06 Álgebra de Boole e postulados

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Capítulo 6
Álgebra de Boole 
e postulados 
Anteriormente, abordamos o funcionamento das portas lógicas OR, 
AND, NOT, XOR, NAND, NOR e XNOR, suas aplicações e a tabela-verdade 
para cada uma das portas com os resultados de cada entrada. Dando 
continuidade a esse tema, neste capítulo, falaremos sobre os postula-
dos e os teoremas de De Morgan.
1 Álgebra de Boole
A álgebra de Boole refere-se à simplificação algébrica de circuitos ló-
gicos. Segundo Idoeta e Capuano (1999), para um melhor entendimento 
da simplificação de circuitos lógicos, é necessário primeiramente estu-
darmos sobre a álgebra de Boole, pois é por meio de seus postulados, 
propriedades e teoremas que realizamos as simplificações nos circuitos.
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De acordo com Tocci, Widmer e Moss (2011), a diferença entre a 
álgebra tradicional e a álgebra booleana é que, na álgebra tradicional, as 
constantes e variáveis podem ter infinitos valores reais, enquanto, na ál-
gebra booleana, essas variáveis assumem dois valores possíveis, “0” ou 
“1”, “verdadeiro” ou “falso”, “cara” ou “coroa”. As variáveis booleanas são 
bem úteis quando temos que representar níveis de tensão em uma co-
nexão ou em terminais de entrada/saída de um circuito. Uma expressão 
booleana é uma expressão matemática cujas variáveis são booleanas e 
o resultado será sempre 0 ou 1.
Podemos citar como exemplo de aplicação um sistema digital, no 
qual o valor booleano 0 pode representar qualquer tensão entre 0 e 0,8 
V, e o valor booleano 1 pode representar qualquer tensão dentro da faixa 
de 2 a 5 V. Assim, as variáveis booleanas não apresentam números, 
mas, sim, o estado do nível de tensão de uma variável, que é chamado 
de nível lógico. Na lógica digital, vários outros termos são usados para 
nomear esses níveis lógicos, como demonstrado no quadro 1 (TOCCI; 
WIDMER; MOSS, 2011).
Quadro 1 – Terminologia para os níveis lógicos
Lógico 0 Lógico 1
Falso Verdadeiro
Desligado Ligado
Baixo Alto
Não Sim
Aberto Fechado
A tabela-verdade pode ser obtida a partir de uma expressão booleana. 
Entretanto, é de especial interesse encontrar a expressão booleana que 
produza a mesma tabela-verdade com a menor complexidade possível, 
pois, dessa forma, também é possível implementar o circuito lógico que 
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produz a referida tabela-verdade com um reduzido número de portas, 
proporcionando uma economia de circuitos.
Podemos verificar o exemplo de uma expressão com a sua corres-
pondente tabela-verdade.
Exemplo: Y = A × B + A × Bà Y = A
Tabela 1 – Tabela-verdade correspondente à expressão indicada
A B Y
0 0 0 0 0
0 1 0 0 0
1 0 0 1 1
1 1 1 0 1
Existem algumas técnicas empregadas para a simplificação de ex-
pressões booleanas e, com isso, a simplificação dos circuitos lógicos. 
Uma das técnicas é a fatoração. A fatoração é uma técnica que utiliza 
postulados, propriedades, teoremas e identidades da álgebra de Boole 
para realizar as simplificações.
2 Postulado da complementação
De acordo com Idoeta e Capuano (1999), os postulados são utiliza-
dos na minimização, bem como na manipulação, de expressões lógi-
cas. O postulado da complementação mostra como são as regras da 
complementação na álgebra de Boole. Chamaremos de (A barrado) o 
complemento de A. O bloco lógico que executa o postulado da comple-
mentação é o inversor. 
Supondo a proposição A e o complemento de A = .
A × B + A × B Y = A
 A × B A × B 
A
A
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Dessa forma, se A é igual a 0, então A barrado é igual a 1. Se A é igual 
a 1, então A barrado é igual a 0, conforme segue:
Se A = 0 à = 1 
Se A = 1 à = 0
A
A
Considerando, por exemplo, os dígitos 1 e 0:
 = 0
 = 10
1
Por meio do postulado da complementação, podemos estabelecer a 
identidade da dupla negação:
Se A = 1, teremos = 0.
Se = 0, então = 1.
Se A = 0, teremos = 1.
Se A = 1, então = 0.
A A
A
AA
A
Concluímos, então:
Quando A = 1 à = 1 à
Quando A = 0 à = 0.
1 Daí: A = A
A
 = 0 e = 1.0 1
3 Postulado da adição
Segundo Tocci, Widmer e Moss (2011), o postulado da adição define 
as regras da adição na álgebra de Boole, sendo que, em um circuito ló-
gico ou sistema digital, esse postulado é bem representado pela função 
booleana OR. Na tabela 2, temos os postulados e os seus respectivos 
teoremas.
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Tabela 2 – Postulado da adição e seus teoremas
Postulado Teorema
0 + 0 = 0 A + 0 = A
0 + 1 = 1 A + 1 = 1
1 + 1 = 1 A + A = A
1 + 0 = 1
A variável “A” poderá assumir as identidades a seguir:
A + 0 = A
Se A = 0, temos: 0 + 0 = 0.
Se A = 1, temos: 1 + 1 = 1.
O resultado será sempre igual à variável A.
A + 1 = 1
Se A = 0, temos: 0 + 1 = 1.
Se A = 1, temos: 1 + 1 = 1.
O resultado será sempre igual a 1.
Sempre que somado 1 a qualquer variável, o resultado será igual a 1.
A + A = A
Se A = 0, temos: 0 + 0 = 0.
Se A = 1, temos: 1 + 1 = 1.
Todas as vezes que somamos a mesma variável, o resultado será 
ela mesma. 
A + = 1A
 A + A = 1 
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Se A = 0, temos: 0 + 1 = 1 (pois = 1).
Se A = 1, temos: 1 + 0 = 1 (pois = 0).A
A
Quando somamos uma variável ao seu complemento, o resultado 
será sempre 1.
4 Postulado da multiplicação
De acordo com Tocci, Widmer e Moss (2011), esse postulado deter-
mina as regras da multiplicação na álgebra de Boole, sendo que o circui-
to lógico desse postulado é representado pela função AND.
Tabela 3 – Postulado da multiplicação e seus teoremas
Postulado Teorema
0 × 0 = 0 A × 0 = 0
0 × 1 = 0 A × 1 = A
1 × 0 = 0 A × A = A
1 × 1 = 1
A variável poderá assumir as identidades a seguir:
A × 0 = 0
Se A = 0, temos: 0 × 0 = 0.
Se A = 1, temos: 1 × 0 = 0.
Toda variável multiplicada por 0 terá como resultado 0.
A × 1 = A
Se A = 0, temos: 0 × 1 = 0.
Se A = 1, temos: 1 × 1 = 1.
 A × A = 0 
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Toda variável multiplicada por 1 terá como resultado a própria 
variável.
A × A = A
Se A = 1, temos: 1 × 1 = 1.
Se A = 0, temos: 0 × 0 = 0.
Toda variável multiplicada por ela própria terá como resultado a 
variável. 
A × = 0
Se A = 0, temos: 0 × 1 = 0 (pois = 1).
Se A = 1, temos: 1 × 0 = 0 (pois = 0).
A
A
A
Sendo assim, uma variável multiplicada por seu complemento terá 
como resultado 0. Dessa forma, vamos acompanhar alguns exemplos.
Tabela 4 – Tabela-verdade 
A S
0 1 0 + 1 1
1 0 1 + 0 1
Figura 1 – Circuito lógico de A + A 
A + A A 
A
S = A + A
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Tabela 5 – Tabela-verdade 
A S
0 1 0 × 1 0
1 0 1 × 0 0
Figura 2 – Circuito lógico de A × A 
A
S = A × A
5 Propriedades algébricas
Vamos conhecer as principais propriedades algébricas úteis, prin-
cipalmente, no manuseio e simplificação de expressões. Presentes 
também na matemática comum, vamos compreender melhor sobre as 
propriedades comutativa, associativa e distributiva na álgebra de Boole 
(TOCCI; WIDMER; MOSS, 2011):
 • Propriedade comutativa: a propriedade comutativa é válida tanto 
na adição como na multiplicação. 
Adição: A + B = B + A
Multiplicação: A × B = B × A
 • Propriedade associativa: a propriedade associativa é válida na 
adição e na multiplicação. 
Adição: A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C
Multiplicação: A × (B × C) = (A × B) × C = A × B × C
 A × A A × A 
 
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 • Propriedade distributiva: a propriedade distributiva é válida na 
adição e na multiplicação.
 • A × (B + C) = A × B + A × C
Tabela 6 – Tabela-verdade 
A B C A(B + C) AB + AC
0 0 0 0 0
0 0 1 0 0
0 1 0 0 0
0 1 1 0 0
1 0 0 0 0
1 0 1 1 1
1 1 0 1 1
1 1 1 1 1
6 Teoremas de De Morgan 
A álgebra de Boole é muito útil nas simplificações algébricas em cir-
cuitos lógicos. Na maioria das vezes, a simplificação e a otimização de 
circuitos lógicos se dão pela conversão ou comutação de funções OR e 
AND, ou seja, isso significa que uma função OR deve ser convertida em 
uma função AND, e vice-versa (TOCCI; WIDMER; MOSS, 2011; IDOETA; 
CAPUANO, 1999).
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6.1 Primeiro teorema de De Morgan
O complemento do produto é igual à sua soma:
Para provar esse teorema, montamos a tabela-verdade:
Tabela 7 – Tabela-verdade para o primeiro teorema de De Morgan
A B A × B A × B 
0 0 1 1 0 0
0 1 1 1 0 0
1 0 1 1 0 0
1 1 0 0 1 1
Figura 3 – Circuitos lógicos identificados na tabela-verdade
O teorema pode ser estendido para mais de duas variáveis:
AB = A + B
(A × B) = A + B
A + B A + B 
A
B
A × B
A
B
A + B
A × B
A
B
A
B
A + B
(A × B × C ... N) = A + B + ... + N
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6.2 Segundo teorema de De Morgan
De acordo com Haupt e Dachi (2018), o complemento da soma é 
igual ao produto dos complementos. Esse teorema é uma extensão 
do primeiro:
 ß primeiro teorema
Reescrevendo:
(A × B) = A + B 
A × B = A + B 
Observando a fórmula, verificamos que A é o complemento de e A
que B é o complemento de . VB amos chamar de A X e de B Y. Assim 
sendo, temos:
X × Y = (X + Y)
Reescrevendo em termos de A e B, temos o complemento do produ-
to igual à soma dos complementos:
 ß segundo teorema
O teorema pode ser estendido para mais de duas variáveis:
A × B = (A + B) 
A + B + C + ... + N = A × B × C ... N 
Construindo a tabela-verdade, temos as equivalências:
Tabela 8 – Tabela-verdade para o segundo teorema de De Morgan
A B A + B
0 0 1 1 0 0
0 1 0 0 0 1
1 0 0 0 0 1
1 1 0 0 1 1
A × B A + B A × B 
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Figura 4 – Circuitos lógicos identificados na tabela-verdade
A
B
A × BA + B
A
B
A + B
A
B
A B
A
B
6.3 Regra geral para a aplicação dos teoremas de De 
Morgan 
Pela expressão A + B + C + D:
1. Converte-se a função OR em AND.
2. Complementa-se individualmente cada variável ou termo:
A × B × C × D = S
3. Complementa-se toda a expressão:
A × B × C × D = S
Figura 5 – Circuito digital 
A
S S
C
B B
A
C
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Consideramos cada variável como um termo. No exemplo anterior, a 
expressão possui quatro variáveis ou quatro termos.
Já a expressão A + BC + D = S, por exemplo, possui quatro variáveis, 
mas três termos:
A = primeiro termo
BC = segundo termo
D = terceiro termo
Aplicando o teorema de De Morgan nos três termos, temos:
A + B + C + D = S
Figura 6 – Circuito digital
ABCD A
A + BC + D A × BC × D
S S
BCD
Partindo da expressão A + BC + D = S, podemos aplicar o teorema de 
De Morgan no segundo termo. Teremos, então:
A + B + C + D = S
Podemos concluir que as portas lógicas integradas são fabricadas 
de modo que, em um único bloco de material semicondutor, conheci-
do como “chip”, um ou mais circuitos completos para realizar determi-
nadas funções são implementados, agrupando de forma compacta 
e indissociável diversos dispositivos e portas lógicas básicas, além 
de circuitos de larga utilização, tais como: contadores, codificadores, 
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decodificadores e variado número de funções lógicas de interesse apli-
cado (TOCCI; WIDMER; MOSS, 2011).
Considerações finais
Neste capítulo, apresentamos os teoremas da álgebra de Boole e os 
teoremas de De Morgan. Foi possível perceber, por meio de uma leitura 
atenta, que os teoremas de De Morgan foram construídos com o obje-
tivo de realizar simplificações em expressões complexas em álgebra 
booleana. Compreendemos detalhadamente quais as regras utilizadas 
para converter operações lógicas OR em AND, e vice-versa.Por meio 
das simplificações e conversões, podem ser criados circuitos digitais 
mais compactos. Esses circuitos são os responsáveis pela implemen-
tação lógica dos computadores atuais, como a unidade lógica e aritmé-
tica que fica dentro do processador de um computador, bem como os 
circuitos digitais presentes em eletrodomésticos e automóveis.
Referências
HAUPT, Alexandre Gaspary; DACHI, Édison Pereira. Eletrônica digital. São 
Paulo: Blucher, 2018.
IDOETA, Ivan Valeije; CAPUANO, Francisco Gabriel. Elementos de eletrônica 
digital. São Paulo: Érica, 1999.
TOCCI, Ronald J.; WIDMER, Neal S.; MOSS, Gregory L. Sistemas digitais: 
princípios e aplicações. 11. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2011.