Lista 07

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Universidade Federal Rural de Pernambuco
Departamento de Matemática
Disciplina: Nome da disciplina
Profo Danilo Santos
7a Lista de Exercícios
Questão 1. Escreva as equações das hipérboles abaixo, esboçando seus gráficos. Obtenha todos os seus
elementos (focos, vértices, excentricidade, centro, eixos).
(a) Focos F1 = (2,−7), F2 = (2, 5) e diferença dos raios focais 5.
(b) Vértices (2,−1) e (2, 7) e excentricidade 3
2
(c) Vértices (0,−2) e (0, 2) , assíntotas y = ±2x e não corta o eixo 0x.
(d) Focos (−2, 2) e (2,−2) , e vértices (2,−2) e (−2, 2)
Questão 2. Escreva as equações das parábolas, esboçando seus gráficos. Obtenha todos os seus elementos
(foco, vértices, eixo, diretriz).
(a) Foco (0,−2) e diretriz r : y = 2
(b) Foco (−2, 0) e diretriz r : x− 4 = 0
(c) Foco (−4, 1) e diretriz y = 3
(d) Vértice (2, 0) e foco (0, 0)
(e) Vértice (4,−1), eixo focal r : y + 1 = 0 e passa pelo ponto (3,−3).
(f) eixo e simetria paralelo ao eixo 0y e passa pelos ponto A = (0, 0), B = (1, 1) e C = (1, 3).
(g) vértice V = (1, 3), eixo de simetria paralelo ao eixo 0x e passa pelo ponto P = (−1,−1)
Questão 3. Considere uma circunferência centrada no ponto (4,−1) que passa pelo foco da parábola
x2 + 16y = 0. Mostre que esta circunferência é tangente à diretriz da parábola
Questão 4. Em cada uma das equações encontre a equação reduzida e identifique cada cônica e seus
elementos e esboce o gráfico e encontre suas equações paramétricas.
(a) x2 + 4x+ 8y + 12 = 0
(b) 9x2 + 16y2 − 36x+ 96y + 36 = 0
(c) 16x2 − 9y2 − 64x− 18y + 199 = 0
(d) y2 + x2 = 2y − 2x+ 3
(e) 9x2 − 16y2 − 36x+ 96y + 36 = 0
(f) 2y2 + 2y2 − 12x+ 12 = 0
(g) 8x = 10− 6y + y2
(h) 4x2 + 9y2 − 8x− 36y + 4 = 0
(i) y2 − 12x− 12 = 0
(j) 9x2 − 4y2 − 18x− 16y = 43
(k) 4x2 + 9y2 − 24x+ 18y + 9 = 0
(l) 4x2 − y2 − 32x+ 4y + 24 = 0
(m) 4x2 + 9y2 − 54y + 45 = 0
(n) y = x2 − 4x+ 2
(o) x2 − 2y2 = 8
(p) x = y2
Questão 5. Identifique e escreva a equação reduzida de cada uma das cônicas parametrizadas abaixo
(a)
{
x = 5 cos θ
y = 5 sin θ
(b)
{
x = t
2
4
+ 4
y = t
(c)
{
x = cos θ
y = 3 sin θ
(d)
{
x = t
y = t2
(e)
{
x = 4 sec θ
y = 2 tan θ
(f)
{
x = 2 + 4 cos θ
y = 3 + 2 sin θ
(g)
{
x = 2 + 3 tan θ
y = 4 sec θ
(h)
{
x =
√
2 cos θ
y = 1− sin θ
(i)
{
x = 2 sec θ
y = 4 +
√
3 tan θ
(j)
{
x = t+ 1
y = t
2
3
− 2
Questão 6. Considere uma elipse de focos F1 e F2, com distancia focal 2c e soma dos raios focais igual a
2a. Mostre que se c = a então a elipse se reduz ao seguimento
−−→
F1F2.
Questão 7. Encontre equação da hipérbole de focos F1 = (−
√
2,−
√
2) e F2 = (
√
2,
√
2) e distancia entre
os vértices igual a 2
√
2. (Dica: usar a definição de hipérbole)
Questão 8. A elipse cujos focos são (−3, 4) e (5, 4) e a soma dos raios focais é 12 tem dois pontos cujos
raios focais são todos iguais. Escreva a equação da reta que passa por esses dois pontos.
Questão 9. Determine a equação da cônica cujo os vértices são (2,−1) e (2, 7) e excentricidade e = 3
2
.
Questão 10. Encontre a equação da cônica de centro C = (0, 0), foco sobre o eixo 0y, excentricidade
e = 2
3
e passa pelo pontos P = (2,−5
3
).
Questão 11. Determine a área do quadrilátero que tem dois vértices nos focos da cônica x2 + 5y2 = 20 e
os outros dois vértices coincidem com os extremos de seu eixo menor.
Questão 12. Encontre a área do triângulo determinado pela reta 9x+ 2y − 24 = 0 e pelas assíntotas da
hipérbole x2
4
− y2
9
= 1. Esboce a hipérbole e o triângulo.
Divirta-se!!!
2