Notas_Numeros complejos (1)

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El estudio profundo de la naturaleza es la 
fuente más fértil de descubrimientos 
matemáticos Fourier 
Números 
complejos 
Tema I – Álgebra Lineal 
Ma Carmen Chacón Quintanilla 
Marcela A Juárez Rios 
TecNM – Campus Querétaro 
Departamento de Ciencias Básicas 
Álgebra Lineal 
 
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Orígenes 
 
 
Herón De Alejandría (100) 
 
La primera referencia escrita de la raíz cuadrada de un 
número negativo la encontramos en la obra 
Stereometría de Herón de Alejandría. Es este trabajo 
comparece la operación √𝟖𝟏 − 𝟏𝟒𝟒 aunque es tomada 
como √𝟏𝟒𝟒 − 𝟖𝟏 
Hay una referencia a raíces cuadradas de números 
negativos en la obra aritmética de Diofanto se puede 
observar el intento de cálculo del área de un triángulo 
rectángulo de Perímetro 12 y Área 7. Las soluciones 
contienen raíces de números negativos. 
 
Diofanto (275) 
 
Mahavira (850) 
 
Comenta en su tratado de los números negativos que 
“como en la naturaleza de las cosas una cantidad 
negativa no es un cuadrado, por lo tanto, no puede 
tener raíz cuadrada” 
Da las primeras explicaciones a este tipo de 
problemas, lo describe de la siguiente forma: 
 
“El cuadrado de un número, positivo o negativo, es 
positivo; la raíz cuadrada de un numero positivo 
tiene dos valores, uno positivo y otro negativo; no 
existe raíz cuadrada de un numero negativo ya que 
un número negativo no es un cuadrado.” 
Bhaskara (1150) 
 
Tartaglia y Cardan (1545) 
 
Jerome Cardan publica su obra “El gran arte” en el que 
presenta un método para resolver ecuaciones de grado 
3 y 4. En su obra presenta lo siguiente: 
“Si alguien te pide dividir 10 en dos partes cuyo 
producto sea... 40, es evidente que esta cuestión es 
imposible. No obstante, nosotros la resolvemos de la 
siguiente forma” 
𝑋 + 𝑌 = 10 → 𝐷𝐼𝑉𝐼𝐷𝐼𝑅 10 𝐸𝑁 𝐷𝑂𝑆 𝑃𝐴𝑅𝑇𝐸𝑆 
𝑋 ∗ 𝑌 = 40 → 𝑃𝑅𝑂𝐷𝑈𝐶𝑇𝑂 𝐷𝐸𝐴 40 
𝑂𝑏𝑡𝑒𝑛𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 
 5 + √−15 , 5 − √−15 
(5 + √−15 )( 5 − √−15) = 40 
Buscaron raíces exactas con polinomios de segundo y 
tercer grado. 
Planteo que como −𝟐 + √−𝟏𝟐𝟏 𝒚 − 𝟐 − √−𝟏𝟐𝟏 
solo se diferencian en un signo, lo mismo debía 
suceder con sus raíces cúbicas. 
Rafael Bombelli (1556) 
 
 
René Descartes (1596) 
 
Bautizó con el nombre de imaginarios a los nuevos 
números, apunto también que toda ecuación debía 
tener tantas raíces como indica su grado, aunque 
números no reales podían ser alguna de ellas. 
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Usaron números imaginarios en la resolución de 
integrales. 
 
Leibniz y Jhoan Bernoulli (1667) 
Christian Huygens (1673) 
 
Expresa la impresión del primero sobre la identidad 
√1 + √−3 + √1 − √−3 = √6 , que le había 
mencionado Leibniz en una carta y expresa: 
“Lo que me escribes sobre cantidades imaginarias que, 
no obstante, cuando son sumadas da una cantidad 
real, me es sorprendente y totalmente nuevo. Uno 
nunca creería que esto es cierto y debe haber algo 
escondido en ello que es incomprensible para mí.” 
Fue el primero en usar la notación 𝒊 = √−𝟏 , haciendo 
uso de los números complejos al relacionar la 
exponencial con las funciones trigonométricas 𝒆𝒊 𝒙 =
𝐜𝐨𝐬 𝒙 + 𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝒙. 
Lo expresaba de la siguiente manera: 
“Como todos los números imaginables son mayores, 
menores o iguales a cero, entonces es claro que la 
raíz cuadrada de un número negativo no puede ser 
uno de estos números, [...] y esta circunstancia nos 
lleva al concepto de tales números, que por su 
naturaleza son imposibles y ordinariamente son 
llamados imaginarios o números falsos, porque solo 
existen en la imaginación.” 
Euler (1777) 
 
Wessel (1797) 
 
La representación geométrica de los complejos como 
puntos del plano tiene sus primeras citas en sus 
trabajos. No obstante, sería la referencia de Gauss la 
que tendría el impacto suficiente. 
En cuya tesis doctoral (1797) se daba la primera 
prueba correcta del teorema fundamental del álgebra, 
apuntó a finales de 1825 que “la verdad metafísica de 
√−𝟏 es elusiva”. 
En 1831 publica un trabajo donde expone con toda 
claridad las propiedades de los números de la forma, 
llamados ahora Números de Gauss, y la 
representación geométrica de los mismos. 
Carl Friedrich Gauss (1797) 
 
Hamilton (1833) 
 
Da la primera definición algebraica rigurosa de los 
números complejos como pares de los números reales. 
Da una definición abstracta de los números complejos 
como clase de congruencia de polígonos. 
Cauchy (1847) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.1 Definición y origen de los números complejos 
 
La teoría de los números complejos surge por primera vez al tratar de resolver una ecuación de 
segundo grado. Considerando la ecuación general de segundo grado con coeficientes reales 
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 
y con base en el teorema fundamental de álgebra que garantiza que de acuerdo al grado de la 
ecuación se tendrán exactamente dos raíces. 
Al aplicar la fórmula general se tiene 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
 
donde el discriminante establece las condiciones para las soluciones de la ecuación, esto es 
si 𝑏2 − 4𝑎𝑐 es: 
 𝑏2 − 4𝑎𝑐 > 0 existen dos raíces reales diferentes 
 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0 existe una raíz real con multiplicidad dos 
 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0 las soluciones de la ecuación no son reales (no tiene solución real) 
Y con ello se inicia el estudio, en determinar las soluciones cuando el discriminante es negativo 
𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0 
Por ejemplo si se tiene la ecuación 𝑥2 + 1 = 0 y se requiere su solución. El lógico pensar que no 
existe ningún número real que al elevarse al cuadrado y sumando uno de cero, o visto de otra forma 
𝑥2 + 1 = 0 → 𝑥2 = −1, no es posible que un número real al elevarse al cuadrado genere un 
número negativo. 
Al resolver la ecuación 𝑥2 + 1 = 0 → 𝑥2 = −1 → 𝑥 = ±√−1 surge una nueva clasificación 
de números, definiendo con ello a los números imaginarios. 
Euler fue el primero en usar la notación 𝑖 = √−1 concibió que con la ayuda de la unida imaginaria, 
representada con la i, se establecía una igualdad, y con ello la solución de la ecuación sería 
𝑥 = ±√−1 = ± 𝑖 
Con base en ello el campo de números que se tenía hasta el momento se amplia para construir 
ahora un campo denominado como números complejos 
Los números complejos se pueden representar de tres formas diferentes: 
I. Forma binómica o rectangular {z = a + bi} 
II. Forma polar o trigonométrica {𝑧 = 𝑟(𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃) = 𝑟𝑐𝑖𝑠𝜃} 
III. Forma exponencial o Euler {𝑧 = 𝑟𝑒𝜃𝑖} 
 
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Forma binómica o rectangular 
Un número complejo es una expresión matemática de la forma 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, donde 𝑎, 𝑏 son números 
reales, i es la unidad imaginaria. 
 
𝑎 es la parte real del número complejo, se representa como 𝑅𝑒(𝑧) = 𝑎 
𝑏 es la parte imaginaria del número complejo, se representa como 𝐼𝑚(𝑧) = 𝑏, 𝑖 es la unidad 
imaginaria. 
Cuando 𝑎 = 0, el número complejo será 𝑧 = 𝑏𝑖, el cual se denomina número imaginario 
puro. 
Si ahora 𝑏 = 0, el número complejo será 𝑧 = 𝑎, es decir ahora se tendrá un número real. 
 
Unidad imaginaria 𝑖 
Para la unidad imaginaria 𝑖, se tiene 
𝑖 = √−1 𝑖
2 = −1 𝑖3 = 𝑖2𝑖 = −𝑖 𝑖4 = 𝑖2𝑖2 = 1 
 
Ejemplo 
De los siguientes números complejos determina a) la parte real, b) la parte imaginaria 
Número a) Parte real b) Parte imaginaria 
𝑧 = 3 − 5𝑖 𝑅𝑒(𝑧) = 3 𝐼𝑚(𝑧) = −5 
𝑧 = 6𝑖 𝑅𝑒(𝑧) = 0 𝐼𝑚(𝑧) = 6 
𝑧 = −2 + √3𝑖 𝑅𝑒(𝑧) = −2 𝐼𝑚(𝑧) = √3 
¡Importante! La parte real e imaginaria de un número complejo es un número real. 
 
Representación gráfica de los complejos (Diagrama de Argand) 
El concepto de plano complejo permite representar geométricamente un número complejo. 
Considerandola pareja ordena como (𝑅𝑒(𝑧), 𝐼𝑚(𝑧)) = (𝑎, 𝑏), es decir graficamos la parte 𝑅𝑒(𝑧) 
sobre el eje horizontal (𝑒𝑗𝑒 𝑥) denominándose eje real, y la parte 𝐼𝑚(𝑧) sobre el eje vertical (𝑒𝑗𝑒 𝑦), 
denominado eje imaginario. 
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Otra forma de representar un número complejo es como vector de posición, es decir el punto inicial 
será el origen y el final (donde se coloca la sagita) son las coordenadas (𝑎, 𝑏). Esto es, 𝑎 es la 
componente horizontal y 𝑏 es la componente vertical del vector. 
 
Ejemplo 
Representar en el diagrama de Argand los números 
𝑧1 = 3 + 2𝑖, 𝑧2 = −3 − 3𝑖, 𝑧3 = 2 − 𝑖 𝑦 𝑧4 = 3𝑖 
Solución 
 
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Conjugado de un número complejo 
Dado el número complejo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, se denomina como conjugado de 𝑧, y se denota 𝑧̅ al número 
complejo 𝑧̅ = 𝑎 − 𝑏𝑖, es decir el conjugado de un número complejo cambia el signo de la parte 
imaginaria. 
Para un número complejo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, su conjugado es 𝑧̅ = 𝑎 − 𝑏𝑖 se cumple que 
𝑅𝑒(𝑧) = 𝑅𝑒(𝑧̅) 𝑦 𝐼𝑚(𝑧) = −𝐼𝑚(𝑧̅) 
Ejemplo 
De los siguientes números complejos determina su conjugado 
Número Conjugado 
𝑧 = 3 − 5𝑖 𝑧̅ = 3 + 5𝑖 
𝑧 = 6𝑖 𝑧̅ = −5𝑖 
𝑧 = −2 + √3𝑖 𝑧̅ = −2 − √3𝑖 
𝑧 = −3 𝑧̅ = −3 
Geométricamente, dos números complejos son conjugados si y sólo si son reflexiones respecto al 
eje real 
 
Propiedades de los números complejos conjugados 
i. 𝑧̅̅ = 𝑧 
ii. 𝑧1 + 𝑧2̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = 𝑧1̅ + 𝑧2̅ 
iii. 𝑧1𝑧2̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝑧1̅𝑧2̅ 
iv. [
𝑧1
𝑧2
]
̅̅ ̅̅̅
=
𝑧1̅̅ ̅
𝑧2̅̅ ̅
 
v. 𝑧̅ = 𝑧 ↔ 𝑧 𝜖 ℝ 
vi. 𝑧̅ = −𝑧 ↔ 𝑧 𝜖 𝐼 
vii. (𝑧̅)𝑛 = 𝑧𝑛̅̅ ̅ 
viii. 𝑘𝑧̅ = 𝑘𝑧̅̅ ̅, 𝑧 𝜖 ℝ 
 
 
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Ejemplo 
Realiza las operaciones indicadas, indicando la propiedad aplicada 
- 2 + 3𝑖̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ = 
- 5𝑖 + 2̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ = 
- 3(4 − 2𝑖)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ = 
- −4̅̅ ̅̅ = 
Solución 
- 2 + 3𝑖̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ = 2 + 3𝑖 𝑃𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑖 
- 5𝑖 + 2̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ = 2 − 5𝑖 𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑔𝑎𝑑𝑜 
- 3(4 − 2𝑖)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ = 3(4 − 2𝑖)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = 3(4 + 2𝑖) = 12 + 6𝑖 𝑃𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑣𝑖𝑖𝑖 
- −4̅̅ ̅̅ = 4 𝑃𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑣 
 
 
 
 
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1.2 Operaciones con números complejos 
Los números complejos definen la misma estructura algebraica que los números reales, es decir, 
cumplen los axiomas de campo bajo las propiedades de cerradura, conmutativa, asociativa, 
elemento inverso y elemento idéntico. 
 
Igualdad 
Dos números complejos son iguales si y sólo si la parte real es igual y la parte imaginaria es igual, 
esto es, 
si 𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑦 𝑧2 = 𝑐 + 𝑑𝑖, entonces 𝑧1 = 𝑧2 si y sólo si 𝑎 = 𝑐 𝑦 𝑏 = 𝑑 
Otra forma de expresar la igual de dos números complejos es 
𝑧1 = 𝑧2 ↔ 𝑅𝑒(𝑧1) = 𝑅𝑒(𝑧2) 𝑦 𝐼𝑚(𝑧1) = 𝐼𝑚(𝑧2) 
Suma 
Si 𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑦 𝑧2 = 𝑐 + 𝑑𝑖, entonces 𝑧1 + 𝑧2 será 
𝑧1 + 𝑧2 = (𝑎 + 𝑏𝑖) + (𝑐 + 𝑑𝑖) = (𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑)𝑖 
Resta 
Si 𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑦 𝑧2 = 𝑐 + 𝑑𝑖, entonces 𝑧1 − 𝑧2 será 
𝑧1 − 𝑧2 = (𝑎 + 𝑏𝑖) − (𝑐 + 𝑑𝑖) = (𝑎 − 𝑐) + (𝑏 − 𝑑)𝑖 
Multiplicación por un escalar 
Si 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑦 𝑘 𝜖 ℝ, entonces 𝑘𝑧 será 
𝑘𝑧 = 𝑘(𝑎 + 𝑏𝑖) = (𝑘𝑎) + (𝑘𝑏)𝑖 
Multiplicación 
Si 𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑦 𝑧2 = 𝑐 + 𝑑𝑖, entonces 𝑧1𝑧2 será 
𝑧1𝑧2 = (𝑎 + 𝑏𝑖)(𝑐 + 𝑑𝑖) = 𝑎(𝑐 + 𝑑𝑖) + 𝑏𝑖(𝑐 + 𝑑𝑖) = 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑𝑖 + 𝑏𝑐𝑖 + 𝑏𝑑𝑖
2 = 
como 𝑖2 = −1 
= 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑𝑖 + 𝑏𝑐𝑖 − 𝑏𝑑 = (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑) + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑖 
Multiplicación 
Si 𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑦 𝑧2 = 𝑐 + 𝑑𝑖, entonces 𝑧1/𝑧2 será 
𝑧1
𝑧2
=
𝑎 + 𝑏𝑖
𝑐 + 𝑑𝑖
 
Para realizar la operación se multiplica y divide por el conjugado del complejo del denominador, 
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𝑧1
𝑧2
= (
𝑎 + 𝑏𝑖
𝑐 + 𝑑𝑖
) (
𝑐 − 𝑑𝑖
𝑐 − 𝑑𝑖
) =
(𝑎 + 𝑏𝑖)(𝑐 − 𝑑𝑖)
𝑐2 − 𝑑2𝑖2
=
𝑎𝑐 − 𝑎𝑑𝑖 + 𝑏𝑐𝑖 − 𝑏𝑑𝑖2
𝑐2 + 𝑑2
= 
=
(𝑎𝑐 + 𝑏𝑑) + (𝑏𝑐 − 𝑎𝑑)𝑖
𝑐2 + 𝑑2
=
𝑎𝑐 + 𝑏𝑑
𝑐2 + 𝑑2
+
𝑏𝑐 − 𝑎𝑑
𝑐2 + 𝑑2
𝑖 
Ejemplo 
Determina el valor de 𝑥 para que los números complejos 𝑧1 = 𝑥
2 + 6 + 2𝑥𝑖 𝑦 𝑧2 = 15 + 6𝑖 sean 
iguales. 
Solución 
Para que dos números sean iguales, sus partes reales y sus partes imaginarias deben ser iguales, con 
ello, 
𝑥2 + 6 = 15 𝑦 2𝑥 = 6 
resolviendo 
𝑥2 + 6 = 15 → 𝑥2 = 9 → 𝑥 = ±√9 = ±3 
2𝑥 = 6 → 𝑥 = 3 
Por lo tanto ambas ecuaciones se cumplen sólo para 𝑥 = 3 
 
Ejemplo 
Determina las siguientes operaciones 
a. (𝟐 + 𝟑𝒊) + (−𝟓 + 𝟒𝒊) 
b. (3 − 4𝑖) − (1 − 𝑖) 
c. (5 + 3𝑖) + [(−1 + 2𝑖) − (7 − 5𝑖)] 
d. 3(2 + 7𝑖) + 4(8 − 𝑖) 
e. (2 − 3𝑖)(4 + 2𝑖) 
f. 5 − 2𝑖
−1 + 𝑖
 
g. 3𝑖
2 − 𝑖
−
5
4 + 2𝑖
 
h. 5 + 5𝑖
3 − 4𝑖
+
20
4 + 3𝑖
 
Solución 
a. (𝟐 + 𝟑𝒊) + (−𝟓 + 𝟒𝒊) = (2 − 5) + (3 − 4)𝑖 = −𝟑 − 𝒊 
b. (3 − 4𝑖) − (1 − 𝑖) = (3 − 1) + (−4 − (−1))𝑖 = 2 + (−4 + 1)𝑖 = 𝟐 − 𝟑𝒊 
c. (5 + 3𝑖) − [(−1 + 2𝑖) − (7 − 5𝑖)] = (5 + 3𝑖) − (−1 + 2𝑖) + (7 − 5𝑖) = 
= (5 + 1 + 7) + (3 − 2 − 5)𝑖 = 𝟏𝟑 − 𝟒𝒊 
d. 3(2 + 7𝑖) + 4(8 − 𝑖) = (6 + 21𝑖) + (32 − 4𝑖) = (6 + 32) + (21 − 4)𝑖 = 𝟑𝟖 + 𝟏𝟕𝒊 
e. (2 − 3𝑖)(4 + 2𝑖) = 2(4 + 2𝑖) − 3𝑖(4 + 2𝑖) = 8 + 4𝑖 − 12𝑖 − 6𝑖2 = 𝟏𝟒 − 𝟖𝒊 
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0
 
f. 
5−2𝑖
−1+𝑖
=
5−2𝑖
−1+𝑖
(
−1−𝑖
−1−𝑖
) =
5(−1−𝑖)−2𝑖(−1−𝑖)
1+1
=
−5−5𝑖+2𝑖−2
2
=
−7−3𝑖
2
= −
𝟕
𝟐
−
𝟑𝒊
𝟐
 
g. 
3𝑖
2−𝑖
−
5
4+2𝑖
=
3𝑖
2−𝑖
(
2+𝑖
2+𝑖
) −
5
4+2𝑖
(
4−2𝑖
4−2𝑖
) =
6𝑖−3
4+1
−
20−10𝑖
16+4
= −
3
5
+
6𝑖
5
−
20
20
+
10𝑖
20
= −
𝟖
𝟓
+
𝟏𝟕𝒊
𝟏𝟎
 
h. 
5+5𝑖
3−4𝑖
+
20
4+3𝑖
=
5+5𝑖
3−4𝑖
(
3+4𝑖
3+4𝑖
) +
20
4+3𝑖
(
4−3𝑖
4−3𝑖
) =
15+20𝑖+15𝑖−20
9+16
+
80−60𝑖
16+9
= −
5
25
+
35𝑖
25
+
80
25
−
60𝑖
25
= 𝟑 − 𝒊 
 
Propiedades para la suma y producto por un escalar de números complejos 
Sean 𝑧1, 𝑧2, 𝑧3 𝜖 ℂ y 𝑘1, 𝑘2 escalares 
 Para la suma 
1) Cerradura 𝑧1 + 𝑧2 𝜖 ℂ 
2) Conmutativa 𝑧1 + 𝑧2 = 𝑧2 + 𝑧1 
3) Asociativa 𝑧1 + 𝑧2 + 𝑧3 = (𝑧1 + 𝑧2) + 𝑧3 = 𝑧1 + (𝑧2 + 𝑧3) 
4) Neutro ∃ 0 𝜖 ℂ|𝑧 + 0 = 𝑧 ∀ 𝑧 𝜖 ℂ 
El cero como número complejo es 0+0i 
5) Inverso ∀ 𝑧 𝜖 ℂ, ∃ − 𝑧 𝜖 ℂ|𝑧 + (−𝑧) = 0 
Si 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 → −𝑧 = −𝑎 − 𝑏𝑖 
 Para la multiplicación por un 
escalar 
 
6) Cerradura 𝑘1𝑧 𝜖 ℂ 
7) Asociativa (𝑘1𝑘2)𝑧1 = 𝑘1(𝑘2𝑧1) 
8) Distributiva 𝑘1(𝑧1 + 𝑧2) = 𝑘1𝑧1 + 𝑘1𝑧2 
(𝑘1 + 𝑘2)𝑧1 = 𝑘1𝑧1 + 𝑘2𝑧1 
9) Idéntico ∃ 1 𝜖 ℂ|1(𝑧) = 𝑧, ∀ 𝑧 𝜖 ℂ 
El número 1 se puede expresar como 𝑧 = 1 + 0𝑖 
 
 
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1
 
1.3 Potencias de 𝒊, módulo o valor absoluto de un número complejo 
Recordando que 𝑖 representa la unidad imaginaria de un número complejo, y además 𝑖 = √−1, se 
pueden obtener las potencias de 𝑖 como: 
𝒊 = √−𝟏 
𝒊𝟐 = −𝟏 
𝒊𝟑 = 𝒊𝟐𝒊 = −𝒊 
𝒊𝟒 = 𝒊𝟐𝒊𝟐 = 𝟏 
 
𝒊𝟏 = 𝒊 𝒊𝟓 = 𝒊 𝒊𝟗 = 𝒊 𝒊𝟏𝟑 = 𝒊 
𝒊𝟐 = −𝟏 𝑖6 = −1 𝑖10 = −1 𝑖14 = −1 
𝒊𝟑 = −𝒊 𝑖7 = −𝑖 𝑖11 = −𝑖 𝑖15 = −𝑖 
𝒊𝟒 = 𝟏 𝑖8 = 1 𝑖12 = 1 … 
Como puedes observar las potencias de la unidad imaginaria 𝑖, generan como resultado 
𝑖, −1, −𝑖, 1 
De forma gráfica se tiene 
 
Ejemplo 
Determina el resultado de 𝑖70, 𝑖103, 𝑖201 𝑒 𝑖244 
Solución 
𝑖70 = (−1)
70
2 = (−1)35 = −1 
𝑖103 = (𝑖)(𝑖)102 = (𝑖)(−1)102/2 = (𝑖)(−1)51 = 𝑖(−1) = −𝑖 
𝑖201 = (𝑖)(𝑖)200 = (𝑖)(−1)
100
2 = (𝑖)(−1)50 = (𝑖)(1) = 𝑖 
𝑖244 = (−1)244/2 = (−1)122 = 1 
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2
 
Otra forma de determinar el resultado de una potencia de 𝑖 es factorizar en múltiplos de cuatro 
(¿por qué 4? Porque es la distancia para que un resultado se repita), y con la tabla inicial de 
potencias de 𝑖. Por ejemplo 
𝒊 = √−𝟏 
𝒊𝟐 = −𝟏 
𝒊𝟑 = 𝒊𝟐𝒊 = −𝒊 
𝒊𝟒 = 𝒊𝟐𝒊𝟐 = 𝟏 
𝑖35 = (𝑖4)8𝑖3 = (1)8𝑖3 = (1)(−𝑖) = −𝑖 
𝑖98 = (𝑖4)24𝑖2 = (1)24(−1) = −1 
𝑖244 = (𝑖4)61 = (1)61 = 1 
Resulta sencillo de utilizar, ¿cuál es la mejor? como siempre, la que a ti te guste. 
Ejemplo 
Resuelve las siguientes operaciones 
𝑖42 𝑖−1 𝑖−18 𝑖4𝑚 
 
(1 + 𝑖)16 
 
1 + 𝑖
𝑖19
 
𝑖12
𝑖81
 
 
(2 + 5𝑖)2
3𝑖 − 1
 
 
(−1 − 𝑖)2 
(1 + 𝑖)2(1 − 𝑖)3
𝑖5
 
 
Solución 
𝑖42 = (𝑖4)10𝑖2 = −𝟏 
𝑖−1 =
1
𝑖
= (
1
𝑖
) (
−𝑖
−𝑖
) = −
𝑖
1
= −𝒊 
𝑖−18 =
1
𝑖18
=
1
(𝑖4)4𝑖2
=
1
−1
= −𝟏 
𝑖4𝑚 = (𝑖4)𝑚 = (1)𝑚 = 𝟏 
(1 + 𝑖)16 = ((1 + 𝑖)2)8 = (1 + 2𝑖 + 𝑖2)8 = (1 + 2𝑖 − 1)8 = (2𝑖)8 = 28𝑖8 = 256(𝑖4)2
= 256(1)2 = 𝟐𝟓𝟔 
1 + 𝑖
𝑖19
=
1 + 𝑖
(𝑖4)4𝑖3
=
1 + 𝑖
−𝑖
(
𝑖
𝑖
) =
𝑖 + 𝑖2
−𝑖2
= −𝟏 + 𝒊 
𝑖12
𝑖81
=
1
𝑖81−12
=
1
𝑖69
=
1
(𝑖4)17𝑖
=
1
𝑖
= −𝒊 
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a1
3
 
(2 + 5𝑖)2
3𝑖 − 1
=
4 + 20𝑖 + 25𝑖2
−1 + 3𝑖
=
−21 + 20𝑖
−1 + 3𝑖
(
−1 − 3𝑖
−1 − 3𝑖
) =
21 + 63𝑖 − 20𝑖 + 60
1 + 9
=
81 + 43𝑖
10
=
𝟖𝟏
𝟏𝟎
+
𝟒𝟑𝒊
𝟏𝟎
 
(−1 − 𝑖)2 = 1 + 2𝑖 + 𝑖2 = 𝟐𝒊 
(1 + 𝑖)2(1 − 𝑖)3
𝑖5
=
2𝑖(1 − 3𝑖 + 3𝑖2 − 𝑖3)
𝑖4𝑖
=
2𝑖(1 − 3𝑖 − 3 + 𝑖)
𝑖
=
2𝑖(−2 − 2𝑖)
𝑖
= 2(−2 − 2𝑖)
= −𝟒 − 𝟐𝒊 
 
Módulo de un número complejo 
El módulo o magnitud de un número complejo está asociado a la representación geométrica como 
vector de un complejo. 
 
Si 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 el módulo o magnitud de 𝑧 se 
representa por 
|𝑧| = |𝑎 + 𝑏𝑖| = √𝑎2 + 𝑏2 
 
Lo cual podemos interpretar como la magnitud del 
vector que representa al número complejo, donde 
las componentes del vector constituye los lados de 
un triángulo rectángulo, debido a que los ejes real e 
imaginario son ortogonales, y aplicando el teorema 
de Pitágoras se obtiene 
|𝑧| = 𝑟 = √𝑎2 + 𝑏2 
 
El módulo o magnitud de un número complejo 𝑧 y su conjugado 𝑧̅ son iguales, y se cumple la relación 
𝑧𝑧̅ = |𝑧|2 
Demostración 
Sea 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, entonces siguiendo la ecuación se tiene 
𝑧𝑧̅ = |𝑧|2 → (𝑎 + 𝑏𝑖)(𝑎 − 𝑏𝑖) = 𝑎2 − 𝑏2𝑖2 = 𝑎2 + 𝑏2 = √𝑎2 + 𝑏2
2
= |𝑧|2 
 
Propiedades del módulo de un número complejo 
Si 𝑧, 𝑧1, 𝑧2 son números complejos y 𝑘 un escalar, entonces 
1) |𝑧| ≥ 0 𝑦 𝑒𝑠 𝑐𝑒𝑟𝑜 ↔ 𝑧 = 0 
2) |𝑧| = |𝑧̅| 
3) |𝑘𝑧| = |𝑘||𝑧| 
4) |𝑧| = |−𝑧| 
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4
 
5) |𝑧1 𝑧2| = |𝑧1||𝑧2| 
6) |
𝑧1
𝑧2
| =
|𝑧1|
|𝑧2|
 ; 𝑧2 ≠ 0 
7) |𝑧1 + 𝑧2| ≤ |𝑧1| + |𝑧2| (Desigualdad del triángulo) 
8) |𝑧1 − 𝑧2| ≥ |𝑧1| − |𝑧2| 
 
Ejemplo 
Determina el módulo de los números complejos 
a) 𝑧 = −4 + 2𝑖 
|𝑧| = √(−4)2 + (2)2 = √16 + 4 = √20 = 2√5 
 
b) 𝑧 = 5 − 𝑖 
|𝑧| = √(5)2 + (−1)2 = √25 + 1 = √26 
c) 𝑧 = −3 − 3𝑖 
|𝑧| = √(−3)2 + (−3)2 = √9 + 9 = √18 = 3√2 
d) 𝑧1 = 2 + 𝑖, 𝑧2 = −3 + 2𝑖 
|𝑧1𝑧2| = |𝑧1||𝑧2| = √(2)
2 + (1)2√(−3)2 + (2)2 = √5√13 = √65 
|3𝑧1 − 4𝑧2| = |3(2 + 𝑖) − 4(−3 + 2𝑖)| = |6 + 3𝑖 + 12 − 8𝑖| = |18 − 5𝑖|
= √182 + (−5)2 = √349 
 
 
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5
 
1.4 Forma polar y exponencial de un número complejo 
Las operaciones con potencias y raíces de números complejos se pueden resolver con mayor 
facilidad cuando éstos están representados en forma polar. 
A partir de la forma binómica de un número complejo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, la cual se puede representar 
como un punto (𝑎, 𝑏) en el plano complejo. 
Este punto también puede ser representado en términos de coordenadas polares (𝑟, 𝜃) donde 
𝑟 ≥ 0, entonces: 
 
𝑟 = √𝑎2 + 𝑏2 
cos 𝜃 =
𝑎
𝑟
 → 𝑎 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 
sen 𝜃 =
𝑏
𝑟
 → 𝑏 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 
con ello 
𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃 
𝑧 = 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛𝜃) = 𝑟𝑐𝑖𝑠𝜃 
 
 
Definición (Forma polar de un número complejo) 
Si 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, y considerando 𝑎 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 y 𝑏 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃, entonces se define la forma polar del 
número complejo como: 
𝑧 = 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛𝜃) = 𝑟𝑐𝑖𝑠𝜃 
La forma polar se representa por su módulo 𝑟 y su argumento 𝜃, que es el ángulo entre la parte 
positiva del eje real y el módulo del vector definido por 𝑧, esto es 
𝑡𝑎𝑛𝜃 =
𝑏
𝑎
 → 𝜃 = tan−1 (
𝑏
𝑎
) 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 
Si un número complejo tiene un argumento 𝜃, este argumento más cualquier múltiplo entero de 2𝜋 
también es un argumento de 𝑧 
 
La notación para el argumento de 𝑧 es 
arg(𝑧) 
y representa el conjunto de todos los argumentos de 𝑧 
 
Como cualesquiera de dos argumento de 𝑧 difieren en 
un múltiplo de 2𝜋. Se pueden obtener con 
𝜃 + 2𝜋𝑛, para 𝑛 entero 
Pero hay siempre exactamente un argumento de 𝑧 en 
el intervalo de −𝜋 < 𝜃 ≤ 𝜋 y se denomina argumento 
principal de 𝑧, es único y se representa como 𝐴𝑟𝑔 (𝑧). 
 
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6
 
Si 𝑧 ≠ 0, la rotación en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj corresponde a 
los valores positivos del 𝐴𝑟𝑔 (𝑧) y una rotación en sentido de las manecillas del reloj corresponden 
a los valores negativos del 𝐴𝑟𝑔 (𝑧). 
Si los números complejos están representados en forma polar la definición de igualdad no cambia, 
es decir, dos números complejos son iguales si tienen el mismo módulo y el mismo argumento. 
Nota: si 𝜃 está en grados, entonces 𝜃 + 360° 𝑛 
 
Si un número complejo está en forma binómica 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 se convierte a polar como 𝑧 = 𝑟 𝑐𝑖𝑠 𝜃, 
donde 
𝑟 = √𝑎2 + 𝑏2 
𝜃 = tan−1 (
𝑏
𝑎
) 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 
Para determinar la ubicación del argumento 
Condición 𝜃 
Si 𝑎 > 0 𝜃 = tan−1 (
𝑏
𝑎
) 𝑦 𝜃 ∈ (−
𝜋
2
,
𝜋
2
) 
Si 𝑎 = 0 y 𝑏 > 0 𝜃 =
𝜋
2
 
Si 𝑎 = 0 y 𝑏 < 0 𝜃 = −
𝜋
2
 
Si 𝑎 < 0 y 𝑏 > 0 𝜃 = 𝜋 − tan−1 (|
𝑏
𝑎
|) 𝑦 𝜃 ∈ (
𝜋
2
, 𝜋) 
Si 𝑎 = 0 y 𝑏 < 0 𝜃 = −𝜋 + tan−1 (
𝑏
𝑎
) 𝑦 𝜃 ∈ (−
𝜋
2
, −𝜋) 
 
Ejemplo 
Obtener la forma polar de los siguientes números complejos (usar el argumento principal) 
1) 𝑧 = 𝑖 
2) 𝑧 = 1 + 𝑖 
3) 𝑧 = −1 − √3𝑖 
4) 𝑧 = −3 + 4𝑖 
 
Solución 
1) 𝑧 = 𝑖 → 𝑧 = 0 + 1𝑖 → 𝑟 = √02 + 12 = 1 ; 𝜃 =
𝜋
2
 → 𝒛 = 𝟏𝒄𝒊𝒔 (
𝝅
𝟐
) 
2) 𝑧 = 1 + 𝑖 → 𝑟 = √12 + 12 = √2 ; ; 𝜃 =
𝜋
4
 → 𝒛 = √𝟐𝒄𝒊𝒔 (
𝝅
𝟒
) 
3) 𝑧 = −1 − √3𝑖 → 𝑟 = √(−1)2 + (−√3)
2
= √4 = 2 ; 𝜃 = 𝜋 − tan (−
√3
−1
) = −
2𝜋
3
 
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7
 
𝒛 = 𝟐 𝒄𝒊𝒔 (−
𝟐𝝅
𝟑
 ) 
4) 𝑧 = −3 + 4𝑖 → 𝑟 = √(−3)2 + 42 = √25 = 5 ; 𝜃 = 𝜋 − tan−1 (|
4
−3
|) = 2.21 
 
𝒛 = 𝟓 𝒄𝒊𝒔 (𝟐. 𝟐𝟏 ) 
 
 
 
 
 
 
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8
 
1.5 Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejo 
La potencia entera de un número complejo es el producto del mismo complejo, el número de 
veces que indique la potencia, esto es 
𝑧𝑛 = 𝑧𝑧𝑧 ⋯ 𝑧 (𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠) 
Empleando la forma polar de 𝑧 se tienen los siguientes desarrollos, 
𝑧2 = 𝑧𝑧 = 𝑟(𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃) 𝑟(𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃)
= 𝑟2[𝑐𝑜𝑠𝜃(𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃) + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃(𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃)]
= 𝑟2(cos2 𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖2𝑠𝑒𝑛2𝜃)
= 𝑟2(cos2 𝜃 − 𝑠𝑒𝑛2𝜃 + 2𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃) = 𝑟2(𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛2𝜃) = 𝑟2𝑐𝑖𝑠(2𝜃) 
 
𝑧3 = 𝑧𝑧2 = 𝑟(𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃) 𝑟2(𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛2𝜃) = 𝑟3(𝑐𝑜𝑠3𝜃 +𝑖𝑠𝑒𝑛3𝜃) = 𝑟3𝑐𝑖𝑠(3𝜃) 
 
𝑧4 = 𝑧𝑧3 = 𝑟(𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃) 𝑟3(𝑐𝑜𝑠3𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛3𝜃) = 𝑟4(𝑐𝑜𝑠4𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛4𝜃) = 𝑟4𝑐𝑖𝑠(4𝜃) 
 
y así sucesivamente, 
 
𝑧𝑛 = 𝑧𝑧𝑛−1 = 𝑟(𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃) 𝑟𝑛−1(cos (𝑛 − 1)𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛(𝑛 − 1)𝜃)
= 𝑟𝑛(cos 𝑛𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃) = 𝑟𝑛𝑐𝑖𝑠(𝑛𝜃) 
 
Teorema de De Moivre 
Si 𝑧 = 𝑟(𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃) y 𝑛 es un número natural, entonces 
𝑧𝑛 = 𝑟𝑛(cos 𝑛𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃) = 𝑟𝑛𝑐𝑖𝑠(𝑛𝜃) 
 
Ejemplo 
Si 𝑧 = (1 + 𝑖) , determina 𝑧6 indicando el resultado en forma polar y binómica 
Solución 
Primero se convierte 𝑧 = (1 + 𝑖) a su forma polar 
𝑧 = (1 + 𝑖) = √2𝑐𝑖𝑠 45° 
Aplicando el teorema De Moivre se tiene 
𝑧6 = (√2)
6
𝑐𝑖𝑠 (6)(45°) = 𝟖𝒄𝒊𝒔(𝟐𝟕𝟎°) = 8 cos 270° + 𝑖8𝑠𝑒𝑛270° = 0 − 8𝑖 = −𝟖𝒊 
 
 
 
 
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9
 
Ejemplo 
Si 𝑧 = (2 − 3𝑖) , determina 𝑧10 indicando el resultado en forma polar y binómica 
Solución 
Primero se convierte 𝑧 = (2 − 3𝑖) a su forma polar 
𝑧 = (2 − 3𝑖) = √13𝑐𝑖𝑠 303.7° 
Aplicando el teorema De Moivre se tiene 
𝑧10 = (√13)
10
𝑐𝑖𝑠 (10)(303.7°) = 371293 𝑐𝑖𝑠(3037°) = 𝟑𝟕𝟏𝟐𝟗𝟑 𝒄𝒊𝒔𝟏𝟓𝟕°
= −𝟑𝟒𝟏𝟕𝟕𝟕 + 𝟏𝟒𝟓𝟎𝟕𝟓. 𝟕𝟑𝒊 
 
Nota. Si 𝒏 es un entero positivo y 𝒛 ≠ 𝟎, entonces 𝒛−𝒏 =
𝟏
𝒛𝒏
 
Ejemplo 
Determina: 
a. (2 + 𝑖)−5 
b. (1 + 𝑖)−4 
Solución 
a. (2 + 𝑖)−5 =
1
(2+𝑖)5
 
por lo tanto, se resuelve primero el denominador como 
(2 + 𝑖)5 = (√5 𝑐𝑖𝑠26.56°)
5
= (√5 )
5
 𝑐𝑖𝑠(5)(26.56°) = 25√5𝑐𝑖𝑠132.82° 
ahora 
(2 + 𝑖)−5 =
1
(2 + 𝑖)5
=
1
25√5𝑐𝑖𝑠132.82°
=
1
25√5
𝑐𝑖𝑠(−132.82°) =
1
25√5
𝑐𝑖𝑠(227.17°) 
b. (1 + 𝑖)−4 =
1
(1+𝑖)4
=
1
(√2𝑐𝑖𝑠(45°))
4 =
1
4
𝑐𝑖𝑠(−180°) =
1
4
𝑐𝑖𝑠(180°) = −
1
4
 
 
Raíz n-ésima de un número complejo 
La raíz n-ésima de un número complejo 𝑧, es cualquier número complejo 𝑤 tal que: 
√𝑧
𝑛
= 𝑤 → 𝑧 = 𝑤𝑛 
Si se consideran dos números complejos 
𝑧 = 𝑟 𝑐𝑖𝑠𝜃 𝑦 𝑤 = 𝑠 𝑐𝑖𝑠𝜑 
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0
 
Aplicando el teorema De Moivre se tiene que si 𝑧 = 𝑤𝑛 entonces 𝑧 = (𝑠 𝑐𝑖𝑠 𝜑)𝑛 = 𝑠𝑛𝑐𝑖𝑠 (𝑛𝜑), al 
ser una igualdad se establece que 
𝑟 = 𝑠𝑛 ; cos 𝜃 = cos 𝑛𝜑 ; 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜑 
como las funciones seno y coseno tienen un periodo fundamental de 2𝜋 = 360° cada una, los 
argumentos de 𝜃 y 𝑛𝜑 difieren por múltiplos de 2𝜋, y su relación para 𝑘 entero 
𝑛𝜑 = 𝜃 + 2𝑘𝜋 → 𝜑 =
𝜃 + 2𝑘𝜋
𝑛
=
𝜃 + 360°𝑘
𝑛
 
Al sustituir 𝜑 =
𝜃+2𝑘𝜋
𝑛
 en la forma polar de 𝑤 se obtiene el siguiente teorema 
Teorema 
Para cualquier entero positivo 𝑛, el número complejo 𝑧 = 𝑟 𝑐𝑖𝑠𝜃, tiene exactamente 𝑛 raíces 
distintas dadas por la expresión 
𝑤𝑘 = √𝑧
𝑛
= √𝑟
𝑛
 𝑐𝑖𝑠 (
𝜃 + 2𝑘𝜋
𝑛
) = √𝑟
𝑛
 𝑐𝑖𝑠 (
𝜃 + 360°𝑘
𝑛
) ; 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘 = 0,1,2,3, … 𝑛 − 1 
 
 
Ejemplo 
Determina las raíces cubicas de −27 
Solución 
El número en su forma compleja es 𝑧 = 27 𝑐𝑖𝑠 180°, por lo tanto al aplicar el teorema se obtiene: 
𝑤𝑘 = √𝑧
3
= √27
3
 𝑐𝑖𝑠 (
180° + 360°𝑘
3
) = 3𝑐𝑖𝑠 (
180° + 360°𝑘
3
) 
Para 𝑘 = 0 𝑤0 = 3 𝑐𝑖𝑠 60° =
3
2
+
3√3
2
𝑖 
Para 𝑘 = 1 𝑤1 = 3 𝑐𝑖𝑠 180° = −3 
Para 𝑘 = 2 𝑤2 = 3 𝑐𝑖𝑠 300° =
3
2
−
3√3
2
𝑖 
 
 
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1
 
Gráficamente las raíces son 
 
Nota. La distancia angular entre las raíces de un número complejo es igual a 
360°
𝑛
, por lo tanto con 
determinar la primer raíz se puede ir agregando la distancia angular para localizar la siguiente raíz. 
 
Ejemplo 
Determina las raíces quintas de 32𝑖, dando la solución en forma polar. 
Solución 
Representando a 𝑖 en su forma polar como 𝑧 = 32 𝑐𝑖𝑠 (90°) 
Aplicando la expresión para determinar las raíces 
𝑤𝑘 = √𝑧
5
= √35
5
 𝑐𝑖𝑠 (
90° + 360°𝑘
5
) 
Para 𝑘 = 0 𝑤0 = 2 𝑐𝑖𝑠 18° 
Para 𝑘 = 1 𝑤1 = 2 𝑐𝑖𝑠 90° 
Para 𝑘 = 2 𝑤2 = 2 𝑐𝑖𝑠 162° 
Para 𝑘 = 3 𝑤3 = 2 𝑐𝑖𝑠 234° 
Para 𝑘 = 4 𝑤4 = 2 𝑐𝑖𝑠 306° 
 
Al saber calcular las potencias y raíces de un número complejo, se puede calcular cualquier potencia 
racional de la forma 𝑧
𝑚
𝑛 , la cual se puede obtener como, 
𝑧
𝑚
𝑛 = (𝑧𝑚)
1
𝑛 = ( √𝑧
𝑛
)
𝑚
 
 
 
 
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2
 
Ejemplo 
Determina (2 − 𝑖)4/3 
Solución 
Una forma de resolver la expresión es elevando el número complejo primero a la cuarta y 
posteriormente obtener las raíces cúbicas, para ello puede expresarse el número en su forma polar 
𝑧 = 2 − 𝑖 = √5 𝑐𝑖𝑠 333.43° 
elevando el número complejo a la potencia cuatro 
𝑧4 = (√5 𝑐𝑖𝑠 333.43°)
4
= √5
4
 𝑐𝑖𝑠 (4)(333.43°) = 25 𝑐𝑖𝑠 253.74° 
obteniendo las raíces cúbicas 
𝑤𝑘 = √𝑧
3
= √25
3
 𝑐𝑖𝑠 (
253.74° + 360°𝑘
3
) 
Para 𝑘 = 0 𝑤0 = √25
3
 𝑐𝑖𝑠 84.58° 
Para 𝑘 = 1 𝑤1 = √25
3
 𝑐𝑖𝑠 204.58° 
Para 𝑘 = 2 𝑤2 = √25
3
 𝑐𝑖𝑠 324.58° 
 
Ejemplo 
Determina (2 − 𝑖)−2/5 
Adicionalmente ahora tiene un exponente negativo lo cual se puede representar como 
(2 − 𝑖)−2/5 = √
1
(2 − 𝑖)2
5
 
es decir, el exponente negativo indica que el número se encuentra en el denominador elevado al 
cuadrado, y posteriormente se obtienen las raíces quintas. 
𝑧 = 2 − 𝑖 = √5 𝑐𝑖𝑠 333.43° → 
1
𝑧2
=
1
(√5𝑐𝑖𝑠 333.43°)
2 =
1
5 𝑐𝑖𝑠306.86°
=
1
5
𝑐𝑖𝑠 53.14° 
Obteniendo las raíces quintas 
𝑤𝑘 = √
1
𝑧2
5
= √
1
5
5
 𝑐𝑖𝑠 (
53.14° + 360°𝑘
5
) 
Para 𝑘 = 0 𝑤0 =
1
√5
5 𝑐𝑖𝑠 10.63° 
Para 𝑘 = 1 𝑤1 =
1
√5
5 𝑐𝑖𝑠 82.63° 
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3
 
Para 𝑘 = 2 𝑤2 =
1
√5
5 𝑐𝑖𝑠 154.63° 
Para 𝑘 = 3 𝑤3 =
1
√5
5 𝑐𝑖𝑠 226.63° 
Para 𝑘 = 4 𝑤4 =
1
√5
5 𝑐𝑖𝑠 298.63° 
 
 
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4
 
1.6 Ecuaciones polinómicas 
Recordando que, al inicio del tema, se presentó que el origen de los números complejos se dio de 
la necesidad de resolver ecuaciones polinómicas 
𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 + ⋯ + 𝑎2𝑥
2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 = 0 
Y con frecuencia en la práctica se requiere resolver 
𝑎𝑛𝑧
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑧
𝑛−1 + ⋯ + 𝑎2𝑧
2 + 𝑎1𝑧 + 𝑎0 = 0 
cuyas soluciones se denominan ceros o raíces de la ecuación. 
Ejemplo 
Determina las raíces de la ecuación 𝑥2 − 6𝑥 + 13 = 0 
Solución 
Al ser una ecuación cuadrática se puede aplicar la fórmula de segundo grado, esto es 
𝑥 =
−(−6) ± √(−6)2 − 4(1)(13)
2(1)
=
6 ± √36 − 52
2
=
6 ± √−16
2
=
6 ± 4𝑖
2
= 3 ± 2𝑖 
Por lo tanto las raíces de la ecuación son: 𝑥1 = 3 − 2𝑖 , 𝑥2 = 3 + 2𝑖 
 
Ejemplo 
Resuelve la ecuación 𝑧2 + (2𝑖 − 3)𝑧 + 5 − 𝑖 = 0 
Solución 
La expresión corresponde nuevamente a una ecuación de segundo grado, sólo que ahora es de 
coeficientes complejos, la cual podemos reescribir como 
𝑧2 + (−3 + 2𝑖)𝑧 + (5 − 𝑖) = 0 
Aplicando la fórmula de segundo grado 
𝑥 =
−(−3 + 2𝑖) ± √(−3 + 2𝑖)2 − 4(1)(5 − 𝑖)
2(1)
 
resolviendo las operaciones 
𝑥 =
3 − 2𝑖 ± √9 − 12𝑖 + 4𝑖2 − 20 + 4𝑖
2
=
3 − 2𝑖 ± √−15 − 8𝑖
2
 (1) 
Para obtener las soluciones se requiere resolver √−15 − 8𝑖, es decir obtener las raíces cuadradas 
de −15 − 8𝑖, para ello 
𝑧1 = −15 − 8𝑖 = 17 𝑐𝑖𝑠 208.07° 
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5
 
𝑤𝑘 = √𝑧1
 = √17 𝑐𝑖𝑠 (
208.07° + 360°𝑘
2
) 
Para 𝑘 = 0 𝑤0 = √17 𝑐𝑖𝑠 104.04° = −1 + 4𝑖 
Para 𝑘 = 1 𝑤1 = √17 𝑐𝑖𝑠 284.04° = 1 − 4𝑖 
 
Al sustituir los valores de las raíces en la solución de la fórmula (1) 
para 𝑤0 = −1 + 4𝑖 
𝑧 =
3 − 2𝑖 ± √−15 − 8𝑖
2
=
3 − 2𝑖 ± (−1 + 4𝑖)
2
,
𝑧1 =
3 − 2𝑖 + 1 − 4𝑖
2
= 2 − 3𝑖
𝑧2 =
3 − 2𝑖 − 1 + 4𝑖
2
= 1 + 𝑖
 
para 𝑤1 = 1 − 4𝑖 
𝑧 =
3 − 2𝑖 ± √−15 − 8𝑖
2=
3 − 2𝑖 ± (1 − 4𝑖)
2
,
𝑧2 =
3 − 2𝑖 − 1 + 4𝑖
2
= 1 + 𝑖
𝑧1 =
3 − 2𝑖 + 1 − 4𝑖
2
= 2 − 3𝑖
 
Por lo tanto, las soluciones son: 
𝑧1 = 2 − 3𝑖 𝑦 𝑧2 = 1 + 𝑖
 
 
Se puede comprobar el resultado al sustituir las raíces en la ecuación 
𝑧2 + (−3 + 2𝑖)𝑧 + (5 − 𝑖) = 0 
(2 − 3𝑖 )2 + (−3 + 2𝑖)(2 − 3𝑖 ) + (5 − 𝑖) = 0 
4 − 12𝑖 − 9 − 6 + 9𝑖 + 4𝑖 + 6 + 5 − 𝑖 = 0 
0 = 0 
 
 
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6
 
Lugar geométrico (con números complejos) 
Los números complejos admiten una interpretación geométrica que resulta útil. Para ello considera 
el siguiente cambio 
𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑝𝑜𝑟 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 
y recordando que los números complejos se pueden interpretar como puntos en el plano, se pueden 
establecer lugares geométricos y regiones a través de ecuaciones y desigualdades. 
Circunferencias 
Si 𝑧0 es un número complejo y 𝑟 un número real positivo, la ecuación 
|𝑧 − 𝑧0| = 𝑟 
representa el conjunto de puntos 𝑧 cuya distancia a 𝑧0 es 𝑟. Donde el conjunto que cumple está 
condición representa geométricamente una circunferencia con centro en 𝑧0 y radio 𝑟. 
 
Ejemplo 
Describe el lugar geométrico de todos los puntos que satisfacen la ecuación |𝑧| = 4 
Solución 
Como se observa 𝑧0 es el origen, por lo tanto se tiene una circunferencia con centro al origen y 
radio 4, que es la distancia de 𝑧 a 𝑧0. 
 
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7
 
Otra forma de identificar el lugar geométrico es 
𝑠𝑖 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 → |𝑧| = 4 → |𝑥 + 𝑦𝑖| = 4 → √𝑥2 + 𝑦2 = 4 → 𝑥2 + 𝑦2 = 16 
Donde 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟏𝟔 representa la ecuación de una circunferencia con centro al origen y radio 
𝑟 = 4 
 
Región circular 
Si 𝑧0 es un número complejo y 𝑟 un número real positivo, la ecuación 
|𝑧 − 𝑧0| ≤ 𝑟 
representa el conjunto de puntos 𝑧 cuya distancia a 𝑧0 es menor o igual 𝑟. Donde el conjunto que 
cumple está condición representa geométricamente una región circular con centro en 𝑧0 y radio 𝑟. 
 
Si se excluye la igualdad, esto es: 
|𝑧 − 𝑧0| < 𝑟 
 se dejarán fuera los puntos de la circunferencia que delimita la región 
 
 
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8
 
Ejemplo 
Trace el lugar geométrico de los puntos que satisfacen la ecuación 
a) |𝑧 + 2 + 4𝑖| < 3 
b) |𝑧 + 2𝑖| = |1 + 𝑖| 
c) |𝑧 + 6𝑖| = |𝑧 − 1 + 3𝑖| 
Solución 
a. De acuerdo con lo establecido, 
|𝑧 + 2 + 4𝑖| < 3 → |𝑧 − (−2 − 4𝑖)| < 3 
 se trata de un región circular con centro en 𝐶(−2, −4) y radio 𝑟 = 3 
 
Si consideramos que 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 entonces 
|𝑧 + 2 + 4𝑖| < 3 → |𝑥 + 𝑦𝑖 + 2 + 4𝑖| < 3 → |𝑥 + 2 + (𝑦 + 4)𝑖|2 < 32 
→ (𝑥 + 2)2 + (𝑦 + 4)2 < 9 
 que corresponde al lugar geométrico identificado. 
b. Al aplicar el módulo del lado derecho de la igualdad se tiene 
|𝑧 + 2𝑖| = |1 + 𝑖| → |𝑧 + 2𝑖| = |1 + 𝑖| = √2 
Obteniendo |𝑧 − (0 − 2𝑖)| = √2, que representa una circunferencia con centro en 
𝐶(0, −2), 𝑟 = √2 
TecNM – Campus Querétaro 
Departamento de Ciencias Básicas 
Álgebra Lineal 
 
P
ág
in
a2
9
 
 
Si consideramos que 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 entonces 
|𝑧 + 2𝑖| = √2 → |𝑥 + 𝑦𝑖 + 2𝑖| = √2 → |𝑥 + 𝑦𝑖 + 2𝑖|2 = √2
2
 
 
→ 𝑥2 + (𝑦 + 2)2 = 2 
c. Para |𝑧 + 6𝑖| = |𝑧 − 1 + 3𝑖| se tiene que 𝑧 se encuentra en ambos lados de la ecuación, por 
ello se sustituirá a 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖, obteniendo 
|𝑧 + 6𝑖| = |𝑧 − 1 + 3𝑖| 
|𝑥 + 𝑦𝑖 + 6𝑖| = |𝑥 + 𝑦𝑖 − 1 + 3𝑖| 
 
|𝑥 + (𝑦 + 6)𝑖|2 = |𝑥 − 1 + (𝑦 + 3)𝑖|2 
𝑥2 + (𝑦 + 6)2 = (𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 3)2 
𝑥2 − 𝑥2 + 2𝑥 − 1 + 𝑦2 + 12𝑦 + 36 − 𝑦2 − 6𝑦 − 9 = 0 
2𝑥 + 6𝑦 + 26 = 0 
𝑦 = −
𝑥
3
−
13
3
 
Lo que representa una recta 
 
Si en lugar de tener una igualdad (ecuación) se tuviera una desigualdad, como 
|𝑧 + 6𝑖| ≤ |𝑧 − 1 + 3𝑖| 
TecNM – Campus Querétaro 
Departamento de Ciencias Básicas 
Álgebra Lineal 
 
P
ág
in
a3
0
 
El lugar geométrico sería una región, que corresponde a todos los puntos que están sobre 
y debajo de la recta 
𝑦 ≤ −
𝑥
3
−
13
3