Unidade 1

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CIÊNCIAS DOS MATERIAISCIÊNCIAS DOS MATERIAIS
ESTRUTURA CRISTALINAESTRUTURA CRISTALINA
E IMPERFEIÇÕES EME IMPERFEIÇÕES EM
SÓLIDOSSÓLIDOS
Autor: Dr. Gabriel Alves Gomes
Revisor : Luc iano Gald ino
I N I C I A R
introduçãoIntrodução
Quando pensamos em materiais, muitas vezes não nos damos conta de que
eles estão mais enraizados em nossa cultura do que imaginamos. De forma
geral, todos os segmentos do nosso cotidiano – sejam nas vestimentas,
transportes, comunicação ou recreação – são in�uenciados em alguma escala
pelos materiais. Dessa forma, o desenvolvimento de muitas das tecnologias
que nos permitem usufruir confortavelmente da convivência diária está
diretamente associado ao desenvolvimento de materiais adequados.
Nesta unidade, veremos algumas características que de�nem e nos permitem
diferenciar o comportamento de diversos materiais, desde aqueles usados na
manufatura têxtil, para a fabricação de elementos de vestuário, até os
dispositivos eletrônicos so�sticados dos smartphones, que dependem de
componentes fabricados a partir dos chamados materiais semicondutores.
Os materiais sólidos apresentam certas características e propriedades que
dependem fortemente das con�gurações geométricas dos átomos que os
constituem, bem como das interações entre esses. Vejamos alguns desses
conceitos.
Estrutura Atômica
Um átomo consiste em um núcleo muito pequeno, aproximadamente da
ordem de um trilhão de vezes menor que o diâmetro de um al�nete, formado
por partículas subatômicas, os prótons e nêutrons, envolto por elétrons que
se movimentam ao redor do núcleo. Os prótons e elétrons, por serem
partículas que possuem cargas elétricas, balanceiam-se de modo a conferir a
estabilidade do átomo, enquanto os nêutrons não possuem carga elétrica.
Cada elemento químico é caracterizado a partir do número de prótons no seu
núcleo, chamado de número atômico . Quando o número atômico for igual
ao número de elétrons, diz-se que o átomo é eletricamente neutro, ou seja,
Estrutura AtômicaEstrutura Atômica
e Ligaçõese Ligações
InteratômicasInteratômicas
(Z)
não possui carga elétrica “sobrando”. Embora o número de prótons seja igual
para todos os átomos de um determinado elemento, o número de nêutrons 
pode ser variável. Assim, os átomos de alguns elementos possuem resultados
diferentes para a soma das massas dos prótons e nêutrons, chamados de
massas atômicas . Elementos que possuem o mesmo número de prótons e
massas atômicas diferentes são chamados de isótopos.
Uma fórmula prática para se determinar a massa atômica de um elemento
pode ser escrita por: , onde as massas de prótons e nêutrons são
entendidas como ligeiramente maiores que 1.
O Modelo Atômico
Como o átomo isolado não pode ser observado devido à sua instabilidade e
dimensões diminutas, houve a necessidade, durante a última parte do século
XIX, de se criar princípios e leis que representassem os fenômenos do
movimento dos elétrons, até então não de�nidos em termos dos conceitos
clássicos já conhecidos. Assim, foram estabelecidos alguns modelos
matemáticos na tentativa de explicar esses efeitos complexos previstos nos
(N)
(A)
A = Z + N
sólidos, ganhando destaque o modelo atômico simpli�cado proposto em
meados de 1913 por Niels Bohr e Ernest Rutherford.
Nessa proposta, ilustrada na Figura 1.1, considerou-se que os elétrons
circulavam ao redor do núcleo atômico em órbitas discretas, em que a
posição de qualquer elétron particular está mais ou menos bem de�nida em
termos do seu orbital.
Esse modelo de Bohr-Rutherford até hoje é bem aceito e representa uma
tentativa de descrever os elétrons nos átomos, em termos tanto da posição
quanto da energia.
Figura 1.1 - Representação esquemática do átomo proposto por Bohr, com
núcleo composto de prótons e nêutrons e os elétrons orbitando o núcleo 
Fonte: Svdmolen /Jeanot / Wikimedia Commons.
Apesar de ser válido para a descrição dos níveis de energia de grande parte
dos átomos, algumas limitações signi�cativas foram apontadas para o modelo
de Bohr, em razão de sua incapacidade em explicar uma série de fenômenos
que envolvem elétrons. Uma solução provável foi obtida com um modelo
mecânico-ondulatório, onde o elétron é visto com características tanto de
uma onda como de uma partícula. Nesse modelo, o elétron não mais é
tratado como uma partícula que se move em um orbital discreto, mas a sua
posição é analisada como a probabilidade de ele estar em vários locais ao
redor do núcleo.
Forças de Ligação
Para entendermos melhor a correlação de muitas das propriedades físicas
dos materiais com sua estrutura, precisamos aprimorar o conhecimento das
forças que unem ou “grudam” os átomos uns nos outros: as forças de ligação
interatômicas.
Vamos imaginar os átomos como sendo duas partículas isoladas por uma
distância in�nita, que começam a interagir conforme �cam mais próximas
umas das outras. Quando essa distância for su�cientemente pequena, cada
átomo exercerá uma força sobre o outro. Essas forças podem ser classi�cadas
como força atrativa, que chamaremos de , ou força repulsiva, . A
magnitude ou intensidade de cada força dependerá da distância de separação
ou distância interatômica , onde para pequenos valores de as forças
repulsivas são mais pronunciadas.
Quando e são iguais em intensidade, porém atuam em sentidos
opostos, a força resultante ou líquida é nula, onde podemos a�rmar que, se
existe um estado de equilíbrio e os centros dos átomos permanecerão
afastados por uma distância de equilíbrio , aproximadamente da ordem de
0,3 nanômetro.
Perceba que, uma vez nessa posição, qualquer tentativa em separar os dois
átomos será contrabalançada pela força atrativa, enquanto uma tentativa de
aproximá-los induzirá a resistência de uma força repulsiva cada vez maior.
Energias de Ligação
As informações das forças que atuam na interação entre dois átomos são
transmitidas em função das energias “usadas” para movimentar essas
partículas, seja no caso atrativo ou repulsivo. Assim, existirão também
FA FR
r r
FA FR
+ = 0        (1)FA FR
r0
energias de atração e repulsão entre os átomos, onde podemos relacionar a
energia potencial de interação e as forças entre os átomos, como
em que representa a energia resultante da relação entre as energias atrativa
 e repulsiva para dois átomos isolados e adjacentes.
Portanto, podemos considerar a energia de ligação para esses dois átomos
como sendo correspondente à energia necessária para separar essas
partículas até uma distância de separação in�nita. As conclusões oriundas
desse caso ideal entre dois átomos são veri�cadas também para o caso dos
materiais sólidos, só que considerando interações de força e energia entre
grupos envolvendo muitos átomos.
A magnitude da energia de ligação sempre dependerá do tipo de material, e
varia em função das diferenças estruturais e do tipo da ligação atômica
presente. Como exemplo, materiais que possuem grandes energias de ligação
apresentam, em geral, temperaturas de fusão elevadas, sendo favorável,
nesse caso, a formação de substâncias sólidas à temperatura ambiente. Para
os gases, as energias de ligação tendem a ser tipicamente baixas, e a fase
líquida é favorecida por energias de ligação de intensidade intermediária.
Nos sólidos, geralmente existem duas classes de ligações interatômicas: as
primárias, chamadas de ligações químicas, e em muitos casos as secundárias,
chamadas de ligações físicas. Em geral, as forças e energias secundárias são
muito mais fracas que as primárias, mas, ainda assim, in�uenciam as
propriedades físicas de alguns materiais.
Vejamos como ocorrem essas ligações e de que forma de�nem o tipo de
elemento-chave para a formação de um material.
(E) (F)
F =   ⇒ E = dr + dr = +       (2) dE
dr
∫
r
∞
FA ∫
r
∞
FR E A E R
E
( )E A ( )E R
Ligações Interatômicas Primárias
Três tipos diferentes de ligações intramoleculares primárias (ou ligações
químicas) são encontradas nos sólidos: iônica, covalente e metálica. Para cada
tipo de ligação, os elétrons envolvidos são necessariamente os elétrons devalência, localizados na camada mais externa dos átomos.
Cada ligação depende ainda das estruturas eletrônicas dos átomos
constituintes, consistindo na tendência dos átomos em adquirirem estruturas
eletrônicas estáveis mediante o preenchimento completo da camada de
valência. Analisemos a seguir cada tipo de ligação primária.
Ligação Iônica
A ligação do tipo iônica é encontrada sempre nos materiais em que a
composição envolve tanto elementos metálicos quanto não metálicos. O que
ocorre aqui é que os átomos de um elemento metálico perdem facilmente
(sem requisição de muita energia no processo) seus elétrons de valência para
os átomos de elementos não metálicos, portanto todos os átomos nesse
processo adquirem con�gurações estáveis (camadas orbitais completamente
preenchidas) com uma carga elétrica. Esse processo é chamado de ionização,
e os átomos que apresentam essa con�guração se tornam íons.
Observe na Figura 1.2 a ilustração de uma ligação iônica a partir do cloreto de
sódio (NaCl), um material iônico clássico.
Para que os materiais iônicos sejam estáveis, todos os íons positivos, que
“doam” os elétrons da sua camada eletrovalente, devem ter íons carregados
negativamente como seus vizinhos mais próximos. A relação ocorre também
ao contrário, o que caracteriza a ligação iônica como não direcional. Dessa
forma, as energias de ligação tendem a ser relativamente elevadas, o que se
re�ete em temperaturas de fusão altas.
Desse fato, decorre que as ligações interatômicas iônicas são representativas
dos materiais cerâmicos, que apresentam ótimas propriedades de isolantes
elétricos e térmicos.
Ligação Covalente
A ligação do tipo covalente é comumente encontrada em materiais cujos
átomos possuem diferenças sutis em eletronegatividade. Esses átomos
podem ser encontrados próximos uns aos outros na tabela periódica, e suas
con�gurações eletrônicas estáveis são obtidas pelo compartilhamento de
elétrons entre átomos próximos.
Assim, dois átomos ligados de maneira covalente contribuem, cada um, com
pelo menos um elétron para a ligação, de forma que elétrons compartilhados
por eles podem ser considerados como parte da con�guração eletrônica de
ambos os átomos.
Na Figura 1.3, está ilustrada esquematicamente uma ligação covalente para
uma molécula de hidrogênio. Observe que cada átomo de hidrogênio possui
um único elétron na sua camada mais externa, podendo adquirir uma
con�guração eletrônica com dois elétrons de valência quando compartilham
seus únicos elétrons.
É possível notar que existe uma superposição de orbitais eletrônicos na
região entre os dois átomos da ligação. Além disso, a ligação covalente,
diferentemente da iônica, tem natureza direcional, ou seja, ocorre entre
átomos especí�cos e pode existir apenas na direção entre um átomo e o
outro que participa do compartilhamento dos elétrons.
As ligações covalentes podem ser muito fortes ou muito fracas, e são
relacionadas a algumas moléculas de não metais (Cl e F , por exemplo), bem
como com moléculas constituídas por átomos diferentes (CH , H O, HNO e
HF, por exemplo). Esse tipo de ligação está associado também a sólidos
elementares, como o diamante (forma alotrópica do carbono), o silício e o
germânio, assim como em outros compostos sólidos cuja composição inclui
elementos distintos (em geral, localizados no lado direito da tabela periódica),
como o arseneto de gálio (GaAs), o antimoneto de índio (InSb) e o carbeto de
silício (SiC). O diamante e o carbeto de silício são materiais ligados
covalentemente.
2 2
4 2 3
A seguir, veremos o último tipo de ligação primária, de interesse especial aos
materiais metálicos que são o principal foco desta unidade.
Figura 1.4 - O diamante 
Fonte: Bjoern Wylezich / 123RF.
Ligação Metálica
O último tipo de ligação primária de que trataremos aqui tem a ver com os
materiais metálicos e suas ligas. Na ligação do tipo metálica, os elétrons de
valência não estão ligados particularmente a nenhum átomo no sólido,
�cando em média livres para se movimentar ao longo de todo o metal. Como
consequência, eles podem ser considerados como pertencentes ao metal ou
como se formassem uma espécie de “nuvem de elétrons” em torno do núcleo.
Uma ilustração da ligação metálica pode ser observada na Figura 1.6 para o
átomo de um elemento metálico.
Conforme representado na ilustração, vemos que os elétrons livres protegem
os núcleos iônicos carregados positivamente das forças eletrostáticas
mutuamente repulsivas que os núcleos, caso livres, poderiam exercer uns
sobre os outros, atuando como uma espécie de “cola” que mantém os núcleos
iônicos unidos.
Aqui as energias de ligação também podem ser fortes, contudo tipicamente
mais fracas que das ligações iônicas, o que confere aos metais propriedades
especí�cas implicitamente relacionadas com as características da ligação
metálica: excelência em condutividade (tanto de eletricidade quanto de calor)
e resistência mecânica, em termos da ductilidade das ligas.
Ligações Secundárias
As ligações secundárias, ou de Van der Waals, são ligações físicas
intermoleculares fracas – em termos das energias de ligação – quando
comparadas às ligações primárias ou químicas. Essas ligações existem entre
praticamente todos os átomos ou moléculas, embora sua presença possa não
ser facilmente notada se qualquer um dos três tipos de ligação primária
estiver presente.
A ligação secundária �ca evidente nos gases inertes, que têm estruturas
eletrônicas estáveis e são possíveis entre átomos, ou grupos de átomos,
unidos entre si por meio de ligações primárias iônicas ou covalentes.
As forças de ligação secundárias surgem a partir de dipolos elétricos atômicos
ou moleculares, que existem sempre que há qualquer separação entre as
partes positiva e negativa de um átomo ou molécula. Assim, a ligação resulta
da atração eletrostática (ou coulombiana) entre a extremidade positiva de um
dipolo e a região negativa de um dipolo próximo.
Um exemplo é a ligação de hidrogênio, um tipo especial de ligação secundária
encontrada entre algumas moléculas que têm hidrogênio como um dos seus
Radio 
Radio 
átomos constituintes.
praticarVamos Praticar
Nos materiais sólidos, os átomos se unem (ou ligam) por meio de forças
interatômicas atrativas e repulsivas. Dependendo da forma como essas ligações
ocorrem, os materiais apresentam propriedades físicas e químicas especí�cas,
de�nidas em termos de sua estrutura atômica. É correto a�rmar que:
a) As interações entre as forças atrativa e repulsiva sempre se anulam.
b) As ligações iônica, covalente e de Van der Waals são exemplos de ligações químicas.
Radio 
Radio 
Radio 
c) As ligações iônica, covalente e metálica são exemplos de ligações secundárias.
d) Em geral, as forças e energias secundárias são muito mais fracas que as primárias.
e) Somente as forças e energias primárias podem influenciar as propriedades de um material.
Os materiais no estado sólido podem ser classi�cados de acordo com a
regularidade com a qual seus átomos estão “arrumados” uns em relação aos
outros. Dessa forma, chamaremos de material cristalino ou cristal aquele no
qual os átomos se posicionam segundo um arranjo repetitivo ao longo de
grandes distâncias atômicas, constituindo um ordenamento atômico de longo
alcance. Assim, ao solidi�carem, esses materiais apresentam em sua
microestrutura um padrão tridimensional repetitivo, no qual cada átomo liga-
se aos seus átomos vizinhos mais próximos.
Como tais ordenamentos de longo alcance variam segundo a natureza do
material, existe um número razoavelmente grande de estruturas cristalinas
diferentes, que variam desde estruturas mais simples até outras
extremamente complexas. Os metais, muitos materiais cerâmicos e alguns
polímeros formam estruturas cristalinas sob condições normais de
solidi�cação.
SistemasSistemas
Cristalinos eCristalinos e
DireçõesDireções
Cristalográ�casCristalográ�cas
O modelo atômico da esfera rígida será usado aqui na descrição dessas
estruturas cristalinas, onde os átomos ou íons são considerados comoesferas
sólidas com diâmetros bem de�nidos. O agrupamento dessas esferas
atômicas representa uma linha ou um plano cristalino no modelo, onde as
esferas que representam os átomos vizinhos mais próximos se tocam umas
nas outras.
Nesse contexto das estruturas cristalinas, o termo rede cristalina será usado
para caracterizar um arranjo tridimensional de pontos que coincidem com as
posições dos átomos – em nosso modelo, com os centros das esferas.
Nossa discussão a partir daqui dará enfoque nas estruturas mais simples,
comumente encontradas nos metais, não deixando de apresentar uma visão
geral das outras possibilidades de agrupamentos dos sistemas atômicos.
Os Sistemas Cristalinos
Sabemos que a ordenação cristalina dos átomos nos sólidos signi�ca que
pequenos grupos de átomos tendem a formar um padrão repetitivo. Dessa
forma, ao descrever as estruturas cristalinas, é sempre conveniente subdividir
a estrutura em pequenas “partes” que se repetem, chamadas células
unitárias. Observe nas Figuras 1.7 e 1.8 uma célula unitária de simetria cúbica,
mostrando como em um arranjo geométrico simples é possível entender a
cristalinidade de um material. 
Figura 1.7 - Célula unitária de simetria cúbica do óxido de cálcio CaO (cal) 
Fonte: Molekuul / 123RF.
Concluímos, portanto, que uma célula unitária é o principal bloco constitutivo
de um material, em que a estrutura cristalina é de�nida por meio da sua
geometria e das posições dos átomos no seu interior.
De acordo com Callister Jr. e Rethwisch (2018), os vértices do paralelepípedo
devem coincidir, convenientemente, com os centros dos átomos, ou das
esferas rígidas que os representam. Ainda que mais do que uma única célula
unitária possa ser escolhida para uma estrutura cristalina particular,
normalmente usaremos a célula unitária como tendo o mais alto nível de
simetria geométrica.
Como existem muitas estruturas cristalinas diferentes, algumas vezes é
conveniente dividi-las em grupos, de acordo com as con�gurações
geométricas das células unitárias. Nesse contexto, é estabelecido um sistema
de coordenadas tridimensionais , que tem sua origem localizada em um
dos vértices da célula unitária, onde cada um dos eixos coincide com uma das
três arestas do paralelepípedo.
xyz
A geometria da célula unitária é de�nida em termos de seis parâmetros,
chamados usualmente de parâmetros de rede da estrutura: os comprimentos
 das três arestas e os três ângulos entre os eixos.
Da combinação dos eixos e ângulos, resultam sete possíveis combinações ou
sistemas básicos de cristalização, cada uma representando um sistema
cristalino distinto. Esses sete sistemas cristalinos são os sistemas cúbico,
tetragonal, ortorrômbico, hexagonal, romboédrico ou trigonal, monoclínico e
triclínico. As relações para os parâmetros de rede para cada um desses
sistemas estão mostradas na Tabela 1.1. 
Quadro 1.1 - Os sete sistemas cristalinos, de�nidos em termos de seus eixos e
ângulos 
Fonte: Elaborado pelo autor.
Podemos analisar os sistemas cristalinos com base no grau de simetria da sua
rede cristalina: repare que o sistema cúbico, para o qual e ,
(a,  b,  c) (α,  β,  γ)
a = b = c α = β = γ = 90∘
possui o maior grau de simetria; consequentemente, a menor simetria é
exibida pelo sistema triclínico, uma vez que nele e .
Direções Cristalográ�icas
Para descrever com boa aproximação dos sistemas cristalinos, precisamos
utilizar um modelo de direções que especi�cam a orientação dos átomos em
uma célula unitária. Assim, uma direção cristalográ�ca é de�nida como uma
linha direcionada entre dois pontos, ou um vetor de�nido em termos de três
índices direcionais ( , e ).
Essas coordenadas, de�nidas em torno do plano tridimensional, possuem
origem em um vértice da célula unitária, podendo ser positivas ou negativas.
Em geral, as diferenças entre dois pontos na célula geram o índice para o
respectivo eixo, e esse valor sempre é normalizado – dividido pelos
respectivos parâmetros de rede do eixo – para o menor inteiro possível.
Dessa forma, os inteiros , e correspondem às diferenças das coordenadas
normalizadas referentes aos eixos , e , respectivamente, e são de�nidos
pelas seguintes relações:
onde representa o fator comum de redução a números inteiros cada índice.
Para cada um dos três eixos, haverá tanto coordenadas positivas quanto
coordenadas negativas, onde os valores negativos são sempre representados
por uma barra sobre o índice apropriado. Por exemplo, a direção possui
um componente na direção . A Figura 1.9 mostra algumas direções
cristalográ�cas para um sistema cúbico. 
a ≠ b ≠ c α ≠ β ≠ γ ≠ 90∘
u v w
u v w
x y z
u = n( )  ;  v = n( )  ;   w = n( )       (3)−x2 x1
a
−y2 y1
b
−z2 z1
c
n
[1 1]1−
−y
Para algumas estruturas cristalinas, várias direções não paralelas com índices
diferentes são cristalogra�camente equivalentes e podem ser agrupadas como
uma família de direções. Por exemplo, nos sistemas cristalinos cúbicos temos
as direções equivalentes: , , , , , formando a família 
. Além disso, nos cristais cúbicos, as direções que possuem índices iguais,
independente da ordem em que esses índices aparecem ou dos seus sinais –
por exemplo, e –, são equivalentes. 
Figura 1.9 - Direções cristalográ�cas em células unitárias cúbicas 
Fonte: Cdang / Wikimedia Commons.
[100] , [ 00]1− [010] [0 0]1− [001] [00 ]1−
110
[123] [ 1 ]2− 3−
Planos Cristalográ�icos e Índices de
Miller
As orientações dos planos em uma estrutura cristalina são representadas de
uma maneira semelhante às direções, mantendo um sistema de coordenadas
com três eixos numa célula unitária. Em quase todos os sistemas cristalinos (a
única exceção é o sistema hexagonal), os planos cristalográ�cos são de�nidos
por três índices , e , chamados de índices de Miller.
Para representar um plano cristalográ�co referente a uma célula unitária,
esses índices devem ser escritos entre parênteses, na forma , onde cada
um desses inteiros correspondem aos inversos normalizados – multiplicados
pelos seus respectivos parâmetros de rede – das interseções do plano com
cada um dos eixos , e , respectivamente. Podemos calculá-los por meio das
equações:
reflitaRe�ita
Você saberia dizer no que as direções
cristalográ�cas e os índices de Miller
estão relacionadas às propriedades
dos materiais?
Fonte: Elaborado pelo autor.
h k l
(hkl)
x y z
onde , e são os parâmetros da rede cristalina, , e são os pontos de
interseção do plano cristalográ�co com os eixos , e , e representa o fator
comum de conversão a números inteiros.
Observe na Figura 1.10 as representações para alguns planos cristalográ�cos
em células unitárias cúbicas. 
Assim, igual ao que fazemos para as direções, uma interseção no lado
negativo da origem é indicada por uma barra ou um sinal negativo
posicionado sobre o índice apropriado. Além disso, a inversão das direções de
todos os índices designa outro plano, paralelo ao primeiro, do lado oposto e
de maneira equidistante da origem.
h = na/A ;   k = nb/B ;   l = nc/C      (4)
a b c A B C
x y z n
Redes de Bravais
Além dos sete sistemas cristalinos que estudamos, constituintes básicos da
estrutura de qualquer material, podem existir outras diferentes combinações
desses, relativas às arestas das células unitárias com seus ângulos de
interseção nos vértices. Combinando esses parâmetros, é possível criar 28
redes cristalinas com diferentes con�gurações e certo grau de simetria.
De�niremos a partir de agora as 14 con�gurações estruturais básicas,
chamadas de redes de Bravais, com todas as outras con�gurações podendo
ser de�nidas a partir dessas.
Para determinar por completo a estrutura cristalina de um sólido, além de
de�nir a forma geométrica da rede, é preciso estabelecer as posições na
célula dos átomos, íons ou moléculas que formam o sólido cristalino,
consideradas ainda, por simpli�cada, como esferas perfeitas.
Dependendo da disposição espacial dessas partículas, também chamadas de
pontos reticulares, obtêm-se as seguintes variantes dos sistemas de
cristalização. Veja noinfográ�co a seguir: 
O Quadro 1.2 apresenta as con�gurações e os sistemas de classi�cação das
redes de Bravais resultantes. 
Sólidos não Cristalinos
Vimos que os materiais sólidos são classi�cados de acordo com o grau de
cristalinidade, ou seja, com a forma na qual seus átomos se arranjam quando
os materiais se estabilizam ou cristalizam. Contudo, existem materiais que
não exibem características de cristalização, carecendo de um ordenamento
atômico regular de longo alcance. Esses materiais não cristalinos, também
chamados de amorfos (“sem forma”), são caracterizados por estruturas
atômicas ou moleculares relativamente complexas e se tornam ordenados
somente com alguma di�culdade. As Figuras 1.11 e 1.12 ilustram dois
esquemas de moléculas de dióxido de silício cristalino e amorfo. 
Figura 1.11 - Representação bidimensional de uma molécula de dióxido de
silício (SiO2) na sua forma cristalina (quartzo) 
Fonte: 127.0.0.l~commonswiki / Wikimedia Commons.
A característica cristalina ou amorfa que o sólido em formação apresenta
depende da facilidade pela qual uma estrutura atômica aleatória no estado
líquido pode tender a se transformar em um estado ordenado durante a
etapa de solidi�cação. Além disso, o rápido resfriamento a temperaturas
muito baixas (inferiores à temperatura de congelamento) favorece a formação
de um sólido não cristalino, já que se dispõe de pouco tempo para o processo
de ordenação.
Enquanto os metais normalmente formam sólidos cristalinos, alguns
materiais cerâmicos, como os vidros, são amorfos. Os polímeros também
podem se apresentar com diferentes graus de cristalinidade, podendo ser
semicristalinos ou não cristalinos. 
Radio 
Radio 
Radio 
Radio 
Radio 
praticarVamos Praticar
Uma estrutura cristalina é composta por um reticulado de átomos ou íons que se
repetem em um padrão ordenado de longo alcance em um sólido, e pode ser
classi�cada de diferentes formas. Sobre os sólidos cristalinos, é possível a�rmar
certamente que:
a) A estrutura cristalina de um cristal nada influencia em suas propriedades.
b) Uma direção cristalográfica é sempre indicada entre parênteses e não pode ter coordenadas
negativas.
c) Uma célula unitária representa uma pequena porção do padrão de uma estrutura cristalina.
d) Existem sete principais sistemas cristalinos: cúbico, trigonal, tetragonal, pentagonal,
hexagonal, triclínico e monoclínico.
e) No sistema de cristalização cúbico, os eixos possuem tamanhos iguais e os ângulos entre
eixos são todos diferentes.
Neste tópico, trataremos dos tipos de arranjos cristalinos mais presentes nos
metais: a estruturas cúbica e hexagonal compacta. A partir de agora, nosso
papel será identi�car as principais diferenças entre esses arranjos,
principalmente na de�nição das propriedades e características de cada classe
de materiais. Começaremos a partir das estruturas cúbicas, mais simples de
serem demonstradas, e, em seguida, apresentaremos um tipo de estrutura
hexagonal bastante comum.
A Estrutura Cristalina Cúbica
Existem duas estruturas cúbicas relativamente simples, que normalmente são
encontradas na maioria dos metais mais comuns: cúbica de faces centradas
(CFC) e cúbica de corpo centrado (CCC).
A natureza não direcional da ligação metálica não impõe muitas restrições
quanto à quantidade e posicionamento dos átomos vizinhos próximos,
As EstruturasAs Estruturas
Cristalinas Cúbica eCristalinas Cúbica e
HexagonalHexagonal
fazendo com que um número elevado de átomos se liguem em arranjos
atômicos compactados para a maioria dos metais.
Estrutura Cristalina Cúbica de Faces Centradas
(CFC)
A estrutura cristalina cúbica de faces centradas é comum a muitos metais
preciosos, como o cobre, ouro e platina. Nessa estrutura, os átomos estão
localizados em cada um dos vértices e nos centros de todas as faces de um
cubo formado pela ligação dos átomos com seus vizinhos próximos, como
ilustra a célula unitária da Figura 1.13 
A Figura 1.14 mostra o agregado de átomos representando uma seção de um
cristal formado por muitas células unitárias CFC, e, na Figura 1.15, vemos um
recorte, simulando um modelo iônico de esfera rígida, onde esses núcleos
iônicos se tocam ao longo de uma diagonal da face do cubo. 
No caso dos materiais que apresentam simetria cúbica de face centrada, o
comprimento da aresta do cubo (a) e o raio atômico (R) estão relacionados
pela equação:
A Figura 1.16 ilustra uma das faces (superior, inferior ou laterais) da estrutura
CFC. 
a = 2R       (5)2–√
O valor de para alguns metais cúbicos de faces centradas pode variar entre
0,1246 nanômetros para o níquel a 0,1750 nanômetros para o chumbo.
Número de átomos por célula unitária
Dependendo da localização do átomo, pode acontecer de somente uma
fração do átomo total ser atribuída a uma célula unitária especí�ca, fazendo
com que o átomo seja “compartilhado” entre células adjacentes.
Na célula unitária cúbica de face centrada, um átomo em uma face da célula é
compartilhado com outra célula, enquanto um átomo que está localizado em
um vértice é compartilhado por oito células.
Podemos calcular o número de átomos por célula unitária , usando a
seguinte fórmula geral:
R
(N)
N = + /2  + /8      (6)Ni Nf Nv
em que: representa o número de átomos no interior da célula, é o
número de átomos nas faces e o número de átomos nos vértices.
Na estrutura cristalina CFC, existem oito átomos em vértices da célula ,
seis átomos em faces da célula , e nenhum átomo no interior da célula 
, o que dá, pela Equação 6:
Assim, um total de quatro átomos pode ser atribuído a cada célula unitária de
uma estrutura CFC, exatamente como observado pelas �guras.
Número de coordenação
Outra característica importante em uma estrutura cristalina é o número de
átomos vizinhos em contato, também chamado de número de coordenação.
Perceba, por uma análise atenta da Figura 1.17, que o átomo na face anterior
possui como vizinhos mais próximos quatro átomos localizados nos vértices
ao seu redor, quatro átomos localizados nas faces em contato pelo lado de
trás e quatro outros átomos de faces equivalentes, posicionados na próxima
célula unitária que vem à sua frente, mostrados no primeiro plano vertical da
�gura. Portanto, um total de 12 átomos vizinhos próximos pode ser contado
para a estrutura CFC. 
Ni Nf
Nv
( = 8)Nv
( = 6)Nf
( = 0)Ni
N = 0 + 6/2  + 8/8 = 4
Como no sólido cristalino, os reticulados atômicos são longamente
ordenados. Existe uma sobreposição de planos cristalográ�cos de mesma
simetria para um metal homogêneo. É possível observar pela �gura a
estrutura sendo gerada devido ao empilhamento desses planos
cristalográ�cos, onde um recorte foi feito para mostrar a rede CFC.
Fator de empacotamento atômico (FEA)
O fator de empacotamento é útil para de�nir os materiais que possuem
estruturas mais compactas e densas: dependendo do seu valor, um material
pode ser escolhido em função de sua porosidade ou rigidez.
Assumindo o modelo de esferas rígidas, o cálculo do FEA leva em
consideração uma razão entre a soma dos volumes das esferas de todos os
átomos no interior de uma célula unitária e o volume total da célula unitária.
No caso da rede CFC, o volume da célula unitária é dado por:
Sabendo que o número de átomos na rede CFC é igual a 4, o volume dos
átomos pode ser calculado por:
Assim, usando as equações 7 e 8, podemos calcular o fator de
empacotamento como segue:
Esse valor de empacotamento (0,74) é o máximo possível para o modelo de
esferas de mesmo diâmetro. Fatores de empacotamento altos são uma das
grandes características dos metais, maximizando a proteção conferida pela
nuvem de elétrons livres.
Estrutura Cristalina Cúbica de Corpo
Centrado (CCC)
Outra estrutura encontrada com facilidade nos metais é a cúbica de corpo
centrado, onde os átomos ocupam lugares em todos os oito vértices e no
centro do cubo. Veja na Figura 1.18 a representação da célula unitária para
essa estrutura. 
= = = 16       (7)VC a3 (2R )2–√ 3 R3 2–√
= 4( π ) = π       (8)VA
4
3
R3 16
3
R3
FEA =/   ⇒ FEA = (16/3)  π / 16 = π /3 = 0,74VA VC R3 R3 2
–√ 2–√
Um modelo em perspectiva dessa estrutura é mostrado na Figura 1.19, com
os agregados atômicos e um recorte cúbico na Figura 1.20. 
Figura 1.18 - Representação da célula unitária da estrutura cristalina cúbica
de corpo centrado. 
Fonte: Mayer / Wikimedia Commons.
Figura 1.19 - Representação tridimensional da estrutura cristalina cúbica de
corpo centrado 
Fonte: User:ARTE / Wikimedia Commons.
Perceba que, na estrutura CCC, os átomos no centro e nos vértices se tocam
uns nos outros ao longo das diagonais do cubo. Dessa forma, o comprimento
da célula unitária e o raio atômico se relacionam por:
onde, nesse caso, o valor de varia em torno de 0,1241 nm para o ferro a
cerca de 0,1430 nm para o tântalo. Outros metais, como o cromo, o
molibdênio e o tungstênio, também exibem uma estrutura CCC.
Número de átomos por célula unitária
No caso da rede CCC, cada célula unitária possui oito átomos em vértices e
um único átomo no centro, o qual está integralmente inserido no interior da
sua célula. Calculamos, então, o número átomos por célula unitária CCC pela
Equação 6, obtendo:
a = 4R/       (9)3–√
R
Ou seja, dois átomos podem ser observados pelas �guras: um oitavo em cada
um dos oito vértices e um no centro.
Número de coordenação
O número de coordenação para a estrutura cristalina CCC é 8, ou seja, cada
átomo no centro do cubo possui os oito átomos localizados nos vértices como
seus vizinhos mais próximos. Podemos visualizar esse padrão reticular a
partir da sobreposição dos planos cristalográ�cos na Figura 1.21. 
Fator de empacotamento atômico
Devido ao número de coordenação ser menor na estrutura CCC do que na
estrutura CFC (⅔ do valor dessa estrutura), o fator de empacotamento
atômico na estrutura CCC também é menor. Podemos calculá-lo a partir das
N = 1 + 0  + 8/8 = 2.
considerações anteriores. Na rede CCC, o volume da célula unitária é dado
por:
Sabendo que o número de átomos na rede CFC é igual a 4, o volume dos
átomos pode ser calculado por:
Assim, o fator de empacotamento é calculado pela relação entre as equações
10 e 11, como segue:
A Estrutura Cristalina Hexagonal
Compacta
Embora tenhamos nos concentrado até aqui a de�nir as estruturas cristalinas
de simetria cúbica, nem todos os materiais (metálicos ou não metálicos)
possuem células unitárias com esse arranjo. A última estrutura cristalina que
discutiremos aqui possui uma célula unitária hexagonal. A Figura 1.22 mostra
uma célula unitária com esferas reduzidas para essa estrutura, que é
chamada de hexagonal compacta (HC). 
= = = 64 /3       (10)VC a3 (4R/ )3–√ 3 R3 3–√
= 2( π ) = π       (11)VA
4
3
R3 8
3
R3
FEA = /   ⇒ FEA = (8/3)  π / 64 /3 = π  /8 = 0,68VA VC R3 R3 3
–√ 3–√
Na rede hexagonal, as faces superior e inferior da célula unitária são
compostas por seis átomos, formando hexágonos regulares e que envolvem
um único átomo central. Outro plano, que contribui com três átomos
adicionais para a célula unitária, está localizado entre os planos superior e
inferior (CALLISTER JR.; RETHWISCH, 2018). A representação tridimensional
dos aglomerados atômicos para essa estrutura pode ser vista na Figura 1.23. 
A Figura 1.24 mostra a sobreposição de planos em uma rede hexagonal
compacta. Repare que os agregados de átomos no plano intermediário
possuem como vizinhos mais próximos os átomos nos dois planos
adjacentes. 
Alguns dos metais que exibem uma rede HC incluem o cádmio, o magnésio, o
titânio e o zinco.
Número de átomos por célula unitária
Para calcular o número de átomos por célula unitária para a estrutura
cristalina HC, a equação anterior precisa ser modi�cada com relação ao
número de átomos nos vértices da estrutura.
Enquanto na célula cúbica existem oito vértices a serem considerados e um
oitavo de átomo por vértice, na célula hexagonal existem doze vértices (seis
em cada face superior e inferior) com um sexto de átomo por vértice. Dessa
forma:
Existem ainda dois átomos nos centros de cada uma das faces e três átomos
no interior da estrutura, no plano intermediário. Assim, pela Equação 12:
Figura 1.24 - A sobreposição de planos cristalográ�cos para a rede HC 
Fonte: Adaptada de Chan / Wikimedia Commons.
N = + /2  + /6      (12)Ni Nf Nv
ou seja, seis átomos podem ser atribuídos para cada célula unitária hexagonal
compacta.
Número de coordenação e fator de empacotamento
O número de coordenação e o fator de empacotamento atômico para a
estrutura cristalina hexagonal compacta são os mesmos da estrutura CFC:
temos aqui, portanto, 12 átomos vizinhos próximos com 74% de compactação
atômica. 
N = 3 + 2/2  + 12/6 = 6
Polimor�ismo e Alotropia
Alguns metais, assim como alguns não metais, podem ter mais de uma
estrutura cristalina, um fenômeno conhecido como polimor�smo
(literalmente “muitas formas”). Contudo, quando o polimor�smo é
encontrado em sólidos elementares, essa condição é frequentemente
Radio 
Radio 
Radio 
Radio 
denominada alotropia. Nesses casos, a estrutura cristalina que prevalece
depende tanto da temperatura quanto da pressão externa.
De acordo com Callister (2018), um exemplo familiar é encontrado no
carbono: a gra�ta é o polimorfo estável sob as condições ambientes,
enquanto o diamante é formado sob pressões extremamente elevadas.
Ainda, o ferro puro possui uma estrutura cristalina CCC à temperatura
ambiente, que muda para CFC a 912°C. Na maioria das vezes, uma
transformação polimór�ca é acompanhada de uma mudança na densidade
do sólido, bem como em outras propriedades físicas. 
praticarVamos Praticar
Vimos que os sistemas cristalinos cúbico e hexagonal formam o principal tipo de
estrutura encontrado nos metais. Esses sistemas têm características interessantes,
como o número de coordenação e o fator de empacotamento atômico. Sobre esses,
é possível a�rmar o seguinte:
a) O número de coordenação representa a quantidade de átomos em uma célula unitária.
b) O fator de empacotamento atômico é calculado pela razão entre o volume de um átomo e o
volume da célula.
c) Dentre as estruturas cristalinas compactas, a rede cúbica de corpo centrado possui o maior
número de coordenação.
Radio 
d) O fator de empacotamento atômico é inversamente proporcional à proximidade dos átomos
em uma estrutura cristalina.
e) Dentre as estruturas cristalinas normalmente encontradas nos metais, os fatores de
empacotamento das redes CFC e HC são maiores que da rede CCC.
Neste tópico, entenderemos o procedimento para a determinação das
características estruturais de um sólido cristalino: a técnica da difração de
raios X, usada para a investigação das fases de um determinado material. A
partir de um feixe de radiação eletromagnética de comprimento de onda bem
de�nido, podemos identi�car os planos cristalográ�cos associados a essa
interação, já que parte do feixe incidente será espalhado em todas as
direções pelos elétrons associados a cada átomo que se encontre no
“caminho” do feixe.
Em seguida, analisaremos ainda os principais defeitos na estrutura cristalina
de um material, como é possível identi�cá-los e no que esses in�uenciam a
formação de novas características de um material.
Caracterização deCaracterização de
EstruturasEstruturas
Cristalinas eCristalinas e
Imperfeições nosImperfeições nos
SólidosSólidos
O Fenômeno da Difração e a Lei de
Bragg
Se um feixe monocromático de um determinado comprimento de onda 
interage com dois planos cristalográ�cos paralelos, de mesmos índices de
Miller , e e separados por uma distância interplanar , com um ângulo de
incidência , dois raios desse feixe serão dispersos pelos átomos presentes
nos planos.
Se a diferença entre os comprimentos das trajetórias de incidência e
espalhamento for igual a um número inteiro $n$ de comprimentos de onda,
os feixes incidentes serão espalhados (ou difratados) de um ângulo 𝛳 em
relação aos planos. Dessa forma, a condição de difração, conhecida como Lei
de Bragg, é dada pela relação entre o comprimento de onda dos raios X, o
espaçamento interatômicoe o ângulo de difração:
em que é chamado de ordem da re�exão, podendo ser qualquer inteiro
maior ou igual a 1.
A lei de Bragg dada pela Equação 13 é uma condição necessária, embora não
su�ciente, para a difração em cristais reais. Essa regra de�ne, por exemplo,
quando a difração pode ocorrer nas células unitárias que possuem átomos
posicionados somente nos vértices da célula.
A magnitude da distância entre dois planos de átomos adjacentes e paralelos
é uma função tanto dos índices de Miller, como dos parâmetros da rede
cristalina. Para as estruturas cristalinas com simetria cúbica, podemos calcular
o espaçamento interplanar pela equação:
onde é o parâmetro da rede cristalina (aresta do cubo que forma a célula
unitária), , e são os índices de Miller.
λ
h k l dhkl
θ
nλ = 2 sinθ        (13)dhkl
n
=       (14)dhkl
a
+ +h2 k2 l2
− −−−−−−−−−√
a
h k l
Vejamos como podemos utilizar o fenômeno da difração para a determinação
de diferentes estruturas cristalinas.
Técnicas de Difração
Uma das principais aplicações da difratometria de raios X é a determinação da
estrutura cristalina de uma amostra de material. Para isso, a técnica de
difração usual emprega uma amostra pulverizada composta por inúmeras
partículas �nas e orientadas aleatoriamente, que são provocadamente
expostas a uma radiação X monocromática.
Cada partícula pulverizada é um cristal, ou seja, um aglomerado de partículas
ainda menores, e a existência de um número muito grande de cristais com
orientações aleatórias assegura que algumas partículas estarão
adequadamente direcionadas de maneira tal que todos os conjuntos de
planos cristalográ�cos possíveis estarão disponíveis para difração.
O aparelho utilizado para a determinação dos ângulos nos quais ocorre a
difração é chamado de difratômetro (Figura 1.25), em que a amostra é
dispersada em um porta-amostras, que está acoplado mecanicamente no
centro de uma plataforma circular.
O feixe de radiação monocromática é então direcionado para a amostra, de
modo que, a cada rotação da amostra por um ângulo 𝛳 em relação à base do
porta-amostras, é acompanhada por uma rotação de 2𝛳 do contador,
posicionado no outro extremo da plataforma, assegurando que os ângulos de
incidência e de re�exão sejam iguais.
À medida que o contador se move a uma velocidade angular constante, um
registrador gera automaticamente um grá�co (também chamado de
difratograma) que se relaciona à intensidade do feixe difratado monitorada
pelo contador em função da rotação 2𝛳, chamado de ângulo de difração.
Na Figura 1.26, é possível perceber o padrão de difração para uma amostra
em pó de um material policristalino, a ferrita de cobre.
Figura 1.25 - Difratômetro de raios X, localizado na Universidade Técnica de
Delft, Países Baixos 
Fonte: Sietske / Wikimedia Commons.
Perceba que os picos mais intensos ocorrem quando a condição de difração
prevista pela lei de Bragg é satisfeita por algum conjunto de planos
cristalográ�cos. Na Figura 1.26, esses picos estão identi�cados de acordo com
os planos a que se referem.
Segundo Shackelford (2008), o tamanho e a geometria da célula unitária
podem ser obtidos a partir das posições angulares dos picos de difração,
enquanto o arranjo dos átomos no interior da célula unitária está associado
às intensidades relativas dos picos.
Imperfeições em sólidos cristalinos
Sólidos ideais são utilizados para exempli�car as propriedades de um
material de con�guração atômica uniforme. Contudo, esse tipo ideal de
material não existe. Todo e qualquer material possui uma grande variedade
de defeitos ou imperfeições, e muitas das propriedades dos materiais
dependem (se pronunciam ou anulam) em relação a desvios na perfeição
cristalina.
Veremos brevemente como é feita a classi�cação das imperfeições cristalinas
de acordo com a geometria ou dimensões do defeito.
Defeitos Pontuais
Todo sólido cristalino apresenta, ao longo de sua estrutura reticular
ordenada, espaços vazios (ou sítios vagos) que normalmente deveriam estar
ocupados por algum átomo. De acordo com Callister Jr. e Rethwisch (2018),
esse defeito pontual é chamado de lacuna ou vacância, já que ocorre em
posições especí�cas ao longo da superfície do material. Todos os sólidos
cristalinos contêm lacunas e, na realidade, não é possível criar um material
que esteja livre desse tipo de defeito.
A Figura 1.27 ilustra um plano cristalográ�co com a presença de lacunas.
Como a presença de lacunas faz aumentar o grau de aleatoriedade do cristal
(aumento de entropia), os átomos vizinhos próximos às vacâncias tendem a
se comprimir para ocupar o lugar vago. Isso ocorre porque um valor de
entropia tipicamente alto pode gerar instabilidade no sólido, portanto a
con�guração mais estável tende a ser estabelecida.
O número de lacunas aumenta exponencialmente em função da energia para
a formação da lacuna e da temperatura. Para a maioria dos metais, a fração
de lacunas em uma temperatura imediatamente inferior à sua temperatura
de fusão é da ordem de um décimo de milésimo, ou seja, um em cada 10.000
sítios da rede encontra-se vazio.
Outro tipo de defeito pontual, chamado de defeito intersticial, está relacionado
a quando um átomo do cristal se encontra comprimido em uma posição
intersticial, ou seja, entre os pequenos espaços vazios entre os átomos que,
em condições usuais, não estaria ocupado.
Figura 1.27 - Representação bidimensional de duas lacunas em um plano
cristalográ�co 
Fonte: Baiardi / Wikimedia Commons.
De acordo com Shackelford (2008), um defeito intersticial nos metais introduz
distorções relativamente grandes em sua vizinhança na rede cristalina, pois o
átomo é substancialmente maior que a posição intersticial em que ele está
localizado.
Ainda, segundo Callister Jr. e Rethwisch (2018), a formação desse defeito não
é muito provável, e ele existe somente em concentrações muito reduzidas,
que são signi�cativamente menores que as exibidas pelas lacunas.
Defeitos Lineares
As discordâncias são defeitos lineares ou unidimensionais, em que alguns
átomos se encontram desalinhados uns em relação aos outros. O tipo mais
simples de discordância, conhecida como discordância em cunha, é
representada esquematicamente na Figura 1.28.
Radio 
Radio 
Radio 
Radio 
Repare que os átomos acima da linha da discordância estão comprimidos,
enquanto os átomos abaixo dessa linha estão afastados. Isso se re�ete na
ligeira curvatura dos planos atômicos verticais, que se curvam em torno desse
semiplano extra.
A magnitude dessa distorção diminui com o aumento da distância da linha da
discordância. Esse fato é percebido principalmente em posições afastadas,
em que a rede cristalina possui um grau de desarranjo muito menor.
praticarVamos Praticar
Todo material sólido possui um determinado grau de aleatoriedade ou imperfeições
em sua estrutura. Esses defeitos de rede podem se apresentar em diferentes
con�gurações, alterando as propriedades de um material. Nesse sentido, é correto
a�rmar que:
a) As lacunas e os defeitos intersticiais são defeitos do tipo pontual.
b) As discordâncias são defeitos do tipo linear e não alteram a configuração de alinhamento dos
semiplanos de átomos.
c) A técnica de caracterização por difração de raios X não pode ser utilizada em partículas
pequenas, pois essas não possuem defeitos.
d) A presença de lacunas em um cristal tende a aumentar o grau de simetria da rede cristalina.
Radio 
e) A formação de defeitos intersticiais são mais frequentes que a formação de lacunas.
indicações
Material
Complementar
LIVRO
De Primatas a Astronautas: A Jornada do
Homem em Busca do Conhecimento
Editora: Zahar
Autor: Leonard Mlodinow
ISBN: 8537814679
Comentário: O livro narra de forma bem intuitiva e
humorada a jornada trilhada pelo ser humano desde as
primeiras descobertas na era pré-histórica, provocando
o leitor a re�etir e buscar entender como a ciência se
desenvolveu, desde os primórdios �losó�cos, dos
grandes pensadores e cientistas e do desenvolvimento
das rudimentares primeiras ferramentas até a
so�sticadadescoberta dos computadores.
FILME
Bill Nye e a Ciência dos Materiais
Ano: 2000
Comentário: Nessa série divertida e intrigante, o
apresentador Bill Nye (“The Science Guy”) mostra como
as principais descobertas do homem revolucionaram a
forma como pensamos a matéria, os objetos e as
construções. Explora ainda os novos tipos de plásticos e
objetos recicláveis, fazendo ainda um passeio pelas
novas descobertas no campo da nanotecnologia.
T R A I L E R
conclusão
Conclusão
Nesta unidade, analisamos as principais características que de�nem a
microestrutura de um material, tanto nos aspectos físicos quanto nos
moleculares. Iniciamos estudando o modelo do átomo de Bohr, no qual é
possível perceber a forte dependência do constituinte básico da matéria com
sua con�guração eletrônica. Pudemos entender o signi�cado de cristalinidade
por meio da classi�cação dos sistemas cristalinos, em relação às direções
cristalográ�cas e dos índices de Miller. Ampliamos o conceito de estrutura
cristalina ao estudar os sistemas cúbicos de face centrada e corpo centrado,
além de analisarmos brevemente a rede hexagonal compacta. Entendemos
como é feita a caracterização de um determinado material por meio da
difração de raios X. Por �m, �zemos uma breve introdução no extenso estudo
das imperfeições cristalinas, deixando o estudante a par dos principais
defeitos pontuais e lineares.
referências
Referências
Bibliográ�cas
CALLISTER JR., W. D.; RETHWISCH, D. G. Ciência e engenharia dos materiais:
uma introdução. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2018.
SHACKELFORD, J. F. Introdução à ciência e engenharia dos materiais para
engenheiros. 6. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2008.