1 lista de exercícios - Integral definida e Teorema Fundamental do Cálculo

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
PROFESSOR: RODRIGO CLEMENTE
1a LISTA DE EXERCÍCIOS - INTEGRAL DEFINIDA E TEOREMA FUNDAMENTAL
DO CÁLCULO
1. É dado o gráfico de f . Calcule cada integral interpretando-a em termos das áreas.
(a)
∫ 2
0
f(x) dx (b)
∫ 5
0
f(x) dx (c)
∫ 7
5
f(x) dx (d)
∫ 9
0
f(x) dx
2. O gráfico da g consiste em duas retas e um semićırculo. Use-o para calcular cada integral.
(a)
∫ 2
0
f(x) dx (b)
∫ 6
2
f(x) dx (c)
∫ 7
0
f(x) dx
3. Calcule cada integral, interpretando-a em termos das áreas.
(a)
∫ 2
−1
(1− x) dx (b)
∫ 9
0
(x
3
− 2
)
dx (c)
∫ 0
−3
(
1 +
√
9− x2
)
dx (d)
∫ 5
−5
(
x−
√
25− x2
)
dx
(e)
∫ 2
−1
|x|dx (f)
∫ 10
0
|x− 5|dx
4. Se
∫ 5
1
f(x) dx = 12 e
∫ 5
4
f(x) dx = 3, determine
∫ 4
1
f(x) dx.
1
2
5. Se
∫ 9
0
f(x) dx = 37 e
∫ 9
0
g(x) dx = 16, determine
∫ 9
0
[2f(x) + 3g(x)] dx.
6. Determine
∫ 5
0
f(x) dx se
f(x) =
3 se x < 3,x se x ≥ 3.
7. Cada uma das regiões A, B e C delimitadas pelo gráfico de f e o eixo x tem área 3. Encontre o valor de∫ 2
−4
[f(x) + 2x + 5] dx.
8. Seja
f(x) =
0 se x é racional,1 se x é irracional.
Mostre que f não é integrável.
9. Seja g(x) =
∫ x
0
f(t) dt, em que f é a função cujo gráfico é mostrado.
(a) Calcule g(x) para x = 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6. (b) Onde g possui valor máximo? Onde possui valor mı́nimo?
(c) Faça um esboço de g.
10. Seja g(x) =
∫ x
0
f(t) dt, em que f é a função cujo gráfico é mostrado.
3
(a) Calcule g(0), g(1), g(2) e g(6). (b) Em quais intervalos g está crescendo? (c) Onde g tem valor
máximo? (d)Faça um esboço do gráfico de g.
11. Usando o Teorema Fundamental do Cálculo, calcule a derivada da função:
(a) g(x) =
∫ x
1
1
t3 + 1
dt (b) g(x) =
∫ x
3
et
2−t dt (c) g(s) =
∫ s
5
(
t− t2
)8
dt (d) g(r) =
∫ r
0
√
x2 + 4 dx
(e) F (x) =
∫ π
x
√
1 + sec t dt (f) G(x) =
∫ 1
x
cos
√
tdt (g) h(x) =
∫ ex
1
ln tdt
12. Se f(x) =
∫ x
0
(
1− t2
)
et
2
dt, em qual intervalo f é crescente?
13. Se f(1) = 12, f ′ é cont́ınua e
∫ 4
1
f ′(x) dx = 17, qual o valor de f(4)?
14. Seja g(x) =
∫ x
0
f(t) dt, em que f é a função cujo gráfico é mostrado.
(a) Em quais valores de x ocorrem os máximos e mı́nimos locais de g? (b) Onde g atinge seu valor
máximo absoluto? (c) Em que intervalos g é côncava para baixo? (d) Esboce o gráfico de g.