓 𝑅𝑒𝑥
𝛿 = 𝑓(𝑢∞, 𝜌, 𝜇, 𝑥)𝛿
𝑥
=
5,00
𝑅𝑒𝑥
 Camada limite - velocidade
▪ Nusselt (transf. calor 
convecção/transf. calor 
condução):
▪ Reynolds(forças inerciais/forças 
viscosas):
▪ Prandtl(difusão viscosa/difusão 
térmica):
 Camada limite - temperatura
▪ Variáveis dimensionais:
▪ തℎ, 𝑢∞, 𝜌, 𝜇, 𝐿, 𝑘𝑓, 𝑐𝑝
▪ Análise dimensional. Grupos :
𝑁𝑢𝐿 = 𝑓 𝑅𝑒𝐿, 𝑃𝑟
തℎ = 𝑓(𝑢∞, 𝜌, 𝜇, 𝐿, 𝑘𝑓, 𝑐𝑝)
𝑅𝑒𝐿 =
𝜌𝑢∞𝐿
𝜇
𝑁𝑢𝐿 =
തℎ𝐿
𝑘𝑓
𝑃𝑟 =
𝜇𝑐𝑝
𝑘𝑓
A função 𝑓 dependerá 
das geometria do 
problema (parede plana, 
esfera, cilindro, etc.), do 
tipo de convecção 
(natural ou forçada) e 
outros.
Análise dimensional:
 coeficiente de transferência de calor, ℎ;
 velocidade da corrente livre, afastada do sólido, 𝑢∞ ;
 massa específica, ρ;
 viscosidade dinâmica ou cinemática, 𝜇 𝑜𝑢 𝜈 =
𝜇
𝜌
;
 comprimento característico, 𝐿, comumente definido como volume do corpo 
dividido pela área superficial ou como o diâmetro 𝐷;
 condutividade térmica do fluido, 𝑘𝑓 ;
 calor específico do fluido, 𝑐𝑝 ;
 difusividade térmica do fluido, 𝛼 =
𝑘
𝜌𝑐𝑝
;
 coeficiente de expansão térmica do fluido, β;
 gravidade, g;
 diferença de temperatura entre a superfície do corpo (𝑇𝑠) e o fluido (𝑇∞), 
𝛥𝑇 = 𝑇𝑠 − 𝑇∞ .
Adimensionais:
• Nusselt, 𝑁𝑢 =
ℎ𝐿
𝑘𝑓
• Reynolds, 𝑅𝑒 =
𝜌𝑢∞𝐿
𝜇
• Prandtl, 𝑃𝑟 =
𝑐𝑝𝜇
𝑘𝑓
• Grashof, 𝐺𝑟 =
𝑔𝛽
𝜈2
𝑇𝑠 − 𝑇∞ 𝐿
3
• Rayleigh, 𝑅𝑎 = 𝐺𝑟 𝑃𝑟 =
𝑔𝛽
𝜈𝛼
𝑇𝑠 − 𝑇∞ 𝐿
3
• Stanton, 𝑆𝑡 =
𝑁𝑢
𝑅𝑒.𝑃𝑟
=
ℎ
𝜌𝑢𝑐𝑝
Placa plana horizontal
 Natural:
 Superfície aquecida acima do fluido ou resfriada abaixo do fluido:
ቐ
105 < 𝑅𝑎𝐿 < 2 ⋅ 10
7 → 𝑁𝑢𝐿 = 0,54 𝑅𝑎𝐿
1/4
2 ⋅ 107 < 𝑅𝑎𝐿 < 3 ⋅ 10
10 → 𝑁𝑢𝐿 = 0,14 𝑅𝑎𝐿
1/3
 Superfície aquecida abaixo do fluido ou resfriada acima do fluido:
3 ⋅ 105 < 𝑅𝑎𝐿 < 10
10 → 𝑁𝑢𝐿 = 0,27 𝑅𝑎𝐿
1/4
 Forçada
 para 0,6 < 𝑃𝑟 < 60 e 5 ⋅ 105 < 𝑅𝑒𝐿 < 10
8:
𝑁𝑢 = 0,037 𝑅𝑒𝐿
4/5
− 871 𝑃𝑟1/3
Esfera
 Natural
 (𝑅𝑎𝐷 < 10
11 𝑒 𝑃𝑟 > 0,7)
𝑁𝑢𝐷 = 2 +
0,589 ⋅ 𝑅𝑎𝐷
Τ1 4
1 + Τ0,469 𝑃𝑟
Τ9 16
Τ4 9
 Forçada
 para 0,71 < 𝑃𝑟 < 380, 3,5 < 𝑅𝑒𝐷 < 7,6 ⋅ 10
4, 1,0 < Τ𝜇∞ 𝜇𝑠 < 3,2 :
𝑁𝑢𝐷 = 2 + 0,4 𝑅𝑒𝐷
Τ1 2 + 0,06 𝑅𝑒𝐷
Τ2 3 𝑃𝑟0,4
𝜇∞
𝜇𝑠
1/4
 Exemplo: Num momento em que não há vento e a temperatura é de 25°C, a superfície de uma laje 
quadrada de 5 m de comprimento está 1°C mais quente que o ambiente. Calcule o coeficiente convectivo 
para essa situação. Considere que as propriedades do fluido na camada limite são as mesmas que à 
temperatura ambiente (25°C). Calcule também a taxa de transferência de calor.
𝑅𝑎𝐿 =
𝑔𝛽
𝜈𝛼
𝑇𝑠 − 𝑇∞ 𝐿
3
𝑁𝑢𝐿 = 0,14 𝑅𝑎𝐿
Τ1 3
𝑁𝑢𝐿 =
ℎ𝐿
𝑘𝑓
→ ℎ =
𝑁𝑢𝐿𝑘𝑓
𝐿
=
367 ⋅ 0,02
5
= 1,5 𝑊/𝑚²𝐾
ሶ𝑄 = 𝐴തℎ 𝑇𝑐 − 𝑇∞
=
9,8 ⋅ 3,67 ⋅ 10−3
1,5 ⋅ 10−5 ⋅ (17 ⋅ 10−6)
1 53 = 1,8 ⋅ 1010
= 0,14 ⋅ 1,8 ⋅ 1010 1/3 = 367
= 52 ⋅ 1,5 ⋅ 1 = 37 𝑊
 condução:
 convecção:
𝑅𝑖 =
𝐿𝑖
𝑘𝑖
𝑅𝑒𝑞 = ∑𝑅𝑖
kn
Tn
Ln
k2
T2
L2
k1
L1
T1
q q1
. . .
qnq2
Resistência térmica (1D)
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒çã𝑜
𝑇𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜
𝑇∞
Δ𝑇 = −𝑅𝑒𝑞𝑞
𝑅𝑐𝑜𝑛𝑑 =
𝐿𝑖
𝑘𝑖
𝑚2𝐾
𝑊
𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣 =
1
തℎ𝑖
Em série:
⇒ 𝑅𝑒𝑞 = ∑𝑅𝑖 𝑐𝑜𝑛𝑑 + ∑𝑅𝑖 𝑐𝑜𝑛𝑣
 Exemplo
Uma parede de um edifício tem 1,5 cm de argamassa (interna e externa) e 
9 cm de espessura correspondente a tijolos maciços de cerâmica. Num dia em 
que a temperatura externa é de 35°C e a interna é mantida por ar-condicionado 
em 23°C, calcule:
a) o fluxo de calor que atravessa a parede;
b) o fluxo de calor caso fosse adicionada uma camada de 3cm de EPS 
(poliestireno expandido).
Dados (NBR 15220-2 Desempenho térmico de edificações Parte 2):
- Coeficiente de transferência de calor: 7,7 W/m².K e 25,0 W/m².K (interno e externo)
- Condutividade térmica: argamassa 1,15 W/m.K; tijolos de cerâmica 0,70 W/m.K e EPS 0,04 
W/m.K
 Exercício
Uma parede de um edifício tem 1,5 cm de argamassa (interna 
e externa) e 9 cm de espessura correspondente a tijolos maciços de 
cerâmica. Num dia em que a temperatura externa é de 35°C e a interna 
é mantida por ar-condicionado em 23°C, calcule:
T e
=3
5
°C
T i
=2
3
°C
1
,5
 c
m
9
 c
m
1
,5
 c
m
 Exercício
- Coeficiente de transferência de calor: 7,7 W/m².K e 25,0 W/m².K 
(interno e externo)
- Condutividade térmica: argamassa 1,15 W/m.K; tijolos de cerâmica 
0,70 W/m.K e EPS 0,04 W/m.K
T e
=3
5
°C
T i
=2
3
°C
1
,5
 c
m
9
 c
m
1
,5
 c
m
k
a
=
 1
,1
5
 W
/m
.K
k
c
=
 0
,7
0
 W
/m
.K
k
a
=
 1
,1
5
 W
/m
.K
h
e
=
 2
5
 W
/m
2
.K
h
i
=
 7
,7
 W
/m
2
.K
kEPS = 0,04 W/m.K
 Exercício
...calcule:
a) o fluxo de calor que atravessa a parede;
b) o fluxo de calor caso fosse adicionada uma camada de 3cm 
de EPS (poliestireno expandido).
T e
=3
5
°C
T i
=2
3
°C
1
,5
 c
m
9
 c
m
1
,5
 c
m
k
a
=
 1
,1
5
 W
/m
.K
k
c
=
 0
,7
0
 W
/m
.K
k
a
=
 1
,1
5
 W
/m
.K
h
e
=
 2
5
 W
/m
2
.K
h
i
=
 7
,7
 W
/m
2
.K
eqqRT −=
i
i
i
k
L
R =
Condução:
Convecção:
i
i
h
1
R =
conv
n
1i
i
cond
n
1i
ieq RRR 





+





= 
==






++







++=
iea
a
c
c
a
a
h
1
h
1
k
L
k
L
k
L






++





++=
7,7
1
25
1
15,1
015,0
7,0
09,0
15,1
015,0
324,0=
W
Km2
eq
a
R
T
q

−=
324,0
3523−
−= 37= 2m
W
kEPS = 0,04 W/m.K
 Exercício
...calcule:
a) o fluxo de calor que atravessa a parede;
b) o fluxo de calor caso fosse adicionada uma camada de 3cm 
de EPS (poliestireno expandido).
T e
=3
5
°C
T i
=2
3
°C
1
,5
 c
m
9
 c
m
1
,5
 c
m
k
a
=
 1
,1
5
 W
/m
.K
k
c
=
 0
,7
0
 W
/m
.K
k
a
=
 1
,1
5
 W
/m
.K
h
e
=
 2
5
 W
/m
2
.K
h
i
=
 7
,7
 W
/m
2
.K
eqqRT −=
i
i
i
k
L
R =
Condução:
Convecção:
i
i
h
1
R =
2a m
W
37q =
EPSeq
'
eq RRR +=
EPS
EPS
eq
k
L
R +=
04,0
03,0
324,0 +=
kEPS = 0,04 W/m.K
07,1=
W
Km2
'
eq
b
R
T
q

−=
07,1
3523−
−= 11=
2m
W
 Exercício
...calcule:
a) o fluxo de calor que atravessa a parede;
b) o fluxo de calor caso fosse adicionada uma camada de 3cm 
de EPS (poliestireno expandido).
T e
=3
5
°C
T i
=2
3
°C
1
,5
 c
m
9
 c
m
1
,5
 c
m
k
a
=
 1
,1
5
 W
/m
.K
k
c
=
 0
,7
0
 W
/m
.K
k
a
=
 1
,1
5
 W
/m
.K
h
e
=
 2
5
 W
/m
2
.K
h
i
=
 7
,7
 W
/m
2
.K
eqqRT −=
i
i
i
k
L
R =
Condução:
Convecção:
i
i
h
1
R =
2a m
W
37q =
kEPS = 0,04 W/m.K
2b m
W
11q =
%70q →
 Transferência simultânea por condução e convecção
condução
convecção
 Razão entre resistência térmica condutiva e convectiva (Biot):
𝐿
𝑇0
𝑇𝑠
𝑇∞
𝛿𝑡
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑
camada 
limite 
térmica
Δ
𝑇 𝑐
𝑜
𝑛
𝑑
Δ
𝑇 𝑐
𝑜
𝑛
𝑣
sólido
(parede 
infinita)
𝑅𝑐𝑜𝑛𝑑
𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣
=
ൗ𝐿 𝑘
ൗ1 തℎ
=
തℎ𝐿
𝑘
Número 
de Biot:
𝐵𝑖 =
തℎ𝐿𝑐
𝑘𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜
Para corpos com diferentes geometrias: 𝐿𝑐 =
𝑉
𝐴𝑠
Ex.:
• parede plana comprida: 𝐿𝑐 = 𝐿
• cilindro: 𝐿𝑐 = Τ𝑅𝐻 2𝐻 + 2𝑅
• cilindro com base isolada: 𝐿𝑐 = Τ𝑅𝐻 2𝐻 + 𝑅
• cilindro longo: 𝐿𝑐 = 𝑅/2
• esfera: 𝐿𝑐 = 𝑅/3
fluido
𝑥
𝑇
 Razão entre resistência térmica condutiva e convectiva (Biot):
𝐿
𝑇0
𝑇𝑠
𝑇∞
𝛿𝑡
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑
camada 
limite 
térmica
Δ
𝑇 𝑐
𝑜
𝑛
𝑑
Δ
𝑇 𝑐
𝑜
𝑛
𝑣
sólido
(parede 
infinita)
Se 𝐵𝑖 = Τതℎ𝐿𝑐 𝑘𝑐:
• >> 1: transferência governada pela condução
• << 1: transferência governada pela convecção
• nenhum dos dois acima: ambos são relevantes
1:
A) 𝐵𝑖 = 1
B) 𝐵𝑖 ≫ 1
C) 𝐵𝑖 ≪ 1
1 2 3
2:
A) 𝐵𝑖 = 1
B) 𝐵𝑖 ≫ 1
C) 𝐵𝑖 ≪ 1
3:
A) 𝐵𝑖 = 1
B) 𝐵𝑖 ≫ 1
C) 𝐵𝑖 ≪ 1
 𝐵𝑖 ≪ 1 (apenas convecção) – método da capacidade concentrada
𝑡 = −𝑇𝐾 ln
𝑇 − 𝑇∞
𝑇𝑖 − 𝑇∞
𝑇 − 𝑇∞
𝑇𝑖 − 𝑇∞
= 𝑒−𝑡/𝑇𝐾
𝑇𝐾 =
𝑚𝑐
തℎ𝐴
1ª Lei da Termodinâmica
+
Lei de Newton do Resfriamento
 Exercício
Numa chopada de engenharia no DCE, uma lata de 250 ml de cerveja é retirada do isopor a 2 °C para ser
entregue ao aluno Sagaz, num ambiente a 40°C. A lata, colocada sobre uma superfície isolante, tem 6,0 cm de
diâmetroe 9,0 cm de altura. Para esta situação, o coeficiente de transmissão térmica entre a superfície da lata e o
ar (തℎ) é 7 W/m²K. Neste momento, uma simpática aluna de arquitetura aparece ao seu lado e ele resolve
conversar com ela sobre o cenário político atual do país. Admitindo-se que a temperatura apropriada para
consumo é de, no máximo, 4°C, quanto tempo Sagaz tem para concluir sua conversa? Ignore a irradiação térmica
e comente as demais suposições feitas para o cálculo. Considere Bi << 1.
kg250,0m =
C2Ti =
C40T =
KmW7h 2=
C4Tf =
6,0 cm
9
,0
 c
m
 Exercício
kg250,0m =
C2Ti =
C40T =
KmW7h 2=
C4Tf =
kTt
i
e
TT
TT /−

 =
−
−
Ah/mcTk =






−
−
−=→


TT
TT
lnTt
i
k
KkgJ4200c =
=A +RH2
2R ( )203,009,003,02 += 2m0198,0=
Ah/mcTk =
0198,07
420025,0


= 7575= s






−
−
−=


TT
TT
lnTt
i
k 





−
−
−=
402
404
ln7575 409= s s49min6=
6,0 cm
9
,0
 c
m
𝐵𝑖 =
തℎ𝐿𝑐
𝑘𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜
𝐿𝑐 = Τ𝑉 𝐴𝑠 = Τ3 ⋅ 9 2 ⋅ 9 + 3 = 1,3 𝑐𝑚
=
7 ⋅ 0.013
0,61
𝑘𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 ≅ 𝑘á𝑔𝑢𝑎 = 0,61 𝑊/𝐾𝑚
=
7 ⋅ 0.013
0,61
= 0,15
= Τ𝑅𝐻 2𝐻 + 𝑅
- Espectro eletro-magnético
- Corpo negro
- Lei de Stefan-Boltzmann
▪ Espectro eletro-magnético: 𝑓 =
𝑐0
𝜆
 Incidência de energia num corpo
q - incidente
q - refletido
q - transmitido
q - absorvido
 +  +  = 1
 - absortividade
 - reflectividade
 - transmissividade
Corpo negro:
É um corpo que absorve totalmente a energia incidente, ou seja, com 
reflexão e transmissão nula. Toda a energia emitida pelo corpo negro é 
proveniente de radiação térmica, se caracterizando portanto como um 
radiador térmico perfeito.
Absorve todo calor incidido
 Incidência de energia 
num corpo
 - absortividade
 - reflectividade
 - transmissividade
Casos 
especiais:
Obs.: Quando há apenas radiação de calor, 𝛼 = 𝜀.
𝛼 + 𝜌 + 𝜏 = 1
Classificação 
do corpo
Descrição   
Negro
Não há radiação seu 
interior
Não absorve nem reflete 
calor nem
Não absorve nem transmite
1 0 0
1 -  1 -  0
0 0 1
0 1 0
Opaco
Totalmente 
transparente
Totalmente 
refletor
A) Transparente
B) Refletor
C) Negro
D) Opaco
▪ Lei de Stefan-Boltzmann
▪ Corpo negro
▪ Geral (corpo cinza):
4)( TTe =
Constante de Stefan-Boltzmann:
4T)T(e =
𝜎 = 5,670400 ∙ 10−8 𝑊
𝑚2𝐾4
𝜀: emissividade
( ) ( ) 1e
ch2
,Te
Thc5
2
0
B0b −

=

Max Planck, 1901.
𝑐0 = 2,99792458 ∙ 10
8 Τ𝑚 𝑠
ℎ = 6,62606876 ∙ 10−34𝐽 ∙ 𝑠
𝜅𝐵 = 1,3806503 ∙ 10
−23 Τ𝐽 𝐾
0
50
100
150
0 1 2 3 4 5 6 7
en
er
gi
a
m
o
n
o
cr
o
m
át
ic
a
em
it
id
a
(k
W
/m
²/

m
)
Comprimento de onda (m)
faixa visível
998 K
1262 K
1449 K
1646 K
F
a
ix
a
 v
is
ív
e
l
Comprimento de máxima emissão (Lei de Wien):
𝜆𝑇 𝑒𝜆=𝑚á𝑥 = 2897,77 𝜇𝑚 ∙ 𝐾
𝜕𝑒𝜆𝑏
𝜕𝜆
= 0 →
Fonte: University of Colorado - http://phet.colorado.edu/pt_BR/
 Troca de calor entre dois corpos negros
▪ Fluxo líquido transferido do corpo 1:
▪ Taxa de transferência líquida transferida do corpo 1:
Corpo 2Corpo 1
ሶ𝑄𝑙𝑖𝑞 = 𝐴1𝜎 𝑇1
4 − 𝑇2
4
𝑞𝑙𝑖𝑞 = 𝜎 𝑇1
4 − 𝑇2
4
𝑞1 = 𝜎𝑇1
4 𝑞2 = 𝜎𝑇2
4
 Exemplo 1:
Uma parede comprida e preta a 27°C faceia outra cuja superfície encontra-se a 127°C. Entre as paredes 
há vácuo. Se a segunda parede tem espessura de 10 cm e condutividade térmica de 17,5 W/m.K, qual é a sua 
temperatura no lado de trás? (assuma estado permanente)
T
p
=
 2
7
°C
T
i 
=
 1
2
7
°C
e = 0,10m
k
 =
 1
7
,5
 W
/m
.K
T
e
 =
 ?
vácuo
qirrad. qcond.
( )4p4iI TTq −= ( )448 3004001067,5 −= −
992= 2m
W
L
T
kqC

−=
10,0
T127
5,17 e
−
−=
IC qq = 992
10,0
T127
5,17 e =
−
−→
C133Te =→
 Troca de calor entre dois corpos negros
Corpo 2Corpo 1
ሶ𝑄𝑙𝑖𝑞 = 𝐴1𝜎 𝑇1
4 − 𝑇2
4
𝑞1 = 𝜎𝑇1
4 𝑞2 = 𝜎𝑇2
4
– Taxa de transferência líquida transferida 
do corpo 1:
– Quando há mais corpos (3, 4, ...):
• 𝐹12 : fator de forma – fração da energia 
emitida por 1 que é interceptada por 2
– Corpos cinzas:
• ℱ12 : fator de transferência – depende 
também das emissividades dos corpos
ሶ𝑄𝑙𝑖𝑞 = 𝐴1ℱ12𝜎 𝑇1
4 − 𝑇2
4
ሶ𝑄𝑙𝑖𝑞 = 𝐴1𝐹12𝜎 𝑇1
4 − 𝑇2
4
 Exemplo 2:
Um termopar preto mede a temperatura em uma câmara com paredes pretas. Se o ar ao redor do 
termopar está a 20°C, as paredes a 100°C e o coeficiente de transferência de calor entre o termopar e o ar é 75 
W/m²K, qual será a temperatura lida pelo termopar?
𝐴𝑡𝑝 തℎ 𝑇𝑡𝑝 − 𝑇𝑎𝑟 = −𝐴𝑡𝑝𝐹12 𝜎 𝑇𝑡𝑝
4 − 𝑇𝑝
4
1
ሶ𝑄𝑐𝑜𝑛𝑣 = 𝐴𝑡𝑝 തℎ 𝑇𝑡𝑝 − 𝑇𝑎𝑟
ሶ𝑄𝑟𝑎𝑑 = 𝐴𝑡𝑝 𝐹12 𝜎 𝑇𝑡𝑝
4 − 𝑇𝑝
4
ሶ𝑄𝑐𝑜𝑛𝑣 = ሶ𝑄𝑟𝑎𝑑
→ 75 𝑇𝑡𝑝 − 20 = −5,67 ∙ 10
−8 𝑇𝑡𝑝 + 273
4
− 100 + 273 4 → 𝑇𝑡𝑝 = 28,4°𝐶
câmara
Tar=20°C
Tparede=100°C
qrad
qconv
 BIBLIOGRAFIA:
▪ LIENHARD, John H., A Heat Transfer Textbook. 4ª ed. 
Cambridge, MA: Phlogiston Press, 2012. Disponível 
em: web.mit.edu/lienhard. Acesso em 10/05/2015.
▪ INCROPERA F. P. & DE WITT, D. P., Fundamentos de 
Transferência de Calor e de Massa. 7ª ed. LTC, 2014.
▪ Imagens disponíveis na internet:
▪ Background vector created by upklyak - www.freepik.com
'https:/www.freepik.com/vectors/background
HidroUFF.uff.br