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UNIVERSIDADE DE RIBEIRÃO PRETO 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS NATURAIS E TECNOLOGIAS 
Engenharia Química 
 
 
 
Disciplina: FENÔMENOS DE TRANSPORTE III 
 
 
 
TRANSFERÊNCIA DE MASSA 
 
 
 
Profa. Dra. Marília Vasconcellos Agnesini 
Curso de Engenharia Química 
Email: marilia.agnesini@gmail.com 
magnesini@unaerp.br 
CV: http://lattes.cnpq.br/3226438965063643 
 
 
 
RIBEIRÃO PRETO 
2021
mailto:marilia.agnesini@gmail.com
mailto:magnesini@unaerp.br
http://lattes.cnpq.br/3226438965063643
2 
 
1 INTRODUÇÃO À TRANSFERÊNCIA DE MASSA PARA A ENGENHARIA 
QUÍMICA 
As disciplinas de Fenômenos de Transportes são fundamentais nos 
processos de transformação da matéria, por isso apresentam grande relevância 
e aplicabilidade na engenharia química. Quando, na engenharia, se refere aos 
fenômenos de transporte, deve-se ter em mente que, é o estudo da transferência 
de quantidade de movimento, energia e matéria podendo ser avaliados isolados 
ou em conjunto. 
O estudo da transferência de quantidade de movimento avalia a dinâmica 
dos fluidos, abordado na disciplina de Fenômenos de Transporte I. Os 
fenômenos que envolvem à transferência de calor e energia foram estudados na 
disciplina de Fenômenos de Transporte II. Por último, os fenômenos de 
transporte do ponto de vista de movimentação da matéria e dos solutos, será 
estudado nesta disciplina. Independente da grandeza física que se avalia o 
transporte, a construção de modelos, a partir de equações de balanços, 
apresentam analogias, podendo ser correlacionadas, dessa forma, a partir da 
solução do problema de uma área pode-se modificar as grandezas nas 
equações, e obter a solução para as outras áreas. 
O processo de transporte é caracterizado por alguns fatores em comuns: 
• A Força Motriz, o movimento é causado por uma diferença da grandeza 
estudada; 
• O Transporte, pois alguma grandeza física é transferida; 
• O Meio, tanto a massa e como a geometria do material afetam a velocidade 
e a direção do processo de transferência. 
As grandezas são transportadas até atingir o equilíbrio, que é uma condição 
onde não ocorre nenhuma variação. 
A movimentação de espécies químicas (solutos e solventes) está presente 
em diversos processos e operações unitárias constituintes dos processos 
químicos, como na separação de substâncias ou na migração de reagentes e 
produtos em reatores químicos homogêneos ou heterogêneos. Encontra-se a 
transferência de massa em todo local: na indústria, no laboratório, na cozinha, 
3 
 
no corpo humano, na natureza. Basta existir diferença de concentração de um 
determinado soluto para que ocorra o seu transporte. 
Analogamente aos estudos de transferência de quantidade de movimento 
e transmissão de calor, que pressupõem gradientes de velocidade e de 
temperatura, respectivamente, na transferência de massa, o soluto é transferido 
quando surge gradiente de concentração entre duas regiões distintas. 
O fluxo de massa ocorre no sentido do meio mais concentrado para o 
menos concentrado. A este fenômeno denomina-se difusão molecular de massa. 
No entanto, o transporte de soluto pode também estar associado aos 
movimentos convectivos, processo este no quais porções contendo soluto são 
transportadas de uma região a outra, em escala macroscópica. 
A principal diferença entre a transferência de massa e os transportes de 
quantidade de movimento e de calor reside no fato de que a grandeza 
transportada (espécie química) possui massa, cujo movimento (espalhamento) 
devido à difusão pode acarretar no deslocamento do centro de massa ou molar 
do sistema. 
Em outras palavras, para que uma espécie se movimente de uma região a 
outra é necessária que haja uma força motriz, que resulta no movimento da 
matéria. No estudo da transferência de soluto a força motriz é a diferença de 
concentração do soluto com o meio, que é diretamente proporcional à 
movimentação de matéria transportada, ou seja: 
 
 
No entanto, a movimentação das espécies, mesmo ocorrendo devido à 
uma ação motriz, pode sofrer resistência oferecida pelo meio em que o soluto 
está presente: 
 
 
 
A resistência à transferência de massa está relacionada à interação do 
soluto com o meio, podendo também sofrer ações externas, tais como, correntes 
𝑀𝑜𝑣𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎çã𝑜 𝑑𝑎𝑠 𝑒𝑠𝑝é𝑐𝑖𝑒𝑠 𝛼 𝐹𝑜𝑟ç𝑎 𝑚𝑜𝑡𝑟𝑖𝑧 (𝑔𝑟𝑎𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎çã𝑜) 
𝑀𝑜𝑣𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎çã𝑜 𝑑𝑎𝑠 𝑒𝑠𝑝é𝑐𝑖𝑒𝑠 =
1
𝑅𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝𝑜𝑟𝑡𝑒
. 𝐹𝑜𝑟ç𝑎 𝑚𝑜𝑡𝑟𝑖𝑧 
4 
 
de ar, geometria do local da movimentação, diferenças de temperatura e 
pressão, entre outros. 
O movimento das espécies (soluto) no meio em que ele está inserido é 
denominado difusão, e ocorre devido às interações moleculares entre o soluto 
e o meio. A nível macroscópico, a transferência de soluto pode ocorrer também 
por ações externas, que deslocam todo o sistema (meio + soluto) e se relacionam 
com as características dinâmicas do meio e geometria do lugar onde ele se 
encontra. 
Quando se refere ao transporte de massa, o soluto pode sofrer dois tipos 
de movimento: 
➢ Contribuição difusiva: transporte de matéria devido às interações 
moleculares; 
➢ Contribuição convectiva: auxílio ao transporte de matéria como 
consequência do movimento do meio. 
É importante ressaltar que a difusão das espécies pode ocorrer em gases, 
líquidos ou sólidos. No entanto, devido ao espaçamento entre as moléculas, a 
taxa (ou velocidade) de difusão é muito mais elevada em gases do que em 
líquidos; e comparando líquidos e sólidos é mais maior nos líquidos do que nos 
sólidos. 
Exemplos: 
 
 
 
 
   →   Aparece uma onda de bom tamanho e carrega o surfista. 
 
 
 
 
 
 
 
A. Gota de tinta 
- Caindo no copo de água: 
Soluto = tinta 
Meio = água do copo 
Movimento = espalhamento da tinta 
Na contribuição difusiva a tinta (soluto) interage com a água (meio). 
- Caindo em um rio: 
Soluto = tinta 
Meio = água do copo 
Movimento = espalhamento da tinta e fluxo do rio 
Na contribuição convectiva a tinta (soluto) é carregada pelo fluxo do rio (meio) 
e na difusiva a tinta interage com a água do rio e se espalha. 
Contribuição 
Difusiva 
 
Contribuição 
Difusiva 
 
Contribuição 
convectiva e 
difusiva 
5 
 
 
 
 
 
   →   Aparece uma onda de bom tamanho e carrega o surfista. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B. Surfista no mar com sua prancha 
- Mar calmo e o surfista dá braçadas sobre sua prancha. 
Soluto = surfista 
Meio = mar 
Movimento = movimentação das mãos do surfista 
Na contribuição difusiva o surfista (soluto) interage com o mar (meio). 
- Aparece uma onda de bom tamanho e carrega o surfista 
Soluto = surfista 
Meio = mar 
Movimento = onda 
Na contribuição convectiva o surfista (soluto) se deixa carregar pelo mar 
(meio), existindo uma ação do mar em levar a prancha de um lugar para 
outro. 
Contribuição 
Difusiva 
 
Contribuição 
Convectiva 
C. Exemplo de deslocamento de 
centro de massa: Jogo de bilhar 
Na primeira tacada, para início da 
partida, ocorre o espalhamento das 
bolas (soluto) através da mesa 
(meio), faz com que o centro 
material do sistema (mesa e 
esferas) se deslocasse da 
esquerda para a direita. 
Ou seja, o transporte das bolas de 
bilhar (ou soluto) resultou na 
movimentação do centro de massa 
(ou molar, se a base estiver em 
número de mols) do conjunto no 
espaço, em relação a um 
referencial estático. 
6 
 
2 CONCEITOS FUNDAMENTAIS DA TRANSFERÊNCIA DE MASSA 
Assim como nas disciplinas anteriores de fenômenos de transporte, é usual 
representar a movimentação da grandeza que se transfere em termos de taxa (ou 
velocidade) e fluxo. Para isso, seguem alguns conceitos importantes para o 
entendimento desses parâmetros. 
A concentração de um soluto pode ser representada em função da massa (C’A) 
(Equação2.1) ou da quantidade de matéria, ou número de mol (CA) (Equação 2.2 e 2.3), 
em que V é o volume total da solução (soluto e meio), mA, nA e MA são respectivamente, 
massa em gramas, número de mol e massa molar do soluto A. 
𝐶′𝐴 =
𝑚𝐴
𝑉
 (2.1) 
𝐶𝐴 =
𝑛𝐴
𝑉
 (2.2) 
Como 𝑛𝐴 =
𝑚𝐴
𝑀𝐴
 , 
𝐶𝐴 =
𝑚𝐴
𝑀𝐴.𝑉
 
𝐶𝐴 =
𝐶′𝐴
𝑀𝐴
 (2.3) 
 
A quantidade de soluto em relação ao meio pode ser expressa em termos 
de fração mássica (wA) (Equação 2.4) e molar (Equação 2.5 e 2.6, para líquidos, 
xA, e gases, yA, respectivamente). 
𝑤𝐴 =
𝐶′𝐴
𝐶′
 (2.4) 
𝑥𝐴 =
𝐶𝐴
𝐶
 (2.5) 
𝑦𝐴 =
𝐶𝐴
𝐶
 (2.6) 
Em que, C’ e C correspondem, respectivamente, as concentrações totais em 
termos mássico e molar. Como será estudado na disciplina um sistema binário, é 
importante relembrar que, no sistema em que A é o soluto e B o meio, a soma de cada 
concentração correspondem à total, conforme a Equação 2.7. O mesmo é válido para 
base mássica. 
𝐶 = 𝐶𝐴 + 𝐶𝐵 (2.7) 
No sistema binário, a massa molar da mistura, por exemplo, deve ser calculada 
através da média ponderada, cujos pesos correspondem às frações de soluto. Na 
Equação 2.8 é representada para o caso de gases, mas pode ser aplicado também para 
líquidos. 
7 
 
 �̅� = 𝑦𝐴. 𝑀𝐴 + (1 − 𝑦𝐴).𝑀𝐵 (2.8) 
2.1 VELOCIDADE (OU TAXA) E FLUXO DAS ESPÉCIES 
Quando se calcula a velocidade de movimentação de um soluto, esta não 
será apenas de uma molécula da espécie “A”, mas sim a média de n moléculas 
dessas espécies contida em um elemento de volume. Como a solução é uma 
mistura de diferentes espécies químicas, a velocidade com o qual escoa a 
solução, em base molar, é dada pela Equação 2.9. 
�⃗� =
∑𝐶𝑖.�⃗� 𝑖
∑𝐶𝑖
 (2.9) 
 
Em que 𝑣 𝑖 é a velocidade absoluta da espécie i. Essa velocidade pode estar 
referenciada aos eixos estacionários ou à solução. A diferença entre a 
velocidade absoluta e a velocidade média denomina-se velocidade de difusão. 
A velocidade de migração de A (𝑉𝐴⃗⃗⃗⃗ ), a partir de um ponto de referência fixo, 
corresponde à soma das velocidades de movimentação do soluto devido ao 
efeito difusivo (𝑉𝐴𝑑⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ , referenciada ao centro molar ou mássico, móvel) e de 
deslocamento do sistema (𝑉𝑀⃗⃗⃗⃗ ⃗ com alusão a um ponto fixo). Então, é estabelecida 
a relação (Equação 2.10): 
 𝑉𝐴⃗⃗⃗⃗ = 𝑉𝐴𝑑⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑉𝑀⃗⃗⃗⃗ ⃗ (2.10) 
 
Como são grandezas vetoriais podem ser decompostas em diferentes 
direções: 
𝑉𝐴𝑥 = 𝑉𝐴𝑑𝑥 + 𝑉𝑀𝑥 (2.11) 
 𝑉𝐴𝑦 = 𝑉𝐴𝑑𝑦 + 𝑉𝑀𝑦 (2.12) 
 𝑉𝐴𝑧 = 𝑉𝐴𝑑𝑧 + 𝑉𝑀𝑧 (2.13) 
 
A grandeza fluxo molar representa a quantidade de matéria que atravessa 
uma superfície com uma determinada área num intervalo de tempo. Assim, o 
fluxo molar, representado pela letra N, pode ser calculado pelas Equações 2.14 
e 2.15, em relação à vazão molar (nA) e à velocidade de deslocamento do soluto. 
𝑁𝐴 =
𝑛𝐴
𝐴
 (2.14) 
𝑁𝐴⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑉𝐴⃗⃗⃗⃗ . 𝐶𝐴 (2.15) 
 
8 
 
 
 
 
 
 
2.2 LEI DE FICK 
A multiplicação das velocidades (Equações 2.11 a 2.13), pela concentração 
molar de A produz fluxos molares nas direções x, y e z decorrentes da 
contribuição difusiva e da contribuição convectiva (movimento de advecção), 
resultando nas Equações 2.16 a 2.18. 
 𝐶𝐴. 𝑉𝐴𝑥 = 𝐶𝐴. 𝑉𝐴𝑑𝑥 + 𝐶𝐴. 𝑉𝑀𝑥 (2.16) 
 𝐶𝐴. 𝑉𝐴𝑦 = 𝐶𝐴. 𝑉𝐴𝑑𝑦 + 𝐶𝐴. 𝑉𝑀𝑦 (2.17) 
 𝐶𝐴. 𝑉𝐴𝑧 = 𝐶𝐴. 𝑉𝐴𝑑𝑧 + 𝐶𝐴. 𝑉𝑀𝑧 (2.18) 
 
Representando o fluxo molar total de soluto, como NA, e JA, como o fluxo 
devido ao movimento difusivo das moléculas, com base em um referencial 
móvel, pode-se escrever as Equações 2.19 a 2.21. 
 𝑁𝐴𝑥 = 𝐽𝐴𝑥 + 𝐶𝐴. 𝑉𝑀𝑥 (2.19) 
 𝑁𝐴𝑦 = 𝐽𝐴𝑦 + 𝐶𝐴. 𝑉𝑀𝑦 (2.20) 
 𝑁𝐴𝑧 = 𝐽𝐴𝑧 + 𝐶𝐴. 𝑉𝑀𝑧 (2.21) 
 
 
 
 
 
 
 
O fluxo molar referente ao movimento de difusão de soluto, é móvel e varia 
de acordo com o movimento de difusão das partículas, decorrente do gradiente 
de concentração. 
Considerando um recipiente que contém dois gases A e B (CA >> CB), 
inicialmente separados entre si por uma partição. Ao retirar, os dois gases 
𝐹𝐿𝑈𝑋𝑂 =
𝑉𝐴𝑍Ã𝑂 𝑀𝑂𝐿𝐴𝑅
Á𝑅𝐸𝐴
 [
𝑚𝑜𝑙
𝑠.𝑚²
] 
𝐹𝐿𝑈𝑋𝑂 = 𝑉𝐸𝐿𝑂𝐶𝐼𝐷𝐴𝐷𝐸 . 𝐶𝑂𝑁𝐶𝐸𝑁𝑇𝑅𝐴ÇÃ𝑂 [
𝑚
𝑠
.
𝑚𝑜𝑙
𝑚³
] = [
𝑚𝑜𝑙
𝑠.𝑚²
] 
 
Fluxo molar 
do soluto A 
Fluxo molar 
difusional 
Deslocamento 
Movimento convectivo 
Referencial móvel Referencial fixo 
9 
 
difundem um através do outro até que a concentração de ambos seja uniforme 
em todo o volume. 
Este fenômeno é redigido pela Lei de Fick da difusão, que pode ser 
expressa pela Equação 2.22. 
 𝐽𝐴𝑦 = −𝐷𝐴𝐵.
𝑑𝐶𝐴
𝑑𝑦
 (2.22) 
 
Em que JAy é o fluxo molar de soluto A no solvente B (mol de A.m-2.s-1) 
devido ao efeito difusional (fluxo em relação ao centro molar do sistema) na 
direção y, DAB é a difusividade mássica do soluto A no meio B (m2/s), 
𝑑𝐶𝐴
𝑑𝑦
 é o 
gradiente de concentração molar de soluto na direção y (mol de A/m4). 
Em termos molares, a equação pode ser reescrita conforme mostrado na 
Equação 2.23, baseado na definição de fração molar (Equação 2.6). 
𝐽𝐴𝑦 = −𝐷𝐴𝐵 .
𝑑(𝑦𝐴.𝐶)
𝑑𝑦
 
𝐽𝐴𝑦 = −𝐷𝐴𝐵 . 𝐶.
𝑑𝑦𝐴
𝑑𝑦
 (2.23) 
 
O sinal negativo indica o decréscimo da concentração da espécie A com o 
sentido do fluxo. 
A difusividade mássica é uma propriedade física que depende, sobretudo, 
das substâncias envolvidas, da temperatura e da pressão, semelhantemente a 
difusividade de quantidade de movimento (ν) e a difusividade térmica (α). 
Diversas são as correlações disponíveis para se estimar a difusividade 
mássica em meios gasosos e líquidos. Com base na correlação de Fuller, 
Schettler e Giddings (1966 apud WELTY, et al., 2001) a correção de DAB para 
difusão de gases é representada na Equação 2.24, com a temperatura 
necessariamente na escala em Kelvin. 
𝐷𝐴𝐵𝑇2,𝑃2
𝐷𝐴𝐵𝑇1,𝑃1
= (
𝑇2
𝑇1
)
1,75
. (
𝑃1
𝑃2
) (2.24) 
 
Valores de difusividade podem ser obtidos pelo Apêndice J de Welty et al. 
(2001), apresentados na Tabela 2.1. 
 Definido o fluxo molar, as equações dos fluxos molares, nas direções x, y 
e z, podem ser reescritas como (Equações 2.25 a 2.27): 
 𝑁𝐴𝑥 = −𝐷𝐴𝐵 . 𝐶.
𝑑𝑦𝐴
𝑑𝑥
+ 𝐶𝐴. 𝑉𝑀𝑥 (2.25) 
10 
 
 𝑁𝐴𝑦 = −𝐷𝐴𝐵 . 𝐶.
𝑑𝑦𝐴
𝑑𝑥
+ 𝐶𝐴. 𝑉𝑀𝑦 (2.26) 
 𝑁𝐴𝑧 = −𝐷𝐴𝐵. 𝐶.
𝑑𝑦𝐴
𝑑𝑧
+ 𝐶𝐴. 𝑉𝑀𝑧 (2.27) 
 
Em um sistema binário formado pelos componentes A e B, assim como 
para a concentração molar total (Equação 2.7), o fluxo molar total, composto por 
dois componentes (soluto A e meio B), é a soma dos fluxos individuais, conforme 
Equação 2.28. 
𝑁 = 𝑁𝐴 + 𝑁𝐵 (2.28) 
 
Em relação ao referencial fixo, o fluxo molar corresponde ao produto da 
velocidade média de deslocamento pela concentração total das espécies: 
𝑁 = 𝐶. 𝑉𝑀⃗⃗⃗⃗ ⃗ (2.29) 
 
Decompostas nas direções x, y e z: 
𝑁𝐴𝑥 + 𝑁𝐵𝑥 = 𝑁𝑥 = 𝐶. 𝑉𝑀𝑥 (2.30) 
𝑁𝐴𝑦 + 𝑁𝐵𝑦 = 𝑁𝑦 = 𝐶. 𝑉𝑀𝑦 (2.31) 
𝑁𝐴𝑧 + 𝑁𝐵𝑧 = 𝑁𝑧 = 𝐶. 𝑉𝑀𝑧 (2.32) 
 
Assim, obtêm-se as equações: 
𝑉𝑀𝑥 =
𝑁𝐴𝑥+𝑁𝐵𝑥
𝐶
 (2.33) 
𝑉𝑀𝑌 =
𝑁𝐴𝑦+𝑁𝐵𝑦
𝐶
 (2.34) 
𝑉𝑀𝑧 =
𝑁𝐴𝑧+𝑁𝐵𝑧
𝐶
 (2.35) 
 
Sendo assim, para as direções x, y e z, tem-se que: 
𝑁𝐴𝑥 = −𝐷𝐴𝐵.
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝑥
+
𝐶𝐴
𝐶
(𝑁𝐴𝑥 + 𝑁𝐵𝑥) (2.36) 
𝑁𝐴𝑦 = −𝐷𝐴𝐵.
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝑦
+
𝐶𝐴
𝐶
(𝑁𝐴𝑦 + 𝑁𝐵𝑦) (2.37) 
𝑁𝐴𝑧= −𝐷𝐴𝐵 .
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝑧
+
𝐶𝐴
𝐶
(𝑁𝐴𝑧 + 𝑁𝐵𝑧) (2.38) 
 
Ou, em termos de fração molar: 
𝑁𝐴𝑥 = −𝐷𝐴𝐵. 𝐶.
𝜕𝑦𝐴
𝜕𝑥
+ 𝑦𝐴. (𝑁𝐴𝑥 + 𝑁𝐵𝑥) (2.39) 
𝑁𝐴𝑦 = −𝐷𝐴𝐵. 𝐶.
𝜕𝑦𝐴
𝜕𝑦
+ 𝑦𝐴(𝑁𝐴𝑦 + 𝑁𝐵𝑦) (2.40) 
𝑁𝐴𝑧 = −𝐷𝐴𝐵 . 𝐶.
𝜕𝑦𝐴
𝜕𝑧
+ 𝑦𝐴(𝑁𝐴𝑧 + 𝑁𝐵𝑧) (2.41) 
 
11 
 
Na forma vetorial (Equação 2.42), tem-se a equação da Lei de Fick escrita 
para sistemas binários: 
𝑁𝐴⃗⃗ ⃗⃗ = −𝐷𝐴𝐵 . 𝛻𝐶𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ +
𝐶𝐴
𝐶
(𝑁𝐴⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑁𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗) (2.42) 
 
Na qual ∇𝐶𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ é o vetor gradiente de concentração molar de soluto, isto é: 
𝛻𝐶𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ =
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝑥
+
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝑦
+
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝑧
 (2.43) 
 
Tabela 2.1: Difusividade binária de solutos em gases 
 
 
12 
 
 
 
 
Fonte: Welty et al. (2001). 
 
 
13 
 
2.3 EXERCÍCIOS INTRODUTÓRIOS 
Exercício 2.1 (PISANI JUNIOR, 2020) 
Calcule a difusividade mássica da água no ar a 35ºC e 712 mmHg. 
 
Exercício 2.2 (PISANI JUNIOR, 2020) 
Determine a difusividade da amônia (1,0% v/v) em ar (99,0% v/v) a 20ºC e 1,00 
atm. 
 
Exercício 2.3 (PISANI JUNIOR, 2020) 
Determine a difusividade da amônia (5,0% v/v) em ar (95,0% v/v) a 25ºC e 1,00 
atm e compare com o valor proveniente do Apêndice J de Welty et al. (2001). 
 
Exercício 2.4 
Calcule a massa molecular do ar úmido com yágua = 0,05. Suponha o ar puro 
como uma mistura ideal das espécies químicas listadas abaixo. Calcule também 
a fração mássica do vapor d’água. 
Composição do ar: 78,09% N2 (28 g/mol), 20,65% de O2 (32 g/mol), 0,93% de Ar 
(argônio, 40 g/mol) e 0,33 de CO2 (44 g/mol). 
 
Exercício 2.5 
Considere a seguinte mistura gasosa: 20% de H2O, 9% de O2 e 71% de N2. 
Sabendo que as velocidades absolutas das espécies químicas são: vO2,z = 13 
cm/s, vH2O,z = 19 cm/s, vN2,z = 11 cm/s, determine: 
a) A velocidade média molar da mistura; 
b) A velocidade de difusão do O2 na mistura, tendo como referência a velocidade 
média molar da mistura. 
 
Exercício 2.6 
O diclorometano é uma substância utilizada para remoção de tintas, mas que 
pode causar irritações e ser absorvido pela pele. Por isso, recomenda-se o uso 
de luvas de proteção. Suponha o uso de uma luva feita de um material 
polimérico, de 5 mm de espessura, cujo coeficiente de difusão do diclorometano 
14 
 
no polímero seja de 1,10x10-10 m2/s. Calcule o fluxo de diclorometano através da 
luva, dado que as concentrações superficiais sejam 440 Kg/m3 na interface com 
o produto de e no máximo 10 Kg/m3 na interface com a pele. 
R: 7,88.10-6 kg/s.m² 
 
Exercício 2.7 
Um tubo de neopreme com 4 cm de diâmetro interno e 10 cm de diâmetro externo 
é usado para transportar um certo gás a 2 atm e 37ºC. A concentração do gás 
na superfície interna do tubo é de 4,7 mol/m³ e essencialmente nula na parede 
externa. Assuma que o regime seja permanente, sistema apresente simetria 
axial e que não há deslocamento de fase, apenas movimento difusional. Calcule 
as perdas do gás através da parede em mol/h. 
Dado: Difusividade gás nas paredes do tubo a 37ºC e 2 atm: 2.10-10 m²/s 
R: 1,42.10-5.L mol/h (por metro de tubo) 
 
Exercício 2.8 
A purificação de hidrogênio pode ser feita por difusão do gás através de uma 
chapa de paládio a 600ºC. Calcule a quantidade de hidrogênio que passa por 
hora através de uma chapa de paládio com 6mm de espessura e área de 0,25 
m² a 600°C. Assuma que o coeficiente de difusão é 1,7×10–8 m²/s, que as 
concentrações de hidrogênio dos dois lados da chapa são 2,0 e 0,4 kg/m³ e que 
o sistema está em regime estacionário, com movimento unidirecional. 
R: 4,08.10-3 kg/h ou 2,04 mol/h 
 
15 
 
3 DIFUSÃO DE SOLUTO EM UM MEIO ESTAGNADO 
A introdução das equações diferenciais que descrevem o transporte de 
soluto será iniciada com a aplicação de balanços materiais envolvendo a difusão 
de soluto no envoltório de um meio estagnado, ou seja, sem deslocamento de 
fase. 
O balanço material, em termos de taxa de soluto transferido é fundamental 
para a visualização dos mecanismos de transferência e as interações das 
porções de fluido envolvidos no escoamento. As equações obtidas, a partir de 
balanços fundamentam conceitos primordiais para a compreensão das 
operações e processos que envolvem a transferência de massa. 
A equação geral do balanço (Equação 3.1) é dada por: 
 
𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂 − 𝒔𝒂𝒊 + 𝒈𝒆𝒓𝒂 − 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒐𝒎𝒆 = 𝒂𝒄𝒖𝒎𝒖𝒍𝒂 (3.1) 
 
 
Para a aplicação do balanço é necessário delimitar a região de estudo, ou 
seja, o volume de controle. Em fenômenos de transporte, utiliza-se como volume 
de controle de um fluido em escoamento o envoltório. 
 
 
 
 
 
A partir do balanço de taxa de transferência de soluto no envoltório 
selecionado, obtém-se: 
• A equação do perfil de concentração ou fração do soluto; 
• A equação que permite calcular o fluxo ou a taxa de soluto. 
 
Em todos os problemas a ser desenvolvido um balanço, devem ser listadas 
as hipóteses do problema e as condições de contorno do envoltório, e assim, 
juntamente à equação do balanço são obtidas as soluções desejadas. Para isso 
é necessário avaliar, no problema a ser estudado: 
i. Regime de escoamento (laminar ou turbulento); 
ii. Tipo de regime (transiente ou permanente); 
iii. Geometria (retangular, cilíndrica ou esférica); e 
iv. Direções do movimento (uni, bi ou tridimensional). 
O envoltório é um volume de controle simétrico no qual a transferência 
da propriedade em estudo deve ser dependente de apenas uma variável 
espacial e sua transferência deve ser perpendicular à sua superfície. 
16 
 
3.1 DISPERSÃO DE UM SOLUTO NO INTERIOR DE UMA PROVETA – 
BALANÇO MATERIAL DA FASE GASOSA 
Considere uma proveta parcialmente preenchida com um líquido volátil 
(Figura 3.1) e exposta ao ar atmosférico, de pressão (P) e temperatura (T) 
constantes. Admita que o nível de líquido esteja a uma altura z1 e assuma que a 
interface líquido-gás se comporte como um sistema ideal em equilíbrio de fase, 
cuja fração molar de soluto no lado gás seja yA1. A proveta de altura total z (z2) 
está preenchida com ar atmosférico, e em que composto pelo soluto volatilizado 
se apresenta com fração molar yA2. Da disposição das fases, admite-se que yA1 
> yA2. 
Figura 3.1: Representação da proveta parcialmente preenchida com um líquido volátil exposta 
ao ar atmosférico 
 
Esse balanço será aplicado com duas considerações: hipótese de regime 
estacionário, em que o nível de líquido é considerado constante e hipótese de 
regime pseudo-estacionário, em que o nível de líquido sofre variação. 
3.1.1 Balanço material na fase gasosa em hipótese de regime 
estacionário 
O envoltório, destacado em vermelho na Figura 3.2, restrito à fase gasosa 
no interior da proveta, é uma superfície cilíndrica de área π.R2 e altura diferencial 
17 
 
(Δz). O soluto entra no envoltório pela superfície circular inferior, localizada na 
posição vertical z, e sai pela superior posicionada em z+Δz. 
Figura 3.2: Representação do balanço material na proveta 
 
 
As hipóteses assumidas para esse problema são: 
1. Regime permanente; 
2. Escoamento do soluto na direção z (movimento unidirecional), pois as 
paredes da proveta são inertes, e assim não é observado fluxo na direção 
angular e as condições interfaciais são uniformes, não havendo variação 
de fluxo na coordenada radial; 
3. Não ocorre reação química no envoltório; 
4. Propriedades físicas constantes (pressão e temperatura são constantes). 
 
A equação geral do balanço (Equação 3.1) quando aplicada à 
movimentação de soluto volatilizado no envoltório destacado, a partir das 
hipóteses listadas pode ser escrita (Equação 3.2): 
𝑇𝑎𝑥𝑎 
𝑚𝑜𝑙𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝐴 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑒𝑚 𝑧
−
𝑇𝑎𝑥𝑎 
𝑚𝑜𝑙𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝐴𝑠𝑎𝑖 𝑒𝑚 𝑧+∆𝑧
+ 𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑚𝑜𝑙𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑔𝑒𝑟𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝐴 −
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑚𝑜𝑙𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑜 𝑑𝑒 𝐴 = 𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑚𝑜𝑙𝑎𝑟𝑑𝑒 𝑎𝑐ú𝑚𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝐴 (3.2) 
 
18 
 
Pela hipótese assumida, em que no envoltório não ocorre reação química, 
apenas volatilização do soluto, e que o regime é permanente, logo não ocorre 
acúmulo de soluto, o balanço fica resumido na Equação 3.3: 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑚𝑜𝑙𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝐴 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑒𝑚 𝑧 − 𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑚𝑜𝑙𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝐴𝑠𝑎𝑖 𝑒𝑚 𝑧+∆𝑧 = 0 (3.3) 
 
Em termos de taxa molar, sabendo que a taxa corresponde ao produto do 
fluxo molar pela área da seção transversal ao escoamento, logo: 
𝜋. 𝑅2. 𝑁𝐴𝑧|𝑧 − 𝜋. 𝑅
2. 𝑁𝐴𝑧|𝑧+∆𝑧 = 0 (3.4) 
 
Dividindo-se por π.R².Δz e multiplicando por -1, tem-se que: 
𝜋.𝑅2.𝑁𝐴𝑧|𝑧−𝜋.𝑅
2.𝑁𝐴𝑧|𝑧+∆𝑧
−𝜋.𝑅2.∆𝑧
=
0
−𝜋.𝑅2.∆𝑧
 
𝑁𝐴𝑧|𝑧+∆𝑧 − 𝑁𝐴𝑧|𝑧
∆𝑧
= 0 
 
Aplicando limite com Δz → 0: 
𝑙𝑖𝑚
∆𝑧→0
𝑁𝐴𝑧|𝑧+∆𝑧−𝑁𝐴𝑧|𝑧
∆𝑧
= 0 
𝑙𝑖𝑚
∆𝑧→0
𝑁𝐴𝑧|𝑧+∆𝑧−𝑁𝐴𝑧|𝑧
∆𝑧
= 𝑙𝑖𝑚
∆𝑧→0
0 
 
Como o fluxo, NAz, é dependente apenas da coordenada z, assumido nas 
hipóteses listadas, e o limite de uma constante é a própria constante, aplica-se 
a definição de derivada de uma função, obtém-se a Equação 3.5: 
𝑑𝑁𝐴𝑧
𝑑𝑧
= 0 (3.5) 
 
 
 
 
Note que, como o movimento é unidirecional, a derivada parcial coincide 
com a derivada absoluta: 
𝜕𝑁𝐴𝑧
𝜕𝑧
=
𝜕𝑁𝐴𝑧
𝜕𝑧
.
𝑑𝑧
𝑑𝑧
+
𝜕𝑁𝐴𝑧
𝜕𝑟
.
𝑑𝑟
𝑑𝑧
+
𝜕𝑁𝐴𝑧
𝜕𝜃
.
𝑑𝜃
𝑑𝑧
 → 
𝜕𝑁𝐴𝑧
𝜕𝑧
=
𝑑𝑁𝐴𝑧
𝑑𝑧
 (3.6) 
 
A equação 3.5 é a equação diferencial que descreve o fenômeno de 
transferência estudado. Esse é o primeiro objetivo quando se aplica balanço no 
movimento do soluto: obter a equação diferencial do movimento. 
Definição da derivada de uma função: 
𝑑𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
= lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥)|𝑥+∆𝑥 − 𝑓(𝑥)|𝑥
∆𝑥
 
 
19 
 
 A equação que permite calcular o fluxo molar transferido no interior da 
proveta é obtida, inicialmente, pela integração da Equação 3.5, pela técnica de 
separação das variáveis, que resulta na Equação 3.7: 
∫𝑑𝑁𝐴𝑧 = ∫0. 𝑑𝑧 
𝑁𝐴𝑧 = 𝑐1 (3.7) 
 
O resultado da integração, mostrado em 3.7, mostra que há um fluxo molar 
de soluto A constante na direção z, em decorrência do gradiente de 
concentração (yA1 > yA2) no interior da proveta. 
No entanto, para encontrar qual é a equação que permite calcular o fluxo, 
é necessário utilizar a Lei de Fick para misturas binárias, em que A é o soluto e 
B é o meio (ar atmosférico). 
A aplicação da lei de Fick (Equação 2.39) para o problema em questão, 
que é dependente da direção z, e como a concentração molar de soluto (CA) é 
dependente apenas da coordenada z, a derivada parcial também pode ser 
substituída pela absoluta (Equação 3.8), resulta na Equação 3.9: 
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝑧
=
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝑧
.
𝑑𝑧
𝑑𝑧
+
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝑟
.
𝑑𝑟
𝑑𝑧
+
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝜃
.
𝑑𝜃
𝑑𝑧
 → 
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝑧
=
𝑑𝐶𝐴
𝑑𝑧
 (3.8) 
𝑁𝐴𝑧 = −𝐷𝐴𝐵 . 𝐶.
𝑑𝑦𝐴
𝑑𝑧
+ 𝑦𝐴(𝑁𝐴𝑧 + 𝑁𝐵𝑧) (3.9) 
 
No entanto, o ar no interior da proveta está estagnado, assim, o fluxo desse 
componente, o meio B, é nulo: NBz = 0. 
A concentração molar total da fase gasosa no interior da proveta (C) é 
constante, em razão de P e T serem constantes, assumido como hipótese. Em 
resumo, para o movimento de volatilização para o soluto no interior de uma 
proveta pode ser escrito conforme a Equação 3.10. 
𝑁𝐴𝑧 = −𝐶.𝐷𝐴𝐵 .
𝑑𝑦𝐴
𝑑𝑧
+ 𝑦𝐴. 𝑁𝐴𝑧 
𝑁𝐴𝑧 . (1 − 𝑦𝐴) = −𝐶.𝐷𝐴𝐵.
𝑑𝑦𝐴
𝑑𝑧
 
𝑁𝐴𝑧 =
−𝐶.𝐷𝐴𝐵
(1−𝑦𝐴)
.
𝑑𝑦𝐴
𝑑𝑧
 (3.10) 
 
A separação das variáveis e a integração definida de 3.10 permite 
determinar o valor do fluxo molar de A em z (Equação 3.11), em consequência 
do fluxo ser constante. Para isso define-se as condições de contorno da fase 
gasosa, em que a altura da fase gasosa varia de z1 a z2 e fração molar de yA1 a 
yA2: 
20 
 
 
 
 
∫ 𝑁𝐴𝑧 . 𝑑𝑧
𝑧2
𝑧1
= ∫
−𝐶.𝐷𝐴𝐵
(1−𝑦𝐴)
. 𝑑𝑦𝐴
𝑦𝐴2
𝑦𝐴1
 
 
Como NAz, C e DAB são constantes: 
𝑁𝐴𝑧 ∫ 𝑑𝑧
𝑧2
𝑧1
= −𝐶.𝐷𝐴𝐵 ∫
𝑑𝑦𝐴
(1−𝑦𝐴)
𝑦𝐴2
𝑦𝐴1
 
𝑁𝐴𝑧 . 𝑧|𝑧1
𝑧2 = −𝐶.𝐷𝐴𝐵. [
1
−1
. 𝑙𝑛(1 − 𝑦𝐴)]|
𝑦𝐴1
𝑦𝐴2
 
𝑁𝐴𝑧 . (𝑧2 − 𝑧1) = 𝐶. 𝐷𝐴𝐵. (𝑙𝑛(1 − 𝑦𝐴2) − 𝑙𝑛(1 − 𝑦𝐴1)) 
 
𝑁𝐴𝑧=
𝐶.𝐷𝐴𝐵
(𝑧2−𝑧1)
. 𝑙𝑛 (
1−𝑦𝐴2
1−𝑦𝐴1
) (3.11) 
 
 
 
 
 
Assim, conhecidos os valores das frações molares, concentração total da 
fase gasosa, difusividade mássica e dimensões da proveta e do nível de líquido, 
é possível calcular o fluxo do soluto A. 
A equação do perfil de concentração ou de fração molar é obtida a partir 
da lei de Fick, simplificada para esse movimento em estudo (Equação 3.10) e da 
equação de balanço diferencial de soluto aplicado às hipóteses do problema 
(Equação 3.5). Então: 
𝑑𝑁𝐴𝑧
𝑑𝑧
=
𝑑[−
𝐶.𝐷𝐴𝐵
(1−𝑦𝐴)
.
𝑑𝑦𝐴
𝑑𝑧
]
𝑑𝑧
= 0 
𝑑[−
𝐶.𝐷𝐴𝐵
(1−𝑦𝐴)
.
𝑑𝑦𝐴
𝑑𝑧
]
𝑑𝑧
= 0 
−𝐶.𝐷𝐴𝐵.
𝑑[
1
(1−𝑦𝐴)
.
𝑑𝑦𝐴
𝑑𝑧
]
𝑑𝑧
= 0 ÷ (−𝐶. 𝐷𝐴𝐵) 
 
𝑑[
1
(1−𝑦𝐴)
.
𝑑𝑦𝐴
𝑑𝑧
]
𝑑𝑧
= 0 
Condição de contorno 1: z = z1 → yA= yA1 
Condição de contorno 2: z = z2 → yA= yA2 
Lembrete: 
∫
𝑑𝑥
𝑎 + 𝑏𝑥
=
1
𝑏
𝑙𝑛(𝑎 + 𝑏𝑥) 
21 
 
Pela técnica da separação de variáveis e aplicando integral indefinida, pois 
o objetivo é definir um perfil de fração molar, obtêm-se que: 
𝑑 [
1
(1−𝑦𝐴)
.
𝑑𝑦𝐴
𝑑𝑧
] = 0. 𝑑𝑧 
∫𝑑 [
1
(1−𝑦𝐴)
.
𝑑𝑦𝐴
𝑑𝑧
] = ∫ 0. 𝑑𝑧 
1
(1−𝑦𝐴)
.
𝑑𝑦𝐴
𝑑𝑧
= 𝑐2 
1
(1−𝑦𝐴)
𝑑𝑦𝐴 = 𝑐2. 𝑑𝑧 
∫
𝑑𝑦𝐴
(1−𝑦𝐴)
= ∫ 𝑐2. 𝑑𝑧 
−𝐿𝑛(1 − 𝑦𝐴) = 𝑐2. 𝑧 + 𝑐3 (3.12) 
 
As condições de contorno são úteis para se determinar as constantes de 
integração (C2 e C3): 
−𝐿𝑛(1 − 𝑦𝐴1) = 𝑐2. 𝑧1 + 𝑐3 (𝐼) 
−𝐿𝑛(1 − 𝑦𝐴2) = 𝑐2. 𝑧2 + 𝑐3 (𝐼𝐼) 
 
Subtraindo II de I: 
−𝐿𝑛(1 − 𝑦𝐴2) − [−𝐿𝑛(1 − 𝑦𝐴1)] = 𝑐2. 𝑧2 + 𝑐3 − (𝑐2. 𝑧1 + 𝑐3) 
𝐿𝑛 (
1−𝑦𝐴1
1−𝑦𝐴2
) = 𝑐2. (𝑧2 − 𝑧1) 
𝑐2 =
1
(𝑧2−𝑧1)
. 𝐿𝑛 (
1−𝑦𝐴1
1−𝑦𝐴2
) 
 
Substituindo c2 em I: 
−𝐿𝑛(1 − 𝑦𝐴1) =
1
(𝑧2−𝑧1)
. 𝐿𝑛 (
1−𝑦𝐴1
1−𝑦𝐴2
) . 𝑧1 + 𝑐3 
𝑐3 = −
𝑧1
(𝑧2−𝑧1)
. 𝐿𝑛 (
1−𝑦𝐴1
1−𝑦𝐴2
) − 𝐿𝑛(1 − 𝑦𝐴1) 
 
Logo, a Equação 3.12, fica: 
−𝐿𝑛(1 − 𝑦𝐴) =
1
(𝑧2−𝑧1)
. 𝐿𝑛 (
1−𝑦𝐴1
1−𝑦𝐴2
) . 𝑧 −
𝑧1
(𝑧2−𝑧1)
. 𝐿𝑛 (
1−𝑦𝐴1
1−𝑦𝐴2
) − 𝐿𝑛(1 − 𝑦𝐴1) (3.13a) 
 
A organização dos termos fornece que o perfil de fração molar de soluto 
A na fase gasosa no interior da proveta é: 
−𝐿𝑛(1 − 𝑦𝐴) + 𝐿𝑛(1 − 𝑦𝐴1) = 𝐿𝑛 (
1−𝑦𝐴1
1−𝑦𝐴2
) . (
𝑧−𝑧1
(𝑧2−𝑧1)
) 
𝐿𝑛 (
1−𝑦𝐴1
1−𝑦𝐴
) = 𝐿𝑛 (
1−𝑦𝐴1
1−𝑦𝐴2
) . (
𝑧−𝑧1
(𝑧2−𝑧1)
) 
22 
 
𝑒𝑥𝑝 [𝐿𝑛 (
1−𝑦𝐴1
1−𝑦𝐴
)] = 𝑒𝑥𝑝 [𝐿𝑛 (
1−𝑦𝐴1
1−𝑦𝐴2
)
(
𝑧−𝑧1
(𝑧2−𝑧1)
)
] 
1−𝑦𝐴1
1−𝑦𝐴
=
(1−𝑦𝐴1)
(1−𝑦𝐴2)
(
𝑧−𝑧1
(𝑧2−𝑧1)
)
 (3.13b) 
(
1−𝑦𝐴1
1−𝑦𝐴
)
−1
= (
(1−𝑦𝐴1)
(1−𝑦𝐴2)
−1
)
(
𝑧−𝑧1
(𝑧2−𝑧1)
)
 
(1−𝑦𝐴)
(1−𝑦𝐴1)
=
(1−𝑦𝐴2)
(1−𝑦𝐴1)
(
𝑧−𝑧1
(𝑧2−𝑧1)
)
 (3.13c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.1.2 Balanço material na fase gasosa em hipótese de regime pseudo-
estacionário 
O nível de líquido na proveta, em razão de não haver reposição, diminui 
lentamente com o passar do tempo, devido à volatilização (Figura 3.3). Dessa 
forma, existe desacúmulo de líquido, caracterizando o regime como transiente, 
em relação à fase líquida. No entanto, uma vez que esse rebaixamento é lento 
o suficiente para não influenciar a transferência de soluto na fase gasosa, que 
ocorre em regime permanente, considera-se que o sistema é pseudo-
permanente ou estado pseudo-estacionário. 
Esse tipo de consideração permite obter uma equação em que a altura da 
fase gasosa varia com o tempo, o que na prática, representa melhor a 
transferência desse soluto. 
A variação da altura da fase gasosa, conforme Figura 3.3 pode serescrita: 
ℎ(𝑡) = 𝑧2 − 𝑧1(𝑡) (3.14) 
Para praticar: 
1. Verifique se a Equação 3.13 atende às condições de contorno 
anteriormente estipuladas. 
 
2. Desenvolva o problema da proveta, exposta em 3.1.1, mas considere que 
a fração molar de soluto no topo da proveta é nula, yA2 = 0. 
 
 
 
23 
 
Figura 3.3: Proveta parcialmente preenchida por um líquido volátil, cujo nível diminui com o 
passar do tempo 
 
 
A vazão molar de soluto proveniente do líquido é definida como a variação 
do número de mols de A líquido em função da variação de um tempo (t). 
Substituindo a quantidade de matéria (n) pela massa de A (mAliq) sobre sua 
massa molar (MA), e sabendo que a massa do soluto equivale ao produto da 
massa específica do componente A líquido (ρAliq) pelo volume ocupado (Vliq), 
pode-se obter uma equação em função do volume evaporado. 
𝑛𝐴𝑙í𝑞 = −
𝑑𝑛
𝑑𝑡
 
−
𝑑𝑛
𝑑𝑡
= −
𝑑(
𝑚𝐴𝑙í𝑞
𝑀𝐴
)
𝑑𝑡
 
−
𝑑𝑛
𝑑𝑡
= −
1
𝑀𝐴
.
𝑑(𝜌𝐴𝑙í𝑞.𝑉𝑙í𝑞)
𝑑𝑡
 
−
𝑑𝑛
𝑑𝑡
= −
𝜌𝐴𝑙í𝑞.
𝑀𝐴
.
𝑑(𝑉𝑙í𝑞)
𝑑𝑡
 
 
A variação do volume de líquido, em função da volatilização do soluto, 
corresponde ao produto da área da base da proveta pela altura de líquido que 
se perde (z1(t)). 
𝑛𝐴𝑙í𝑞 = −
𝜌𝐴𝑙í𝑞.
𝑀𝐴
.
𝑑(𝜋.𝑅2.𝑧1(𝑡))
𝑑𝑡
 
𝑛𝐴𝑙í𝑞 = −
𝜌
𝐴𝑙í𝑞.𝜋.𝑅
2
𝑀𝐴
.
𝑑𝑧1(𝑡)
𝑑𝑡
 (3.15) 
24 
 
A perda do volume de soluto da fase líquida corresponde ao aumento de 
volume na fase gasosa. Portanto, escrevendo o volume como produto da área 
pelas alturas equivalentes: 
−
𝑑(𝜋.𝑅2.𝑧1(𝑡))
𝑑𝑡
=
𝑑(𝜋.𝑅2.ℎ(𝑡))
𝑑𝑡
 
−𝜋. 𝑅2.
𝑑(𝑧1(𝑡))
𝑑𝑡
= 𝜋. 𝑅2.
𝑑(ℎ(𝑡))
𝑑𝑡
 
−
𝑑(𝑧1(𝑡))
𝑑𝑡
=
𝑑(ℎ(𝑡))
𝑑𝑡
 (3.16) 
 
Assim substituindo a Equação 3.16 na 3.15: 
𝑛𝐴𝑙í𝑞 =
𝜌
𝐴𝑙í𝑞.𝜋.𝑅
2
𝑀𝐴
. (−
𝑑(𝑧1(𝑡))
𝑑𝑡
) 
𝑛𝐴𝑙í𝑞 =
𝜌
𝐴𝑙í𝑞.𝜋.𝑅
2
𝑀𝐴
.
𝑑(ℎ(𝑡))
𝑑𝑡
 (3.17) 
 
O soluto transportado através da fase gasosa foi originado da volatilização 
da fase líquida. Logo, a vazão molar de soluto que sai do líquido (nAliq) é igual a 
vazão molar de A transferida para a parte gás. A vazão (ou taxa) molar de líquido 
corresponde ao produto do fluxo molar pela área. Conhecendo a equação do 
fluxo (Equação 3.11), no entanto, nesse caso, a altura de líquido não é fixa. 
Assim, em função da altura da gasosa, que varia em função do tempo (Equação 
3.14): 
𝑛𝐴𝑙í𝑞 = 𝜋. 𝑅
2. 𝑁𝐴𝑧 
𝜌
𝐴𝑙í𝑞.𝜋.𝑅
2
𝑀𝐴
.
𝑑ℎ(𝑡)
𝑑𝑡
= 𝜋. 𝑅2.
𝐶.𝐷𝐴𝐵
(𝑧2−𝑧1)
. 𝐿𝑛 (
1−𝑦𝐴2
1−𝑦𝐴1
) 
𝜌𝐴𝑙í𝑞
𝑀𝐴
.
𝑑ℎ(𝑡)
𝑑𝑡
=
𝐶.𝐷𝐴𝐵
ℎ(𝑡)
. 𝐿𝑛 (
1−𝑦𝐴2
1−𝑦𝐴1
) 
 
Separando-se as variáveis e integrando entre os instantes inicial e final, 
com C, DAB, MA, ρAliq, yA1 e yA2 constantes por hipótese, obtém-se: 
ℎ(𝑡). 𝑑ℎ(𝑡) =
𝐶.𝐷𝐴𝐵.𝑀𝐴
𝜌𝐴𝑙í𝑞
. 𝐿𝑛 (
1−𝑦𝐴2
1−𝑦𝐴1
) . 𝑑𝑡 
∫ ℎ(𝑡). 𝑑ℎ(𝑡)
ℎ𝑓
ℎ1
= ∫
𝐶.𝐷𝐴𝐵.𝑀𝐴
𝜌𝐴𝑙í𝑞
. 𝐿𝑛 (
1−𝑦𝐴2
1−𝑦𝐴1
) . 𝑑𝑡
𝑡
0
 
∫ ℎ(𝑡). 𝑑ℎ(𝑡)
ℎ𝑓
ℎ1
=
𝐶.𝐷𝐴𝐵.𝑀𝐴
𝜌𝐴𝑙í𝑞
. 𝐿𝑛 (
1−𝑦𝐴2
1−𝑦𝐴1
)∫ 𝑑𝑡
𝑡
0
 
ℎ𝑓
2
2
−
ℎ𝑖
2
2
=
𝐶.𝐷𝐴𝐵.𝑀𝐴
𝜌𝐴𝑙í𝑞.
. 𝐿𝑛 (
1−𝑦𝐴2
1−𝑦𝐴1
) . 𝑡 (3.18) 
25 
 
A Equação 3.18 permite relacionar o rebaixamento do nível de líquido na 
proveta com tempo, considerando regime pseudo-estacionário. 
 
 
 
3.2 DISPERSÃO DE UM SOLUTO GERADO NA SUPERFÍCIE DE UM 
CATALISADOR – BALANÇO MATERIAL NA FASE GASOSA 
Considere uma superfície plana, de dimensões retangulares, é utilizado 
como catalisador da reação de craqueamento da superfície do sólido. A reação 
química é dada por 𝐴 → 𝑆 + 𝑃. 
Assuma que a reação química seja rápida o suficiente para que a 
concentração de reagente A na interface sólida seja praticamente nula e que o 
reagente A chega à superfície enquanto que os produtos S e P se distanciam da 
placa, conforme mostrado na Figura 3.4. Considere que a fração molar do 
componente R em um ponto distante, igual a δ, da superfície do catalisador seja 
igual a yA∞. Além disso, admita que a temperatura e a pressão sejam constantes. 
Figura 3.4: Esquema dos fluxos do reagente A e dos produtos S e P na superfície do 
catalisador 
 
O envoltório, destacado em vermelho na Figura 3.5, restrito à fase gasosa 
é uma região retangular cujas dimensões de comprimento e largura 
correspondem à da placa (L e W) e de espessura Δy. O soluto entra no envoltório 
Para praticar: 
Mostre que a Equação 3.18 é dimensionalmente homogênea. 
 
 
 
26 
 
pela superfície superior, localizada na posição vertical y+Δy, e sai pela inferior, 
posicionada em y. 
Figura 3.5: Representação do envoltório 
 
 
As hipóteses assumidas para esse problema são: 
1. Regime permanente; 
2. Escoamento do soluto A na direção y (movimento unidirecional), pois 
existe gradiente de concentração na direção y (yA∞ > yA superfície placa), nas 
outras direções é desprezível; 
3. Não ocorre reação química no envoltório definido, ocorre conversão de A 
em S e P na superfície sólida do catalisador; 
4. Propriedades físicas constantes (pressão e temperatura são constantes). 
 
As condições de contorno da fase gasosa para o soluto A são: 
• Quando y=δ a fração molar de A vale yA∞; 
• Quando y=0 a fração molar de A é nula, pois a reação é rápida o bastante 
para consumir A e formar S e P. 
A equação geral do balanço quando aplicada à movimentação de soluto A 
volatilizado no envoltório destacado, a partir das hipóteses listadas pode ser 
escrita: 
 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝐴𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 − 𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝐴𝑠𝑎𝑖 = 0 
 
 
Como a taxa corresponde ao produto do fluxo molar pela área da seção 
transversal ao escoamento, logo: 
 
𝐿.𝑊.𝑁𝐴𝑦|𝑦+∆𝑦
− 𝐿.𝑊.𝑁𝐴𝑦|𝑦
= 0 (3.19) 
 
Dividindo-se por L.W.Δy, tem-se que: 
27 
 
𝐿.𝑊.𝑁𝐴𝑦|𝑦+∆𝑦
−𝐿.𝑊.𝑁𝐴𝑦|𝑦
𝐿.𝑊.∆𝑦
=
0
𝐿.𝑊.∆𝑦
 
𝑁𝐴𝑦|𝑦+∆𝑦
− 𝑁𝐴𝑦|𝑦
∆𝑦
= 0 
 
Aplicando limite com Δy → 0: 
𝑙𝑖𝑚
∆𝑦→0
𝑁𝐴𝑦|𝑦+∆𝑦
−𝑁𝐴𝑦|𝑦
∆𝑦
= 𝑙𝑖𝑚
∆𝑦→0
0 
 
𝑑𝑁𝐴𝑦
𝑑𝑦
= 0 (3.20) 
 
 
A equação 3.20 é a equação diferencial que descreve o fenômeno de 
transferência estudado. O comportamento do fluxo na direção y é obtido pela 
integração da Equação 3.20, pela técnica de separação das variáveis, que 
resulta na Equação 3.21. O resultado da integração mostra que há um fluxo 
molar de soluto A constante na direção y, em decorrência do gradiente de 
concentração. 
 
∫𝑑𝑁𝐴𝑦 = ∫0. 𝑑𝑦 
𝑁𝐴𝑦 = 𝑐1 (3.21) 
 
Na aplicação da lei de Fick para o problema em questão, que é 
dependente apenas da direção y, deve-se envolver no termo referente ao 
sistema os componentes A, S e P, além do meio, denominado B. Dessa forma, 
a equação fica modificada em: 
𝑁𝐴𝑦 = −𝐷𝐴𝐵. 𝐶.
𝑑𝑦𝐴
𝑑𝑦
+ 𝑦𝐴(𝑁𝐴𝑦 + 𝑁𝑆𝑦 + 𝑁𝑃𝑦 + 𝑁𝐵𝑦) (3.22) 
 
O ar ao redor da superfície do catalisador está estagnado, assim, o fluxo 
desse componente, o meio B, é nulo: NBy = 0. Em relação aos produtos S e P, 
utiliza-se a relação da velocidade molar entre os participantes de uma reação 
química, em que: 
−𝑁𝐴𝑦
𝑎
=
𝑁𝑆𝑦
𝑠
=
𝑁𝑃𝑦
𝑝
 
Como a reação é 𝐴 → 𝑆 + 𝑃 pode-se relacionar: 
−𝑁𝐴𝑦 = 𝑁𝑆𝑦 e −𝑁𝐴𝑦 = 𝑁𝑃𝑦 
Assim, a equação da Lei de Fick para multicomponentes fica: 
28 
 
𝑁𝐴𝑦 = −𝐷𝐴𝐵. 𝐶.
𝑑𝑦𝐴
𝑑𝑦
+ 𝑦𝐴(𝑁𝐴𝑦−𝑁𝐴𝑦−𝑁𝐴𝑦 + 0) 
𝑁𝐴𝑦 = −𝐷𝐴𝐵. 𝐶.
𝑑𝑦𝐴
𝑑𝑦
− 𝑦𝐴. 𝑁𝐴𝑦 
 
Em resumo, para o problema descrito pode ser escrito conforme a Equação 
3.23. 
𝑁𝐴𝑦 =
−𝐶.𝐷𝐴𝐵
(1+𝑦𝐴)
.
𝑑𝑦𝐴
𝑑𝑦
 (3.23) 
 
A separação das variáveis e a integração definida de 3.23 permite 
determinar o valor do fluxo molar de A em y, em consequência do fluxo ser 
constante. 
 
 
 
 
∫ 𝑁𝐴𝑦. 𝑑𝑦
0
𝛿
= ∫
−𝐶.𝐷𝐴𝐵
(1+𝑦𝐴)
. 𝑑𝑦𝐴
0
𝑦𝐴∞
 
 
Como NAz, C e DAB são constantes:𝑁𝐴𝑦 ∫ . 𝑑𝑦
0
𝛿
= −𝐶.𝐷𝐴𝐵 ∫
𝑑𝑦𝐴
(1+𝑦𝐴)
0
𝑦𝐴∞
 
𝑁𝐴𝑦. (0 − 𝛿) = −𝐶. 𝐷𝐴𝐵. [𝑙𝑛(1 + 𝑦𝐴)]|𝑦𝐴∞
0 
−𝑁𝐴𝑦. 𝛿 = −𝐶.𝐷𝐴𝐵. (𝑙𝑛(1 + 0) − 𝑙𝑛(1 + 𝑦𝐴∞)) 
 
𝑁𝐴𝑦= −
𝐶.𝐷𝐴𝐵
𝛿
. 𝑙𝑛(1 + 𝑦𝐴∞) (3.24) 
 
Assim, pela equação 3.24 é possível quantificar o fluxo do soluto A que 
chega à partícula plana catalisadora, dentro das condições de contorno 
avaliadas. 
A equação do perfil de concentração ou de fração molar é obtida a partir da 
lei de Fick, simplificada para esse movimento em estudo (Equação 3.23) e da 
equação de balanço diferencial de soluto aplicado às hipóteses do problema 
(Equação 3.20). Então: 
𝑑𝑁𝐴𝑦
𝑑𝑦
=
𝑑[
−𝐶.𝐷𝐴𝐵
(1+𝑦𝐴)
.
𝑑𝑦𝐴
𝑑𝑦
]
𝑑𝑦
= 0 
Condição de contorno 1: y = δ → yA= yA∞ 
Condição de contorno 2: y = 0 → yA= 0 
29 
 
𝑑[
−𝐶.𝐷𝐴𝐵
(1+𝑦𝐴)
.
𝑑𝑦𝐴
𝑑𝑦
]
𝑑𝑦
= 0 
−𝐶.𝐷𝐴𝐵.
𝑑[
1
(1+𝑦𝐴)
.
𝑑𝑦𝐴
𝑑𝑦
]
𝑑𝑦
= 0 ÷ (−𝐶. 𝐷𝐴𝐵) 
 
𝑑[
1
(1+𝑦𝐴)
.
𝑑𝑦𝐴
𝑑𝑦
]
𝑑𝑦
= 0 
𝑑 [
1
(1+𝑦𝐴)
.
𝑑𝑦𝐴
𝑑𝑦
] = 0. 𝑑𝑦 
∫𝑑 [
1
(1+𝑦𝐴)
.
𝑑𝑦𝐴
𝑑𝑦
] = ∫ 0. 𝑑𝑦 
1
(1+𝑦𝐴)
.
𝑑𝑦𝐴
𝑑𝑦
= 𝑐2 
1
(1+𝑦𝐴)
𝑑𝑦𝐴 = 𝑐2. 𝑑𝑦 
∫
𝑑𝑦𝐴
(1+𝑦𝐴)
= ∫ 𝑐2. 𝑑𝑦 
𝑙𝑛(1 + 𝑦𝐴) = 𝑐2. 𝑦 + 𝑐3 (3.25) 
 
As condições de contorno são úteis para se determinar as constantes de 
integração (C2 e C3): 
𝑙𝑛(1 + 𝑦𝐴∞) = 𝑐2. 𝛿 + 𝑐3 (𝐼) 
𝑙𝑛(1 + 0) = 𝑐2. 0 + 𝑐3 (𝐼𝐼) → 𝑐3 = 0 
 
𝑐2 =
𝑙𝑛(1+𝑦𝐴∞)
𝛿
 
 
Logo, a Equação 3.25, fica: 
 
𝑙𝑛(1 + 𝑦𝐴) =
𝑙𝑛(1+𝑦𝐴∞)
𝛿
. 𝑦 (3.26) 
 
Que fornece como a fração molar de A varia em relação a aproximação da 
placa, na direção y. 
 
 
 
 
 
 
 
Para praticar: 
Cheque a equação 3.26, substituindo as condições de contorno adotadas. 
 
 
 
30 
 
3.3 EXERCÍCIOS SOBRE BALANÇOS DE SOLUTO EM MEIO 
ESTAGNADO 
Exercício 3.1 (Pisani Jr, 2020): Na preparação de uma aula prática, a professora 
da disciplina avalia o emprego de n-octano como soluto, para preenchimento 
parcial de uma célula de Arnold. Inicialmente foi colocada a massa de 5,00 g de 
n-octano líquido, com o intuito de se determinar a quantidade volatilizada em 
função do tempo. A temperatura e a pressão do sistema são respectivamente 
25ºC e 760 mmHg. Sabe-se que a difusividade do n-octano em ar é de 6,02.10-
6 m2/s nessas condições. A altura total útil da proveta vazia é de 27,0 cm e seu 
diâmetro interno é de 1,80 cm. Nesse contexto, determine: 
a) A altura média da fase gasosa para que o nível de líquido na proveta seja 
reduzido em 5,00 mm. 24,4 cm 
b) O tempo necessário para que o nível seja reduzido em 5,00 mm assumindo 
que o regime seja permanente (nível constante e igual ao valor médio). 451 h 
c) O tempo necessário para o nível abaixar 5,00 mm pelo modelo de regime 
pseudopermanente. 449 h 
d) Comente sobre a escolha do soluto para a realização da aula. 
Dados: 
- massa específica do n-octano líquido a 25ºC: 0,6986 g.cm-3 
- massa molar do n-octano: 114,2 g.mol-1 
- pressão de vapor do n-octano a 25ºC: 14,1 mmHg 
 
Exercício 3.2: Uma proveta com diâmetro interno de 1 cm está preenchida com 
tolueno a 50ºC e 750 mmHg. O emprego de um medidor de concentração indicou 
que a fração molar de tolueno no topo corresponde a 10% do valor da interface 
líquido-gás, no interior da proveta. No instante inicial, o nível de tolueno está a 
10 cm do topo de uma proveta de altura total 12 cm. Nessas condições, obtenha: 
a) A difusividade do tolueno em ar nas condições de 50ºC e 750 mmHg. 
 9,85.10-6 m²/s 
b) A equação para o cálculo do fluxo molar de soluto volatilizado, partindo do 
balanço material. 
c) O valor do fluxo de tolueno transferido a partir da volatilização de líquido no 
interior da proveta. 2,19.10-4 mol/s.m² 
d) A equação de variação de altura da fase gasosa em função de tempo, a partir 
da hipótese de regime pseudopermanente. 
c) O tempo necessário para evaporar 0,5 cm de líquido. Calcule e compare, 
considerando regime permanente e na hipótese de regime pseudopermanente. 
NAz = 2,08.10-4 mol/s.m²; tpermanente = 60,08h e tpseudo = 60,03h 
 
 
Massa molar tolueno: 92 g/mol 
Pressão de vapor do tolueno a 50ºC: 48 mmHg 
Massa específica do tolueno a 50ºC: 850 kg/m³ 
DAB = 0,855 m².Pa/s a 298K 
 
31 
 
 
Exercício 3.3: Uma proveta com diâmetro interno de 1 cm está preenchida com 
tolueno a 50ºC e 750 mmHg. O emprego de um sistema de ventilação permite 
afirmar que no topo da proveta a concentração de soluto é nula. No instante 
inicial, o nível de tolueno está a 10 cm do topo de uma proveta de 12 cm. Nessas 
condições, obtenha: 
a) A equação para o cálculo do fluxo molar de soluto volatilizado, partindo 
do balanço de matéria. 
b) A vazão de tolueno que evapora. 1,63.10-8 mol/s 
c) O tempo necessário para evaporar 1 cm de líquido, considerando regime 
permanente. 132,42 h 
d) Refaça o item c considerando regime pseudopermanente.132,54h 
Dados: Massa molar tolueno: 92 g/mol 
Pressão de vapor do tolueno a 50ºC: 40 mmHg 
Massa específica do tolueno a 50ºC: 865 kg/m³ 
Difusividade do tolueno em ar a 24ºC e 765 mmHg: 8,59.10 -6 m²/s 
 
Exercício 3.4: Clorofórmio, a 42,7ºC e 0,9 atm, está no interior de uma proveta 
de diâmetro interno de 0,5 cm e foi adicionado 1,0 g. O emprego de um sistema 
de ventilação permite afirmar que no topo da proveta a concentração de soluto 
é nula. No instante inicial, o nível do clorofórmio está a 10 cm do topo da proveta. 
Nessas condições, obtenha: 
a. A dedução da equação para o cálculo do fluxo molar de soluto volatilizado. 
b. A difusividade do clorofórmio, considerando que em 20 min o nível de 
líquido rebaixou 1 cm, considerando regime permanente. 1,28.10-7 m²/s 
 
Dados: massa molar do clorofórmio 119 g/mol 
 Massa específica do clorofórmio 1,5 g/cm³ 
 Pressão de vapor do clorofórmio 150 mmHg 
 
Exercício 3.5: Uma proveta com diâmetro interno de 1 cm e altura 20 cm está 
preenchida com tolueno a 30ºC e 745 mmHg. O emprego de um sistema de 
ventilação permite afirmar que no topo da proveta a concentração de soluto é 
nula. No instante inicial, foi adicionado 5 g de tolueno. Nessas condições, 
obtenha: 
a. O tempo necessário para evaporar 2 cm de líquido, considerando regime 
permanente. 369,47h 
b. O tempo necessário para evaporar 2 cm de líquido considerando regime 
pseudopermanente. 369,47h 
 
Dados: Massa molar tolueno: 92 g/mol 
 Pressão de vapor do tolueno a 30ºC: 40 mmHg 
 Massa específica do tolueno a 30ºC: 865 kg/m³ 
 Difusividade do tolueno em ar a 298K: DAB.P: 0,855 m².Pa/s 
 
32 
 
Exercício 3.6 (Pisani Jr, 2020): Uma partícula esférica, de raio constante e igual 
a R0, é utilizada como catalisador da reação de craqueamento na superfície do 
sólido. Assuma que a reação química seja rápida o suficiente para que a 
concentração de reagente A na interface sólida seja praticamente nula. A 
equação química que representa a estequiometria da reação é: A → ½ B + ½ C. 
O reagente A chega à superfície enquanto que os produtos B e C se distanciam 
da partícula. Considere que a fração molar do componente A em um ponto 
distante da partícula seja igual a yA∞. Além disso, admita que a temperatura e a 
pressão sejam constantes. Nessas condições, pede-se: 
a) Aplique o balanço material no envoltório e obtenha a equação diferencial 
de transporte de soluto. 
b) A equação da vazão molar de A que chega à partícula. 
 
 
Exercício 3.7: Um catalisador sólido promove, em sua superfície plana, a 
conversão de A em B e C. Na figura é representado o movimento de migração 
de A para a superfície do catalisador. Acima da espessura δ na fase fluida a 
fração molar do reagente A é YAo e na superfície do catalisador fração molar é 
nula. Admitaque pressão e temperatura sejam mantidas constantes. Sendo 
assim, pede-se: 
a. A equação diferencial que descreve o movimento de A e as condições de 
contorno, justificando o significado físico de cada termo da equação da 
continuidade, e verifique se a derivada parcial coincide com a derivada absoluta 
b. O fluxo molar de soluto A, mostrando que a derivada parcial coincide com 
a absoluta na Lei de Fick 
c. Dê a equação do perfil de fração molar de soluto 
 
 
 
 
33 
 
3.4 EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE 
A dedução da equação da continuidade, em termos de conservação de 
massa, permite analisar o fenômeno de transporte de soluto por intermédio do 
conhecimento da distribuição de concentração em função do tempo e do espaço. 
A equação da continuidade molar de um certo soluto A é desenvolvida a partir 
do balanço de taxa de matéria, a qual flui através das fronteiras de um elemento 
de volume selecionado no meio contínuo e daquela taxa que varia no interior do 
volume de controle, o qual está representado na Figura 3.6. 
 
Figura 3.6: Representação do elemento de volume obtido a partir do fluxo molar de um certo 
soluto. 
 
 
 Nesse elemento de volume, cujas dimensões são Δx, Δy e Δz, apresenta 
entrada e saída de soluto (A) nas três direções (Figura 3.7), com produção de A 
em decorrência de reação química e acúmulo de soluto no seu interior. 
O balanço material para uma dada espécie química A através de um 
volume de controle apropriado é: 
 
{
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑚𝑜𝑙𝑎𝑟
𝑑𝑒 𝐴 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎
} − {
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑚𝑜𝑙𝑎𝑟
𝑑𝑒 𝐴 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑎𝑖
} + {
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑚𝑜𝑙𝑎𝑟
𝑞𝑢𝑒 𝑔𝑒𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝐴
} = {
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑚𝑜𝑙𝑎𝑟
𝑑𝑒 𝐴 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎
} (3.27) 
 
Analisando cada termo da equação do balanço: 
• Soluto entra e sai do volume de controle nas três direções; 
• A taxa de geração de A por unidade de volume pode ser representada 
por: 
𝑅𝐴 =
𝑛𝐴 𝑔𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜
𝑉
 → 𝑛𝐴 𝑔𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 = ∆𝑥. ∆𝑦. ∆𝑧. 𝑅𝐴 
34 
 
• O acúmulo de A no volume de controle por ser representado pela variação 
do número de mol por tempo, e como número de mol de A equivale ao 
produto da concentração molar de A (CA) pelo volume: 
 
𝜕𝑛𝐴
𝜕𝑡
=
𝜕∆𝑥.∆𝑦.∆𝑧.𝐶𝐴
𝜕𝑡
 → 
𝜕𝑛𝐴
𝜕𝑡
= ∆𝑥. ∆𝑦. ∆𝑧.
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝑡
 
 
Figura 3.7: Volume de controle com dimensões Δx, Δy e Δz para aplicação do balanço material 
de soluto em base molar. 
 
 
Dessa forma, a equação pode ser escrita: 
 
𝑛𝐴|𝑥 − 𝑛𝐴|𝑥+∆𝑥 + 𝑛𝐴|𝑦 − 𝑛𝐴|𝑦+∆𝑦 + 𝑛𝐴|𝑧 − 𝑛𝐴|𝑧+∆𝑧 + ∆𝑥. ∆𝑦. ∆𝑧. 𝑅𝐴 =
∆𝑥. ∆𝑦. ∆𝑧.
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝑡
 (3.28) 
 
Ou em termos de fluxo, sabendo que fluxo é produto da taxa pela área: 
𝑁𝐴 𝑥. ∆𝑦. ∆𝑧|𝑥 − 𝑁𝐴 𝑥. ∆𝑦. ∆𝑧|𝑥+∆𝑥 + 𝑁𝐴 𝑦 . ∆𝑥. ∆𝑧|𝑦 − 𝑁𝐴 𝑦. ∆𝑥. ∆𝑧|𝑦+∆𝑦 +
𝑁𝐴 𝑧. ∆𝑥. ∆𝑦|𝑧 − 𝑁𝐴 𝑧. ∆𝑥. ∆𝑦|𝑧+∆𝑧 + ∆𝑥. ∆𝑦. ∆𝑧. 𝑅𝐴 = ∆𝑥. ∆𝑦. ∆𝑧.
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝑡
 (3.29) 
 
 
35 
 
Utilizando-se da definição de derivada parcial, para obter uma equação 
diferencial: 
 ÷ (−∆𝑥. ∆𝑦. ∆𝑧) 
∆𝑦.∆𝑧.𝑁𝐴|𝑥
−∆𝑥.∆𝑦.∆𝑧
−
∆𝑦.∆𝑧.𝑁𝐴|𝑥+∆𝑥
−∆𝑥.∆𝑦.∆𝑧
+
∆𝑥.∆𝑧.𝑁𝐴|𝑦
−∆𝑥.∆𝑦.∆𝑧
− 
∆𝑥.∆𝑧.𝑁𝐴|𝑦+∆𝑦
−∆𝑥.∆𝑦.∆𝑧
+
∆𝑥.∆𝑦.𝑁𝐴|𝑧
−∆𝑥.∆𝑦.∆𝑧
−
∆𝑥.∆𝑦.𝑁𝐴|𝑧+∆𝑧
−∆𝑥.∆𝑦.∆𝑧
+ 
∆𝑥.∆𝑦.∆𝑧.𝑅𝐴
−∆𝑥.∆𝑦.∆𝑧
=
∆𝑥.∆𝑦.∆𝑧
−∆𝑥.∆𝑦.∆𝑧
.
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝑡
 
 
 
𝑁𝐴|𝑥+∆𝑥−𝑁𝐴|𝑥
∆𝑥
+
𝑁𝐴|𝑦+∆𝑦−𝑁𝐴|𝑦
∆𝑦
+
𝑁𝐴|𝑧+∆𝑧−𝑁𝐴|𝑧
∆𝑧
− 𝑅𝐴 = −
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝑡
 (3.30) 
 
Aplicando os limites de Δx, Δy e Δz tendendo a zero, sabendo que primeiro 
termo é dependente de Δx, o segundo de Δy, o terceiro de Δz, enquanto que o 
quarto e o quinto termos são constantes, em relação às coordenadas espaciais: 
 
lim
∆𝑥→0
∆𝑦→0
∆𝑧→0
𝑁𝐴|𝑥+∆𝑥−𝑁𝐴|𝑥
∆𝑥
+ lim
∆𝑥→0
∆𝑦→0
∆𝑧→0
𝑁𝐴|𝑦+∆𝑦−𝑁𝐴|𝑦
∆𝑦
+ lim
∆𝑥→0
∆𝑦→0
∆𝑧→0
𝑁𝐴|𝑧+∆𝑧−𝑁𝐴|𝑧
∆𝑧
− lim
∆𝑥→0
∆𝑦→0
∆𝑧→0
𝑅𝐴 = − lim∆𝑥→0
∆𝑦→0
∆𝑧→0
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝑡
 
 
 Portanto, da definição de derivada parcial, obtém-se a equação do 
balanço material de soluto expressa em bases molares ou equação da 
continuidade para coordenadas retangulares: 
 
 
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝑡
+
𝜕𝑁𝐴𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝑁𝐴𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝑁𝐴𝑧
𝜕𝑧
= 𝑅𝐴 (3.31) 
 
Em relação às coordenadas cilíndricas: 
 
 
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝑡
+
1
𝑟
.
𝜕(𝑟.𝑁𝐴𝑟)
𝜕𝑟
+
1
𝑟
.
𝜕𝑁𝐴𝜃
𝜕𝜃
+
𝜕𝑁𝐴𝑧
𝜕𝑧
= 𝑅𝐴 (3.32) 
 
E a equação da continuidade transformada em coordenadas esféricas: 
 
 
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝑡
+
1
𝑟2
.
𝜕(𝑟2.𝑁𝐴𝑟)
𝜕𝑟
+
1
𝑟.𝑠𝑒𝑛𝜃
.
𝜕(𝑁𝐴𝜃.𝑠𝑒𝑛𝜃)
𝜕𝜃
+
1
𝑟.𝑠𝑒𝑛𝜃
𝜕𝑁𝐴∅
𝜕∅
= 𝑅𝐴 (3.33) 
 
Na resolução de um problema de transferência de massa por meio da 
utilização da equação da continuidade requer: 
i. a identificação do sistema de coordenadas mais adequado; 
ii. ocorrência de reação química no volume de controle definido; 
36 
 
iii. o regime de escoamento; 
iv. se o fluxo é uni ou multidimensional; 
v. a definição das condições de contorno do problema. 
 
A equação diferencial gerada deve ser convenientemente associada à lei 
de Fick, com o intuito de se obter o fluxo, a taxa ou o perfil de concentração de 
soluto. 
3.4.1 Aplicação da equação da continuidade ao redor de uma esfera 
em meio estagnado 
Para aplicação da equação da continuidade, considere uma esfera, de 
raio constante (R0) e composta de soluto A, presente um meio fluido (B) 
estagnado (Figura 3.8), em processo de sublimação. Admita que a temperatura 
e a pressão sejam constantes e que o processo esteja em regime permanente. 
A fração molar de A na superfície da esfera (yAo) é superior à fração molar 
de soluto em um ponto muito distante dela (yA∞), sendo ambas uniformes nas 
respectivas regiões, devido a simetria axial. O transporte do soluto A ocorre 
devido ao gradiente de concentração através da fase fluida na direção r. 
A análise dessa transferência de soluto será feita sob duas perspectivas: 
regime permanente (considerando o raio da esfera constante) e regime pseudo-
permanente (considerando a variação do raio com o tempo. 
Figura 3.8: Soluto A sublimando ao redor de uma superfície esférica para uma fase fluida 
estagnada. 
 
37 
 
A partir da equação da continuidade em coordenadas esféricas: 
 
 
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝑡
+
1
𝑟2
.
𝜕(𝑟2.𝑁𝐴𝑟)
𝜕𝑟
+
1
𝑟.𝑠𝑒𝑛𝜃
.
𝜕(𝑁𝐴𝜃.𝑠𝑒𝑛𝜃)
𝜕𝜃
+
1
𝑟.𝑠𝑒𝑛𝜃
𝜕𝑁𝐴∅
𝜕∅
= 𝑅𝐴 
 
 As condições de contorno que delimitam o problema, considerando raio 
constante, são: 
I. Na superfície da esfera, r = Ro, a fração molar corresponde yAo; 
II. Em um ponto distante da esfera, r = R∞, a fração molar corresponde a 
yA∞. 
 
As hipóteses para o problema são: 
1- Regime permanente, pois não ocorre alteração do soluto em base molar 
no volume da fase fluida em relação ao tempo, o raio da esfera 
sublimando é constante; 
2- Movimento unidirecional na direção radial, pois há gradiente de 
concentração na direção r, uma vez que em r = R0, yA = yAs, e em r = ∞, 
yA = yA∞, com yAs > yA∞; devido a simetria axial da transferência e o meio 
estagnado não ocorre gradiente de concentração nas direções θ e ϕ; 
3- Não há reação química; 
4- Temperatura e a pressão constantes. 
 
A análise física dos termos contidos na equação fornece que: 
 
 
1
𝑟2
.
𝑑(𝑟2.𝑁𝐴𝑟)
𝑑𝑟
= 0 (3.34) 
 
A integração da Equação 3.34 permite constatar que o fluxo molar de A 
na direção r não é constante, mas sim, dependente da coordenada r: 
 
 ∫𝑑(𝑟2. 𝑁𝐴𝑟) = ∫ 0. 𝑑𝑟 
 𝑟2. 𝑁𝐴𝑟 = 𝑐1 
 
Substituindo por taxa molar de soluto A na direção r (𝑛𝐴𝑟), ou vazão molar 
de soluto, que corresponde ao produto do fluxo pela área da superfície esférica, 
38 
 
observa-se que para a difusão de soluto ao redor da esfera a taxa molar é 
constante. 
𝑛𝐴𝑟 = 4𝜋𝑟
2. 𝑁𝐴𝑟 
 𝑛𝐴𝑟 = 4𝜋𝑐1 = 𝑐1
′ 
 
A lei de Fick para este problema, uma vez que o meio é estagnado, pode 
ser escrita como: 
 𝑁𝐴𝑟 = −𝐶.𝐷𝐴𝐵.
𝑑𝑦𝐴
𝑑𝑟
+ 𝑦𝐴(𝑁𝐴𝑟+ 𝑁𝐵𝑟) 
𝑁𝐴𝑟 = −𝐶.𝐷𝐴𝐵.
𝑑𝑦𝐴
𝑑𝑟
+ 𝑦𝐴(𝑁𝐴𝑟) 
𝑁𝐴𝑟 − 𝑦𝐴. 𝑁𝐴𝑟 = −𝐶. 𝐷𝐴𝐵.
𝑑𝑦𝐴
𝑑𝑟
 
 𝑁𝐴𝑟 =
−𝐶.𝐷𝐴𝐵.
1−𝑦𝐴
𝑑𝑦𝐴
𝑑𝑟
 (3.35) 
 
Escrevendo a lei de Fick em função de taxa molar, é um valor constante: 
 
 𝑛𝐴𝑟 = 4𝜋𝑟
2. (
−𝐶.𝐷𝐴𝐵.
1−𝑦𝐴
𝑑𝑦𝐴
𝑑𝑟
) (3.36) 
 
Assim, a separação das variáveis, seguida da integração definida permite 
obter o valor da vazão molar de soluto, visto que se trata de uma constante: 
 
𝑛𝐴𝑟 .
𝑑𝑟
𝑟2
= −4𝜋. 𝐶. 𝐷𝐴𝐵.
𝑑𝑦𝐴
1 − 𝑦𝐴
 
 ∫ 𝑛𝐴𝑟 .
𝑑𝑟
𝑟2
𝑅∞
𝑅𝑜
= ∫ −4𝜋. 𝐶. 𝐷𝐴𝐵.
𝜕𝑦𝐴
1 − 𝑦𝐴
𝑦𝐴∞
𝑦𝐴𝑜
 
 
 
 
 
Como nAr, 4π, C e DAB são constantes, tem-se que: 
𝑛𝐴𝑟 . (
𝑟−1
−1
)|
𝑅𝑜
𝑅∞
= −4𝜋. 𝐶. 𝐷𝐴𝐵.−ln (1 − 𝑦𝐴)|𝑦𝐴𝑜
𝑦𝐴∞ 
Lembrete: 
∫
𝑑𝑥
𝑥𝑛
= ∫𝑥−𝑛. 𝑑𝑥 =
𝑥−𝑛+1
−𝑛 + 1
 
39 
 
−𝑛𝐴𝑟 . (
1
𝑅∞
−
1
𝑅𝑜
) = −4𝜋. 𝐶. 𝐷𝐴𝐵. (−ln (
1 − 𝑦𝐴∞
1 − 𝑦𝐴𝑜
)) 
 
Portanto, a vazão molar de soluto transferido para a fase fluida é: 
 
𝑛𝐴𝑟 = −
4𝜋.𝐶.𝐷𝐴𝐵
1
𝑅∞
−
1
𝑅𝑜
. ln (
1−𝑦𝐴∞
1−𝑦𝐴𝑜
) (3.37) 
 
Considerando o ponto R∞ como um ponto distante, ou seja, como ∞, a 
equação pode ser escrita como: 
 
𝑛𝐴𝑟 = 4𝜋. 𝐶. 𝐷𝐴𝐵.𝑅𝑜 . ln (
1−𝑦𝐴∞
1−𝑦𝐴𝑜
) (3.38) 
 
Agora considere que a partícula esférica diminui uniformemente de 
tamanho com o passar do tempo, ou seja, que existe desacúmulo de soluto, 
configurando como regime transiente. No entanto, na fase gasosa, o movimento 
praticamente não é influenciado pela diminuição do raio da esfera (R0), 
continuando a ocorrer em regime permanente. Assume-se, então, que o sistema 
esteja em regime pseudo-permanente ou estado pseudo-estacionário. 
Figura 3.9: Soluto A sublimando ao redor de uma superfície esférica para uma fase fluida 
estagnada, com diminuição do raio da partícula. 
 
Para obter uma equação da variação do raio da esfera em função do 
tempo, partindo da hipótese de regime pseudo-permanente, utiliza-se a premissa 
que a soluto A que é perdido da esfera vai para a fase gasosa. Assim: 
40 
 
−𝑛𝐴 𝑣𝑜𝑙𝑎𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜
𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎
= 𝑛𝐴 𝑓𝑎𝑠𝑒 𝑔𝑎𝑠𝑜𝑠𝑎 
 
A vazão molar de soluto que sublima da partícula esférica 
(essencialmente pura em A) é equivalente à variação do número de mols de A 
(massa da partícula, mA sobre massa molar do componente A, MA), em função 
do tempo (t). Mas, a mA corresponde ao produto da massa específica do 
componente A na partícula (ρAlíq) pelo volume da esfera (Vp). Assim: 
𝑛𝐴𝑙í𝑞 = −
𝑑𝑛𝐴
𝑑𝑡
 
𝑛𝐴𝑙í𝑞 = −
𝑑(
𝑚𝐴𝑙í𝑞
𝑀𝐴
)
𝑑𝑡
 
𝑛𝐴𝑙í𝑞 = −
1
𝑀𝐴
.
𝑑(𝜌𝐴𝑙í𝑞.𝑉𝑙í𝑞)
𝑑𝑡
 
𝑛𝐴𝑙í𝑞 = −
𝜌𝐴𝑙í𝑞.
𝑀𝐴
.
𝑑(
4
3
.𝜋.𝑅𝑜
3)
𝑑𝑡
 
𝑛𝐴𝑙í𝑞 = −
𝜌
𝐴𝑙í𝑞.
4
3
𝜋
𝑀𝐴
.
𝑑𝑅𝑜
3
𝑑𝑡
 por linearização, 
𝑛𝐴𝑙í𝑞 = −
𝜌
𝐴𝑙í𝑞.
4
3
𝜋.3.𝑅𝑜
3−1
𝑀𝐴
.
𝑑𝑅𝑜
𝑑𝑡
 
𝑛𝐴𝑙í𝑞 = −
𝜌
𝐴𝑙í𝑞.4𝜋.𝑅𝑜
2
𝑀𝐴
.
𝑑𝑅𝑜
𝑑𝑡
 (3.39) 
 
Igualando as equações 3.39, que corresponde à taxa de líquido emanado 
para fase gasosa, e 3.38 da taxa de transferência de soluto na fase gasosa: 
 
4𝜋. 𝐶. 𝐷𝐴𝐵.𝑅𝑜 . ln (
1−𝑦𝐴∞
1−𝑦𝐴𝑜
) = −
𝜌
𝐴𝑙í𝑞.4𝜋.𝑅𝑜
2
𝑀𝐴
.
𝑑𝑅𝑜
𝑑𝑡
 
𝐶. 𝐷𝐴𝐵. ln (
1−𝑦𝐴∞
1−𝑦𝐴𝑜
) = −
𝜌𝐴𝑙í𝑞.𝑅𝑜
𝑀𝐴
.
𝑑𝑅𝑜
𝑑𝑡
 
 
Separando as variáveis e integrando entre os instantes inicial e final, tem-
se que: 
-∫ 𝑅𝑜 . 𝑑𝑅𝑜
𝑅𝑜𝑓
𝑅𝑜𝑖
= ∫
𝐶.𝐷𝐴𝐵.𝑀𝐴
𝜌𝐴𝑙í𝑞
ln (
1−𝑦𝐴∞
1−𝑦𝐴𝑜
) . 𝑑𝑡
𝑡
0
 
(
𝑅𝑜𝑖
2
2
−
𝑅𝑜𝑓
2
2
) =
𝐶.𝐷𝐴𝐵.𝑀𝐴
𝜌𝐴𝑙í𝑞
ln (
1−𝑦𝐴∞
1−𝑦𝐴𝑜
) . 𝑡 (3.40) 
41 
 
3.5 EXERCÍCIOS SOBRE APLICAÇÃO DA EQUAÇÃO DA 
CONTINUIDADE 
Exercício 3.8 (Pisani Jr, 2020): Uma esfera de naftaleno é exposta ao ar 
estagnado a 50ºC e 690 mmHg. O processo de sublimação faz com que o seu 
diâmetro diminua em função do tempo. O diâmetro inicial da esfera é de 2,0 cm. 
Nessas condições, calcule: 
a) O tempo necessário para a esfera de naftaleno reduzir o seu volume a um 
quarto (1/4) do valor inicial pelo modelo de transferência de massa em estado 
pseudo-estacionário; 261,3h 
b) O tempo necessário para a esfera de naftaleno reduzir o seu volume a um 
quarto (1/4) do valor inicial, considerando o raio da esfera constante. 265,8h 
Dados: 
- pressão de vapor do naftaleno a 50ºC: 0,0988 kPa; 
- Difusividade do naftaleno em ar a 298K: 𝐷𝐴𝐵.𝑃=0,619 𝑚².𝑃𝑎/𝑠; 
- Massa molar do naftaleno: 128,16 g/mol; 
- Massa específica do naftaleno sólido: 1,14 g/cm³. 
 
Exercício 3.9 (Pisani Jr, 2020): Uma parede espessa formada por uma 
superfície esférica interna de raio Ri, na qual a concentração de soluto A é CAi, e 
outra superfície esférica externa de raio Re, em que a concentração de soluto A 
é CAe (Figura 3.1). Uma vez que CAi é maior que CAe, há difusão de A através do 
sólido, de maneira que se possa desprezar o efeito de movimentação do meio 
em decorrência do transporte de soluto. Admita que o regime seja permanente. 
Sendo assim, pede-se: 
a) Inicie da equação da continuidade em coordenadas esféricas para obter a 
equação diferencial simplificada que descreve a transferência de soluto A 
através da parede. 
b) A equação que permita obter a vazão molar de A através da superfície sólida. 
Para isto, utilize a Lei de Fick. 
c) A equação do perfil de concentração molar de A no interior da parede sólida. 
 
 
 
42 
 
Exercício 3.10 (Pisani Jr, 2020): Uma partícula cilíndrica, de raio e 
comprimentos constantes e iguais a R0 e L respectivamente, é utilizada como 
catalisador da reação de craqueamento na superfície do sólido. Assuma que a 
reação química seja rápida o suficiente para que a concentração de reagente A 
na interface sólida seja praticamente nula. A equação química que representa a 
estequiometria da reação é: A → ½ B + ½ C. O reagente A chega à superfície e 
os produtos B e C se distanciam da partícula. Considere que a fração molar do 
componente A em um ponto (R∞) distante da partícula seja igual a YA∞. Além 
disso, admita que a temperatura e a pressão sejam constantes e que L seja muito 
maior que R0. Nessas condições, pede-se: 
a) Mostre que o fluxo molar de A não é constante, a partir da equação diferencial 
expressa no fluxo molar de A e as condições de contorno. 
b) A equação da vazão molar de A que chega à partícula. 
c) A equação do perfil de fração molar de soluto A na fase gasosa. Não deixe de 
verificar se a equação obtida está de acordo com as condições de contorno para 
o problema. 
 
 
Exercício 3.11 (Pisani Jr, 2020): Uma partícula esférica de hidróxido de cálcio, 
de raio constante (R0) e igual a 0,5 mm, é utilizada como reagente sólido na 
reação de neutralização de uma fase gasosa composta de ar com 1 % em mol 
de ácido clorídrico (HCl), a 180ºC e 1 atm. Assuma que a reação química seja 
rápida o suficiente para que a concentração de HCl na interface sólida seja 
praticamente nula. A equação química que representa a estequiometria da 
reação é: 2HCl (g) + Ca(OH)2 (s) → CaCl2 (s) + 2H2O (g). O reagente HCl chega 
à superfície da cal hidratada, enquanto que o vapor d’água se distancia, 
enquanto que o hidróxido de cálcio e o cloreto de cálcio permanecem na fase 
sólida. Considere que a fração molar do componente HCl em um ponto muito 
distante da partícula seja igual a 1% em mol. Além disso, admita que o estado 
43 
 
seja estacionário, a temperatura e a pressão estejam constantes. Nessas 
condições, pede-se: 
a) Mostre que o fluxo molar de HCl na fase gasosa não é constante, a partir 
da equação diferencial expressa no fluxo molar de ácido. 
b) A equação que permita obter a vazão molar de HCl que chega na 
superfície da partícula a partir da resposta do item a) e da Lei de Fick. 
c) A equação do perfil de fração molar de HCl na fase gasosa. 
 
Exercício 3.12 (Pisani Jr, 2020): Uma esfera de carbono de 1,0 mm de diâmetro 
inicial (2.R0)é exposta ao ar (21 % em mol de O2 e 79 % em mol de N2) na 
temperatura de 850ºC e pressão absoluta de 1,00 atm. Admita que ocorra a 
combustão completa do carbono, conforme a equação química: C (s) + O2 (g) → 
CO2 (g). O oxigênio do ar migra para a superfície da partícula e se transforma 
quase que instantaneamente em dióxido de carbono, que por sua vez se 
distancia radialmente da partícula. Assuma que o regime seja permanente e 
consequentemente, que o raio da partícula seja constante e igual ao seu valor 
médio (R0) entre o valor inicial e final. Assim sendo, pede-se: 
a) Obtenha a expressão integrada para cálculo da vazão molar de O2 
transferido para a partícula. Inicie da equação da continuidade expressa nos 
fluxos molares em coordenadas esféricas e utilize a lei de Fick. 
b) O tempo necessário para a esfera desaparecer. 23,2 s 
Dados: 
- Massa específica da partícula de carbono = 1280 kg/m3 
- Difusividade do oxigênio na mistura gasosa = 1,26.10-4 m2/s 
 
 
 
Exercício 3.13 (Pisani Jr, 2020): Duas placas verticais são dispostas, conforme 
indicado na figura abaixo. A superfície porosa da placa da esquerda está 
recoberta (umedecida) com uma solução ácida de HCl 30 % em massa. A placa 
da direita está envolta em uma película de solução básica de NaOH de caráter 
não-volátil. A reação de neutralização do ácido forte volatilizado com a base forte 
permite assumir que a concentração de ácido na placa da direita seja nula. As 
44 
 
placas têm as mesmas dimensões, ou seja 1,0 m de altura por 1,5 m de 
comprimento. O sistema está a 20ºC. Sendo assim, determine: 
a) A equação diferencial que descreve o fenômeno a partir da equação da 
continuidade. 
b) A equação para o cálculo do fluxo molar de HCl transferido. 
c) A equação do perfil de fração molar de HCl na fase gasosa. 
d) O valor da vazão molar de HCl entre as placas. 
Dados: 
- pressão de vapor do HCl em solução 30% a 20°C = 1410 Pa; 
- massa molar do HCl = 36,5 g/mol; 
- difusividade do HCl em ar a 20°C e 1 atm = 1,58.10-5 m2/s 
 
Exercício 3.14: Suponha que o ar seco esteja estagnado e contido no interior 
de um capilar de 25 cm de comprimento e mantido a 1 atm e 25 ºC, de modo que 
o valor do coeficiente de difusão é igual a 0,26 cm2/s. Pede-se: 
a) obtenha a distribuição da fração molar do vapor de água no meio em que 
ocorre a sua evaporação; 
b) estime o valor do fluxo molar do vapor de água no ar seco estagnado; 
c) estime o valor do tempo necessário para que ocorra desnível do líquido de 
0,01 cm e 0,1 cm. 
Informações adicionais sobre a água: MA = 18,015 g/mol; ρL = 0,996 g/cm3, PvA 
= 23,7 mmHg. 
 
Exercício 3.15: Clorofórmio, a 42,7ºC e 0,9 atm, está no interior de uma proveta 
de diâmetro interno de 4 mm e foi adicionado 1,0 g. O emprego de um sistema 
de ventilação permite afirmar que no topo da proveta a concentração de soluto 
é nula. No instante inicial, o nível do clorofórmio está a 10 cm do topo da proveta. 
Nessas condições, obtenha: 
a) A dedução da equação para o cálculo do fluxo molar de soluto volatilizado 
a partir da equação da continuidade em coordenadas cilíndricas. 
b) A difusividade do clorofórmio, considerando que em 10h o nível de líquido 
rebaixou 1 cm, considerando regime permanente. 
45 
 
 
Dados do soluto: massa molar 119 g/mol, massa específica 1,5 g/cm³, pressão 
de vapor 400 mmHg. 
 
Exercício 3.16: Uma partícula sólida, de forma cilíndrica, de raio e comprimento 
constantes e iguais a R0 e L, respectivamente, é suspensa em ar estagnado e 
sofre sublimação, o que resulta na transferência de soluto na fase gasosa. A 
diminuição lenta do diâmetro na peça torna possível a hipótese de regime 
permanente. No entanto, considerando a perda de sólido para a fase gasosa, 
permite associar o movimento ao estado pseudo-estacionário. No instante inicial, 
na superfície da partícula a fração molar é yAo e em um ponto distante é yA∞. 
Considerando que o comprimento L da peça seja praticamente constante, e que 
pressão e temperatura sejam 50ºC e 690 mmHg e constantes, determine: 
a) A equação diferencial para a sublimação de naftaleno e as condições de 
contorno a partir da equação da continuidade. 
b) Dê equação de vazão molar de soluto, a partir da Lei de Fick. 
c) Considerando regime pseudo-estacionário, dê equação que relaciona raio 
da peça em um instante final e um instante inicial com o tempo. 
 
 
 
 
 
Exercício 3.17: Um catalisador esférico com raio constante igual a Ro é utilizado 
em uma reação de craqueamento. A reação é muito rápida, garantindo que a 
fração molar do reagente na superfície do sólido seja nula. O reagente M chega 
à superfície da partícula e o produto N se distancia da partícula. Considere que 
o componente M esteja distante da partícula, apresente fração molar YM∞. 
Assumindo que pressão e temperatura sejam constantes e meio estagnado, 
determine: 
a) A equação diferencial para o transporte de soluto R até a superfície do 
catalisador e as condições de contorno, a partir da equação da 
continuidade. 
b) A equação de vazão molar de R que chega à superfície esférica, 
considerando regime permanente e que a equação química 
correspondente seja: R → 2P 
c) A equação do perfil de fração molar do reagente R, considerando as 
condições de contorno. 
 
46 
 
Exercício 3.18: Uma naftalina de formato cilíndrico, raio 2 cm, foi colocada em 
ambiente, sem ventilação, com o intuito de repelir alguns insetos indesejados. 
Altas temperaturas foram verificadas na semana da exposição da naftalina ao 
ambiente, em média 39ºC. Notou-se que, o cheiro característico do composto 
diminuindo à medida que se distanciou do local. 
Diante desse fato, responda aos itens abaixo: 
a. Partindo da equação da continuidade, determine as hipóteses, as 
condições de contorno e a equação diferencial do movimento desse 
soluto. 
b. Mostre a dedução para a obtenção da equação para a vazão molar 
de soluto. 
c. Calcule o tempo para a cilindro de naftalina diminuir pela metade 
em seu raio, considerando regime permanente. Considere pressão de 1 
atm. 93,8h 
Dados: 
Pressão de vapor à 39ºC = 690 mmHg 
Difusividade da naftalina em ar à 298K = 0,619 m².Pa/s 
Massa específica da naftalina sólida = 1,16 g/cm³ 
Massa molar da naftalina = 128,17 g/mol 
 
 
Exercício 3.19: Uma esfera de naftalina, propriedades físicas apresentadas 
abaixo, foi colocada em ambiente, sem ventilação. Altas temperaturas foram 
verificadas na semana da exposição da naftalina ao ambiente, em média 35ºC. 
Diante desse fato, responda aos itens abaixo: 
a) Partindo da equação da continuidade, determine as hipóteses, as 
condições de contorno e a equação diferencial do movimento desse 
soluto. 
b) Mostre a dedução para a obtenção da equação para a vazão molar de 
soluto. 
c) Mostre a dedução para a obtenção da equação que relaciona a variação 
do raio da naftalina com o tempo, considerando regime pseudo 
permanente. 
d) Calcule o tempo para a esfera de naftalina desaparecer. Considere 
pressão de 1 atm. 48,9h 
Dados: 
Pressão de vapor à 39ºC = 690 mmHg 
Difusividade da naftalina em ar à 298K = 0,619 m².Pa/s 
Massa específica da naftalina sólida = 1,16 g/cm³ 
Massa molar da naftalina = 128,17 g/mol 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
47 
 
3.6 EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE DO SOLUTO A E A 1ª LEI DE FICK 
A descrição da difusão mássica em meio contínuo dá-se por meio de 
proposições de equações da continuidade que permitem o conhecimento da 
distribuição de concentração de determinado soluto no tempo e no espaço, 
sujeito ou não a transformações. As equações 3.31, 3.32 e 3.33 representam 
fluxos (ou taxas) de matéria, a partir do balanço de taxa de matéria, que flui 
através das fronteiras de um elemento de volume. 
Para a obtenção da distribuição espacial e temporal do soluto A em 
determinado meio torna-se relevante o conhecimento da equação da 
continuidade para a espécie considerada em termos da 1ª Lei de Fick. 
Assim, para as coordenadas retangulares, substituindo a Lei de Fick,nas 
respectivas direções x, y e z, na Equação 3.33, obtém-se que: 
 
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝑡
+
𝜕𝑁𝐴𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝑁𝐴𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝑁𝐴𝑧
𝜕𝑧
= 𝑅𝐴 
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝑡
+
𝜕(−𝐷𝐴𝐵 .
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝑥
+𝐶𝐴.𝑉𝑀𝑥)
𝜕𝑥
+
𝜕(−𝐷𝐴𝐵.
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝑦
+𝐶𝐴.𝑉𝑀𝑦)
𝜕𝑦
+
𝜕(−𝐷𝐴𝐵 .
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝑧
+𝐶𝐴.𝑉𝑀𝑧)
𝜕𝑧
= 𝑅𝐴 
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝑡
− 𝐷𝐴𝐵
𝜕(
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝑥
)
𝜕𝑥
+
𝜕(𝐶𝐴.𝑉𝑀𝑥)
𝜕𝑥
− 𝐷𝐴𝐵
𝜕(
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝑧
)
𝜕𝑧
+
𝜕(𝐶𝐴.𝑉𝑀𝑦)
𝜕𝑦
+ −𝐷𝐴𝐵
𝜕(
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝑧
)
𝜕𝑧
+
𝜕(𝐶𝐴.𝑉𝑀𝑧)
𝜕𝑧
= 𝑅𝐴 
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝑡
+ 𝐶𝐴.
𝜕𝑉𝑀𝑥
𝜕𝑥
+ 𝑉𝑀𝑥 .
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝑥
+ 𝐶𝐴.
𝜕𝑉𝑀𝑦
𝜕𝑦
+ 𝑉𝑀𝑦 .
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝑦
+ 𝐶𝐴.
𝜕𝑉𝑀𝑧
𝜕𝑧
+ 𝑉𝑀𝑧 .
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝑧
= 𝐷𝐴𝐵 (
𝜕2𝐶𝐴
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝐶𝐴
𝜕𝑦2
+
𝜕2𝐶𝐴
𝜕𝑧2
) + 𝑅𝐴 
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝑡
+ 𝐶𝐴 (
𝜕𝑉𝑀𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝑉𝑀𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝑉𝑀𝑧
𝜕𝑧
) + 𝑉𝑀𝑥 .
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝑥
+ 𝑉𝑀𝑦 .
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝑦
+ 𝑉𝑀𝑧 .
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝑧
= 𝐷𝐴𝐵 (
𝜕2𝐶𝐴
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝐶𝐴
𝜕𝑦2
+
𝜕2𝐶𝐴
𝜕𝑧2
) + 𝑅𝐴 (3.41) 
 
Pelo Princípio de Conservação da Matéria, na forma do balanço 
diferencial de massa total, para fluido incompressível, com referência a 
quantidades molares, em que v corresponde à velocidade molar e com a 
concentração total C constante: 
 
𝜕𝐶
𝜕𝑡
+
𝜕(𝐶.𝑣𝑥)
𝜕𝑥
+
𝜕(𝐶.𝑣𝑦)
𝜕𝑦
+
𝜕(𝐶.𝑣𝑧)
𝜕𝑧
= 0 
48 
 
𝜕𝐶
𝜕𝑡
+ 𝐶. (
𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑧
) = 0 
0 + 𝐶. (
𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑧
) = 0 
𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑧
= 0 (3.42) 
 
Portanto, a substituição de 3.42 em 3.41 resulta na equação do balanço 
diferencial de soluto, válida para C e DAB constantes, em coordenadas 
cartesianas: 
 
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝑡
+ 𝐶𝐴(0) + 𝑉𝑀𝑥 .
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝑥
+ 𝑉𝑀𝑦 .
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝑦
+ 𝑉𝑀𝑧 .
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝑧
= 𝐷𝐴𝐵 (
𝜕2𝐶𝐴
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝐶𝐴
𝜕𝑦2
+
𝜕2𝐶𝐴
𝜕𝑧2
) + 𝑅𝐴 
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝑡
+ 𝑉𝑀𝑥 .
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝑥
+ 𝑉𝑀𝑦 .
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝑦
+ 𝑉𝑀𝑧 .
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝑧
= 𝐷𝐴𝐵 (
𝜕2𝐶𝐴
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝐶𝐴
𝜕𝑦2
+
𝜕2𝐶𝐴
𝜕𝑧2
) + 𝑅𝐴 (3.43) 
 
A interpretação física dos termos da Equação 3.43 é: 
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝑡
 representa a taxa de acúmulo de soluto em base molar por unidade de 
volume da fase em que ocorre o transporte de A; 
𝑉𝑀𝑦 .
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝑦
 é a variação do fluxo molar de soluto na direção x, em relação à 
coordenada x, devido à movimentação da fase na direção x; 
𝑉𝑀𝑦 .
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝑦
 corresponde à variação do fluxo molar de soluto na direção y, em 
relação à coordenada y, devido à movimentação da fase na direção y; 
𝑉𝑀𝑧 .
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝑧
 consiste na variação do fluxo molar de soluto na direção z, em relação 
à coordenada z, devido à movimentação da fase na direção z; 
𝐷𝐴𝐵
𝜕2𝐶𝐴
𝜕𝑥2
 equivale à variação do fluxo molar de soluto na direção x, em relação à 
coordenada x, devido ao efeito difusional na direção x; 
𝐷𝐴𝐵
𝜕2𝐶𝐴
𝜕𝑦2
 está vinculado à variação do fluxo molar de soluto na direção y, em 
relação à coordenada y, devido ao efeito difusivo na direção y; 
𝐷𝐴𝐵
𝜕2𝐶𝐴
𝜕𝑧2
 simboliza a variação do fluxo molar de soluto na direção z, em relação 
à coordenada z, devido ao efeito difusivo na direção z; 
𝑅𝐴 é a taxa de produção de soluto A via reação química, em base molar, por 
unidade de volume do sistema. 
49 
 
Em relação as coordenadas cilíndricas e esféricas, respectivamente, as 
equações são: 
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝑡
+ 𝑉𝑀𝑟 .
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝑟
+
𝑉𝑀𝜃
𝑟
.
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝜃
+ 𝑉𝑀𝑧 .
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝑧
= 𝐷𝐴𝐵 . (
1
𝑟
.
𝜕2(𝑟.𝐶𝐴)
𝜕𝑟2
+
1
𝑟2
𝜕2𝐶𝐴
𝜕𝜃2
+
𝜕2𝐶𝐴
𝜕𝑧2
) + 𝑅𝐴 
 (3.44) 
 
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝑡
+ 𝑉𝑀𝑟 .
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝑟
+
𝑉𝑀𝜃
𝑟
.
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝜃
+
𝑉𝑀∅
𝑟.𝑠𝑒𝑛𝜃
.
𝜕𝐶𝐴
𝜕∅
= 𝐷𝐴𝐵 . (
1
𝑟2
.
𝜕2𝑟2.𝐶𝐴
𝜕𝑟2
+
1
𝑟2.𝑠𝑒𝑛𝜃
.
𝜕2(𝑠𝑒𝑛𝜃.𝐶𝐴)
𝜕𝜃2
+
1
𝑟2.𝑠𝑒𝑛2𝜃
.
𝜕2𝐶𝐴
𝜕∅2
) + 𝑅𝐴 (3.45) 
 
O quadro 10.1 do Cremasco (2015) apresenta as equações da 
continuidade de A em base mássica. 
 
 
As equações da continuidade em relação a uma espécie A devem, para 
efeitos práticos, ser passíveis de solução analítica e/ou numérica. Qualquer que 
seja o método de solução, tais equações estão sujeitas às condições iniciais e 
de contorno referentes à propriedade. 
 
50 
 
3.6.1 Difusão unidimensional em regime transiente 
No processo transiente, a análise deve ser modificada para levar em 
consideração a variação da concentração de soluto com o tempo. As condições 
de contorno devem ser ajustadas ao problema físico. 
Podem ser citados o processo de evaporação de um líquido volátil com o 
tempo, um sistema com reações químicos ou quando na interface ocorrem 
mudanças repentinas. 
A solução para as equações dependentes do tempo e de uma variável 
espacial pode envolver funções de erro ou integrais especiais relacionadas que 
são adequadas para pequenos valores de tempo ou pequenas profundidades de 
penetração, ou pode aparecer na forma de uma série trigonométrica que 
converge em grandes valores de tempo. Soluções analíticas são comumente 
obtidas por técnicas de transformação Laplace ou pela separação da técnica de 
variáveis. A solução analítica será descrita para difusão transiente em um meio 
semi-infinito e para difusão transiente em um meio finito-dimensional. 
3.6.2 Difusão transiente unidimensional em meio semi-infinito 
A difusão de massa transiente pode ocorrer em meio semi-infinito, líquido 
estacionário ou sólido, onde a concentração superficial do soluto é fixa. Nesses 
sistemas, a difusão do soluto não é muito expressiva, pois a movimentação não 
atinge grandes distâncias, ou devido a tempos de difusão relativamente curtos, 
ou em sistemas onde a difusividade mássica é relativamente pequena, 
particularmente em fase líquida ou sólida. Assim a interface do meio não exerce 
influência sobre o processo de difusão, o que permite a suposição do meio semi-
infinito. Podem ser citados como exemplo a absorção de gás oxigênio em um 
tanque profundo de água parada, o processo de difusão de carbono no aço. 
Um meio semi-infinito possui apenas uma superfície delimitada, em z = 0, 
que se estende de z = 0 até z → +∞, enquanto que as dimensões na direção x e 
y vão de -∞ a +∞ (Figura 3.10). 
51 
 
Figura 3.10: Esquema representativo de meio semi-infinito. 
 
Na Figura 3.11 é mostrado, esquematicamente, a difusão de um soluto A, 
em uma parede ligeiramente solúvel em um corpo semi-infinito. 
Figura 3.11: Representação de uma mudança na interface z=0, o que altera as condições de 
contorno em relação à condição inicial. 
 
Admita que até um momento inicial, a concentração de soluto (A) seja 
uniforme e igual a 𝐶𝐴o, mas a partir deste instante, a concentração da superfície 
passe a 𝐶𝐴𝑠 e é mantida constante daí em diante. Assim, as condições inicial e 
de contornos são: 
- condição inicial: em t = 0 → 𝐶𝐴= 𝐶𝐴o 
- condição de contorno em z= 0: 𝐶𝐴= 𝐶𝐴s para t = 0 
- condição de contorno em z→ ∞: 𝐶𝐴= C𝐴∞ para t > 0 
Note que as condições interfaciais são uniformes quanto às direções x e 
y. Considere também que o efeito advectivo, aquele decorrente da 
movimentação da fase devido ao transporte de soluto não esteja presente ou 
que seja relevante nesse caso. Logo, o emprego da equação da continuidade, 
em coordenadas retangulares, para C e DAB constantes (Equação 3.43): 
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝑡
+ 𝑉𝑀𝑥 .
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝑥
+ 𝑉𝑀𝑦 .
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝑦
+ 𝑉𝑀𝑧 .
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝑧
= 𝐷𝐴𝐵 (
𝜕2𝐶𝐴
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝐶𝐴
𝜕𝑦2
+
𝜕2𝐶𝐴
𝜕𝑧2
) + 𝑅𝐴 
52 
 
Em que, devido as hipóteses: 
1. Existe variação da concentração com o tempo, pois a quantidade de 
soluto aumenta se 𝐶𝐴𝑠 > 𝐶𝐴o, ou diminui se 𝐶𝐴𝑠 < 𝐶𝐴o, com o passar do tempo, uma 
vez que o meio é infinitamente profundo, ou seja, o soluto pode atingir camadas 
cada vez mais em profundidade ou ser oriundo delas; 
2. Não ocorrem fluxos molares de soluto nas direções x, y e z, devido às 
movimentações da fase nas direções x, y e z; pois o meio é sólido ou os efeitos 
convectivos