Apresentacao - Marcos

Prévia do material em texto

Teoremas Clássicos de Análise Funcional
Marcos Paulo Figueira dos Santos
UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS
XXX Congresso de Iniciação Cientı́fica da UFAM
Marcos Paulo Figueira dos Santos UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS
Teoremas Clássicos de Análise Funcional
OBJETIVOS
Objetivos gerais
O objetivo geral do projeto foi estudar alguns teoremas
clássicos do curso de Análise Funcional. Esse é um curso de
pós-graduação que não é oferecido nos cursos de graduação
da UFAM. Desse modo, o projeto permitiu estudar tópicos mais
avançados na área de matemática, preparando-me para uma
futura pós-graduação na área.
Objetivos especı́ficos
Enunciar e provar os Teorema de Banach-Steinhaus, Teorema
da Aplicação Aberta, Teorema do Gráfico Fechado e Teorema
de Hahn-Banach.
Marcos Paulo Figueira dos Santos UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS
Teoremas Clássicos de Análise Funcional
UM POUCO DE HISTÓRIA
A Análise Funcional é o ramo da matemática cujo principal
objetivo é estudar espaços normados de dimensão infinita.
Como importantes exemplos desses tipos de espaços, temos
vários espaços de funções. Em 1922, o polonês Stefan
Banach (1892-1945) criaria em sua Tese de Doutorado, a
noção de espaço normado abstrato; e por muitos essa data é
considerada como o inı́cio da Análise Funcional. Entre os
principais resultados importantes da Análise Funcional estão
os teoremas de Banach-Steinhaus, da Aplicação Aberta, do
Gráfico Fechado e de Hahn-Banach.
Marcos Paulo Figueira dos Santos UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS
Teoremas Clássicos de Análise Funcional
DEFINIÇÕES PRELIMINARES
Definição
Seja E um espaço vetorial. Uma norma em E é uma função real
‖ · ‖ : E → R, que associa a cada vetor x ∈ E o número real ‖x‖,
chamado a norma de x, de modo a serem cumpridas as condições
abaixo para quaisquer x , y ∈ E e λ escalar:
1 ‖x‖ ≥ 0 ∀x ∈ E .
2 ‖x‖ = 0⇔ x = 0.
3 ‖λx‖ = |λ|‖x‖.
4 ‖x + y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖.
Marcos Paulo Figueira dos Santos UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS
Teoremas Clássicos de Análise Funcional
DEFINIÇÕES PRELIMINARES
Definição
Chama-se espaço vetorial normado (ou simplesmente espaço
normado) ao par (E , ‖ · ‖) sempre que E for um espaço vetorial e ‖ · ‖
for uma norma sobre E .
Definição
Um espaço normado E é chamado de espaço de Banach se toda
sequência de Cauchy em E converge.
Marcos Paulo Figueira dos Santos UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS
Teoremas Clássicos de Análise Funcional
RESULTADOS
O Teorema de Banach-Steinhaus ou Teorema da Limitação
Uniforme, provado pelos matemáticos S. Banach e H.
Steinhaus em 1927, é um dos resultados mais importantes na
Análise Funcional.
Teorema (Teorema de Banach-Steinhaus)
Sejam E, F espaços normados com E Banach, e seja
M ⊂ L(E ,F ). Temos que as sequintes condições são
equivalentes:
1 M é limitado pontualmente, isto é, para cada x ∈ E existe
Cx > 0 tal que ‖T (x)‖ < Cx sempre que T ∈ M.
2 M é limitada uniformemente, isto é, existe C > 0 tal que
‖T‖ := supx∈BE ‖T (x)‖ < C para todo T ∈ M.
Marcos Paulo Figueira dos Santos UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS
Teoremas Clássicos de Análise Funcional
RESULTADOS
O Teorema da Aplicação Aberta diz que uma condição
algébrica (sobrejetividade) determina se uma transformação
linear é ou não aberta.
Teorema (Teorema da Aplicação Aberta)
Sejam E e F espaços de Banach, e seja T ∈ L(E ,F ). Então as
seguintes condições são equivalentes:
1 T é sobrejetiva.
2 T (BE(0,1)) ⊃ BF (0, δ) para algum δ > 0.
3 T (BE(0,1)) ⊃ BF (0, δ) para algum δ > 0.
4 T é aberta.
Marcos Paulo Figueira dos Santos UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS
Teoremas Clássicos de Análise Funcional
RESULTADOS
O Teorema do Gráfico Fechado estabelece uma relação entre
a continuidade de um operador linear e o fato de seu gráfico
ser fechado.
Teorema (Teorema do Gráfico Fechado)
Sejam E e F espaços de Banach, e seja T : E → F um
operador linear. Teremos então que as seguintes condições
são equivalentes:
1 T é contı́nuo.
2 Gr(T ) := {(x , y) ∈ E × F : T (x) = y} é fechado em E × F.
Marcos Paulo Figueira dos Santos UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS
Teoremas Clássicos de Análise Funcional
RESULTADOS
O Teorema de Hahn-Banach é um dos teoremas fundamentais
da Análise Funcional, por alguns é considerado ser o mais
importante. Uma das principais aplicações do Teorema de
Hahn-Banach, é que ele permite que funcionais lineares
contı́nuos definidos num subespaço de um espaço normado
sejam estendidos a um funcional linear e contı́nuo definido em
todo o espaço.
Marcos Paulo Figueira dos Santos UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS
Teoremas Clássicos de Análise Funcional
RESULTADOS
Teorema (Teorema de Hahn–Banach)
Sejam E um espaço vetorial real e p : E → R uma função que
satisfaz
• p(t x) = t p(x)∀ t > 0, ∀ x ∈ E ;
• p(x + y) ≤ p(x) + p(y)∀ x , y ∈ E .
Sejam também G um subespaço vetorial de E e ϕ : G→ R um
funcional linear tal que ϕ(x) ≤ p(x) para todo x ∈ G. Então
existe um funcional linear ϕ̃ : E → R que estende ϕ, isto é
ϕ̃(x) = ϕ(x) para todo x ∈ G, e que satisfaz ϕ̃(x) ≤ p(x) para
todo x ∈ E.
Marcos Paulo Figueira dos Santos UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS
Teoremas Clássicos de Análise Funcional
Corolário
Seja G um subespaço de um espaço normado E sobre R e
seja ϕ : G→ R um funcional linear contı́nuo. Então existe um
funcional linear contı́nuo ϕ̃ : E → R que estende ϕ tal que
‖ϕ̃‖ = ‖ϕ‖.
Corolário
Seja E um espaço normado. Para todo x0 ∈ E, x0 6= 0, existe
um funcional linear ϕ ∈ E ′ tal que ‖ϕ‖ = 1 e ϕ(x0) = ‖x0‖.
Corolário
Sejam E um espaço normado, E 6= {0}, e x ∈ E. Então
‖x‖ = sup{|ϕ(x)| : ϕ ∈ E ′ e ‖ϕ‖ ≤ 1}.
Marcos Paulo Figueira dos Santos UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS
Teoremas Clássicos de Análise Funcional
CONCLUSÃO
I Amadurecimento referente ao rigor inerente à área de
matemática, tanto na exposição oral como na escrita.
I Aprendeu a digitar no LaTeX, o que é a melhor prática
referente à escrita matemática.
I Estudo dos conceitos básicos de Análise Real, Espaços
Métricos e Espaços Normados.
I Conclusão do estudo dos quatro teoremas propostos no
projeto.
I Esse estudo abre as portas para que se posso estudar
resultados mais profundos dentro da área de Análise
Matemática.
Marcos Paulo Figueira dos Santos UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS
Teoremas Clássicos de Análise Funcional
REFERÊNCIAS
[1] G. BOTELHO, D. PELLEGRINO, E. TEIXEIRA, Fundamentos de
Análise Funcional, Textos Universitários, SBM, 2ed, 2015.
[2] E. LAGES LIMA, Espaços Métricos, IMPA, 5ed. 2015.
Marcos Paulo Figueira dos Santos UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS
Teoremas Clássicos de Análise Funcional
OBRIGADO!
Marcos Paulo Figueira dos Santos UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS
Teoremas Clássicos de Análise Funcional