GRA1594 CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS ATIVIDADE 2

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Usuário FERNANDO DE OLIVEIRA
Curso GRA1594 CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS GR0551-212-9 -
202120.ead-29780456.06
Teste ATIVIDADE 2 (A2)
Iniciado 25/11/21 10:16
Enviado 25/11/21 10:49
Status Completada
Resultado da
tentativa
10 em 10 pontos  
Tempo decorrido 32 minutos
Resultados
exibidos
Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários
Pergunta 1
Resposta Selecionada:
Resposta Correta:
Comentário da
resposta:
Considere a função de duas variáveis , tal que as variáveis  e  são funções
das variáveis  e , isto é,  e . A derivada da função
 com relação à variável  é obtida por meio da regra da cadeia
expressa por . Já a derivada de  com relação à variável  é obtida
por meio da expressão .
 
A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da
função  com relação às variáveis  e , sabendo que  e
.
 
 
 e 
 e 
Resposta correta. A alternativa está correta. Usando a regra da cadeia, temos
que a derivada parcial de  com relação a  é:
. Já a derivada parcial de  com relação
a  é: .
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Pergunta 2
Resposta Selecionada:
Resposta Correta:
Comentário
da resposta:
O vetor gradiente nos informa a direção na qual a função cresce mais rapidamente
em um dado ponto, sendo que a taxa máxima de aumento é definida como a norma
do vetor gradiente nesse ponto. Considerando a densidade , medida em
, em todos os pontos de uma placa retangular no plano  dada por
, assinale a alternativa que corresponde à taxa máxima de
aumento da densidade  no ponto .
 
 
A taxa máxima de aumento da densidade é .
A taxa máxima de aumento da densidade é .
Resposta correta. A alternativa está correta. A taxa máxima de aumento da
densidade, conforme o enunciado nos traz, é a norma do vetor gradiente no
ponto considerado. Dado que o vetor gradiente no ponto P(1,2) é
 e sua norma é ,
concluímos que a taxa máxima de aumento da densidade é .
Pergunta 3
Resposta Selecionada:
Resposta Correta:
Comentário da
resposta:
O vetor gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais de uma função, isto é,
dada a função  o vetor gradiente é o vetor . Dado
um ponto , o vetor gradiente da função  no ponto P é obtido por meio da
seguinte expressão .
 
Assinale a alternativa que corresponde ao vetor gradiente da função
 no ponto .
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta. Primeiro, vamos calcular as
derivadas parciais da função:
- Derivada de  em relação a  (a variável  é vista como constante):
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- Derivada de  em relação a  (a variável  é vista como constante): 
.
Calculando as derivadas parciais no ponto , temos
 e . Logo, o vetor gradiente é
.
Pergunta 4
Resposta Selecionada:
Resposta Correta:
Comentário
da resposta:
A direção e o sentido de maior decrescimento de uma função em um dado ponto é dada pelo
vetor oposto ao vetor gradiente, visto que esse representa a direção e o sentido de maior
crescimento. Sabendo disso, suponha que a função  represente uma
distribuição de temperatura no plano  (suponha  medida em graus Celsius,  e  medidos em
).
 
Dado o ponto , assinale a alternativa que corresponde à direção de maior decrescimento
da temperatura e sua taxa de variação mínima.
 
 
Direção  e taxa mínima de .
Direção  e taxa mínima de .
Resposta correta. A alternativa está correta. A direção de maior
decrescimento é oposta ao vetor gradiente no ponto considerado, isto é
. Já a variação de temperatura é mínima em
. (O sinal negativo apenas indica que a
temperatura é mínima).
Pergunta 5
Toda função possui uma característica particular. No caso das funções de duas
variáveis  temos que o domínio desse tipo de função pode ser dado como o
conjunto de pares ordenados  pertencentes ao plano  que satisfazem a lei
de formação da função . Assim, para determinar o domínio da função 
 precisamos verificar se não há restrições para os valores que  e  podem
assumir.
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Resposta
Selecionada:
Resposta Correta:
Comentário da
resposta:
Com relação ao domínio de funções, assinale a alternativa correta.
O domínio da função  é o conjunto
.
O domínio da função  é o conjunto
.
Resposta correta. A alternativa está correta. Temos as seguintes
restrições para os valores de  e :
(I) A expressão dentro da raiz deve ser não negativa, isto é,
(II) A expressão do denominador deve ser não nula, isto é,
Portanto, a interseção dos conjuntos (I) e (II) resulta em . Logo,
.
Pergunta 6
O gráfico de uma função de duas variáveis é um conjunto do espaço , enquanto
que o seu domínio é uma região do plano . Para determinar o domínio da função
de duas variáveis , precisamos verificar se não há restrições para os valores
que  e  podem assumir.
Com relação ao domínio de uma função de duas variáveis, analise as afirmativas a
seguir.
 
I. O domínio da função  corresponde à região a seguir.
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II. O domínio da função  corresponde à região a seguir.
 
III. O domínio da função  corresponde à região a seguir.
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Resposta Selecionada:
Resposta Correta:
Comentário da
resposta:
IV. O domínio da função  corresponde à região a seguir.
 
Assinale a alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s).
 
 
I, apenas.
I, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta. Veri�cando as restrições para a
função, temos que apenas a a�rmativa I é verdadeira, pois:
A�rmativa I: Correta. A função  tem as seguintes restrições
 e , portanto, o domínio da função é o conjunto
, que corresponde à região
dada na a�rmativa.
Pergunta 7
Chamamos de curva de nível da função  o conjunto de todos os pares  pertencentes
ao domínio de  tais que , onde  é uma constante real. Utilizamos as curvas de nível
para visualizar geometricamente o comportamento de uma função de duas variáveis.
Com relação às curvas de nível, assinale a alternativa correta.
 
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Resposta
Selecionada:
Resposta Correta:
Comentário
da resposta:
A equação  é uma curva de nível para a função
 para .
A equação  é uma curva de nível para a função
 para .
Resposta correta. A alternativa está correta. Pela de�nição de curva de nível,
temos que . Assim, igualando a função ao valor de , temos que
. Portanto, a curva de
nível da função  para  é dada pela equação
.
Pergunta 8
Resposta Selecionada:
Resposta Correta:
Comentário
da resposta:
Considere a função de duas variáveis , tal que as variáveis  e  são funções
da variável , isto é,  e . A derivada da função  com relação à
variável  é obtida por meio da regra da cadeia expressa por . Pela
regra da cadeia, podemos notar que precisamos das derivadas parciais da função 
 com relação às variáveis  e  e precisamos das derivadas das funções  e  com
relação à variável .
 
A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da
função  com relação à variável , sabendo que  e
.
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta. Temos as seguintes derivadas:
, ,  e . Aplicando a regra da
cadeia, obtemos a expressão da derivada desejada:
. Trocando as
expressões de  e  temos
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.
Pergunta 9
Resposta Selecionada:
Resposta Correta:
Comentário da
resposta:
Suponha que  seja uma função diferenciável de  e , tal que . No
entanto,  e  são funções de  expressas por  e . Para se
obter a derivada de  com relação a variável  devemos fazer uso da regra da
cadeia.
Aplicando essa regra corretamente, assinale a alternativa que corresponde à
derivada de  em relação a , isto é, , para quando .
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta. Pela regra da cadeia, temos que
, onde . Assim,
. Dado que , temos
.
Pergunta 10
O domínio de uma função corresponde a todos os valores que, ao serem trocados
no lugar da variável (ou variáveis), produzem um resultado válido. Alguns
exemplos: em funções raízes, o domínio corresponde a todos os valores que não
geram um valor negativo dentro da raiz, já no caso de funções quocientes, o
domínio corresponde a todos os valores que não zeraram o denominador.
 
Com base nessas informações, analise as afirmativas a seguir.
 
I - O domínio da função  é o conjunto
.
II - O domínio da função  é o conjunto
.
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Terça-feira, 30 de Novembro de 2021 17h33min21s BRT
Resposta Selecionada:
Resposta Correta:
Comentário da
resposta:
III - O domínio da função  é o conjunto .
IV - O domínio da função  é o conjunto
.
 
 
 
I, IV
I, IV
Resposta correta. A alternativa está correta. Avaliando as restrições de
cada função, concluímos que:
A�rmativa I: Correta. O domínio da função  é o
conjunto .
A�rmativa IV: Correta. O domínio da função  é o
conjunto .
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