Roteiro_da_Prtica_4_-_Pndulo_Interrompido_de_Galilleu_Verso

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FISI03 - LABORATÓRIO DE FÍSICA A. 
Disciplina de Férias - Fevereiro e Março de 2021 - Regime de Tratamento Especial - RTE 
 
ROTEIRO DA PRÁTICA 4 - PÊNDULO INTERROMPIDO DE GALILEU 
 
1.1 PÊNDULO INTERROMPIDO DE GALILEU 
 
O pêndulo interrompido de Galileu é um experimento inventado por Galileu Galilei que permite investigar, com boa aproximação, o princípio de conservação da energia mecânica 𝐸𝑚. A 
Figura 1 ilustra esse experimento onde um pêndulo simples é formado por um fio, com massa desprezível e comprimento L, e uma partícula de massa m que é abandonada do Ponto A, tendo seu 
movimento natural interrompido no Ponto B devido à presença de um Pino horizontal (Ponto P) colocado à uma distância d do Ponto O, que suspende o pêndulo, na mesma linha vertical. Após a 
interrupção do movimento, a partícula entra em um movimento circular, de raio 𝑟 = 𝐿 − 𝑑, fazendo com que ela alcance o Ponto C (ponto mais alto dessa trajetória de raio 𝑟 = 𝐿 − 𝑑) quando a 
distância d é maior ou igual a um valor mínimo 𝑑𝑚í𝑛, ou seja: 𝑑 ≥ 𝑑𝑚í𝑛, o qual pode ser investigado em uma abordagem teórica ou experimental. 
 
Figura 1. Ilustração do pêndulo interrompido de Galileu. 
 
 
Na abordagem teórica pode-se desprezar a resistência do ar, admitindo que ocorra a conservação da energia mecânica 𝐸𝑚. Assim, entre os Pontos A e B, tem-se que: 
𝐸𝑚𝐴 = 𝐸𝑚𝐵 (1) 
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A energia mecânica é dada pela soma da energia cinética 𝐾 com a energia potencial 𝑈, 𝐸𝑚 = 𝐾 +𝑈. A energia cinética clássica de translação é dada por 𝐾 = 𝑚𝑣
2 2⁄ , onde 𝑣 é o módulo 
da velocidade de translação da partícula de massa m. Uma vez que o pêndulo foi abandonado no Ponto A, a energia cinética nesse Ponto é zero: 𝐾𝐴 = 0. Nesse experimento há apenas energia 
potencial gravitacional 𝑈𝑔 = 𝑚𝑔ℎ, sendo m a massa da partícula, g a aceleração gravitacional e h uma posição em relação ao zero da energia potencial que pode ser definido no Ponto B (Ponto 
mais baixo do movimento do pêndulo: 𝑈𝑔𝐵 = 0). Assim, as energias potenciais gravitacionais nos Pontos A e C são positivas de acordo com as expressões: 𝑈𝑔𝐴 = 𝑚𝑔(𝐿) e 𝑈𝑔𝐶 = 𝑚𝑔(2𝑟), 
sendo 𝑟 = 𝐿 − 𝑑. 
Então, a Eq. (1) pode ser desenvolvida na forma: 
𝐸𝑚𝐴 = 𝐸𝑚𝐵 → 𝐾𝐴⏞
0
+𝑈𝑔𝐴 = 𝐾𝐵 + 𝑈𝑔𝐵⏞
0
 → 𝑚𝑔(𝐿) =
𝑚𝑣𝐵
2
2
 → 𝑔𝐿 =
𝑣𝐵
2
2
→ 
2𝑔𝐿 = 𝑣𝐵
2 (2) 
 
 Entre os Pontos B e C também se admite a conservação da energia mecânica 𝐸𝑚 que pode ser desenvolvida na forma: 
𝐸𝑚𝐶 = 𝐸𝑚𝐵 → 𝐾𝐶 + 𝑈𝑔𝐶 = 𝐾𝐵 +𝑈𝑔𝐵⏞
0
 → 
𝑚𝑣𝐶
2
2
 + 𝑚𝑔(2𝑟) =
𝑚𝑣𝐵
2
2
 → 
→ 
𝑣𝐶
2
2
 + 2𝑔(𝐿 − 𝑑) =
𝑣𝐵
2
2
 → 𝑣𝐶
2 + 4𝑔(𝐿 − 𝑑) = 𝑣𝐵
2 → 
𝑣𝐶
2 + 4𝑔𝐿 − 4𝑔𝑑 = 𝑣𝐵
2 (3) 
Ao substituir a Eq. (2) na Eq. (3), obtém-se: 
𝑣𝐶
2 + 4𝑔𝐿 − 4𝑔𝑑 = 𝑣𝐵
2 → 𝑣𝐶
2 + 4𝑔𝐿 − 4𝑔𝑑 = 2𝑔𝐿 → 𝑣𝐶
2 = 4𝑔𝑑 − 4𝑔𝐿 + 2𝑔𝐿 
𝑣𝐶
2 = 4𝑔𝑑 − 2𝑔𝐿 (4) 
O módulo da força resultante centrípeta no Ponto C, em função dos módulos da força de tração T no fio e da força peso 𝑃 = 𝑚𝑔 da partícula, é desenvolvido como segue: 
𝐹𝐶 =
𝑚𝑣𝐶
2
𝑟
 → 𝑃 + 𝑇 =
𝑚𝑣𝐶
2
𝐿 − 𝑑
 → 𝑚𝑔 + 𝑇 =
𝑚𝑣𝐶
2
𝐿 − 𝑑
 → 
(𝑚𝑔 + 𝑇 )(𝐿 − 𝑑) = 𝑚𝑣𝐶
2 (5) 
Entretanto, a condição para encontrar 𝑑𝑚í𝑛 é satisfeita quando o módulo da força de tração no fio tende a zero: Se 𝑇 → 0, tem-se 𝑑 ≡ 𝑑𝑚í𝑛. Nessa condição a Eq. (5) torna-se: 
(𝑚𝑔 + 𝑇⏞
0
 ) (𝐿 − 𝑑𝑚í𝑛) = 𝑚𝑣𝐶
2 → 𝑚𝑔(𝐿 − 𝑑𝑚í𝑛) = 𝑚𝑣𝐶
2 → 
𝑔𝐿 − 𝑔 𝑑𝑚í𝑛 = 𝑣𝐶
2 (6) 
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Ao substituir a Eq. (4) na Eq. (6) considerando 𝑑 ≡ 𝑑𝑚í𝑛, obtém-se: 
𝑔𝐿 − 𝑔 𝑑𝑚í𝑛 = 𝑣𝐶
2 → 𝑔𝐿 − 𝑔 𝑑𝑚í𝑛 = 4𝑔 𝑑𝑚í𝑛 − 2𝑔𝐿 → 𝑔𝐿 + 2𝑔𝐿 = 4𝑔 𝑑𝑚í𝑛 + 𝑔 𝑑𝑚í𝑛 → 
3𝑔𝐿 = 5𝑔 𝑑𝑚í𝑛 → 3𝐿 = 5 𝑑𝑚í𝑛 → 
𝑑𝑚í𝑛 = (
3
5
) 𝐿 (7) 
 
 É interessante notar na Eq. (7) que 𝑑𝑚í𝑛 depende apenas do comprimento L do pêndulo, sendo independente da massa m ou do módulo da aceleração gravitacional g. 
 A abordagem experimental para encontrar 𝑑𝑚í𝑛 é apresentada a seguir, sendo um dos objetivos desse roteiro. 
 
2.1 OBJETIVOS 
• Determinar experimentalmente a relação entre a distância mínima (𝑑𝑚í𝑛), em função do comprimento (𝐿) do pêndulo, para que ocorra o enrolamento do pêndulo em torno do pino P. 
• Fazer uma regressão linear simples, baseada no método de mínimos quadrados, para encontrar a melhor reta que se ajusta aos dados experimentais. 
• Comparar parâmetros experimentais com os valores teóricos correspondentes. 
 
2.2 MATERIAIS UTILIZADOS 
• 120 cm de barbante (ou linha de costura, ou fio dental, etc); 
• 01 trena (ou fita métrica) graduada em milímetros com comprimento mínimo de 120 cm; 
• 01 régua graduada em milímetros; 
• 01 fita adesiva; 
• 01 borracha pequena; 
• 02 canetas (ou lápis); 
• folhas de papel sulfite. 
 
2.3 PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 
1. Em cima de uma mesa, utilize a fita adesiva para juntar 3 folhas de sulfite, em sequência, na direção de maior comprimento de cada folha. O comprimento desse conjunto de 3 folhas ficará 
próximo de ~80 cm, como ilustrado na Figura 2. 
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2. Em cima de uma mesa, utilize a régua e a caneta para traçar uma linha reta, com comprimento próximo de ~80 cm, na direção de maior comprimento do conjunto formado pelas 3 folhas de 
sulfite. 
3. Utilize a fita adesiva para fixar o conjunto de 3 folhas de sulfite na parede, ajustando para a linha traçada fique na horizontal e na altura de 120 cm e que a extremidade do sulfite fique a 45 cm 
do canto de uma parede, como ilustrado na Figura 2. [ATENÇÃO: A linha traçada nas folhas de sulfite marcam a altura inicial (Ponto A da Figura 1) de onde a massa m (partícula) é abandonada]. 
 
Figura 2. Ilustração da montagem inicial do pêndulo de Galileu: fixação das folhas de sulfite na parede, da caneta e da trena no canto da parede, amarração da borracha e caneta com o barbante. 
 
4. Utilize a fita adesiva para fixar uma caneta a uma altura de 120 cm (mesma altura da linha traçada no sulfite) no canto de uma parede, deixando sua ponta exposta como mostrado na Figura 2. 
[ATENÇÃO: Essa caneta será o Ponto O da Figura 1, ou seja, o Ponto que suspende o pêndulo e está na mesma altura do Ponto A]. 
5. Utilize a fita adesiva para fixar a trena no canto da parede, no mesmo lado das folhas de sulfite, ajustando o início da escala da trena na posição da caneta que já foi fixada (Ponto O), como 
mostra a Figura 2. 
6. Amarre uma extremidade do barbante na borracha pequena. Utilize a fita adesiva para fixar a outra extremidade do barbante na caneta que já foi fixada no canto da parede, ajustando o 
comprimento inicial do pêndulo para L = 100,00 cm com o auxílio da fita métrica fixada no canto da parede. [ATENÇÃO: minimize o “erro de paralaxe” ao medir o comprimento L, olhando a 
escala da trena sempre na direção perpendicular]. 
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7. Fixe outra caneta com fita adesiva no canto da parede à uma distância d (qualquer valor menor que 100,00 cm) abaixo da primeira caneta já fixada. [ATENÇÃO: Essa caneta será o pino 
horizontal (Ponto P) da Figura 1, que vai interromper o movimento do pêndulo]. 
8. Posicione a borracha no Ponto A (mesma altura da linha traçada nas folhas de sulfite) mantendo o barbante esticado, como ilustrado na Figura 3 (olhe sempre na direção perpendicular a linha 
para minimizar o “erro de paralaxe”). Abandone a borracha e observe se ocorreo movimento circular completo em torno do Ponto P (segunda caneta que foi fixada). Sempre que necessário, ajuste 
o Ponto O para que a caneta fique na posicionada do início da escala da trena. [ATENÇÃO: o movimento circular completo é satisfeito quando a borracha passa pelo Ponto C da Figura 1 (ponto 
mais alto da trajetória circular de raio 𝑟 = 𝐿 − 𝑑)]. 
9. Altere a distância d algumas vezes, repetindo o procedimento 8 em cada vez, para encontrar a distância mínima 𝑑𝑚í𝑛, na qual o movimento circular completo é satisfeito. Anote o valor de 𝑑𝑚í𝑛 
na Tabela 1. 
10. Preencha toda a Tabela 1 e encontre todos os valores de 𝑑𝑚í𝑛, repetindo os 8 e 9 do PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL para os comprimentos do L = 60,00; 70,00; 80,00 e 90,00 cm. 
[ATENÇÃO: Enrole o excesso de barbante na caneta (Ponto O), fixando-o com a fita adesiva, para facilitar o ajuste do comprimento L]. 
 
Figura 3. Ilustração da montagem final do pêndulo de Galileu, incluindo a fixação de outra caneta (Ponto P). 
 
 
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2.4 RESULTADOS 
Tabela 1. Dados experimentais relacionando dmín e o comprimento L. 
(L ± σL ) cm (dmín ± σd ) cm 
60,00 ± ± 
70,00 ± ± 
80,00 ± ± 
90,00 ± ± 
100,00 ± ± 
 
 
 
2.5 ANÁLISE DOS RESULTADOS 
 
1. Admita que a função 𝑑𝑚í𝑛 = 𝑓(𝐿) seja dada por 𝑑𝑚í𝑛 = 𝑘 𝐿
𝑝 , onde k e p são constantes adimensionais a serem determinadas. Linearize esta função identificando a variável dependente (y), a 
variável independente (x), o coeficiente linear (A) e o coeficiente angular (B) da reta de regressão 𝑦 = 𝐴 + 𝐵𝑥. 
2. Utilize os dados experimentais da Tabela 1 para calcular todos os valores experimentais dos n pares (𝑥𝑖, 𝑦𝑖), anotando-os na Tabela 2. Anote também na Tabela 2 os valores calculados de xy, x
2 
e o somatório ∑𝑛𝑖=1 de cada coluna na última linha. 
3. Ao usar os somatórios da Tabela 2, resolva o sistema de equações (mostrado abaixo) da regressão linear simples, baseada no método de mínimos quadrados, e calcule os coeficientes 𝐴 e 𝐵 da 
melhor reta (𝑦 = 𝐴 + 𝐵𝑥) que se ajusta aos dados experimentais (𝑥𝑖, 𝑦𝑖). Nesse sistema de equações, n representa o número de pares (𝑥𝑖, 𝑦𝑖) na Tabela 2. 
{
 
 
 
 ∑𝑦𝑖
𝑛
𝑖=1
= 𝑛 𝐴 + 𝐵∑𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
∑𝑥𝑖 𝑦𝑖
𝑛
𝑖=1
= 𝐴∑𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
+ 𝐵∑𝑥𝑖
2
𝑛
𝑖=1
 
 
4. Preencha a Tabela 3 destacando a soma S do quadrado da diferença entre o valor experimental de yi e seu valor correspondente (𝐴 + 𝐵𝑥𝑖) dado pela equação da reta de regressão. 
5. Calcule as incertezas padrão (𝜎𝐴 e 𝜎𝐵) dos coeficientes A e B de acordo com as expressões: 
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{
 
 
 
 𝜎𝐴 =
𝑆
(𝑛 − 2)√𝑛∑ 𝑥𝑖
2𝑛
𝑖=1 − (∑ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1 )
2
𝜎𝐵 =
𝑆
(𝑛 − 2)
√
∑ 𝑥𝑖
2𝑛
𝑖=1
𝑛∑ 𝑥𝑖
2𝑛
𝑖=1 − (∑ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1 )
2
 
 
6. Utilize papel milimetrado com escalas lineares (Veja o Item 3.1 ANEXO) para construir um gráfico 𝑦 × 𝑥 mostrando o ajuste da melhor reta em relação aos pontos experimentais. Indique na 
legenda desse gráfico a equação reta (𝑦 = 𝐴 + 𝐵𝑥) de regressão linear, bem como as incertezas padrão (𝜎𝐴 e 𝜎𝐵) calculadas. [ATENÇÃO: Imprima o papel milimetrado do Item 3.1 ANEXO ou 
compre em uma papelaria]. 
7. Calcule o valor experimental da constante k a partir do coeficiente linear 𝐴 da reta (𝑦 = 𝐴 + 𝐵𝑥) de regressão linear. 
8. Sabendo que o valor verdadeiro de k (ou valor teórico) é 𝑘 = 3 5⁄ , calcule o erro relativo percentual (𝜂) cometido nas medidas. 
𝜂 = |
(𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑜) − (𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙)
(𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑜)
| × 100% 
 
9. Calcule o valor experimental da constante p a partir coeficiente angular 𝐵 da reta de regressão linear. 
10. Sabendo que o valor verdadeiro de p (ou valor teórico) é 𝑝 = 1, calcule o erro relativo percentual (𝜂) cometido nas medidas. 
𝜂 = |
(𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑜) − (𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙)
(𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑜)
| × 100% 
 
 
11. Faça uma discussão comparando os valores experimentais e verdadeiros com base nos erros relativos percentuais calculados. Discuta também sobre as principais fontes de erros nesse 
experimento, incluindo a possível presença de algum “erro sistemático teórico”. 
 
 
 
 
 
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Tabela 2. Parâmetros para a regressão linear simples. 
 𝒙𝒊 𝒚𝒊 𝒙𝒊 𝒚𝒊 𝒙𝒊
𝟐 
 
 
 
 
 
∑
𝒏
𝒊=𝟏
 
 
 
Tabela 3. Tabela para fazer a soma S do quadrado da diferença entre o valor experimental de yi e seu valor correspondente (𝐴 + 𝐵𝑥𝑖). 
yi (𝑨 + 𝑩𝒙𝒊) 𝒚𝒊 − (𝑨 + 𝑩𝒙𝒊) [𝒚𝒊 − (𝑨 + 𝑩𝒙𝒊)]
𝟐 
 
 
 
 
 
𝑺 =∑[𝒚𝒊 − (𝑨 + 𝑩𝒙𝒊)]
𝟐
𝒏
𝒊=𝟏
 
 
 
 
 
 
 
 
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3.1 ANEXO – Papel milimetrado com escalas lineares.