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1 UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO INSTITUTO DE FÍSICA Introdução à Física – FAP 100 Soluções do 2º exercício 1. A posição de um objeto que se desloca em linha reta é definida por x(t) = t3-6t2-15t+40, onde x(t) é dado em metros e t em segundos, sendo t>0. Determine: a) (2,0) O instante em que a velocidade será nula. Por definição, a velocidade de uma partícula é dada pela taxa de variação da posição como função do tempo, ou seja, v(t) = dx dt =3𝑡2 − 12𝑡 − 15 𝑚/𝑠 Assim, a velocidade irá se anular no instante de tempo em que (dx/dt)=0. 3𝑡2 − 12𝑡 − 15 = 0 ÷ 3 𝑡2 − 4𝑡 − 5 = 0 𝑡1 = −1𝑠 𝑒 𝑡2 = 5𝑠 b) (2,0) A posição e a distância percorrida pelo objeto até esse instante. Primeiramente, determinamos a posição, x(t), da partícula no instante 𝑡2 = 5𝑠 em que a velocidade do móvel se nula por substituição direta na equação original que descreve a cinética do movimento. Portanto, x(t=5)=53 − 6 ∗ 52 − 15 ∗ 5 + 40 = −60m Verificando que x(t=0)=40m, podemos encontrar a distância percorrida pela partícula no intervalo 0≤t≤5, calculando ∆x=x(t=5)-x(t=0)=-60-40 |∆x|=100 metros c) (2,0) A aceleração do objeto nesse instante. A aceleração de uma partícula é definida como a taxa de variação da velocidade em função do tempo. Logo, a(t)= 𝑑𝑣 𝑑𝑡 = 6t-12 a(t=5)=6*5-12=18 m/s2 2 d) (2,0) A distância percorrida pelo objeto de t=4s a t=6s Note que a velocidade do móvel muda de sinal no intervalo de tempo considerado, mais precisamente em t = 5s. Neste caso, podemos calcular o deslocamento do móvel de duas formas distintas: I – Integrando a expressão da velocidade ∆x= |v(t)|dt 5 4 + v(t)dt 6 5 ∆x= (3𝑡2 − 12𝑡 − 15)dt 5 4 + (3𝑡2 − 12𝑡 − 15)dt 6 5 ∆x = |-8| + 10 → ∆x=18 metros II – Calculando os deslocamentos para v<0 e v>0 d4-5 = |x(5) – x(4)| = |-60 - (-52)| = |-8| → d4-5 = 8 metros d5-6 = x(6) – x(5) = -50 - (-60) = 10 metros ∆x = d4-5 + d5-6 = 10 + 8 → ∆x = 18 metros OBS: Note que as soluções (I) e (II) são completamente equivalentes, pois a integral da posição, v(t), é igual a posição da partícula, x(t), e quando a integral é calculada em um dado intervalo de tempo obtemos o deslocamento do móvel no trecho correspondente. e) (1,0) O gráfico da velocidade em função do tempo para o intervalo 0≤t≤6s. 3 f) (1,0) O gráfico da aceleração em função do tempo para o intervalo 0≤t≤6s.
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