6 09 COC Derivabilidade e Continuidade

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
 
 
 
PROF. ROBERTO CARLOS LOURENÇO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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BLOCO 6. DERIVABILIDADE E CONTINUIDADE 
Neste bloco, estudaremos a derivabilidade e continuidade de uma função em um 
determinado intervalo. Conhecendo a definição de função contínua e posteriormente 
suas propriedades, é possível identificar se uma função é contínua ou descontínua em 
determinado ponto. 
Como existem casos onde é preciso desenvolver cálculos para analisar se uma função é 
contínua ou descontínua em determinado ponto, é importante conhecer os seguintes 
teoremas: Teorema de Bolzano, Teorema de Weierstrass, Teorema do Valor 
Intermediário, Teorema do Valor Médio e Teorema da Função Composta. 
 
6.1 Definição de Continuidade 
Partindo do significado da palavra continuidade, podemos começar lembrando que o 
processo contínuo é aquele que ocorre gradualmente, sem interrupção ou mudanças 
abruptas. 
Definição Matemática: uma função é contínua em um número a se: 
)()(lim afxf
ax
=
→ 
A definição dada requer três condições para a função f ser contínua em a: 
1. f(a) está definida, onde a está no domínio de f; 
2. 
)(lim xf
ax→ existe; 
3. 
)()(lim afxf
ax
=
→ 
Importante: Para falar em continuidade em um ponto, ele deve estar no domínio da 
função. 
Exemplos: 
1. Para o gráfico de f não há buraco. 
6 
 
 
 
3 
 
 
 
2. Observando o gráfico de uma função f, identifique quando f é descontínua. 
 
Para a = 1, a função é descontínua, pois f(1) não está definida. 
Para a = 5, a função é descontínua, pois 
)(lim
5
xf
x→ não existe. 
Para a = 9, a função é descontínua, pois )9()(lim
9
fxf
x
≠
→
. 
 
3. Onde a função f é descontínua? 
2
2²)(
−
−−
=
x
xxxf
 
Resolução: 
Nesse caso, como f(2) não está definida, logo f é descontínua em 2. 
 
4. Onde a função f é descontínua? 




=
≠=
01
0
²
1
)(
xse
xse
xxf
 
 
 
 
 
4 
 
Resolução: 
Nesse caso, f(0) = 1, mas ²
1lim)(lim
00 x
xf
xx →→
=
 não existe. 
Logo, f é descontínua em 0. 
 
5. Onde a função f é descontínua? 




=
≠
−
−−
=
21
2
2
2²
)(
xse
xse
x
xx
xf
 
Resolução: 
3)1(lim
2
)1).(2(lim
2
2²lim)(lim
2222
=+=
−
+−
=
−
−−
=
→→→→
x
x
xx
x
xxxf
xxxx 
)2()(lim
2
fxf
x
≠
→ 
Nesse caso, f(2) = 1, 
Logo, f é descontínua em 2. 
 
6.2 Propriedades 
Se f e g forem contínuas em a e se c for uma constante, então as seguintes funções são 
contínuas, também em a: 
1. f + g (soma de funções contínuas) 
 
2. f – g (diferença de funções contínuas) 
 
 
 
 
5 
 
 
3. f . g (produto de funções contínuas) 
 
4. c.f (produto da constante com a função contínua) 
 
5. g
f
 se g(a) ≠ 0 (quociente de funções contínuas) 
 
6.2.1 Continuidade e derivabilidade 
Vamos estudar cada afirmação a seguir: 
I. Se f é derivável em a, então f é contínua em a. 
 
 
 
6 
 
 
A função f é contínua em todos os números reais. Sendo f derivável em R e contínua 
em R. 
 
II. Se f é contínua em a, então f é derivável em a. 
 
Nesse caso, f não é derivável no domínio da função, pois x não pode ser zero. 
Logo, f é contínua em R, mas não é derivável quando x é 0. 
 
6.3 Teoremas 
6.3.1 Teorema de Bolzano 
Se f é uma função contínua em [a; b], onde f(a) e f(b) têm sinais contrários, então 
existe (pelo menos) um ponto c de [a; b] tal que f(c) = 0. 
Pelo ponto de vista geométrico, temos: 
Para os pontos A = (a; f(a)) e B = (b; f(b)), onde f(a) e f(b) possuem sinais contrários no 
plano cartesiano, temos: 
 
 
 
7 
 
 
De modo que, para desenhar um possível gráfico, colocamos a ponta de um lápis em A, 
e traçamos uma curva até B, sem tirar a ponta do lápis do papel, sendo f contínua em 
[a; b], é evidente que a curva cruzará o eixo Ox em, pelo menos, um certo ponto, onde 
c assuma o valor de abscissa. 
 
Exemplo: A velocidade de uma partícula é dada por v(t) = 2t³ - 2t² - 1 . Mostre que 
existe um instante entre 1 e 2 no qual a velocidade se anula. 
Resolução: 
Como v(1) = 2. 1³ - 2. 1² - 1 = - 1, sendo v(1) < 0, agora calculando v(2) 
v(2) = 2. 2³ - 2. 2² - 1 = 7, sendo v(2) > 0, onde v é uma função contínua, de acordo com 
o Teorema de Bolzano, existe c, com 1 < c < 2, tal que v(c) = 0. 
 
6.3.2 Teorema de Weierstrass 
Se f é contínua em [a; b], ela atinge um mínimo e um máximo nesse intervalo. 
O Teorema de Weierstrass afirma que existem pontos c e d pertencentes ao intervalo 
[a; b] tais que f(c) será o mínimo e f(d) será o máximo, f(c) < f(x) < f(d), para qualquer x 
que pertence ao intervalo [a; b]. 
 
 
 
8 
 
 
 
6.3.3 Teorema do Valor Intermediário 
Suponha que f seja contínua em um intervalo fechado [a; b] e seja n um número 
qualquer entre f(a) e f(b). Então, existe um número c em ]a; b[ tal que f(c) = n. 
Observe a ilustração: 
 
Como uma função contínua não possui nenhum buraco e nem quebras, é fácil 
compreender que o Teorema do Valor Intermediário é verdadeiro. 
Uma das aplicações do Teorema do Valor Intermediário é a localização das raízes de 
equações. 
 
Exemplo: 
Para a equação 4x³ - 6x² + 3x – 2 = 0, existe uma raiz entre 1 e 2? 
Resolução: 
f(x) = 4x³ - 6x² + 3x – 2 
f(1) = 4. 1³ - 6. 1² + 3. 1 – 2 = -1, onde f(1) < 0 
f(2) = 4.2³ - 6.2² + 3.2 – 2 = 12, onde f(2) > 0 
 
Para n = 0 que está entre f(1) e f(2), pelo Teorema do Valor Intermediário existe c, 
onde 1 < c < 2, que determina f(c) = n = 0. 
 
 
 
9 
 
Logo, a equação 4x³ - 6x² + 3x – 2 = 0 possui, pelo menos, uma raiz c no intervalo ]1; 2[. 
 
6.3.4 Teorema do Valor Médio 
Se f é uma função contínua em [a; b] e derivável em [a; b], então existe c de ]a; b[ tal 
que: 
ab
abfcf
−
−
=
)()()(' . 
 
 
Pela ilustração gráfica, temos que t é uma reta tangente ao gráfico de f, paralela à reta 
AB. Temos pela interpretação geométrica da derivada, que a inclinação da reta t é f’(c), 
a qual, por serem t e AB paralelas, é igual à inclinação de AB, ou seja: 
 f’(c) = inclinação da reta t = inclinação da reta AB = 
ab
afbf
−
− )()( . 
Em representação geométrica, se f é uma função contínua em [a; b], seu gráfico deve 
ser uma curva contínua nesse intervalo, e se ela for derivável em ]a; b[, seu gráfico 
deve ser uma curva suave nesse outro. 
 
Exemplo: 
A função horária de um movimento é dada por s(t) = t³ - 3t² + 1. Em quais instantes do 
intervalo de tempo [0; 1] a velocidade média nesse intervalo é atingida pela velocidade 
escalar? 
 
 
 
 
10 
 
Resolução: 
Sendo a função velocidade a derivada da função horária, temos: 
v(t) = s’(t) = 3t² - 6t 
Pelo Teorema do Valor Médio, temos: 
01
)0()1()('
−
−
=
ssts 
Desenvolvemos: 
026²3
26²3
01
1)1(6²3
=+−⇔
−=−⇔
−
−−
=−
tt
tttt 
Resolvemos a equação, encontramos 
3
31+=t e 
3
31−=t , como o valor para t 
precisa pertencer ao intervalo [0; 1], o único valor no qual t pode assumir é 
3
31−=t . 
Portanto, para 
3
31−=t a velocidade média no intervalo [0; 1] atinge a velocidade 
escalar. 
 
6.3.5 Teorema da Função Composta 
Se g for contínua em a e f em g(a), então a função composta f o g dada por (f o g)(x) = 
f(g(x)) é contínua em a. 
Demonstração desse Teorema pode ser dada da seguinte maneira: 
Uma vez que g é contínua em a, temos 
)()(lim agxg
ax
=
→
 
Sendo f contínua em b = g(a), podemos indicar pela definição de função contínua que: 
))(())((lim agfxgf
ax
=
→
 
Onde h(x) = f(g(x)) é contínua em a, isto é, f o g é contínua em a. 
 
Exemplo: 
Verifique se a função h(x) = sen(x²) é contínua em R. 
 
 
 
 
 
11 
 
Resolução: 
Para h(x) = sen(x²), temos que g(x) = x² e f(x) = sen x. 
Por ser g(x) = x², não existenenhum valor real que torna g descontínua, ou seja, g é 
contínua em R. 
²²lim)()(lim axagxg
axax
=⇒=
→→
 
Para f(x) = sen x, o caso não é diferente de g, pois para qualquer valor atribuído para x 
existe sen x. Onde g(a) = a², temos h(x) = sen(x²)  h(a) = sen(a²) 
)())(lim ahxh
ax
=
→
 
Portanto, a função h é contínua em R. 
 
Conclusão 
Neste bloco, estudamos a definição de continuidade, onde foi possível identificar 
quando uma função é contínua ou descontínua em determinado intervalo I. 
Conhecemos as propriedades, como soma de funções contínuas, diferença de funções 
contínuas, produto de funções contínuas, produto de constante com função contínua e 
quociente de funções contínuas. 
Conhecemos os teoremas: Teorema de Bolzano, Teorema de Weierstrass, Teorema do 
Valor Intermediário, Teorema do Valor Médio e Teorema da Função Composta. E 
concluímos com uma aula interativa para ser possível resolver uma situação-problema 
com o uso dos conceitos estudados. 
 
Referências 
BOULOS, P. Cálculo diferencial e integral. São Paulo: Makron Books, 1999. v. 1. 
IEZZI, G.; DOLCE, O.; TEIXEIRA, J. C.; MACHADO, N. J.; GOULART, M. C.; CASTRO, L. R. S.; 
MACHADO, A. S. Matemática. São Paulo: Atual, 1995. 
LEITHOLD, L. O cálculo com geometria analítica. Tradução de Cyro de Carvalho 
Patarra. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1994. 
STEWART, J. Cálculo. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002. v 1.