EDO

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EDO - Equações Diferenciais Ordinárias 
 
Equação Diferencial Ordinária é uma equação com derivada com relação a 
uma única variável 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 25 
 
𝑑2𝑧
𝑑𝑥2
−
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑥 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 0 
 
Ordem da EDO 
Ordem da derivada de maior ordem 
 
𝑥5
𝑑3𝑦
𝑑𝑥3
+
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 1 → 3ª ordem 
 
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
−
𝑑7𝑦
𝑑𝑥7
= 𝑥 → 7ª ordem 
 
 
EDO Homogênea e Não-Homogênea 
 
Homogênea → Não possui função de x isolada 
 
−6𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 4𝑦 = 0 → Homogênea 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑦 − 7𝑥 = 0 → Ñ-Homogênea 
 
Solução da EDO 
 
𝑦 = 𝐴𝑒5𝑥 é solução da EDO 𝑦′ = 5𝑦 ? 
 
Passo 1 - Calcular as derivadas 
 
𝑦 = 𝐴𝑒5𝑥 
𝑦′ = 5𝐴𝑒5𝑥 
 
Passo 2 - Substituir 𝑦′ = 5𝐴𝑒5𝑥 na equação 
 
O y foi dado: 𝑦 = 𝐴𝑒5𝑥 
𝑦′ = 5𝑦 
5𝐴𝑒5𝑥 = 5𝐴𝑒5𝑥 
 
Encontrando a constante A 
 
Problema de Valor Inicial (PVI) 
 
{
𝑦′ = 5𝑦
𝑦(0) = 1
 
 
Como sabemos que 𝑦 = 𝐴𝑒5𝑥 é solução de 𝑦′ = 5𝑦 fazer a substituição: 
 
1 = 𝐴𝑒5.0 
𝐴 = 1 
 
Substituindo A na solução 
 
𝑦 = 1𝑒5𝑥 
 
EDO Separável 
 
“Separar o y de x” 
 
𝑦′(𝑥) = 𝑓(𝑥) . 𝑔(𝑦) 
 
Exemplos: 
 
I. 𝑦′ = 𝑥 . 𝑦 → 
𝑦′
𝑦
= 𝑥 (separável) 
 
II. 𝑦′ = cos 𝑥 . 𝑡𝑔 𝑦2 → 
𝑦′
𝑡𝑔 𝑦2
= cos 𝑥 (separável) 
 
III. 𝑦′ = cos(𝑥𝑦) (ñ separável) 
 
 
Resolvendo 𝑦′(𝑥) = 𝑥 . 𝑦(𝑥) → pode ser escrita como: 𝑦′(𝑥) = 𝑥 . 𝑦 
 
Passo 1: Trocar o que é 𝑦′ por 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑥 . 𝑦 
 
Passo 2: Separar 
 
𝑑𝑥 está dividindo passa multiplicando o 𝑥 
𝑦 está multiplicando passa dividindo o 𝑑𝑦 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑥 . 𝑦 → 
𝑑𝑦
𝑦
= 𝑥𝑑𝑥 
 
Passo 3: Integrar os dois lados 
 
∫
1
𝑦
𝑑𝑦 = ∫ 𝑥 𝑑𝑥 
 
ln|𝑦| = 
𝑥2
2
+ 𝐶 
 
𝑒ln|𝑦| = 𝑒
𝑥2
2
 + 𝐶
 
 
|𝑦| = 𝑒
𝑥2
2
 + 𝐶
 
 
|𝑦| = 𝑒
𝑥2
2
 . 𝑒 𝐶 
 
|𝑦| = 𝑒
𝑥2
2
 . 𝐾 
 
𝑦 = ± 𝐾 . 𝑒
𝑥2
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EDO Linear 
 
Equações do tipo 𝑦′ − 𝑦 = 𝑥 não são possíveis de solucionar por separação de 
variável 
 
Para solucionar equações desse tipo usasse o método do fator integrante 
 
𝑦′ − 1 . 𝑦 = 𝑥 
 
𝐹𝑎𝑡𝑜𝑟 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 
 
𝐼 = 𝑒 ∫ −1 𝑑𝑥 
 
𝑦(𝑥) = 
1
𝐼
 . (∫ 𝐼 . 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶) 
 
 
Toda vez que tivermos 
 
𝑦′ + 𝐴(𝑥) . 𝑦 = 𝐵(𝑥) 
 
𝐹𝑎𝑡𝑜𝑟 𝐼(𝑥) 
 
𝐼(𝑥) = 𝑒 ∫ 𝐴(𝑥) 𝑑𝑥 
 
𝑦(𝑥) = 
1
𝐼(𝑥)
 . (∫ 𝐼(𝑥) . 𝐵(𝑥) 𝑑𝑥 + 𝐶) 
 
 
 
 
Equação Exata 
 
Encontre a solução de 
 
𝑥2𝑦3𝑑𝑥 + 𝑥3𝑦2 𝑑𝑦 = 0 
 
𝑥2𝑦3
𝑑𝑥
𝑑𝑥
 + 𝑥3𝑦2 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 = 0 
 
𝑥2𝑦3 + 𝑥3𝑦2 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 = 0 
 
 
Verificando se uma equação é exata 
 
Para uma equação na forma: 
 
𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 
 
Pelo critério de Euler, se: 
 
𝜕𝑀
𝜕𝑦
=
𝜕𝑁
𝜕𝑥
→ 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑒𝑥𝑎𝑡𝑎 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
São iguais, então a equação é 
exata 
Resolvendo a Equação Exata 
 
𝑥2𝑦3𝑑𝑥 + 𝑥3𝑦2 𝑑𝑦 = 0 
 
Passo 1: Verificar se a Equação é Exata 
 
𝜕𝑀
𝜕𝑦
= 3𝑦2 . 𝑥2 
 
𝜕𝑁
𝜕𝑦
= 3𝑦2 . 𝑥2 
 
 
Passo 2: Calcular ∫ 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 
 
∫ 𝑥2𝑦3𝑑𝑥 = 𝑦3 ∫ 𝑥2𝑑𝑥 
 
𝑦3 . 
𝑥3
3
+ 𝑔(𝑦) 
 
 
Passo 3: Derivar o calculado anteriormente em relação a y 
 
𝜕
𝜕𝑦
(∫ 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥) 
 
𝜕
𝜕𝑦
(𝑦3 . 
𝑥3
3
+ 𝑔(𝑦)) 
 
𝑦2 . 𝑥3 + 𝑔′(𝑦) 
 
Passo 4: Encontrar a expressão de 𝑔′(𝑦) comparando com 𝑁(𝑥, 𝑦) 
 
𝜕
𝜕𝑦
(∫ 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥) = 𝑁(𝑥, 𝑦) 
 
𝑦2 . 𝑥3 + 𝑔′(𝑦) = 𝑦2 . 𝑥3 + 0 
 
𝑔′(𝑦) = 0 
 
 
Passo 5: Achar 𝑔(𝑦) integrando 𝑔′(𝑦) 
 
𝑔(𝑦) = ∫ 𝑔′(𝑦) 𝑑𝑦 
𝑔(𝑦) = ∫ 0 𝑑𝑦 
𝑔(𝑦) = 0 (𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎 𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒) 
 
 
Passo 6: Obter a solução implícita 
 
𝑢(𝑥, 𝑦) = ∫ 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 = 𝐶 
 
𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑦3 . 
𝑥3
3
+ 𝑔(𝑦) = 𝐶 
 
𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑦3 . 
𝑥3
3
+ 0 = 𝐶 
 
𝑢(𝑥, 𝑦) = 
𝑦3𝑥3
3
= 𝐶 
 
São diferentes, então a 
equação não é exata 
Como ficaram iguais 
essa equação é 
chamada de “equação 
quase exata” 
Equação Não Exata 
 
A EDO a seguir é exata? 
 
(𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑥 + (𝑥3 + 3𝑥𝑦2 + 2𝑥𝑦)𝑑𝑦 = 0 
 
𝜕𝑀
𝜕𝑦
=
𝜕𝑁
𝜕𝑥
 
 
𝜕𝑀
𝜕𝑦
(𝑥2 + 𝑦2) = 2𝑦 
 
𝜕𝑁
𝜕𝑥
(𝑥3 + 3𝑥𝑦2 + 2𝑥𝑦) = 3𝑥2 + 3𝑦2 + 2𝑦 
 
 
Multiplicando a equação por 𝑒3𝑦 (fator integrante) 
 
 𝑒3𝑦 (𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑥 + 𝑒3𝑦 (𝑥3 + 3𝑥𝑦2 + 2𝑥𝑦)𝑑𝑦 = 0 . 𝑒3𝑦 
 
Testando novamente 
 
𝜕𝑀
𝜕𝑦
 𝑒3𝑦 (𝑥2 + 𝑦2) = 𝑒3𝑦 (3𝑥2 + 3𝑦2 + 2𝑦) 
 
𝜕𝑁
𝜕𝑥
 𝑒3𝑦 (𝑥3 + 3𝑥𝑦2 + 2𝑥𝑦) = 𝑒3𝑦 (3𝑥2 + 3𝑦2 + 2𝑦) 
 
 
 
 
 
Não é possível eliminar o y 
da equação, portanto, este 
não é um candidato 
Como encontrar o Fator Integrante I de uma equação quase exata 
 
Candidato 1: 
 
𝜕𝑀
𝜕𝑦
−
𝜕𝑁
𝜕𝑥
𝑁
= 𝑓(𝑥) = 𝐼(𝑥) = 𝑒∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 
 
Candidato 2: 
 
−
𝜕𝑀
𝜕𝑦
−
𝜕𝑁
𝜕𝑥
𝑀
= ℎ(𝑦) = 𝐼(𝑦) = 𝑒∫ ℎ(𝑦)𝑑𝑦 
 
 
 
Achando o candidato a F.I 
 
(𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑥 + (𝑥3 + 3𝑥𝑦2 + 2𝑥𝑦)𝑑𝑦 = 0 
 
Candidato 1: 
 
𝜕𝑀
𝜕𝑦
−
𝜕𝑁
𝜕𝑥
𝑁
=
2𝑦 − 3𝑥2 + 3𝑦2 + 2𝑦 
𝑥3 + 3𝑥𝑦2 + 2𝑥𝑦
 
 
 
Candidato 2: 
 
−
𝜕𝑀
𝜕𝑦
−
𝜕𝑁
𝜕𝑥
𝑀
=
−2𝑦 + 3𝑥2 + 3𝑦2 + 2𝑦 
𝑥2 + 𝑦2
=
3(𝑥2 + 𝑦2)
𝑥2 + 𝑦2
= 3 
 
Não é possível separar y de x 
Calculando o Fator Integrante I 
 
𝐼(𝑦) = 𝑒∫ ℎ(𝑦)𝑑𝑦 
 
𝐼(𝑦) = 𝑒∫ 3𝑑𝑦 = 𝑒3𝑦 
 
 
 
 
EDO Homogênea 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 
𝑥2 + 𝑦2
𝑥𝑦
 
 
 
Testando a separação 
 
𝑦 𝑑𝑦 = 
𝑥2 + 𝑦2
𝑥
 𝑑𝑥 
 
 
Identificando uma EDO Homogênea 
 
Passo 1: substituir 𝑥 por 𝜆𝑥 e 𝑦 por 𝜆𝑦 (se nada mudar a EDO é homogênea) 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 
𝑥2 + 𝑦2
𝑥𝑦
 
 
𝑑(𝜆𝑦)
𝑑(𝜆𝑥)
= 
(𝜆𝑥)2 + (𝜆𝑦)2
(𝜆𝑥) . (𝜆𝑦)
 
Iguais, portanto, homogênea 
𝜆𝑑(𝑦)
𝜆𝑑(𝑥)
= 
𝜆2𝑥2 + 𝜆2𝑦2
 𝜆2𝑥𝑦
 
 
𝑑(𝑦)
𝑑(𝑥)
= 
𝜆2(𝑥2 + 𝑦2)
 𝜆2(𝑥𝑦)
 
 
𝑑(𝑦)
𝑑(𝑥)
= 
(𝑥2 + 𝑦2)
 (𝑥𝑦)
 
 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 
𝑥2 + 𝑦2
𝑥𝑦
 
 
 
Resolvendo uma EDO Homogênea 
 
Passo 1: Fazer a substituição 𝑍 =
𝑦
𝑥
 ou 𝑦 = 𝑍𝑥 (𝑍 é função de 𝑥 → 𝑍(𝑥)) 
 
𝑑(𝑍𝑥)
𝑑𝑥
= 
𝑥2 + (𝑍𝑥)2
𝑥(𝑍𝑥)
 
 
 
Passo 2: Resolver o lado esquerdo da equação 
 
𝑑(𝑍𝑥)
𝑑𝑥
 
 
𝑑
𝑑𝑥
 (𝑍(𝑥) . 𝑥) 
 
𝑥 . 
𝑑
𝑑𝑥
 (𝑍(𝑥)) + 𝑍(𝑥) .
𝑑
𝑑𝑥
 (𝑥) 
 
𝑥 . 𝑍′(𝑥) + 𝑍(𝑥) . 1 
Passo 3: Simplificar o lado direito da equação 
 
𝑥2 + (𝑍𝑥)2
𝑥(𝑍𝑥)
 
 
𝑥2 + 𝑍2𝑥2
𝑍𝑥2
 
 
𝑥2(1 + 𝑍2)
𝑍 . 𝑥2
 
 
1 + 𝑍2
𝑍
 
 
 
Passo 4: Retornar à igualdade do passo 2 
 
𝑥 . 𝑍′(𝑥) + 𝑍 = 
1 + 𝑍2
𝑍
 
 
𝑥 . 
𝑑
𝑑𝑥
(𝑍) = 
1 + 𝑍2
𝑍
− 𝑍 
 
𝑥 . 
𝑑
𝑑𝑥
(𝑍) = 
1 + 𝑍2 − 𝑍2
𝑍
 
 
𝑥 . 
𝑑
𝑑𝑥
(𝑍) = 
1
𝑍
 
 
𝑍 𝑑𝑍 = 
1
𝑥
𝑑𝑥 
 
 
 
Passo 5: Resolver a EDO 
 
∫ 𝑍 𝑑𝑍 = ∫
1
𝑥
 𝑑𝑥 
 
 
𝑍2
2
= ln|𝑥| + 𝐶 
 
𝑍2 = 2 (ln|𝑥| + 𝐶) 
 
𝑍 = ± √2 (ln|𝑥| + 𝐶) 
 
 
Passo 6: Voltar para y (𝑦 = 𝑍𝑥) 
 
𝑦 = ± 𝑥 . √2 (ln|𝑥| + 𝐶)