EXERCÍCIOS - 3

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Teoria de 
controle 
moderno
APÊNDICE
UNIDADE 3
U3 - Análise da estabilidade de sistemas de controle12
Apêndice
Gabaritos comentados com resposta-padrão
UNIDADE 3: Análise da estabilidade de sistemas de controle
Gabarito 1. Faça valer a pena - Seção 3.1
1. Alternativa B.
Resposta comentada: 
I. Errada: a resposta de um sistema de ordem superior pode ser 
entendida como a soma das repostas de sistemas de primeira e 
segunda ordem que o compõe, logo, se esses “subsistemas” de 
primeira e segunda ordem forem estáveis, o sistema como um todo 
também será.
II. Correta: sistemas instáveis são caracterizados por não terem saída 
limitada, ou seja podemos imaginar que, no caso de a saída de um 
sistema ser uma posição, ou uma tensão, se ela não for limitada, 
pode trazer perigos às pessoas ao redor e danos ao ambiente. Por 
outro lado, um sistema estável tem sua saída limitada, ou “bem 
comportada”, o que tende a minimizar riscos de acidentes.
III. Errada: o sinal de todos os coeficientes do denominador contribui 
para a determinação de estabilidade ou instabilidade de um sistema 
dinâmico.
IV. Errada: se, teoricamente, a entrada for de magnitude infinita, o 
sistema não responderá de maneira estável.
2. Alternativa D.
Resposta comentada: O fato de todos os coeficientes da função de 
transferência de um sistema serem positivos; ou o fato de um sistema 
ser de primeira ou segunda ordem; ou ainda, o fato de o sistema 
estar ou não em malha fechada não são condições suficientes para 
atestar que ele é estável. 
U3 - Análise da estabilidade de sistemas de controle13
O denominador da função de transferência em questão tem um 
termo nulo multiplicando s2, logo, pelo critério de Routh-Hurwitz, 
podemos afirmar que o controlador é instável. 
3. Alternativa E.
Resposta comentada: Para um sistema ser classificado como estável, 
todos os seus polos devem se situar no semiplano esquerdo do plano 
complexo, pois, com isso, é garantido que os polos tenham sua parte 
real negativa. Observada a figura, vemos que o sistema tem os polos 
7, 8 e 9 com sua parte real positiva. Então, ele pode ser classificado 
como instável. 
Gabarito 2. Faça valer a pena - Seção 3.2
1. Alternativa E.
Resposta comentada: Da equação s s( ) ,+ + =5 2 5 0 , utilizando a 
fórmula de Bhaskara, obtemos as raízes s = − ±5 15
2
, que são os 
polos do sistema. No plano complexo, os polos são representados 
por cruzes. Assim, teremos uma cruz posicionada em -4 436, em 
relação ao eixo real e outra em -0 563, , sendo que ambas estão em 
zero em relação ao eixo vertical, pois não são números complexos.
2. Alternativa E.
Resposta comentada: O gráfico começa em 0dB, logo, não há fator 
de ganho, derivativo nem integral.
Em w =1rad
s
 inicia-se um aumento de 20dB/década, característica 
de fator primeira ordem no numerador: jw ⋅ +1 1.
A partir de w = 5 rad
s
, de 20dB/década, o gráfico caiu para 
-20dB/década , ou seja, é necessário que haja algum fator (ou 
fatores, se necessário) que faça com quê a inclinação da amplitude 
varie -40 dB/década (de 20 dB/década para -20 dB/década ). 
Sabemos que há um fator de segunda ordem no denominador que 
influencia com -40dB/década . Com isso, podemos presumir que, 
aos w = 5 rad
s
, há um termo de segunda ordem no denominador 
U3 - Análise da estabilidade de sistemas de controle14
como o seguinte: 
1
5 5
12
2j jω
ζ
ω










++
.
Analogamente ao racioncínio do parágrafo anterior, de uma 
inclinação de -20dB/década , o gráfico passa a ter uma inclinação 
de -60dB/década a partir de w =100 rad
s
, ou seja, mais uma 
vez, é necessário que haja um fator que cause essa variação de 
-40 dB/década a partir de w =100 rad
s
. Podemos novamente 
presumir a existência de um termo de segunda ordem no 
denominador: 
1
100 100
12
2j jω
ζ
ω










++
.
Como todos os coeficientes de amortecimento são z = 0 7, , temos 
o sistema:
G j j
j j j
( )
,
w
w
w w w
=
+






+











+
1
5 5
11 4
2
1100 100
11 4
2










++






, jw
.
3. Alternativa E.
Resposta comentada: 
I. Errada: podemos utilizar o diagrama de Bode e o método do lugar 
das raízes em sistemas estáveis ou não.
II. Errada: o pico de ressonância que o diagrama de Bode pode mostrar 
não é sobre o regime transitório, mas sim sobre o permanente. O 
maior ganho do sistema ocorre na frequência do pico de ressonância.
III. Correta: no método do lugar das raízes, cada polo caminha para 
um zero, com o incremento do parâmetro analisado. Se não há um 
zero para cada polo, a quantidade excedente de polos é justamente 
a quantidade de trechos do lugar das raízes que tende ao infinito.
IV. Correta: a margem de fase no diagrama de Bode mostra o quanto 
de fase o sistema pode perder antes de se tornar marginalmente 
estável a 0dB o que, por si só, já é um evento indesejado pois, devido 
à aproximação à realidade que o modelo representa, é possível que 
o sistema real, no limiar da estabilidade de seu modelo, possa vir a se 
tornar instável.
U3 - Análise da estabilidade de sistemas de controle15
V. Correta: um SLIT em regime permanente apresenta a mesma 
frequência de oscilação que sua fonte de excitação em regime 
permanente. Por exemplo, se a fonte de excitação de um sistema 
resistor-capacitor-indutor for uma tensão alternada de 60Hz, a saída 
do circuito apresentará uma oscilação de 60Hz.
Gabarito 3. Faça valer a pena - Seção 3.3
1. Alternativa B.
Resposta comentada: O comando bode e o comando margin 
realmente traçam o diagrama de Bode, mas o comando margin 
apresenta as margens de ganho e de fase do sistema.
O comando rlocus realmente se utiliza do plano complexo para 
estudar a estabilidade de um sistema em malha fechada com ganho 
variável a partir do sistema em malha aberta.
O comando eig não retorna se o sistema é estável ou não. Ele apenas 
calcula os autovalores de uma matriz qualquer, mas se essa matriz 
for a matriz de estados da representação em espaço de estados de 
um sistema dinâmico, com o retorno do comando eig, é possível 
confirmar se o sistema é estável ou não.
O MATLAB não conta com um comando específico para o critério de 
Routh-Hurwitz, mas é possível desenvolver o algoritmo no software 
ou mesmo fazer o download de um dos algoritmos desenvolvidos 
por outros usuários.
O comando tf é muito importante para a análise de estabilidade de 
sistemas dinâmicos, pois sua utilização é uma das maneiras de inserir 
sistemas no MATLAB para que possamos estudá-los.
2. Alternativa A.
Resposta comentada: Os comandos utilizados foram:
I. rlocus(G)
II. bode(G)
III. margin(G)
U3 - Análise da estabilidade de sistemas de controle16
3. Alternativa D.
Resposta comentada: 
I. Errada: embora o MATLAB não disponibilize um comando para tal, 
há maneiras de realizar o método do critério no software.
II. Errada: embora fazer o download do comando seja um caminho 
possível, não é o único.
III. Correta: sem a possibilidade de utilizar um comando do MATLAB 
para tal, é possível que façamos os cálculos da matriz de do método 
de Routh-Hurwitz no MATLAB.
IV. Correta: podemos utilizar o MATLAB para desenvolver nosso 
próprio comando que faça os cálculos do critério.