EXERCÍCIOS - 2

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Teoria de 
controle 
moderno
APÊNDICE
UNIDADE 2
U2 - Representação de sistemas de controle7
Apêndice
Gabaritos comentados com resposta-padrão
UNIDADE 2: Representação de sistemas de controle
Gabarito 1. Faça valer a pena - Seção 2.1
1. Alternativa E.
Resposta comentada: Primeiramente, aplicamos a lei das malhas de 
Kirchhoff.
u u RC
d
dt
LC
d u
dt
u
in out
out out= + +
2
2
Para fazer esta equação se tornar de primeira ordem, precisamos de 
um estado que seja uout e de outro que seja �uout. Então, temos os 
estados definidos:
x = 




 =






x
x
u
u
out
out
1
2 �
É fácil perceber que �x x1 2= .
Substituindo os estados x1 e x2 na primeira equação e isolando �x2, 
temos:
− +
u x RCx LC
LC
x R
L
x
LC
u
x
x
in
in
= + +
= −
1 2 2
2 1 2
1 1
�
� 
Matricialmente, temos:
�x x
x
=
− −










+










= [ ]
0 1
1
0
1
1 0
LC
R
L LC
u
y
in
2. Alternativa A.
Resposta comentada: As variáveis de estado devem ser escolhidas de 
maneira que viabilizem a reescrita da(s) equação(ões) do modelo de 
forma matricial, sendo que cada equação seja uma EDO de primeira 
ordem. Sendo assim, as variáveis de estado para o sistema em 
questão devem ser x =






u
u
out
out

. Lembrando que a ordem das variáveis 
U2 - Representação de sistemas de controle8
de estado não influencia no modelo, pois um mesmo sistema pode 
ser representado de maneiras distintas.
No modelo em questão, uin é a entrada e os parâmetros R, L e C são 
fixos, e não variáveis dinâmicas.
3. Alternativa B.
Resposta comentada: A função transferência de cada sistema é:
Y G H R H
G G
Y G Y
Y G H GH GR
Y
R
GG
G H G
= − −
+ =
+
+
=
+ +
2 2 1 3
2 2 2 1 3 2 1
1 2
2 2 1
1
1
( (
)
))
(
GG H2 3
Y G H Y G R H
G G G
Y
Y G H H GR
Y
R
GG
G H GG
= − −
− =
−
−
=
−
2 2 1 3
2 2 2 1 3 2 1
1 2
2 2 1
1
1
( (
)
))
(
22 3H
Y G G A G
G G G
H R H G A
A Y
G
Y H Y
G
R H G Y
G
Y
= +
+
− −
=
= − −
2 2 2 1 3 2
2
2 2 2
2
1 3 2
2
( ( ))
( ( ))
== − −
+ +
=
+ +
+
=
G Y G Y
G
H R H
Y G H G GH GR
Y
R
GG
G H G
2 2 1 3
2 2 2 1 3 2 1
1 2
2 2 1
1
1
( ( ))
( )
GG H2 3
Y G
G G
H Y G G R H Y
Y G H GH GR
Y
R
GG
G H G
= −
+ =
+ −
+
=
+ +
2 2 2 1 3
2 2 2 1 3 2 1
1 2
2 2 1
1
1
( )
( )
GG H2 3
U2 - Representação de sistemas de controle9
Gabarito 2. Faça valer a pena - Seção 2.2
1. Alternativa E.
Resposta comentada: Embora haja o conceito de constante de 
tempo para sistemas de segunda ordem, não podemos dizer que 
um sistema sobreamortecido tem a mesma constante de tempo que 
um sistema de primeira ordem.
Sistemas de primeira ordem não têm coeficiente de amortecimento.
Se o denominador da função transferência de um sistema pode 
ser escrito como um polinômio de primeira ordem, então, por 
definição, este não pode ser um sistema de segunda ordem. Logo, 
esta afirmação está incorreta.
Um sistema de primeira ordem não pode apresentar mais de um polo 
(pois o denominador de sua função transferência é necessariamente 
um polinômio de primeira ordem), assim como não pode apresentar 
polo complexo, pois as propriedades de um sistema dinâmico são 
sempre números reais.
Alternativa correta: um sistema de primeira ordem apresenta uma 
derivada inicial igual ao inverso de sua constante de tempo 1
τ





 e, um 
sistema de segunda ordem, inicia seu movimento com derivada nula.
2. Alternativa A.
Resposta comentada: Primeiro, devemos escrever a função 
transferência na forma padrão.
 G s
K
Ms Bs K
K
M
s B
M
s K
M
( ) =
+ +
=
+ +
2
2
Agora, podemos compará-lacom a forma padrão.
Y
H
H G
H
A G
Y G
H
G
H G R A
A YH
H YH G R YH
= − +
= − +
−
=
−
1 1
1
3
3 2 2
3
2 1
3
2 2
3
3 2 1 3
(
(
( ))
( )))
( ))
( )
(Y G G
G H
H Y G R YH
Y G H G G GR
Y
R
GG
G
= − +
+
−
+ =
=
+
2 2 2 1 3
2 2 2 1 3 2 1
1 2
2
1
1 HH GG H2 1 2 3+
U2 - Representação de sistemas de controle10
Comparando os denominadores, temos:
s s B
M
s K
Mn n
2 2 22+ + + +=ζω ω
Sendo ωn a frequência natural, vemos que:
ω
ω
n
n
K
M
K
M
2 =
=∴
3. Alternativa E.
Resposta comentada: Pelo máximo sobressinal, podemos calcular o 
coeficiente de amortecimento (ζ ). Como o valor final da resposta é 1 
m e o máximo sinal foi 1,729 m, sabemos que o máximo sobressinal 
foi de 72,9%, ou 0,729.
Substituindo o valor 0,729 na fórmula do sobressinal, temos:
M e ln ln
l
p = = ⇒ == −
−
⇒
−
−
−0 729 0 729
1
0 729
1
1
2
2
2 2
2
2
, ( , ) ( , )
 
 
ζπ
ζ ζπ
ζ
ζ π
ζ
nn ln ln
ln
( , ) ( , ) ( , )
( ,
( )0 729 1 0 729 0 729
0 729
2 2 2 2 2 2 2 2 2− ⇒= − =ζ ζ π ζ ζ π
)) ( , ) ( , ) ( , )2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
0 729 0 729 0 729= ⇒ =
⇒
+ + 
=
ζ π ζ ζ π
ζ
ln ln ln
ln(( , )
( , )
,
0 729
0 729
0 100
2
2 2π
ζ
+
∴ =
ln
Agora, podemos substituir o valor de ζ na fórmula do tempo de 
acomodação ou tempo do sobressinal.
ts
n n
n
= = ⇒ =
∴ =
30 3 30 3
0 1
1
ζω ω
ω
,
tp
n n
n
= = =
= ≅
−
⇒
−
∴
3 16 3 16
0 999 1
1 1 0 12 2
, ,
,
,
π
ω ζ
π
ω
ω
E, para calcular a frequência amortecida do sistema, basta aplicar a 
sua definição.
ω ω ζd n= − = − =1 1 1 0 1 0 9950
2 2, ,
U2 - Representação de sistemas de controle11
Gabarito 3. Faça valer a pena - Seção 2.3
1. Alternativa D.
Resposta comentada: O MATLAB permite a representação em 
espaço de estados (comando ss), diagrama de blocos (comandos 
connect, sumblk etc) e função de transferência (comando tf). Os 
dois primeiros compartilham do tipo de variável ss e o último usa 
a variável tf para guardar o sistema. Embora o nome do software 
realmente seja MATrix LABoratory, ele não permite apenas espaço de 
estado nem apenas modelos perfeitos. Inclusive, estes não existem.
2. Alternativa A.
Resposta comentada: Como todas as variáveis já têm valores pré-
definidos, precisamos apenas usá-las para montar o modelo em 
espaço de estados.
Primeiro, definimos as matrizes, de acordo com o modelo exibido 
no problema.
>> a = [0, 1, 0, 0; -Ks, -Bs, Ks, Bs; 0, 0, 0, 1; Ks, Bs, -Ks-Kr, -Bs];
>> b = [0; 0; 0; Kr];
>> c = [1, 0, 0, 0; 0, 1, 0, 0];
>> d = 0;
Agora, basta utilizarmos o comando ss para obter o modelo.
>> sistema = ss(a, b, c, d);
3. Alternativa D.
Resposta comentada: De acordo com o código apresentado, 
podemos montar o seguinte diagrama de blocos:
Então, podemos dizer que o bloco b5 tem sua saída conectada aos 
blocos b2 e b3.
Fonte: elaborada pelo autor.