LISTA 5 DE EXERCICIOS 2017DP21

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LISTA 5 DE EXERCÍCIOS - CALCULO III – 2017DP21 
Prof.a Dra. Prescila Buzolin 
 
(ENTREGAR OS EXERCÍCIOS DE 11 A 14 RESOLVIDOS NO DIA DA P2) 
 
EXERCICIOS GERAIS 
 
1. Ache as derivadas parciais primeiras de f: 
a) f(x, y, z) = 3x2z + xy2 
b) f(r, s, t) = r2e2scost 
c) f(x, y) = xey + ysenx 
 
2. Se w = r4s3t – 3s2er t , calcule wrr , wss , wtt , wrt ,wtrs. 
 
3. Ache wxy sendo: 
a) w = xy4 – 2x2y3 + 4x2 – 3y 
b) w = x3e-2y + y-2cosx 
 
4. Sendo g(x, y) = xyexy , determine os acréscimos parciais e total a partir do ponto (2, -4) quando 
∆� = - 0,1 e ∆y = 0,2. 
 
5. Determine a equação do plano tangente ao gráfico da equação dada no ponto dado: 
a) z = �4 − �� − 2�� ponto (1, -1, 1). 
b) z = 2e- x cosy ponto (0,	/3,1) 
 
6. Encontre o vetor gradiente da função no ponto dado. Depois esboce o gradiente com a curva de 
nível que passa pelo ponto dado. 
a) x2 –y = 1 ponto (√2, 1) 
b) xy = -6 ponto (-2, 3) 
 
7. Suponhamos que as dimensões, em centímetros, de uma caixa retangular variem de 9; 6 e 4 
para 9,02; 5,97 e 4,01, respectivamente. 
a) Obtenha, por meio de diferenciais, uma aproximação da variação do volume. 
b) Ache a variação exata do volume. 
 
8. As dimensões de uma caixa retangular fechada são 1 metro, 2 metros e 3 metros, com erro 
possível de 0,16 centímetros em cada medida. Por meio de diferenciais, aproxime o erro 
máximo no valor calculado: 
a) Da área da superfície. 
b) Do volume. 
 
9. Use a regra da cadeia para calcular zx e zy sendo z = r3 + s + v2 , r = xey, s = yex e v = x2y 
 
10. Calcule zx e zy se z = f(x, y) é definida implicitamente pela equação; 
a) 2xz3 – 3yz2 + x2y2 + 4z = 0 
b) xeyz – 2yexz + 3zexy = 1 
 
11. Determine a derivada direcional de f(x, y) = 1 + 2x�� no ponto (3, 4) na direção do vetor v = 
(4, -3). 
 
 
 UNESP 
12. Determine os valores de máximo e mínimo locais e os pontos de sela da função f(x, y) = x4 + 
y4 – 4xy + 1. 
 
13. Uma caixa de papelão sem tampa deve ter um volume de 32000 cm3. Determine as dimensões 
que minimizem a quantidade de papelão utilizada. 
 
14. A receita total semanal (em dólares) da Companhia Acrosonic obtida na produção e na venda 
dos sistemas de alto-falantes portáteis é dada por R(x,y) = − 
�
�� − �
�
�� − 
�
�� + 300� +
240� onde x denota o número de unidades completamente montadas e y denota o número de 
kits produzidos e vendidos por semana. O custo total semanal devido à produção destes 
sistemas de alto-falantes é de C(x,y)=180x+140y+5000 dólares, onde x e y têm o mesmo 
significado que anteriormente. Determine quantas unidades montadas e quantos kits a 
Companhia Acrosonic deve produzir semanalmente para maximizar seu lucro. (lucro = receita 
– custo).